浙教版七年級下冊初一數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)版)(全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習(xí))(家教、補習(xí)、復(fù)習(xí)用)

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浙教版七年級下冊

初中數(shù)學(xué)

全冊知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角知識講解

【學(xué)習(xí)目標】

1.了解“三線八角”模型特征；

2.掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識別它們.

【要點梳理】

要點一、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念

1.“三線八角”模型

如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)

成八個角，簡稱為“三線八角”，如圖1.

被截線

⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交.

⑵“三線八角”中的每個角是由截線與一條被截線相交而成.

2.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義

在“三線八角”中，如上圖1,

(1)同位角：像N1與N5,這兩個角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同

側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同位角.

(2)內(nèi)錯角：像/3與/5,這兩個角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這

樣的一對角叫做內(nèi)錯角.

(3)同旁內(nèi)角：像/3和N6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一

對角叫做同旁內(nèi)角.

要點詮釋：

(1)“三線八角”是指上面四個角中的一個角與下面四個角中的一個角之間的關(guān)系，顯然是

沒有公共頂點的兩個角.

(2)“三線八角”中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.

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（：平行線及其判定403102三線八角】

要點二、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征

基本圖形

角的名稱位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征

（去掉多余的線）

在兩條被截直線同形如字母“F”

方，在截線同側(cè)（或倒形）

同位角V

在兩條被截直線之形如字母“Z”

間，在截線兩側(cè)（交（或反置）

內(nèi)錯角

錯）

在兩條被截直線之形如字母“U”

同旁內(nèi)角內(nèi)，在截線同側(cè)匚

要點詮釋：巧妙識別三線八角的兩種方法：

（1）巧記口訣來識別：一看三線，二找截線，三查位置來分辨.

（2）借助方位來識別

根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標出方位，判斷時依方位來識別，如圖2.

圖2

【典型例題】

類型一、“三線八角”模型

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（1）圖3中，ZEN2由直線被直線所截而成.

（2）圖4中，AB為截線，/D是否屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角？

【答案】（1）EF,CD；AB.（2）不是.

【解析】（1）Zl,N2兩角共同的邊所在的直線為截線，而另一邊所在的直線為被截線.

（2）因為/D的兩邊都不在直線AB上，所以/D不屬于以AB為截線的三線八角圖形

中的角.

【總結(jié)升華】判斷“三線八角”的關(guān)鍵是找出哪兩條直線是被截線，哪條直線是截線.

類型二、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別

?^2.如圖，（DDE為截線，NE與哪個角是同位角？

（2）/B與N4是同旁內(nèi)角，則截出這兩個角的截線與被截線是哪些直線？

（3）ZB和/E是同位角嗎?為什么？

【答案與解析】

解：（1）DE為截線，/E與/3是同位角；

（2）截出這兩個角的截線是直線BC,被截線是直線BF、DE；

（3）不是，因為NB與NE的兩邊中任一邊沒有落在同一直線上,所以NB和/E不是同位角.

【總結(jié)升華】確定角的關(guān)系的方法：（1）先找出截線，由截線與其它線相交得到的角有哪兒

個；（2）將這幾個角抽出來，觀察分析它們的位置關(guān)系；（3）再取其它的線為截線，再抽取

與該截線相關(guān)的角來分析.

舉一反三：

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【變式】如圖，下列判斷錯誤的是（）.

A./I和/2是同旁內(nèi)角.B.N3和N4是內(nèi)錯角.

C.N5和/6是同旁內(nèi)角.D./5和N8是同位角.

【答案】C

▼3.如圖，/ABD與NBDC,NADC與/BCE,NABC與/BCD,/ADB與NDBC分別是哪兩

條直線被哪一條直線所截而成的？它們分別是什么角？

【答案與解析】

解：/ABD與/BDC是由直線AB,DC被直線BD所截而成的，是內(nèi)錯角，

NADC與NBCE是由直線AD,BC被直線DE所截而成的，是同位角，

NABC與NBCD是由直線AB,DC被直線BC所截而成的，是同旁內(nèi)角，

NADB與/DBC是由直線AD,BC被直線BD所截而成的，是內(nèi)錯角.

【總結(jié)升華】要分析各對角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的，可以把復(fù)雜圖形按題目要

求分解成簡單的圖形后，結(jié)論便一目了然.

舉一反三：

【變式】如圖Nl、N2、N3、N4、N5中，哪些是同位角？哪些是A

內(nèi)錯角？哪些是同旁內(nèi)角？/高

解：同位角：N5與/I,N4與N3；

內(nèi)錯角：N2與N3,N4與N1：

同旁內(nèi)角：/4與N2,/5與N3,/5與N4.

（：平行線及其判定403102三線八角練習(xí)（2）］

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C^4.分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

【答案與解析】

解：同位角：NB與NACD,/B與NECD；

內(nèi)錯角：NA與NACD,/A與NACE；

同旁內(nèi)角：NB與NACB,ZA與NB,NA與NACB,NB與NBCE.

【總結(jié)升華】在復(fù)雜圖形中，分析同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，應(yīng)把圖形分解成幾個“兩條

直線與同一條直線相交”的圖形，并抽取交點處的角來分析.

舉一反三：

【變式】請寫出圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

【答案】

解：N1與N5,N2與N6,N3與/7,N4與/8是同位角；

N2與N8,N3與N5是內(nèi)錯角；

N2與/5,/3與N8是同旁內(nèi)角.

類型三、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角大小之間的關(guān)系

@^5.如圖直線DE、BC被直線AB所截，

(1)/1和/2、/I和N3、/I和/4各是什么角？每組中兩角的大小關(guān)系如何?

(2)如果/1=N4,那么/I和N2相等嗎？N1和N3互補嗎？為什么？

【答案與解析】

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解：（DN1和/2是內(nèi)錯角；/I和N3是同旁內(nèi)角；N1和N4是同位角.每組中兩角的

大小均不確定.

（2）/I與/2相等，N1和N3互補.理由如下：

①VZ1=Z4（已知）

Z4=Z2（對頂角相等）

，/l=N2.

②VZ4+Z3=180°（鄰補角定義）

/1=/4（已知）

.*.Zl+Z3=180°

即N1和/3互補.

綜上，如果N1=N4,那么N1與/2相等，/I和/3互補.

【總結(jié)升華】在“三線八角”中，如果有一對同位角相等，則其他對同位角也分別相等，并

且所有的內(nèi)錯角相等，所有同旁內(nèi)角互補.

舉一反三：

【變式1】若N1與N2是內(nèi)錯角，則它們之間的關(guān)系是（）.

A.Nl=/2B.Z1>Z2C.Z1<Z2D.Nl=/2或Nl>/2或Nl</2

【答案】D

【變式2】下列命題：①兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；②兩條

直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直；③內(nèi)錯角相等，則它們的角平分線互

相垂直；④同旁內(nèi)角互補，則它們的角平分線互相垂直，其中正確的個數(shù)為（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C（提示：②④正確）.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.如圖，直線AD、BC被直線AC所截，則N1和/2是（）.

A.內(nèi)錯角B.同位角C.同旁內(nèi)角D.對頂角

2.如圖，能與Na構(gòu)成同位角的有（）.

A.4個B.3個C.2個D.1個

第3題圖

3.如圖，下列說法錯誤的是（）.

①/I和N3是同位角；②N1和/5是同位角;

③N1和N2是同旁內(nèi)角；④N1和N4是內(nèi)錯角.

A.①@B.②③C.②④D.③④

4.若/I與N2是同位角，則它們之間的關(guān)系是（）.

A./1=/2；B.Z1>Z2；

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C.Z1<Z2；D.N1=N2或N1>N2或N1C/2.

5.在下圖中，/I和N2不是內(nèi)錯角的是().

在上述四個圖中，/I與N2是同位角的有().

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)D.(1)

7.如圖，下列結(jié)論正確的是(

A.N5與N2是對頂角；B.N1與N3是同位角；

C./2與/3是同旁內(nèi)角；D.N1與N2是同旁內(nèi)角.

8.在圖中，N1與/2不是同旁內(nèi)角的是().

二、填空題

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9.如圖，當直線BC、DC被直線AB所截時:N1的同位角是,同旁內(nèi)角是；

當直線AB、AC被直線BC所截時，N1的同位角是；當直線AB、BC被直線CD所截

時，/2的內(nèi)錯角是.

10.如圖，

(1)Z1和ZABC是直線AB、CE被直線所截得的角；

(2)Z2和/BAC是直線CE、AB被直線所截得的角；

(3)Z3和/ABC是直線、被直線所截得的角；

(4)ZABC和ZACD是直線、被直線所截得的角；

(5)ZABC和ZBCE是直線、被直線所截得的角.

11.如圖，若/1=95°,Z2=60°,則N3的同位角等于,Z3的內(nèi)錯角等于

,/3的同旁內(nèi)角等于.

12.如圖，在圖中的/I、N2、/3、N4、Z5和/B中，同位角是,內(nèi)錯角是,

同旁內(nèi)角是.

13.如圖，直線a、b、c分別與直線d、e相交，與/I構(gòu)成同位角的角共有個，

和/I構(gòu)成內(nèi)錯角的角共有個，與N1構(gòu)成同旁內(nèi)角的角共有個.

14.如圖，三條直線兩兩相交，其中同旁內(nèi)角共有對，同位角共有對，內(nèi)錯角

共有對，

三、解答題

15.如圖，N1和哪些角是內(nèi)錯角？N1和哪些角是同旁內(nèi)角？N2和哪些角是內(nèi)錯角？Z2

和哪些角是同旁內(nèi)角？它們分別是由哪兩條直線被哪一條線截成的？

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16.指出圖中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

17.在同一個“三線八角”的基本圖形中，如果已知一對內(nèi)錯角相等.

(1)圖中其余的各對內(nèi)錯角相等嗎?為什么？

(2)圖中的各對同位角相等嗎?為什么？

(3)猜想圖中各對同旁內(nèi)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】N1與N2是直線AD、BC被直線AC所截而成，且這兩角都在被截線AD、BC之

間，在截線AC兩側(cè)，所以為內(nèi)錯角.

2.【答案】B

【解析】如圖，與Na能構(gòu)成同位角的有：Zl,N2,Z3.

3.【答案】C

【解析】②錯因：/I與/5沒有公共邊，不是“三線八角”中的角；④錯因：N4沒在

截線的內(nèi)側(cè)，所以N1與N4不是內(nèi)錯角.

4.【答案】1)

【解析】由兩角是同位角，內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角得不出它們大小之間的關(guān)系.

5.【答案】D

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【解析】D中的N1與/2沒有公共邊，所以不屬于“三線八角”中的角.

6.【答案】C

【解析】圖（2）或圖（4）中的N1與N2沒有公共邊，不屬于“三線八角”中的角.

7.【答案】I）

8.【答案】D

【解析】選項D中/1與22沒有公共邊，不屬于“三線八角”中的角.

二、填空題

9.【答案】Z2,Z5,Z3,Z4

【解析】先看哪兩條線被哪一條線所截，再判斷它們的關(guān)系.

10.【答案】（1）BD（或BC）,同位；（2）AC,內(nèi)錯；（3）AB,AC,BC,同旁內(nèi)；

（4）AB,AC,BC,同位；（5）AB,CE,BC,同旁內(nèi).

【解析】可以從復(fù)雜圖形中抽出簡單圖形進行分析.

11.【答案】85°,85°,95°

【解析】23的同位角和內(nèi)錯角均與/I互補，故它們的度數(shù)均為：180°—95°=85°,

而N3的同旁內(nèi)角是N1的對頂角，所以N3的同旁內(nèi)角的度數(shù)等于N1的度數(shù).

12.【答案】/I與/B,N4與/B；N2與/5,N3與N4；/2與/4,/3與N5,Z3

與NB,NB與N5.

13.【答案】3,2,2

【解析】如圖，與/I是同位角的是：Z2,Z3,Z4；與N1是內(nèi)錯角的是：Z5,

Z6；與/I是同旁內(nèi)角的是：Z7,Z8.

14.【答案】6,12,6

【解析】每個“三線八角”中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角，而兩兩相

交，且不交于同一點的三條直線共有三個“三線八角”，所以同旁內(nèi)角共有：3x2=6

（對），同位角共有：3x4=12（對），同旁內(nèi)角共有：3x2=6（對）.

三、解答題

15.【解析】

解：/I和NDAB是內(nèi)錯角，由直線DE和BC被直線AB所截而成；

Z1和NBAC是同旁內(nèi)角，由直線BC和AC被直線AB所截而成；

/I和N2也是同旁內(nèi)角，是直線AB和AC被直線BC所截而成；

Z1和NBAE也是同旁內(nèi)角，是直線DE和BC被直線AB所截而成；

Z2和NEAC是內(nèi)錯角，是直線DE和BC被直線AC所截而成；

Z2和NBAC是同旁內(nèi)角，是直線AB和BC被直線AC所截而成；

/2和N1也是同旁內(nèi)角，是直線AB和AC被直線BC所截而成；

Z2和ZDAC也是同旁內(nèi)角，是直線DE和BC被直線AC所截而成.

16.【解析】

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解：如圖，可分解成三個基本圖形，由圖（1）得內(nèi)錯角：/BAD和/B；

由圖⑵得同位角：/DAE和/C,同旁內(nèi)角：/CAD和NC；

由圖⑶得同位角:NBAE和NC,內(nèi)錯角：NB和NBAE,同旁內(nèi)角：NB和NC,NB和NBAC,

ZC和NBAC.

即原圖形中共有兩組同位角，兩組內(nèi)錯角，四組同旁內(nèi)角.

17.【解析】

解：（1）相等；（2）相等；（3）互補.理由如下:

如圖，

（1）由/1=N2,又N3=/4（等角的補角相等）；

（2）由/1=N2,又Nl=/5（對頂角相等），所以N2=N5,

同理可得：其他對同位角也相等；

（3）由N1=N2,又/1+/3=180°,所以N2+N3=180°（等量代換）,

同理：Zl+Z4=180°.

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平行線及其判定(基礎(chǔ))知識講解

【學(xué)習(xí)目標】

L熟練掌握平行線定義及畫法；

2.掌握平行公理及其推論；

3.掌握平行線的判定方法，并能運用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.

【要點梳理】

要點一、平行線及平行公理

1.平行線的定義

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.兩直線平行，用符號“〃”表示.如下

圖，兩條直線互相平行，記作AB〃CD或a〃b.

(1)同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：相交和平行.

(2)互相重合的直線通?？醋饕粭l直線，兩條線段或射線平行是指它們所在的直線平行.

用直尺和三角板作平行線的步驟：

①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.

②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.

③推：沿著直尺平移三角板，使與已知直線重合的斜邊通過已知點.

④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.

3.平行公理及推論

平行公理：經(jīng)過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

要點詮釋：

(1)平行公理特別強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì).

(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一.

(3)“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.

4.兩條平行線間的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線

間的距離.

要點詮釋：

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（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段

的長度就是兩條平行線的距離.

（2）兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，

即兩條平行線之間的距離處處相等.

要點二、平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

,/Z3=Z2

...AB〃CD（同位角相等，兩直線平行）

判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

/1=/2

...AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

Z4+Z2=180°

...AB〃CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

要點詮釋：

（1）平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.

（2）今后我們有符號表示“因為"，用表示“所以”.

【典型例題】

類型一、平行線及平行公理

1.下列說法中正確的有（）.

①一條直線的平行線只有一條；②過一點與已知直線平行的直線只有一條；③因為a〃b,

c〃d,所以a〃d；④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

A.1個B2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】一條直線的平行線有無數(shù)條，故①錯；②中的點在直線外還是在直線上位置不明確,

所以②錯，③中b與c的位置關(guān)系不明確，所以③也是錯誤的；根據(jù)平行公理可知④正確，

故選A.

【總結(jié)升華】本題主要考察的是“平行公理及推論”的內(nèi)容，要正確理解必須要抓住關(guān)鍵字

詞及其重要特征，在理解的基礎(chǔ)上記憶，在比較中理解.

舉一反三：

【變式】如圖，在正方體中：

（1）與線段A6平行的線段；

（2）與線段AB相交的線段；

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(3)與線段AB既不平行也不相交的線段一

【答案】

(1)CD、A1B1、C1D1；

(2)BC、BB1、A1A、AD；

(2)A〔Di、DiD、B1C1、CC1.

C2.如圖所示，直線h〃12，點A、B在直線12上，點c、D在直線11上，若aABC的

面積為S”AABD的面積為S2，則().

A.S|>S2B.S,=S2C.St<S2D.不確定

【答案】B

【解析】因為h〃12，所以C、D兩點到b的距離相等.同時aABC和4ABD有共同的底

AB,所以它們的面積相等.

【總結(jié)升華】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結(jié)合.

舉一反三：

【變式】如圖，在兩個一大一小的正方形拼成的圖形中，小正方形的面積是10平方厘米，

陰影部分的面積為平方厘米.

【答’案】5提?。哼B接BF,則得AC〃BF,進而有S陰影=SziABc.

類型二、平行線的判定

C3.(江蘇)如圖所示，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件:

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67

①N1=N5；②N1=N7；③N2+/3=180°；④N4=N7,其中能判斷a〃b的

條件的序號是（）.

A.CD?B.?@C.D.??

【思路點撥】根據(jù)平行線的判定方法進行判斷.

【答案】A

【解析】①由/1=N5可推出a〃b,理由是同位角相等，兩直線平行.

②；Z1=Z7,又N7=N5,

/1=N5,可推出a〃b.

③N2+N3=180°不能推出2〃人

④N4=N7不能推出a〃b.

【總結(jié)升華】從題目的結(jié)論出發(fā)分析所要說明的結(jié)論能成立，必須具備的是哪些條件，再看

這些條件成立又需具備什么條件，直到追溯到已知條件為止.

舉一反三：

【變式1】如圖，下列條件中，不能判斷直線的是（）.

A./1=/3B./2=/3C./4=N5D.Z2+Z4=180°

4■/3

【答案】B

【：平行線及判定例1】

【變式2】已知，如圖，BE平分NABC,CF平分NBCD,Z1=Z2,求證：AB//CD.

【答案】

證明：；Z1=Z2

2/1=2/2,即/ABC=NBCD

/.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

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C^4.如圖所示，由（1）/1=/3,（2）NBAD=/DCB,可以判定哪兩條直線平行.

【思路點撥】試著將復(fù)雜的圖形分解成“基本圖形”.

【答案與解析】

解：（1）由/1=/3,

可判定AD〃BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

（2）由/BAD=ZDCB,Nl=/3得：

Z2=ZBAD-Z1=ZDCB-Z3=Z4（等式性質(zhì)），即N2=N4

可以判定AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

①②

綜上，由（1）（2）可判定：AD〃BC,AB〃CD.

【總結(jié)升華】本題探索結(jié)論的過程采用了“由因索果”的方法.即在條件下探索由這些條件

可推導(dǎo)出哪些結(jié)論，再由這些結(jié)論推導(dǎo)出新的結(jié)論，直到得出結(jié)果.

?^5.在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什

么？

【答案與解析】

bc

解：這兩條直線平行.理由如下：

如圖：]

*/b±a,c±a11

/.Nl=/2=90°

b//c（同位角相等，兩直線平行）.

【總結(jié)升華】本題的結(jié)論可以作為兩直線平行的判定方法.

舉一反三：

【變式】已知，如圖，EF1EG,GM1EG,N1=N2,AB與CD平行嗎？請說明理由.

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【答案】

EF1EG,GM1EG（已知），

...ZFEQ=ZMGE=90°（垂直的定義）.

又?:Nl=/2（已知），

，NFEQ-N1=NMGE-N2（等式性質(zhì)）,

即/3=N4.

AB〃CD（同位角相等，兩直線平行）.

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平行線及其判定（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.下列關(guān)于作圖的語句正確的是（）.

A.畫直線AB=10厘米

B.畫射線0B=10厘米

C.已知A,B,C三點，過這三點畫一條直線

D.過直線AB外一點畫一條直線和直線AB平行

2.下列判斷正確的個數(shù)是（）.

①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②兩條不相交的直線叫做平行線；③在同

一平面內(nèi)不相交的兩條射線是平行線.

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.若直線a〃b,b//c,則a〃c的依據(jù)是（）.

A.平行的性質(zhì)

B.等量代換

C.平行于同一直線的兩條直線平行

D.以上都不對

4.下列說法中不正確的是（）.

A.同位角相等，兩直線平行

B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行

5.如圖所示，給出了過直線/外一點P作已知直線1的平行線的方法，其依據(jù)是（）.

A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行D.以上都不對

6.如圖所示，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①N1=N5；②N1=N7；

③/2+/1=180°；④/1=/3.其中能判定a〃b的序號是（）.

二、填空題

7.兩條射線或線段平行，是指

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8.如圖所示，直線a,b被c所截，Zl=30°,Z2;Z3=l:5,則直線a與b的位置關(guān)系

是.

9.如圖，直線a和b被直線c所截，=,當/2=時，有直線a〃b成立.

10.如圖，已知若N1+已2=180°,則N3+N4=,ABCD.

11.小軍在一張紙上畫一條直線，再畫這條直線的平行線，然后依次畫前一條直線的平行線，

當他畫到第十條直線時，第十條直線與第一條直線的位置關(guān)系是.

12.已知直線a、b都過點M,且直線@〃1,1?〃1,那么直線2、1?是同一條直線,根據(jù)是.

三、解答題

13.讀下列語句，用直尺和三角尺畫出圖形.

（1）點P是直線AB外的一點，直線CD經(jīng)過點P,且CD與AB平行；

（2）直線AB與CD相交于點O,點P是AB、CD外的一點，直線EF經(jīng)過點P,且EF

〃AB,與直線CD相交于點E.

14.（黃石）已知如圖，/ABC=/ADC,BF、DE分別是NABC、/ADC的角平分線，Z1

=/2,那么CD與AB平行嗎?寫出推理過程.

15.如圖所示，Zl=60°,Z2=60°,Z3=100°,要使AB〃EF,N4應(yīng)為多少度，說

明理由.

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【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】D；

2.【答案】A；

【解析】①該點若在已知直線上，畫不出與已知直線平行的直線；②平行線的定義必須強

調(diào)在同一平面內(nèi)，如圖①中的AB與CC'不相交，但也不平行.③如圖②中，射線AB與

射線CD既不相交，也不平行.

①②

3.【答案】C；

【解析】這是平行線的傳遞性，其實質(zhì)是平行公理的推論.

4.【答案】C；

【解析】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

5.【答案】A；

【解析】這種作法的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行.

6.【答案】A；

【解析】N2和/3,N1和N3不是由“三線”產(chǎn)生的角.

二、填空題

7.【答案】射線或線段所在的直線平行；

8.【答案】平行；

【解析】由已知可得：Z2=30°,所以N1=N2,可得：a〃b.

9.【答案】70°；

10.【答案】180°,//；

【解析】Nl=/3,/2=4,可得：/3+/4=/1+/2=180".

11.【答案】平行；

【解析】平行公理的推論

12.【答案】過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；

【解析】這是平行公理的具體內(nèi)容.

三、解答題

13.【解析】

解：

14.【解析】

解：CD〃AB.理由如下：

BF、DE分別是/ABC、/ADC的角平分線,

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Z3=-ZADC,Z2=-ZABC.

22

NABC=NADC,

二/3=N2.

又?:Z1=Z2,

Z.Z3=Z1.

/.CD〃AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

15.【解析】

解：Z4=100°.理由如下：

Nl=60°,Z2=60°,

,Z1=Z2.

???AB〃CD.

又：Z3=Z4=100°,

JCD〃EF.

AB〃EF.

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平行線的性質(zhì)及平移（基礎(chǔ)）知識講解

【學(xué)習(xí)目標】

1.掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進行簡單的推理；

2.了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；

3.了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系

和區(qū)別，能用平移變換有關(guān)知識說明一些簡單問題及進行圖形設(shè)計.

【要點梳理】

要點一、平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

要點詮釋：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯角相等“、“同旁內(nèi)角互補”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不

可忽視前提“兩直線平行”.

（2）從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關(guān)系，是平

行線的性質(zhì).

要點二、兩條平行線間的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線

間的距離.

要點詮釋：

（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段

的長度就是兩條平行線間的距離.

（2）兩條平行線間的距離處處相等.

要點三、圖形的平移

1.定義：一個圖形沿某個方向移動，在移動的過程中，原圖形上所有的點都沿同一個方向

移動相等的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移.

要點詮釋：圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離.

2.性質(zhì)：

（1）平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.

（2）一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，連接各組對應(yīng)點的線段互相平行（或在同一條

直線上）且相等.

要點詮釋：

（1）“連接各組對應(yīng)點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離.

（2）要注意“連接各組對應(yīng)點的線段”與“對應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的

對應(yīng)點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.

3.作圖：

平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”一一定、找、

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移、連.

（1）定：確定平移的方向和距離；

（2）找：找出表示圖形的關(guān)鍵點；

（3）移：過關(guān)鍵點作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點；

（4）連：按原圖形順次連接對應(yīng)點.

【典型例題】

類型一、平行線的性質(zhì)

1.如圖所示，如果AB〃DF,DE〃BC,且Nl=65°.那么你能說出/2、N3、Z4

的度數(shù)嗎?為什么.

【思路點撥】本題已知條件中，包含了兩個層次：第一層次是由DE〃BC,可得/1=/4,

/1+/2=180°；第二層次是由DF〃AB,可得/3=/2或N3+/4=180°,從而解出N2、

/3、/4的度數(shù).

【答案與解析】

解：DE〃BC,

N4=N1=65°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

Z2+Z1=1800（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

，Z2=180°-Zl=180°-65°=115°.

又：DF〃AB（已知），

.../3=N2（兩直線平行，同位角相等）.

/./3=115°（等量代換）.

【總結(jié)升華】平行線的性質(zhì)：由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系.

舉一反三：

【變式】如圖，已知/J//2,/3///4，且Nl=48°,則N2=,Z3=,Z4=.

【答案】48°,132°,48°

類型二、兩平行線間的距離

@^2.如圖所示，直線li〃b，點A、B在直線L上，點C、D在直線h上，若aABC的

面積為S”AABD的面積為S2，則（）.

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A.S|>S2B.S|=S2C.St<S2D.不確定

【答案】B

【解析】因為h〃b，所以C、D兩點到12的距離相等.同時AABC和4ABD有共同的底

AB,所以它們的面積相等.

【總結(jié)升華】三角形等面積問題常與平行線間距離處處相等相結(jié)合.

類型三、圖形的平移

C%.如圖所示，平移△ABC,使點A移動到點A',畫出平移后的4A'B'C'.

A'

■

【思路點撥】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離，連接AA'后這個問題便獲

得解決.根據(jù)平移后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等，容易畫

出所求的線段.

【答案與解析】

解：如圖所示，

（1）連接AA',過點B作AA'的平行線/,在/上截取BB'=AA',則點B'就是點

B的對應(yīng)點.

（2）用同樣的方法做出點C的對應(yīng)點C',連接A'B'、B'C'、C'A',

就得到平移后的三角形A'B'C'.

【總結(jié)升華】平移一個圖形，首先要確定它移動的方向和距離.連接AA',這個問題就解

決了，然后分別把B、C按AA'的方向平移AA'的長度，便可得到其對應(yīng)點B'、C',

這就是確定了關(guān)鍵點平移后的位置，依次連接A'B',B'C',C'A'便得到平移后的

三角形A'B'C.

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?^4.（湖南益陽）如圖所示，將AABC沿直線AB向右平移后到達4BDE的位置，若

ZCAB=50°,ZABC=100°,則NCBE的度數(shù)為.

【答案】300

【解析】根據(jù)平移的特征可知：NEBD=/CAB=50°而/ABC=100°

所以NCBE=180°-ZEBD-ZABC=180°-50°-100°=30°

【總結(jié)升華】圖形在平移的過程有“一變兩不變”、“一變”是位置的變化，“兩不變”是形

狀和大小不變.本例中由AABC經(jīng)過平移得到aBED.則有AC=BE,AB=BD,BC=DE,

/A=NEBD,/C=NE,/ABC=NBDE.

舉一反三：

【變式】（上海靜安區(qū)一模）如圖所示，三角形FDE經(jīng)過怎樣的平移可以得到三角形

ABC（）.

A.沿EC的方向移動DB長

B.沿BD的方向移動BD長

C.沿EC的方向移動CD長

D.沿BD的方向移動DC長

【答案】A

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平行線的性質(zhì)及平移（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.下列說法：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行：③同位角相等,

兩直線平行；④垂直于同一條直線的兩條直線平行，其中是平行線的性質(zhì)的是（）.

A.①B.②和③C.④D.①和④

2.如圖所示，AB〃CD,若N2是N1的2倍，則N2等于（）.

N2的是（

B

2

D

4.如圖，點D是AB上的一點，點E是AC邊上的一點，旦NB=70°,ZADE=70°,

ZDEC=100°，則/（2是（）.

5.（南通）如圖所示，已知AD與BC相交于點O,CD〃0E〃AB.如果NB=40°,ZD

D.120°

6.（山東德州）如圖所示,直線h〃12,Zl=40°,42=75°,則N3等于（).

D.70°

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7.如圖所示的圖形中的小三角形可以由aABC平移得到的有

A.3個B.4個C.5個D.6個

二、填空題

8.如圖，AB〃CD,BC〃AD.AC_LBC于點C,CEJ_AB于點E,那么AB、CD間的距離

是的長，BC、AD間的距離是的長.

9.如圖所示，AABC經(jīng)過平移得到aA'B'C',圖中△_______與4________大小形

狀不變，線段AB與A'B'的位置關(guān)系是,線段CC'與BB'的位置關(guān)系是

10.（浙江湖州）如圖所示，已知CD平分NACB,DE〃AC,Zl=30°,則N2=度.

11.如圖，在四邊形ABCD中，若NA+NB=180°,則/C+ND=

12.將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙

片的一條邊上，則/1+/2=_______.

13.如圖所示，AB〃CD,且/BAP=60°-a,ZAPC=45°+a,NPCD=30°-a,貝Ua=

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三.解答題

14.如圖，已知AB〃CD,MG、NH分別平分/BMN與/CNM,試說明NH〃MG?

15.如圖，a〃b〃c,/1=60°，/2=36°,AP平分/BAC,求/PAQ的度數(shù).

16.如圖，將四邊形ABCD平移到四邊形EFGH的位置，根據(jù)平移后對應(yīng)點所連的線段平

行且相等，寫出圖中平行的線段和相等的線段.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】A；

【解析】兩直線平行角的關(guān)系.

,判定

2.【答案】C；

【解析】Z2+Zl=180°,又N2=2/l,所以N2=120°.

3.【答案】B；

【解析】N2與N1的對頂角是同位角的關(guān)系.

4.【答案】B；

【解析】因為NB=NADE=70°所以DE〃BC,所以NDEC+NC=180°,所以/C=

80°.

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5.【答案】B

【解析】注意到CD〃OE〃AB,由“兩直線平行，同位角相等"可知/AOE=ND=

30°,ZEOC=ZB=40°.故NAOC=NEOC+NAOE=40°+30°=70°.

6.【答案】C；

【解析】Z3=180°-40°-75°=65°.

7.【答案】C；

【解析】圖中小三角形ABDE,ACEF,ADGH,AEHI,△FIJ都可以由AABC平移得

至1I.

二、填空題

8.【答案】線段CE,線段AC；

9.【答案】ABC,A'B'C,平行，平行；

【解析】平移的性質(zhì).

10.【答案】60；

【解析】由已知得：N