中考數學試題分類匯編：二次函數(含解析)

(2013?郴州)如圖，Z\ABC中，AB=BC,AC=8,tanA=k,P為AC邊上一動點，設PC=x,

作PE〃AB交BC于E,PF〃BC交AB于F.

(1)證明：4PCE是等腰三角形；

(2)EM、FN、BH分別是△PEC、AAFP>AABC的高，用含x和k的代數式表示EM、

FN,并探究EM、FN、BH之間的數量關系；

(3)當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式.x為何值時，S有最大值？

并求出S的最大值.

考點：等腰三角形的判定與性質；二次函數的最值；解直角三角形.3718684

分析：(1)根據等邊對等角可得NA=NC,然后根據兩直線平行，同位角相等求出

ZCPE=ZA,從而得到/CPE=NC,即可得證；

(2)根據等腰三角形三線合一的性質求出CM」CP,然后求HlEM,同理求出FN、

2

BH的長，再根據結果整理可得EM+FN=BH；

(3)分別求出EM、FN、BH,然后根據SMCE，SAAPF,SAABC)再根據S=SAABC-SAPCE

-SAAPF,整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數的最值問題解答.

解答：(1)證明：VAB=BC,

.\ZA=ZC,

VPE/7AB,

.?.NCPE=NA,

.\ZCPE=ZC,

AAPCE是等腰三角形；

(2)解：?.,△PCE是等腰三角形，EM±CP,

CM=AcP=—,tanC=tanA=k,

22

EM=CM?tanC=—?k=—,

22

同理：FN=AN?tanA=^——-?k=4k--,

22

由于BH=AH?tanA=—x8?k=4k,

2

而EM+FN=i^+4k-西4k,

22

/.EM+FN=BH；

(3)解：當k=4時，EM=2x,FN=16-2x,BH=16,

=22=X

所以，SAPCE-^-X?2X=X,SAAPF=^-(8-x)?(16-2x)=(8-x),SAABC-^8X16=64,

222

S=SAABC_SAPCE-S/XAPF，

=64-x2-(8-x),

=-2X2+16X,

配方得，S=-2(x-4)2+32,

所以,當x=4時，S有最大值32.

點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數，二次函數的最

值問題，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的難點.

（2013?郴州）如圖，在直角梯形AOCB中，AB〃OC,ZAOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,

以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系.拋物線頂點為A,且經過點C.點P在

線段AO上由A向點O運動，點O在線段OC上由C向點O運動，QDLOC交BC于點D,

OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E，是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE'是菱形？

（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當t

為何值時，PB〃OD?

考點：二次函數綜合題.3718684

分析：（1）根據頂點式將A,C代入解析式求出a的值，進而得出二次函數解析式；

（2）利用菱形的性質得出AO與EE'互相垂直平分，利用E點縱坐標得出x的值,

進而得出BC,EO直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出Q點坐標，即可得

出答案；

（3）首先得出△APBS^QDO,進而得出空=細，求出m的值，進而得出答案.

DQQ0

解答：解：（1）VA（0,2）為拋物線的頂點，

/.設y=ax2+2,

???點C（3,0）,在拋物線上，

/.9a+2=0,

解得：a=-2,

9

拋物線為；y=--?X2+2；

9

（2）如果四邊形OEAE'是菱形，則AO與EE'互相垂直平分,

.?.EE'經過AO的中點，

...點E縱坐標為1,代入拋物線解析式得：

1=--？X2+2,

9

解得：x=±-1V2，

???點E在第一象限,

...點E為1),

設直線BC的解析式為尸kx+b,把B(1,2),C(3,0),代入得:

fk+b=2

l3k+b=0'

解得：金二一1,

[b=3

.?.BC的解析式為：y=-x+3,

將E點代入尸ax,可得出EO的解析式為:

[42

y=-z-x

由，O

y=-x+3

27-972

x=q-

得：

9A/2—6，

尸一L

次一9加,0),

???Q點坐標為：(

7

爽時，四邊形是菱形;

.?.當Q點坐標為(27—9,0)OEAE'

7

(3)法一：設t為m秒時，PB〃DO,又QD〃y軸，則有NAPB=NAOE=NODQ,

又：/BAP=NDQO,則有△APBs/xQDO,

.AB_AP

"QO^Q'

山題意得：AB=1,AP=2m,QO=3-3m,

又V點D在直線y=-x+3上，:.DQ=3m,

因此：解得：m=L

3-31n31r2

經檢驗：m」是原分式方程的解，

2

.?.當t二秒時，PB〃OD.

2

法二：作BH_LOC于H,則BH=AO=2,OH=AB=1,HC=OC-OH=2,

BH=HC,；.ZBCH=ZCBH=45",

易知DQ=CQ,

設t為m秒時PB〃OE,則△ABPS^QOD,

世幽易知AP=2m,DQ=CQ=3m,Q0=3-3m,

DQQO

.21rh1

3ir3-3m

解得m」，經檢驗m」是方程的解,

22

點評：此題主要考查了菱形的判定與性質以及頂點式求二次函數解析式以及相似三角形的

判定與性質等知識，根據數形結合得出△APBS/\QDO是解題關鍵.

(2013?衡陽)如圖，已知拋物線經過A(1,0),B(0,3)兩點，對稱軸是x=-l.

(1)求拋物線對應的函數關系式；

(2)動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從

M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段

AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.

①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；

②^AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.

考點：二次函數綜合題

分析：(1)利用頂點式、待定系數法求出拋物線的解析式；

(2)①當四邊形OMPQ為矩形時，滿足條件OM=PQ,據此列一元二次方程求解;

②AAON為等腰三角形時，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計算.

解答：解：(1)根據題意，設拋物線的解析式為：y=a(x+1)2+k,

?.?點A(1,0),B(0,3)在拋物線上，

.(4a+k=0

"la+k=3'

解得：a=-1,k=4,

二拋物線的解析式為:y=-(x+1)2+4.

(2)①：四邊形OMPQ為矩形，

；.OM=PQ,即3t=-(t+1)2+4,

整理得：t2+5t-3=O,

解得t=-5士商,由于仁一5一西<0,故舍去,

22

當t=R-5秒時,四邊形OMPQ為矩形；

②RtZXAOB中，OA=1,0B=3,：.tanA=3.

若AAON為等腰三角形，有三種情況：

答圖2答圖3

如答圖1所示:

過點N作NDJ_OA于點D,則D為OA中點，OD=』OA」,

22

2

(II)若ON=OA,如答圖2所示：

過點N作ND_LOA于點D,設AD=x,則ND=AD?tanA=3x,OD=OA-AD=1-x,

在RtZXNOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2,

即(1-X)2+(3x)2=1\解得Xi」，X2=0(舍去),

5

.?.X」，OD=l-xW,

55

.?.屋

5

(III)若OA=AN,如答圖3所示：

過點N作ND_LOA于點D,設AD=x,則ND=AD?tanA=3x,

在RtaAND中，山勾股定理得：ND2+AD2=AN2,

即(x)2+(3x)2=12,解得幣=逗，X2=-Y亞(舍去)，

1010

.,.OD=1-x=l-VlP,

_10

.g-叵

10_

綜上所述，當t為1秒、W杪，（1近）秒時，AAON為等腰三角形.

2510

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、解一元二次方程、勾股定理、解直

角三角形、矩形性質、等腰三角形的性質等知識點，綜合性比較強，有?定的難度.第

（2）問為運動型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動點的運動過程，進行分類討

論計算.

（2013,婁底）如圖，在△A8C中，ZB=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFP。的

一邊QP在8C邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

AHEF

（1）求證:

~\D~BC

（2）設EF=x,當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積;

（3）當矩形EFP。的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線D4勻速

向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為，秒，矩形EFPQ與

△A6C重疊部分的面積為S,求S與f的函數關系式，并寫出f的取值范圍.

（2013?湘西州）如圖，已知拋物線y=-'x?+bx+d與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交

于點C,若已知A點的坐標為A（-2,0）.

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；

（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；

（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由：

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使4ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條

件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數綜合題.

分析：(1)利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-上求出對稱

2a

軸方程；

(2)在拋物線解析式中，令x=0,可求出點C坐標；令y=0,可求出點B坐標.再

利用待定系數法求出直線BD的解析式：

(3)根據世口，ZAOC=ZBOC=90",可以判定△AOCs/\COB：

OCOB

(4)本問為存在型問題.若4ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類

討論，逐一計算，避免漏解.

解答：解：(1)?.?拋物線產-1x?+bx+4的圖象經過點A(-2,0),

4

-lx(-2)2+bx(-2)+4=0,

4

解得：b=^,

2

???拋物線解析式為2

y=--1X+3X+4,

42

2

又；y=-1X+.5X+4=-工(x-3)2+名，

4244

...對稱軸方程為：x=3.

(2)在y=-工*2+4<+4中，令x=0,得y=4,：.C(0,4)；

42

2

令y=0,B|J-lx+.?x+4=0,整理得x?-6x-16=0,解得：x=8或x=-2,

42

AA(-2,0),B(8,0).

設直線BC的解析式為y=kx+b,

把B(8,0),CCO,4)的坐標分別代入解析式，得：

(8k+b=0,

lb=4

解得k=--,b=4,

2

，直線BC的解析式為：y=--lx+4.

(3)可判定△AOCs/iCOB成立.

理山如下：在△AOC與△COB中，

VOA=2,OC=4,OB=8,

.OAOC

??‘‘二’'，

OCOB

XVZAOC=ZBOC=90°,

/.△AOC^ACOB.

(4)?.?拋物線的對稱軸方程為：x=3,

可設點Q(3,t),則可求得：

AC=]22+4'2A/5'

AQ=V52+t2=V25+t2,

CQ=732+(t-4)2=7(t-4)2+9-

i)當AQ=CQ時，

有我5+{2=4(t-4)2+二

25+t2=t2-8t+16+9,

解得t=0,

.?.Qi(3,0)；

ii)當AC=AQ時，

有、25+12=2泥，

金=-5,此方程無實數根，

此時4ACQ不能構成等腰三角形；

iii)當AC=CQ時，

有J(t-4)。+9=2匹,

整理得：t2-8t+5=0,

解得：t=4+VTT>__

.?.點Q坐標為：Q2(3,4+JTT),Qi(3,4-VTT).

綜上所述，存在點Q,使4ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Qi(3,0),Q2(3,

4+伍)，Q3(3,4-VTT).

點評：本題考查了二次函數與次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形的判定、勾

股定理、等腰三角形的判定等知識點.難點在于第(4)問，符合條件的等腰三角形

△ACQ可能有多種情形，需要分類討論.

(2013?益陽)拋物線y=2(x-3)2+1的頂點坐標是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

考點：二次函數的性質.

分析：根據頂點式解析式寫出頂點坐標即可.

解答：解：拋物線y=2(x-3)2+1的頂點坐標是(3,1).

故選A.

點評：本題考查了二次函數的性質，熟練掌握頂點式解析式是解題的關鍵.

(2013?益陽)閱讀材料：如圖1,在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A(X1,

yi),B(X2，y2)，AB中點P的坐標為(Xp,yp).由Xp-x1=X2-Xp,得Xp/1：里同理”二更孚2,

所以AB的中點坐標為(、1+",312).由勾股定理得

22

_2_2

2X2y

AB='I+2力，所以A、B兩點間的距離公式為

22

AB=^(x2-X1)+(y2-yj)-

注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立.

解答下列問題：

如圖2,直線1：y=2x+2與拋物線y=2x?交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的

垂線交拋物線于點C.

(1)求A、B兩點的坐標及C點的坐標；

(2)連結AB、AC,求證AABC為直角三角形；

(3)將直線1平移到C點時得到直線1',求兩直線1與1'的距離.

考點：二次函數綜合題.

分析：（1）根據y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，直接聯(lián)立求出交點坐標，進而得

出C點坐標即可；

（2）利用兩點間距離公式得出AB的長，進而得出PC=PA=PB,求出

ZPAC+ZPCB=90°,即/ACB=90。即可得出答案；

（3）點C作CGLAB于G,過點A作AHLPC于H,利用A,C點坐標得出H點

坐標，進而得出CG=AH,求出即可.

解答：y=2x+2

（1）解：由

y=2x2

r1-V5_1+述

解得：12X2『一

丫1=3-返y2-3+V5

貝IJA,B兩點的坐標分別為：A（1一黃,3-V5）,B（上匹，3+VB）.

22

?；P是A,B的中點，由中點坐標公式得P點坐標為（，3）,

XVPC±x軸交拋物線于C點，將x=代入y=2x2中得產，

???C點坐標為（,）.

（2）丁明：由兩點間距離公式得：

AB=｛一啰）:+［（3一焉

（3+粕）建5,PC=|3一|=,

；.PC=PA=PB,

.\ZPAC=ZPCA,ZPBC=ZPCB,

AZPAC+ZPCB=90°,即/ACB=90°,

...△ABC為直角三角形.

（3）解：過點C作CGLAB于G,過點A作AHLPC于H,

則H點的坐標為（,3-述），

???SAPAC=AP*CG=PC>AH,

???CG=AH=|1一手-

又直線1與1'之間的距離等于點C至U1的距離CG,

之間的距離為近.

直線1與1'

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及兩點之間距離公式和兩函數交點坐標求法

等知識，根據數形結合得出H點坐標是解題關鍵.

（2013,永州）如圖，已知二次函數y=（工一團『一4〃/（加〉0）的圖象與x軸交于A、B

兩點.

(1)寫出A、B兩點的坐標（坐標用機表示）

(2)若二次函數圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上，求二次函數的解析式

（3）設以AB為直徑的。M與y軸交于C、D兩點，求CD的長.

（2013?株洲）二次函數y=2x?+mx+8的圖象如圖所示，則m的值是（)

考點：拋物線與x軸的交點.3718684

分析：根據拋物線與x軸只有一個交點，△=(),列式求出m的值，再根據對稱軸在y軸的

左邊求出m的取值范圍，從而得解.

解答：解：由圖可知，拋物線與x軸只有一個交點，

所以，△=n?-4x2x8=0,

解得m=±8,

???對稱軸為直線x=--5L<0,

2X2

Am的值為8.

故選B.

點評：本題考查了二次函數圖象與x軸的交點問題，本題易錯點在于要根據對稱軸確定出m

是正數.

(2013?株洲)已知拋物線C1的頂點為P(1,0),且過點(0,-1).將拋物線Ci向下平移

4

h個單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D

四點(如圖)，且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是n?(m>0).

(1)求拋物線Ci的解析式的一般形式；

(2)當m=2時，求h的值；

(3)若拋物線C］的對稱軸與直線AB交于點E,與拋物線C2交于點F.求證：tan/EDF

-tanZECP=A.

2

考點：二次函數綜合題.

專題：代數幾何綜合題.

分析：(1)設拋物線C1的頂點式形式產a(X-1)2,(axO),然后把點(0,A)代入求出

a的值，再化為一般形式即可；

(2)先根據m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標，然后

利用拋物線解析式求出點C的橫劭標,再根據關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數,

縱坐標相同求出點A的坐標，然后根據平移的性質設出拋物線C2的解析式，再把點

A的坐標代入求出h的值即可：

(3)先把直線AB與x軸的距離是n?代入拋物線C1的解析式求出C的坐標，從而

求出CE,再表示出點A的坐標，根據拋物線的對稱性表示出ED,根據平移的性質

設出拋物線C2的解析式，把點A的坐標代入求出h的值，然后表示出EF,最后根據

銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證.

解答：(1)解：設拋物線C1的頂點式形式y(tǒng)=a(x-1)2,(awO),

:拋物線過點(0,—

4

，a(0-1)2=1,

4

解得a」，

4

拋物線G的解析式為y=l(x-1)2,

4

一般形式為y=-x2--x+—；

424

(2)解：當m=2時，m2=4.

：BC〃x軸，

二點B、C的縱坐標為4,

(x-1)2=4,

4

解得X]=5,x2=-3,

?,?點B(-3,4),C(5,4),

???點A、C關于y軸對稱，

，點A的坐標為(-5,4),

設拋物線C,的解析式為y-1(X-1)2-h,

則3(-5-1)2-h=4,

解得h=5；

(3)證明：?.?直線AB與x軸的距離是n?,

.?.點B、C的縱坐標為n?,

.?.工(x-1)2=m2,

4

解得X|=l+2m,x2=l-2m,

.,.點C的坐標為(l+2m,m2),

又,:拋物線G的對稱軸為直線x=l,

ACE=l+2m-l=2m,

點A、C關于y軸對稱，

.,.點A的坐標為(-1-2m,m2),

AE=ED=1-(-1-2m)=2+2m,

2

設拋物線C2的解析式為y](x-1)-h,

則工(-1-2m-1)2-h=m2,

4

解得h=2m+l,

EF=h+m2=m2+2m+l,

99

AtanZEDF-tanZECP=^-+2"】--8」，

EDCE2+2m2m222

/.tanZEDF-tanZECP=—.

2

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象

與結合變換，關于y軸對稱的點的坐標特征，拋物線上點的坐標特征，銳角的正切的

定義，(3)用m表示出相應的線段是解題的關鍵，也是本題的難點.

(2013?巴中)已知二次函數y=ax?+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是

()

A.ac>0

B.當x>l時，y隨x的增大而減小

C.b-2a=0

D.x=3是關于x的方程ax'+bx+cR（a*0）的一個根

考點：二次函數圖象與系數的關系；二次函數的性質.

分析：由函數圖象可得拋物線開口向上，得到a大于0,乂拋物線與y軸的交點在y軸負半

軸，得到c小于0,進而得到a與c異號，根據兩數相乘積為負得到ac小于0,選項

A錯誤；

由拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,得到對稱軸右邊y隨x的增大而增大，選項

B錯誤；

由拋物線的對稱軸為x=l,利用對稱軸公式得到2a+b=0,選項C錯誤；

由拋物線與x軸的交點為（-1,0）及對稱軸為x=l,利用對稱性得到拋物線與x軸

另一個交點為（3,0）,進而得到方程ax2+bx+c=0的有一個根為3,選項D正確.

解答：解：由二次函數產ax2+bx+c的圖象可得：拋物線開口向上，即a>0,

拋物線與y軸的交點在y軸負半軸，即c<0,

.*.ac<0,選項A錯誤；

由函數圖象可得：當x<l時，y隨x的增大而減??；

當x>l時，y隨x的增大而增大，選項B錯誤；

對稱軸為直線x=l,-電=1,即2a+b=0,選項C錯誤；

2a

山圖象可得拋物線與x軸的一個交點為（-1,0）,又對稱軸為直線x=l,

.,.拋物線與x軸的另一個交點為（3,0）,

則x=3是方程ax2+bx+c=0的一個根，選項D正確.

故選D.

點評：此題考查了二次函數圖象與系數的關系，以及拋物線與x軸的交點，難度適中.二次

函數產ax2+bx+c=0（aw0）,a的符合由拋物線的開口方向決定，c的符合由拋物線與

y軸交點的位置確定，b的符號由a及對稱軸的位置決定，拋物線的增減性山對稱軸

決定，當拋物線開口向上時，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊y隨x的

增大而增大；當拋物線開口向下時，對稱軸左邊y隨x的增大而增大，對稱軸右邊y

隨x的增大而減小.此外拋物線解析式中y=0得到一元二次方程的解即為拋物線與x

軸交點的橫坐標.

（2013?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O,A點坐標為（4,0）,B點坐

標為（-1,0）,以AB的中點P為圓心，AB為直徑作。P的正半軸交于點C.

（1）求經過A、B、C三點的拋物線所對應的函數解析式；

(2)設M為(1)中拋物線的頂點，求直線MC對應的函數解析式;

(3)試說明直線MC與。P的位置關系，并證明你的結論.

考點：二次函數綜合題；解二元一次方程組；待定系數法求一次函數解析式；二次函數的最

值；待定系數法求二次函數解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切線的判定.

專題：計算題.

分析：(1)求出半徑，根據勾股定理求出C的坐標，設經過A、B、C三點拋物線解析式是

y=a(x-4)(x+1),把C(0,2)代入求出a即可；

(2)求出M的坐標，設直線MC對應函數表達式是產kx+b,把C(0,2),M(,|,

名)代入得到方程組，求出方程組的解即可；

8

(3)根據點的坐標和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據勾股定理的逆定

理得出NPCD=90。，即可求出答案.

解答：解：(1)VA(4,0),B(-1,0),

；.AB=5,半徑是PC=PB=PA至，

2

在△CPO中，由勾股定理得：OC='cp2_052=2,

AC(0,2),

設經過A、B、C三點拋物線解析式是產a(x-4)(x+1),

把C(0,2)代入得：2=a(0-4)(0+1),

/.a=-―,

2

r.y=-A(x-4)(x+1)=-AX2+.?X+2,

222

答：經過A、B、C三點拋物線解析式是y=-L2+^x+2.

22

(2)y=-1X2+^X+2=-1(x*\§

222L8

M(W25),

28

設直線MC對應函數表達式是y=kx+b,

把C（0,2）,M（旦25）代入得：I8~2,

28lb=2

解得：k-,b=2,

4

/.y=—x+2,

4

產衛(wèi)x+2.

4

答：直線MC對應函數表達式是廣魯＜+2.

（3）MC與。P的位置關系是相切.

證明：設直線MC交x軸于D,

當y=0時，0=-1x+2,

x=10Di

AD（-圖，0）,

3

2

22_100-400

在△COD中，由勾股定理得：CD=2+企）------,

3936

2

PC2=（至）=25=225

2436

PD三鎊7席

.*.CD2+PC2=PD2,

二ZPCD=90°,

APCIDC,

,/PC為半徑，

.?.MC與。P的位置關系是相切.

本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理及勾股定理

的逆定理，解二元一次方程組，二次函數的最值，切線的判定等知識點的連接和掌握,

能綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵.

（2013,成都）平面直角坐標系xOy中，直線y=H（k為常數）與拋物線y=2交

于A,B兩點,且A點在y軸左側，P點的坐標為（0,-4）,連接PA,P8.有以下說法：①

PO-^PAPB；②當我>0時，（P4+AOXPB—8。）的值隨k的增大而增大；③當

卜=一①時,BP'BOBA；④APA8面積的最小值為4#.其中正確的是.（寫

3

出所有正確說法的序號）③④

（2013,成都）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-；/+云+。（b,c為常數）的頂

點、為P,等腰直角三角形A6C的定點A的坐標為（0,-1）,C的坐標為（4,3）,直角頂點8

在第四象限.

（1）如圖，若該拋物線過A,8兩點，求該拋物線的函數表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點。.

i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q

三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；

ii）取BC的中點N,連接NP,BQ.試探究一是否存在最大值？若存在，求出該

NP+BQ

最大值；若不存在，請說明理由.

備用圖

12c,

y=——x2+2x-l

2

⑵M的坐標是（1-收-布-2）、（1+V5,-2）、（4,-1）、（2,-3）、

(-2,-7)

的最大值是叵

(3)PQ

NP+BQ

h

(2013?達州)二次函數y=a/+云+c的圖象如圖所示，反比例函數y=—與一次函數

X

解析：由二次函數圖象，知a<0,c>0,-->0,所以，b>0,

2a

所以，反比例函數圖象在一、三象限，排除C、D,直線y=cx+a中，因為aVO,所以，選

Bo

(2013?達州)如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點A(5,0),交y軸于點B,A0是

OM的直徑，其半圓交AB于點C,且AC=3。取B0的中點D,連接CD、MD和0C。

(1)求證：CD是。M的切線；

(2)二次函數的圖象經過點D、M、A,其對稱軸上有一動點P,連接PD、PM,^PDM

的周長最小時點P的坐標；\

(3)在(2)的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q,使

n’SpDM?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

6

解析：(1)證明：連結CM.

VOA為。M直徑，

.,.ZOCA=90°.

.\Z0CB=90°.

為0B中點,

.\DC=DO.

.,.ZDC0=ZD0C.............(1分)

,.,MO=MC,

ZMC0=ZM0C...........(2分)

/.ZDCM=ZDC0+ZMCO=ZDOC+ZMOC=ZD0M=90°

又；點C在。M上，

，DC是。M的切線............(4分)

(2)解：在RtaACO中，有0C=JQ42一sc?.

又??》點坐標(5,0),AC=3,

.,.0C=752-32=4.

OCOB

??tanNOAC----=

ACOA

z20

=

..解得0B—.

g=3

10

又為OB中點,；.0D=—.

3

D點坐標為（0,—）.（5分）

3

連接AD,設直線AD的解析式為y=kx+b,則有

,10

n,=1-0--r

3'j解得<

5k+b=0.

3

???直線AD為y―2x+二10.

33

,二次函數的圖象過M(-,0)>A(5,0),

2

...拋物線對稱軸X=—（6分）

4

?.?點M、A關于直線x=”對稱，設直線AD與直線x=”交于點P,

44

APD+PM為最小.

又為定長，

滿足條件的點P為直線AD與直線x=”的交點.

（7分）

4

當爐絲時尸215105

x—+—=—

43436

故P點的坐標為（竺,

（8分）

46

(3)解：存在.

,**S△PDM=SADAM-SAPAM

=—AM?y廠—AM?yp

22

=-AM(y()-yP).

2

SAQAM=-AM?Iy。J,由(2)知D(0,—),P(—,—),

21c|346

—X(---)=yq解得y()二土—""（9分）

63612

:二次函數的圖像過M(0,-)>A(5,0),

2

設二次函數解析式為y=a(x-2)(x-5).

2

又?.?該圖象過點D(0,—),

3

,5、/、104

aX(——)X(—5)——,a=—.

2315

45

；.y=—(X--)(x-5).............(10分)

152

又。?C點在拋物線上,且yq=±?,

12

/.—(X--)(x-5)=+—.

15212

解之，得x尸修”行生還，xl.

444

.?.點Q的坐標為（I*',,9）,或（15二5衣,上），或（”，-A）.......（12

412412412

分）

（2013?德州）下列函數中，當心0時，y隨x的增大而增大的是

A.y=-x+lB.y=x2-lC.y--D.y=-x2+1

x

（2013?德州）函數y=f+bx+c與y=x的圖象如圖所示，有以工結論：

①/-4c>0；②b+c+l=0；③3b+c+6=0；

④當l<x<3時，%2+(&-l)x+c<0：

其中正確的個數是：()

A.1B.2

C.3D.4

第11題圖

（2013?德州）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形460,。為坐標原點，物=1,tan/窗/3,

將此三角形繞原點。逆時針旋轉90°,得到△〃宛：拋物線丁=0^+"+<?經過點4B、C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點夕是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t.

①設拋物線對稱軸/與x軸交于一點笈連接用交CD千F,求出當■與△。切相似時

點一的坐標.

②是否存在一點P,使△尸CO的面積最大？若存在，求出△陽9面積的最大值；若不存在，

請說明理由.

（2013?廣安）已知二次函數產ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=l.下列結論:

①abc>0,②2a+b=O,③b?-4ac〈O,?4a+2b+c>O

其中正確的是（）

A.①③B.只有②C.②④D.③④

考點：二次函數圖象與系數的關系.

分析：由拋物線開口向下，得到a小于0,再由對稱軸在y軸右側，得到a與b異號，可得

出b大于0,又拋物線與y軸交于正半軸，得到c大于0,可得出abc小于0,選項①

錯誤；山拋物線與x軸有2個交點，得到根的判別式b?-4ac大于0,選項②錯誤；

由x=-2時對應的函數值小于0,將x=-2代入拋物線解析式可得出4a-2b+c小于0,

最后山對稱軸為直線x=l,利用對稱軸公式得到b=-2a,得到選項④正確，即可得到

正確結論的序號.

解答：解：???拋物線的開口向上，，a>0,

V-_L>0,.,.b<0,

2a

?.?拋物線與y軸交于正半軸，；.c>0,

/.abc<0,①錯誤；

；對稱軸為直線x=l,-上=1,即2a+b=0,②正確,

?.?拋物線與x軸有2個交點，.?.b2-4ac>0,③錯誤；

???對稱軸為直線x=l,

.,.x=2與x=0時的函數值相等，而x=0時對應的函數值為正數，

A4a+2b+c>0,④正確；

則其中正確的有②④.

故選C.

點評：此題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數產ax?+bx+c（aM）,a的符號由拋

物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y

軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數，決定了b2-4ac的符號，此外還要注

意x=l,-1,2及-2對應函數值的正負來判斷其式子的正確與否.

（2013?廣安）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線產ax2+bx+c經過A、B、C三點,

已知點A（-3,0）,B（0,3）,C（1,0）.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，

垂足為F,交直線AB于點E,作PDJ_AB于點D.

①動點P在什么位置時，4PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；

②連接PA,以AP為邊作圖示一側的正方形APMN,隨著點P的運動，正方形的大小、位

置也隨之改變.當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標.（結

果保留根號）

考點：二次函數綜合題.

專題：代數幾何綜合題.

分析：（I）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解

答即可；

（2）①根據點A、B的坐標求出OA=OB,從而得到AAOB是等腰直角三角形，根

據等腰直角三角形的性質可得NBAO=45。，