湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高考適數(shù)學(xué)應(yīng)性演練一試題含答案

/2024屆高考適應(yīng)性演練（一）數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生勿將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.18 B.27 C.45 D.634.若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.7 B.8 C.9 D.105.折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺(tái)的體積為（）圖1 圖2A. B. C. D.6.已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，若，，三個(gè)數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7.已知，，，則有（）A. B. C. D.8.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線，，平面，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，，，則10.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方，在軸的下方），過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（）A.當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，B.若，則直線的斜率為2C.存在直線使得D.若，則直線的傾斜角為11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù).則（）A.B.C.是與的等差中項(xiàng)D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為_(kāi)_____.13.在四面體中，，，若，則四面體體積的最大值是______，它的外接球表面積的最小值為_(kāi)_____.14.已知反比例函數(shù)圖象上三點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別，與，過(guò)作直線的垂線，垂足為.若恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）15.（13分）某商場(chǎng)舉行“慶元宵，猜謎語(yǔ)”的促銷(xiāo)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)標(biāo)號(hào)為，，的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語(yǔ).每次隨機(jī)抽取2個(gè)小球，答對(duì)一個(gè)小球中的謎語(yǔ)才能回答另一個(gè)小球中的謎語(yǔ)，答錯(cuò)則終止游戲.已知標(biāo)號(hào)為1，2，3的小球個(gè)數(shù)比為，且取到異號(hào)球的概率為.（1）求盒中2號(hào)球的個(gè)數(shù)；（2）若甲抽到1號(hào)球和3號(hào)球，甲答對(duì)球中謎語(yǔ)的概率和對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)金如表所示，請(qǐng)幫甲決策猜謎語(yǔ)的順序（猜對(duì)謎語(yǔ)的概率相互獨(dú)立）球號(hào)1號(hào)球3號(hào)球答對(duì)概率0.80.5獎(jiǎng)金10050016.（15分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且（1）求；（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求.17.（15分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn)，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點(diǎn).（1）若，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，求棱和平面所成角的余弦值；（2）求的最小值與最大值.18.（17分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任作兩條直線，分別與拋物線交于，與，.（1）若，的斜率分別為，，求四邊形的面積；（2）設(shè)，，，（i）找到，滿足的等量關(guān)系；（ii），交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.19.（17分）置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合，的函數(shù)稱為次置換.滿足對(duì)任意，的置換稱作恒等置換.所有次置換組成的集合記作.對(duì)于，我們可用列表法表示此置換：，記，，，…，，，.（1）若，，計(jì)算；（2）證明：對(duì)任意，存在，使得為恒等置換；（3）對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來(lái)的牌型？請(qǐng)說(shuō)明理由.

長(zhǎng)沙市一中2024屆高考適應(yīng)性演練（一）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.A【解析】由，得或，所以，由，得，所以，所以.故選：A.2.A【解析】由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第一象限.故選：A3.C【解析】由題意得，，成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，即，解得.故選：C4.A【解析】因?yàn)闉橐唤M從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，，所以，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：A5.D【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，，，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：，故選：D.6.A【解析】由函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，即，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根據(jù)，則，因?yàn)?，，可得，，又因?yàn)椋?，適當(dāng)調(diào)整可以是等差數(shù)列和等比數(shù)列，不妨設(shè)，可得，解得，，所以，，所以，，則不等式，即為，解得，所以不等式的解集為.故選：A.7.C【解析】令，，則.當(dāng)時(shí)，有，，所以，所以，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，即，所以令，，則在時(shí)恒大于零，故為增函數(shù)，所以，，而，所以，所以，故選：C8.D【解析】設(shè)雙曲線焦距為，則、，不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.ABC【解析】選項(xiàng)A中，可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，與也可能相交，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，與也可能相交，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確.故選：ABC.10.AD【解析】易知，可設(shè)，設(shè)，，與拋物線方程聯(lián)立得，則，，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，此時(shí)，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；由上可知，即，故C錯(cuò)誤；若，又知，，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.故選：AD11.ACD【解析】因?yàn)椋?，兩式相減得，所以的周期為4.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即，令，得.因?yàn)?，令，得，所以，?因?yàn)?，令，得，所以，所以，所以，故A正確.因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，所以，所以是與的等差中項(xiàng)，故C正確.因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.【解析】由題設(shè)，所以.故答案為：13.①. ②.【解析】由余弦定理可得，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故面積的最大值為，，由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，故，由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，設(shè)四面體外接球半徑為，則，其中，分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故外接球的表面積為，故答案為：，14.【解析】由題意得：反比例函數(shù)為，因?yàn)辄c(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，所以，，所以，記，由題意得：恒成立，當(dāng)，則，解得：，由于，故；下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立，即因?yàn)槭情_(kāi)口向上的二次函數(shù)，所以；②，令，則，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞減，故.所以當(dāng)時(shí)，恒成立，故的取值范圍是故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分）15.解：（1）由題意可設(shè)，，號(hào)球的個(gè)數(shù)分別為，，，則取到異號(hào)球的概率，，即.解得.所以盒中2號(hào)球的個(gè)數(shù)為4個(gè).（2）若甲先回答1號(hào)球再回答3號(hào)球中的謎語(yǔ)，因?yàn)椴聦?duì)謎語(yǔ)的概率相互獨(dú)立，記為甲獲得的獎(jiǎng)金總額，則可能的取值為0元，100元，600元，，，.的分布列為01006000.20.40.4的均值為，若甲先回答3號(hào)球再回答1號(hào)球，因?yàn)椴聦?duì)謎語(yǔ)的概率相互獨(dú)立，記為甲獲得的獎(jiǎng)金總額，則可能的取值為0元，500元，600元，.的分布列為05006000.50.10.4的均值為，因?yàn)椋酝扑]甲先回答3號(hào)球中的謎語(yǔ)再回答1號(hào)球中的謎語(yǔ).16.解：（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，設(shè)，，，由得：，整理得，則17.解：（1）以正方體的中心為原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，，所以，所以所以棱和平面所成角的余弦值為.（2）由條件，可設(shè)，，，記，，，則①（其中）記，先求的最小值：由①及均值不等式，所以所以所以當(dāng)時(shí)，可取到最小值.再求的最大值：由①知所以由柯西不等式，，即，故當(dāng)時(shí)，可取到最大值.綜上所述，的最小值為，最大值為.18.解：（1）由已知，，聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，，則，，所以，聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，所?（2）（i）因?yàn)?，所以的直線方程為，整理得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以①，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以；（ii）證明：由（i）同理可得②，同理可得，，聯(lián)立與方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，，，由①②得，代入點(diǎn)縱坐標(biāo)則，所以點(diǎn)坐標(biāo)在直線上.19.解：（1），由題意可知，；（2）解法一：①若，則為恒等置換；②若存在兩個(gè)不同的，使得，不妨設(shè)，，則.所以，即為恒等置換；③若存在唯一的，使得，不妨設(shè)，則或.當(dāng)時(shí)，由（1）可知為恒等置換；同理可知，當(dāng)時(shí)，也是恒等置換；④若對(duì)任意的，，則情形一：