2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形中的相似三角形綜合》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷及答案

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形中的相似三角形綜合》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷及答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖：在中，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)

(1)如圖（1），與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖（2），若點(diǎn)E為中點(diǎn)，那么與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖（3），在（2）的條件下，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，圖中共有幾對(duì)相似三角形？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)．(4)在（2）（3）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．2．（1）九（I）班數(shù)學(xué)興趣小組認(rèn)真探究了課本P91第13題：如圖1，在正方形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，圖中有哪幾對(duì)相似三角形？把它們表示出來(lái)，并說(shuō)明理由．①小華很快找出，他的思路為：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，則，，利用“兩邊分別成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”即可證明，請(qǐng)你結(jié)合小華的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；②小麗發(fā)現(xiàn)圖中的相似三角形共有三對(duì)，而且可以借助于與中的比例線段來(lái)證明與它們都相似．請(qǐng)你根據(jù)小麗的發(fā)現(xiàn)證明其中的另一對(duì)三角形相似；【拓展創(chuàng)新】（2）如圖2，在矩形中，E為的中點(diǎn)，交于F，連結(jié)．（）求證：.

3．如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE，PF分別交AC于點(diǎn)G，H．（1）求△PEF的邊長(zhǎng)；（2）在不添加輔助線的情況下，當(dāng)F與C不重合時(shí)，從圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；（3）求證：PH﹣BE=1．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB．（1）寫(xiě)出所有相似三角形;（2）若，，求的長(zhǎng).5．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．（1）在圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的長(zhǎng)．6．如圖，E是?ABCD的邊CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)O，交AD于F．（1）圖中的相似三角形共有．A.7對(duì)；B.6對(duì)；C.5對(duì)；D.4對(duì)．（2）求證：OB2＝OE?OF．7．定義：若一個(gè)三角形的面積是另一個(gè)三角形面積的倍，就說(shuō)這個(gè)三角形是另一個(gè)三角形的“倍三角形”，另一個(gè)三角形是這個(gè)三角形的“分之一三角形”．如圖1，的中線把三角形分成面積相等的兩部分，即和的面積都是面積的一半，所以是或的“2倍三角形”，和都是的“2分之一三角形”．(1)①如圖2，是的“2倍三角形”，那么是的“________分之一三角形”；②若點(diǎn)是的重心，連接，，則是的“________倍三角形”；(2)在中，，分別延長(zhǎng)邊，到點(diǎn)，，連接．已知，是的“16倍三角形”．求證：與是相似三角形；(3)如圖3，在矩形中，，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，．已知是的“4倍三角形”，求的最小值．8．小明和小剛走進(jìn)教室，跟隨李老師探究“矩形折疊中的相似三角形”問(wèn)題．請(qǐng)你一同作答：如圖，已知在矩形中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），先將矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于點(diǎn)H．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】寫(xiě)出圖1中一個(gè)與相似的三角形：．(2)【遷移探究】當(dāng)與的交點(diǎn)H恰好是的中點(diǎn)時(shí)，如圖2．求陰影部分的面積．(3)【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在的中垂線上時(shí)，求的長(zhǎng)．9．下面是小新同學(xué)在“矩形折疊中的相似三角形”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．如圖，已知在矩形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），先將矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于點(diǎn)H．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：寫(xiě)出圖1中一個(gè)與相似的三角形：______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）(2)遷移探究：如圖2，若，，當(dāng)與的交點(diǎn)H恰好是的中點(diǎn)時(shí)，求陰影部分的面積．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．10．【感知】（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的一個(gè)三等分點(diǎn)，且．連結(jié)，交于點(diǎn)G，求值．小明發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)D作的平行線或過(guò)E作的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問(wèn)題的答案．請(qǐng)你根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫(xiě)出求解過(guò)程【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在中，D為上一點(diǎn)，，連結(jié)，若，交于點(diǎn)E、F．若，，，則的長(zhǎng)為．【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)G、M，若，若的面積為2，則的面積為．11．如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F左邊），以時(shí)為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE，PF分別交AC于點(diǎn)G，H．（1）求△PEF的邊長(zhǎng)；（2）在不添加輔助線的情況下，當(dāng)F與C不重合時(shí)，從圖中找出一對(duì)相似三角形（不含全等形），并證明；（3）若△PEF的邊EF在線段BC上以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)．設(shè)BE的長(zhǎng)為，PH的長(zhǎng)為，請(qǐng)你寫(xiě)出與的函數(shù)式，并指出函數(shù)自變量的取值范圍．12．小波在復(fù)習(xí)相似三角形一章時(shí)，溫故后進(jìn)行了操作與拓展．請(qǐng)幫助他解決以下問(wèn)題：（1）小波想作出一個(gè)內(nèi)接于最大正方形．如圖1，在中，邊上的高為4．他先在邊上任取了一點(diǎn)，作出正方形，使在邊上，在內(nèi)，請(qǐng)你在及其內(nèi)部，以點(diǎn)B為位似中心作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫(xiě)作法）．（2）求（1）中作出的正方形的邊長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，在射線上截取，連接（如圖2）．當(dāng)時(shí)，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．13．如圖，在中，，，．在它的內(nèi)部作一個(gè)矩形，使得在邊上，、分別在邊、上．設(shè)，矩形的面積為．(1)寫(xiě)出圖中的一對(duì)相似三角形；(2)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)若、是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，判斷線段與（2）中函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，并求出對(duì)應(yīng)的取值范圍．14．下面是李老師在“矩形折疊中的相似三角形”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．如圖，已知在矩形中，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），先將矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于點(diǎn)H．(1)觀察發(fā)現(xiàn)寫(xiě)出圖1中一個(gè)與相似的三角形：．(2)遷移探究當(dāng)與的交點(diǎn)H恰好是的中點(diǎn)時(shí)，如圖2．①設(shè)，請(qǐng)判斷的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求陰影部分的面積．(3)拓展應(yīng)用當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在矩形的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．15．在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點(diǎn)，連接、、，發(fā)現(xiàn)和為定值．（1）①__________；②__________；③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關(guān)系，請(qǐng)你按他的思路證明①②．（2）小明又用三個(gè)相似三角形（兩個(gè)大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：①__________（用k的代數(shù)式表示）②__________（用k、的代數(shù)式表示）參考答案1．(1)相似，理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)圖中共有6對(duì)相似三角形，，，，(4)【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．（1）結(jié)論：．利用平行四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)相似三角形的判定即可證明．（2）結(jié)論：．利用平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定即可得出結(jié)論．（4）由（2）知，則，再證明，得，即可求解．【詳解】（1）解：理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，．（2）解：，理由：是BC中點(diǎn)，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，由（1），，．（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，即，，∴；，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，即，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴．∴圖中共有6對(duì)相似三角形，，，，．（4）解：由（2）知：，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴，，是BC中點(diǎn)，，∴，∴，∴．2．（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②存在，當(dāng)a＝時(shí)，△AEF與△BFC相似【分析】對(duì)于（1）①，根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”得出答案；對(duì)于②，找出相似的三角形，再證明即可；對(duì)于（2）①，結(jié)合矩形的性質(zhì)根據(jù)同角的余角相等得，進(jìn)而得出，再根據(jù)，可得，得出答案；對(duì)于②，先根據(jù)，得，表示，，先根據(jù),得，判斷取值；再根據(jù)，得，求求出答案即可.【詳解】（1）①證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)，則，，∴，，∴．∵四邊形是正方形，∴，∴；②解：圖中還有，，下面證明，∵，∴，.∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴；②存在a值，使得與相似，理由如下：由題意得：，，，由①知，∴，即，解得，∴.若,則，即，此時(shí)方程無(wú)解，這種情況不存在；若，則，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，靈活選擇相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（1）2；（2）△APH∽△CFH；（3）見(jiàn)解析【詳解】解：（1）過(guò)P作PQ⊥BC于Q．∵矩形ABCD中，∠B=90°，即AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ=AB=，∵△PEF是等邊三角形，∴∠PFQ=60°．在Rt△PQF中，PF===2，∴△PEF的邊長(zhǎng)為2；（2）△APH∽△CFH．理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH；（3）在Rt△ABC中，AB=，BC=3，∴AC==2，∴∠ACB=30°，∵△PEF是等邊三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°，∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+FC=3﹣EF=3﹣2=1，∴PH﹣BE=1．4．（1）△DEF∽△DAB∽△BCD；（2）10.【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)即可得出相似的三角形；（2）證明△DEF∽△DAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出AB的長(zhǎng)度，又CD=AB，即得出CD的長(zhǎng)度．【詳解】（1）△DEF∽△DAB∽△BCD理由如下：∵在平行四邊形ABCD中，EF∥AB∴EF∥AB∥CD∴△DEF∽△DAB∽△BCD（2）∵DE：EA=2：3，∴DE：DA=2：5又∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定定理以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）△ADF∽△DEC，見(jiàn)解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)∠AFE=∠B且四邊形ABCD是平行四邊形得出∠AFD=∠C，再根據(jù)平行得出∠ADF=∠DEC，從而證明△ADF∽△DEC；（2）由（1）的相似對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算出DE，再根據(jù)勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)度．【詳解】（1）△ADF∽△DEC理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF與△DEC中，，∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE=．在Rt△ADE中，AE=【點(diǎn)睛】本題是一道平行四邊形與相似綜合的題目，難度一般，掌握相關(guān)的線段與角度之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．6．（1）B；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB∥DC，根據(jù)相似三角形的判定方法即可得解；（2）由AB∥CD可得△AOB∽△COE，即可得到OE：OB＝OC：OA，由AD∥BC可得△AOF∽△COB，即可得到OB：OF＝OC：OA，進(jìn)而可得到OB2＝OF?OE．【詳解】解：（1）∵ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AB∥DC，∵△ABO∽△CEO，△AOF∽△COB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五對(duì)，還有一對(duì)特殊的相似即△ABC≌△ADC，∴共6對(duì)，故選B；（2）∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．∴OE：OB＝OC：OA；∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴OB：OF＝OC：OA．∴OB：OF＝OE：OB，即OB2＝OF?OE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握證線段的乘積相等，通常轉(zhuǎn)化為成比例式形式，再證明所在的三角形相似．7．(1)①3；②3(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）①首先根據(jù)題意得到的面積是面積的3倍，然后根據(jù)“分之一三角形”的概念求解即可；②根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)，求出，然后根據(jù)三角形重心的性質(zhì)和中線的性質(zhì)表示出，進(jìn)而根據(jù)“倍三角形”的概念求解即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和“倍三角形”的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合即可證明出；（3）作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意得到的面積是面積的4倍，的面積是面積的3倍，然后證明出，得到，求出，然后得到，，然后證明出當(dāng)點(diǎn)E，P，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即的長(zhǎng)度，當(dāng)時(shí)，最小，然后求出，，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】（1）①∵是的“2倍三角形”，∴的面積是面積的2倍，∴的面積是面積的3倍，∴是的“3分之一三角形”；②如圖所示，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是是的重心∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)∴設(shè)∴∵點(diǎn)O是的重心∴∴∴∴∴是的3倍∴是的“3倍三角形”；（2）如圖所示，連接，∵∴∴∵是的“16倍三角形”∴∴∴∴∴，即∵，∴∴，∴又∵∴；（3）如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，∵是的“4倍三角形”，∴的面積是面積的4倍∴的面積是面積的4倍∴的面積是面積的3倍∵∴∵∴∴，即∴∵的面積是面積的3倍∴∴∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴∴∴當(dāng)點(diǎn)E，P，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即的長(zhǎng)度，∴當(dāng)時(shí)，最小∵，，∴∴由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，∴∴．∴的最小值為，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線求解．8．(1)或（寫(xiě)出一個(gè)即可）(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等可得出相似的三角形為或；（2）由題意結(jié)合勾股定理可求出，即可求出．易證，即得出，代入數(shù)據(jù)即可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（3）畫(huà)出圖形，易求出，即得出，從而可求出，再根據(jù)折疊可求出．最后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵矩形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于點(diǎn)H，∴．∵，∴，∴，∴，故與相似的三角形為或（寫(xiě)出一個(gè)即可）（2）解：∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，即，∴，∴，即陰影部分的面積為；（3）解：如圖，點(diǎn)F在的中垂線上，∵，，，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含特殊角的直角三角形三邊的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)．掌握矩形和折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．9．(1)或（寫(xiě)出一個(gè)即可）(2)陰影部分的面積是(3)的值為【分析】（1）由，，可得，故，從而；（2）根據(jù)折疊及矩形的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，，由折疊可知，故，證明，可得，，根據(jù)三角形面積公式得陰影部分的面積是；（3）由折疊及矩形的性質(zhì)可知，，，過(guò)點(diǎn)作，由角平分線的性質(zhì)可得，易證，得，由，得，再證，得，設(shè)，，可得，，，，則，可得，解得，再根據(jù)，，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：或（寫(xiě)出一個(gè)即可）；（2）由折疊可知，，∵四邊形是矩形，，，∴，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴陰影部分的面積是；（3）由折疊可知，∵四邊形是矩形，∴，，過(guò)點(diǎn)作，∵平分，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，，∴，，，，∴，則，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造得線段之間的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（1）3（2）7（3）10【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作交于H，則，而，所以，則，所以，由，得，所以，可證明，得，可推導(dǎo)出，則；（2）取的中點(diǎn)H，連結(jié)，由，于點(diǎn)E，得，則，可證明，得，所以，求得，于是得到問(wèn)題的答案；（3）設(shè)的面積為，求出，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，得，，再證明，得，由列式求出的值即可得出的面積【詳解】解：解：如圖①，過(guò)點(diǎn)D作交于H，則，

圖①∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴∴，∵E是的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值為3；（2）如圖②，取的中點(diǎn)H，連結(jié)，則，∵于點(diǎn)E，，∴，∴為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴∴，∴，∴，∴，∴故答案為：7．（3）如圖③，設(shè)的面積為，∴，∵原來(lái)的中點(diǎn)，∴且，連接，則∵，∴，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，∴∴∴∵∴，又∴∵∴，∴∴，∵，∴，解得：，∴，∴的面積為10，故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的“三線合一”、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（1）2；（2）△AHP∽△CHF，證明見(jiàn)解析；（3），其中．【詳解】試題分析：（1）由題意知，等邊△EFP的高與矩形的AB邊相等從而根據(jù)三角函數(shù)即可求得其邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法即可證得相似三角形；(3)易證PH=AP，AP=BM，從而得y與x的函數(shù)式.試題解析：（1）過(guò)P點(diǎn)作PM⊥BC，垂足為M，則PM=AB=．∵△PEF為等邊三角形,∴∠PEF=60°．在Rt△PEM中，，△PEF的邊長(zhǎng)為2．（2）△AHP∽△CHF，證明如下：∵ABCD為矩形,∴AD∥BC，∴∠PAH=∠FCH．又∵∠AHP=∠CHF，∴△AHP∽△CHF．（3）在等邊△PEF中，PM⊥BC．由三線合一知EM=EF=1．在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴∠ACB=30°．又△FHC的外角∠BFH=60°，∴∠FCH=∠FHC=30°，則∠PAH=∠PHA，∴PH=AP．易知ABMP為矩形，AP=BM，∴AP=BM=BE+EM=BE+1．即，其中．考點(diǎn)：1.相似三角形的判定；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.矩形的性質(zhì)．12．（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）作出的正方形PQMN的邊長(zhǎng)為；（3）猜想∠QEM的度數(shù)為，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交AC于N,過(guò)N作MN⊥BC于M,過(guò)N作NP//BC交AB于P,過(guò)P作PQ⊥BC于Q即可；（2）利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程解答即可；（3）先證明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ=∠BME，由∠BME+∠EMN=90°，可得∠BEQ+∠NEM=90°即可解答．【詳解】（1）如圖：正方形即為所求；（2）如圖：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D∵PQMN是正方形∴AE=AD-ED=AD-PN∵PN//BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，解得PN=;（3）∠QEM=，證明如下：證明：如圖：由，則可設(shè)MN=3k，BM=4k，則BN=5k，BQ=k，BE=2k，∴∴∵∠QBE=∠EBM∴△BQE∽△BEM∴∠BEQ=∠BME∵NE=NM∴∠NEM=∠NME∵∠BME+∠EMN=90°∴∠BEQ+∠NEM=90°∴∠QEM=90°．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．(1)△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB(2)(3)當(dāng)時(shí)，此時(shí)MN與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，MN與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．【分析】（1）只需要證明△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可得到答案；（3）利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）解：∵四邊形DEFG是矩形，∴∠ADG=∠BEF=∠C=90°，，∴∠A=∠CGF，∠B=∠CFG，∴△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB；（2）解：∵在中，，，，∴∵△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB，∴，∴，∵四邊形DEFG是矩形，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12），∵、，∴MN與x軸平行，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)MN與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，令，，解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，MN與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，此時(shí)MN與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，MN與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)與幾何的應(yīng)用，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．(1)或(2)①，理由見(jiàn)解析；②(3)或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，可證明，從而得到，進(jìn)而得到，即可；