2024-2025學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)某中學(xué)九年級下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市南山第二外國語學(xué)校九年級（下）

開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.下列表達式中，尤為自變量，y是尤的二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+b%+cB.y=-2x2+%—1

C.y=4一/D.y=%2+-

2.二次函數(shù)y=—5（%+2>一1的圖象的頂點的坐標為（）

A.(2,1)B.(2,—l)C.(-2,1)D.(-2,-1)

3.如圖，在電線桿離地面高度為7加的A處向地面拉一條攬繩A3,使攬繩A5

與地面3。的夾角為則攬繩A3的長為（）

A.7cosam

B.7tanam

7

C.--m

sina

D.7sinam

4.如圖，AACB=90°,CD1AB,垂足為。，若AC=4,BC=3,貝!JtanNBCD的

值為()

Cl

4

D5

5.如圖，將二次函數(shù)y=（x+1）2-4的圖象在x軸下方的部分沿x軸

翻折，圖象的其余部分不變，即得到y(tǒng)=|（久+1）2-4］的圖象.根據(jù)圖

象，若關(guān)于x的方程K%+1）2-引=k有四個不相等的實數(shù)根，則4

的取值范圍是（）

A.0</c<4

B.0<fc<4

C.0<fc<4

D.-3</cV0

6.小明帶妹妹玩秋千，當秋千。4停止不動時，踏板與地面的距離=0.3米.小

明推了一把，秋千QA旋轉(zhuǎn)到OC位置，踏板與地面的距離CD=1.1米.已知

tan乙4OC=0.75,則秋千頂。與地面距離。8=()米.

A.4.3

B.4.1

C.4

D.3.8

7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)的圖象如圖所示，對稱軸為

直線X=1,則下列結(jié)論正確的是()

A.華V0

b

B.4ac—b2>0

C.9。+3b+cV0

D.2a—b=0

8.如圖，在反比例函數(shù)y=|的圖象上有一動點A,連接AO并延長交圖

象的另一支于點2,在第二象限內(nèi)有一點C,滿足4C=8C,當點A運

動時，點。始終在函數(shù)y=5的圖象上運動，若tan4CZB=2,則%的值

為()

A.-6

B.-12

C.-18

D.-24

二、填空題:本題共4小題，每小題3分，共12分。

9.已知二次函數(shù)y=(m——3x+1,則m.

10.在平面直角坐標系中，將函數(shù)y=-/的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移5個單位長

度后，得到的圖象的函數(shù)表達式是

11.在平面直角坐標系中，菱形ABC。的位置如圖所示，已知C(4,3),點Pyf

是對角線。8上的一個動點，￡>(0,|),連接CD,DP,CP.當△CPD周長最

小時，點尸的坐標為.

12.如圖1,在RtZiMBC中，ZC=90°,。為AC上一點，CD=方，動點P以每秒1個單位長度的

速度從點C出發(fā)，沿C-B-4的方向勻速運動，到達點A時停止，以。尸為邊作正方形DPEF.設(shè)點

尸的運動時間為fs,正方形。PEF的面積為S,當點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于f

的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象，則由圖象可知線段AC的長為.

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

13.(本小題3分)

如圖，小強從熱氣球上的A點測量一棟高樓頂部的仰角ND4B=30。，測量這棟高樓底部的俯角

ND4c=60。，熱氣球與高樓的水平距離為力。=150米，則這棟高樓的高為米.

14.(本小題8分)

(1)計算：|—1|一：四—(5—7)0+4COS45°.

(2)解方程：(乂+1)(%—1)=3.

15.(本小題8分)

2024年，教育部先后印發(fā)對中小學(xué)生手機、睡眠、讀物、作業(yè)、體質(zhì)管理的通知，簡稱五項管理，

是教育部旨在推進立德樹人，促進學(xué)生身體健康、全面發(fā)展的重大舉措.成都立格實驗學(xué)校高度重視

并積極推進五項管理.為了解立格學(xué)子手機使用情況，學(xué)校調(diào)查了部分學(xué)生寒假每天手機使用平均時

長.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②.

配附

請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)參加這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為,圖①中根的值為;

(2)求參與調(diào)查的這組學(xué)生手機使用平均時長為4小時的圓心角度數(shù)；

(3)通過調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，手機使用時長和學(xué)習成績成負相關(guān)，為此，學(xué)校準備在參與調(diào)查的每天手機

使用平均時長為1小時的四位同學(xué)(三男一女)中任選兩位同學(xué)在全校做分享交流，請用列表或畫樹狀

圖的方法，求選中兩男的概率.

16.(本小題8分)

如圖，在矩形ABC。中，AC是對角線.

(1)用尺規(guī)完成基本作圖：作AC的垂直平分線，交AC于點。，交A。、分別于點E、F,連接

CE、4F.(保留作圖痕跡，不寫作法.)

(2)求證：四邊形AEC歹是菱形.

17.(本小題7分)

抖音直播購物逐漸走進了人們的生活.為提高我縣特產(chǎn)紅富士蘋果的影響力，某電商在抖音平臺上對

我縣紅富士蘋果進行直播銷售.已知蘋果的成本價為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可秀出

160千克.通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克.若想通過漲價增加每日利

潤，設(shè)漲價后的售價為龍元，每日獲得的利潤為w元.

(1)漲價后每日銷量將減少件(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)當售價為多少時，每日獲的利潤最大？最大利潤為多少？

18.(本小題7分)

遮陽傘的主要作用是通過遮擋太陽光線，阻止強烈紫外線對人體皮膚的損傷，同時遮陽傘下的地面上

會留下影子，影子長度隨太陽光線角度的變化而變化.“篤學(xué)”小組對遮陽傘下的影子展開了項目式

學(xué)習活動，下表是項目化學(xué)習報告.

項目主題遮陽傘下的影子

如圖，某款遮陽傘的立柱A尸垂直于地面AB,DQ,DG,CF分別為懸托支

桿，C點為可旋轉(zhuǎn)傘體的接頭，當傘面完全張開時，地面上會留下影子，傘

背景

體的截面示意圖為ACEF,CE,CP為傘體支架，且=測量得到

CE=2m,Z.CEF=15°

活

太陽光線

動

0太陽光線Q'、'、F

內(nèi)涔一

容

示意圖

11_____________70。

ABAKB

圖l圖2

我市某天下午不同時刻太陽光線與地面的夾角a參照表：

時刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00

太陽光線與地面的夾角a/

908570654025

資料度

參考數(shù)據(jù)：sinl5°x0.26,cosl5°?0.97,tanl5°?0.27,sin70°?0.94,

cos70°x0.34,

tan70°x2,75

中午12：00

時，太陽光線

與地面垂直

項時，將可旋轉(zhuǎn)

目接頭C點進行下午14：00時，通過調(diào)整旋轉(zhuǎn)接頭C點使傘體傾斜，當太陽下午17：00

結(jié)適當調(diào)整，使光線與E尸垂直時，遮陽效果最佳時，…

果EF//AB,止匕

時，點￡剛好

落在A尸上，

遮陽效果最佳

項

目

???

反

思

請根據(jù)此項目實施的相關(guān)材料完成以下任務(wù).

(1)如圖1,當中午12：00太陽光線與地面垂直時，地面影子的長約為m.

(2)如圖2,請你求出下午14：00時傘體在地面上留下的影子BK的長,(注意：任務(wù)(1)、(2)的計算結(jié)

果均精確到0.1小)

19.(本小題11分)

綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在等腰RtAABC中，NB4C=90。，點E在AC上(且

不與點A、C重合)，在AABC的外部作等腰RtaCED,使NCED=90。，連接AD,分別以A3,AD

為鄰邊作平行四邊形ABF。，連接4凡

【獨立思考】

(1)求證：AAEF是等腰直角三角形；

【實踐探究】

(2)勤學(xué)小組突發(fā)奇想，將ACE。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2,當點E在線段8c上時，連接AE,DF

交BC于點、K.

①四邊形ABFD的形狀是；

②請判斷線段AF與線段AE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

【問題解決】

(3)善思小組受此啟發(fā)，將ACED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖3,當平行四邊形為菱形，且

△CED在AABC的下方時，若4B=5,CE=2代,求線段AE的長.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

20.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=/+法+。的圖象與；1軸交于48兩點，A點在原點的

左側(cè)，B點的坐標為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點，點尸是直線8C下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)求出四邊形ABPC的面積最大時的P點坐標和四邊形ABPC的最大面積;

(3)在直線BC找一點。，使得AQOC為等腰三角形，寫出。點坐標.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：Ay=a/++c中，當a=0時，不是二次函數(shù)，不符合題意；

B.y=-2x2+x-l,符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，符合題意；

C.y=4-*3,未知數(shù)的最高次數(shù)是3,不是二次函數(shù)，不符合題意；

Dy=/+5分母含有未知數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；

故選：B.

利用二次函數(shù)的定義逐一判斷解題即可.

本題考查二次函數(shù)的定義，掌握形如y=ax2+bx+c(a豐0)的函數(shù)叫二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：由題意，???二次函數(shù)為y=-5(x+2)2—l,

工頂點為(—2,—1).

故選：D.

依據(jù)題意，由二次函數(shù)為y=—5(x+2)2—1,其頂點為(—2,—1),從而可以判斷得解.

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用頂點式是關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：sina=空，AC=7cm,

AD

.7

故選：C.

_7

本題中已知網(wǎng)△ABC中的角a、AC=7m,要求AB的長，利用sina=弁即可求出.

AD

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.

4.【答案】A

【解析】解:由題知，

???AACB=90°,CDLAB,

：.ZX+^ACD=乙BCD+乙ACD=90°,

/-A=乙BCD.

在Rt△ABC中，

3

tanzBCD=tanX=-7.

4

故選：A.

根據(jù)同角的余角相等，得出=再結(jié)合正切的定義即可解決問題.

本題主要考查了解直角三角形，熟知正切的定義及等角的余角相等是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】A

【解析】解：若關(guān)于x的方程|(x+1)2-4|=k有四個不相

等的實數(shù)根，則函數(shù)y=|(x+I)2-引的圖象與y=k的圖象

有四個交點，如圖：

由函數(shù)圖象可知，上的取值范圍是0<k<4,

故選：A.

把關(guān)于尤的方程Kx+1)2-4|=k有四個不相等的實數(shù)根轉(zhuǎn)

化為圖象的交點，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答即可.

本題考查拋物線與無軸的交點，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.【答案】A

【解析】解：過點C作CE10B,垂足為E,

由題意得：DC=BE=1.1米,

在孔△。口中,tanZ^C=-=0.75=--

.?.設(shè)EC=3x米，貝UOE=4久米,

0C=VOF2+EC2=J（4久）2+（3久）2=5x（米）,

???0A=0C,

0E+EB-AB=0C,

?,?4%+1.1—0.3=5x,

解得：%=0.8,

...OA=OC=Sx=4（米）,

OB=OA+AB=4+03=4.3（米），

秋千頂0與地面距離OB為4.3米，

故選：A.

過點C作CE10B,垂足為E,根據(jù)題意可得：DC=BE=1.1米，然后在RtAOEC中，利用銳角三

角函數(shù)的定義可設(shè)EC=3久米，貝UOE=4久米，從而利用勾股定理可得。C=5x（米），最后根據(jù)04=

0C,利用關(guān)于x的方程，進行計算即可解答.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解:由函數(shù)圖象可知，

a>0,b<0,c<0,

所以￡>o

故A選項不符合題意.

因為拋物線與無軸有兩個不同的交點，

所以方程a/+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，

則/—4ac>0,

所以4ac—b2<0.

故8選項不符合題意.

因為拋物線的對稱軸為直線x=1,

所以久=3時的函數(shù)值與x=-1時的函數(shù)值相等.

由函數(shù)圖象可知，x=—1時函數(shù)值小于零，

所以久=3時函數(shù)值也小于零，

即9a+3b+c<0.

故C選項符合題意.

因為拋物線的對稱軸為直線x=1,

所以—2=1，

2a

即2a+6=0.

故。選項不符合題意.

故選：C.

根據(jù)所給二次函數(shù)圖象，可得出a,b,c的正負，再結(jié)合拋物線的對稱性及拋物線上點的坐標特征，

依次對所給選項進行判斷即可.

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：連接。C,作CMlx軸于4'1%軸于"如圖，1

A,8兩點為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的兩交點，

.?.點A、點B關(guān)于原點對稱，/：\

???OCLAB,

rn

在R%40C中，tan"ZO=告=2,

???Z.COM+乙AON=90°,乙AON+"AN=90°,

???乙COM=(OAN,

???Rt△OCMsRt△(JAN,

.S^COM_(￡2)2_4

"S^OAN~一'

而S^OAN=2x⑶=2，

S^CMO=6,

1

?弓網(wǎng)=6,

而k<0,

k.=~12.

故選：B.

連接。C,作軸于M,471式軸于M如圖，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得。a=OB,根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)得。C148,利用正切的定義得到器=2,再證明.?./?/;△OCMsRtAOAN,利用相似

的性質(zhì)得騙毀=4,然后根據(jù)上的幾何意義求左的值.

b^OAN

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=((k為常數(shù)，k力0)的圖象是雙曲線，

圖象上的點(久,外的橫縱坐標的積是定值k,即xy=k.也考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判

定與性質(zhì).

9.【答案】-2

【解析】解：由題意得：|詞=2且m-240,

解得：m=±2且m豐2,

m=-2,

故答案為：-2.

根據(jù)題意可得：|刈=2且m-240,然后進行計算即可解答.

本題考查了二次函數(shù)的定義，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】y=一(％+3)2-5

【解析】解：由題知，

將函數(shù)y=--的圖象向左平移3個單位長度后，所得函數(shù)的表達式為y=-(％+3產(chǎn)，

再將所得函數(shù)圖象向下平移5個單位長度后，得到的圖象的函數(shù)表達式是y=-(x+3)2-5.

故答案為：y=-(x+3/-5.

根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移法則即可解決問題.

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知”上加下減，左加右減”的平移法則是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】(3,1)

【解析】解：如圖連接AC,AD,分別交于G、P,

由菱形性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線。8對稱，G為AC的中點，。。=。4,

此時PC+PD最短，即小CPD周長最小，

???C(4,3),

???OA=OC=V32+42=5,

???4(5,0),

設(shè)直線DA解析式為y=kx+b,

fO=5fc+h

■■■ll=b,

k=-三

解得《J,

故直線DA解析式為y=

???4(5,0),C(4,3),

"G(Z”

同理可證：故直線OG解析式為丫=^x,

y=/

聯(lián)立得,

y=一尹+弓

=3

=1

P(3,l)

.??點P的坐標為(3,1).

故答案為：(3,1).

如圖連接AC,AD,分別交于G、P,利用菱形的性質(zhì)分別求出直線ZM解析式和直線OG解析

式，從而求出點尸的坐標，解題的關(guān)鍵是正確找到點P位置，構(gòu)建一次函數(shù)，列出方程組求交點坐

標.

本題考查菱形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、求一次函數(shù)的解析式以及交點問題等知識，熟練掌握以上

知識點是關(guān)鍵.

12.【答案】4/2

【解析】解：在RtAPCD中，CD=^2,PC=t,

：.S=PD2=t2+(，I)2=/+2,

當S=6時，6=/+2,

解得：t=2(取正值)，

BC=2,

.?.圖2中的拋物線經(jīng)過點(2,6),

由圖象知，圖2中的拋物線頂點為(4,2),

???設(shè)拋物線解析式為：S=a(t—4)2+2,

將(2,6)代入,得：6=a(2-4)2+2,

解得：a=1,

S=(t—4)2+2,

當S=18時，18=(t-4)2+2,

解得t=8或t=0(舍去)，

AB=t-2=8—2=6,

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=4，2

故答案為：4/2.

當點尸在BC上時，易得S=P￡>2,整理可得S與/的函數(shù)關(guān)系式，求得當S=6時，f的值，即可求

得當點尸在點8時S=6時，t=2,進而根據(jù)圖2中的頂點坐標為（4,2）,用頂點式表示出圖2中S與

f的關(guān)系式，把（2,6）代入可得。的值，進而取S=18,求得f的值，得到點8在點A時面積為18時，

f的值，則可以求得A2的長，根據(jù)勾股定理可得AC的長.

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.結(jié)合圖形得到動點尸在各個拐點時S與/的值是解決本題的關(guān)鍵.

13.【答案】60

【解析】解：由題意得：4ADB=AADC=90°,

在RtAABD中，/.DAB=30°,

???BD=XDtan30°=15<3x?=15（米），

在RtUBD中，^DAC=60",

CD=XDtan600=15<3X<3=45（米），

???BC=BD+AD=15+45=60（米），

這棟高樓的高2C為60米，

故答案為：60.

利用銳角三角函數(shù)的定義，求出BO,O的長，進一步求出的長即可.

本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】解：（1）原式=1一-1+4X苧

=1—-1+2v

=V-2;

（2）（x+1）（久—1）=3,

x2—1=3,

x2=4,

解得：*1=2,%2=-2.

【解析】（1）根據(jù)零指數(shù)幕的意義和特殊角的三角函數(shù)值進行計算；

（2）整理后，利用直接開平方法求解即可.

本題考查了二次根式的混合運算，解一元二次方程，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】40人15

【解析】解：(1)參加這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為10+25%=40(人)，

???血％=6+40X100%=15%,

???m=15,

故答案為：40人，15；

(2)360°X15%=54°,

答：參與調(diào)查的這組學(xué)生手機使用平均時長為4小時的圓心角度數(shù)為54。；

(3)畫樹狀圖如下：

開始

畀男畀女

/K/T\ZN/T\

男男女男男女男男女男男男

共有12種等可能的結(jié)果，其中選中兩男的結(jié)果有6種，

二選中兩男的概率為0

(1)由手機使用平均時長為2小時的人數(shù)除以所占百分比得出參加這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，即可解決問

題；

⑵由360。乘以手機使用平均時長為4小時的學(xué)生所占的百分比即可；

(3)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選中兩男的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可.

本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識.列表法或畫樹狀圖

法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

16.【答案】解：(1)EF即為所求；—會一|D

(2)在矩形ABC。中，AD//BC,\

/.DAC=Z.ACB,B-----T---------

EF是AC的垂直平分線，/

???乙AOE=4COF=90°,AO=CO,

:.XAQEQRCOF(ASa),

OE=OF,

.??四邊形AECF是平行四邊形,

???AC1EF,

:?口AEb是菱形.

【解析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的基本作法作圖；

(2)根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行證明.

本題考查了基本作圖，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】(20%―200)

【解析】解：(1)設(shè)漲價后的售價為x元，則每日銷量減少：20(x-10)=(20x-200)件，

故答案為：(20x-200)；

(2)設(shè)每日獲的利潤為w元，

由題意可得：w=(%-6)[160-20(%-10)]=(%-6)(360-20%)=-20%2+480x-2160=

-20(%-12)2+720,

—20V0,

.?.當x=12時,W最大，最大值為720,

.??當售價為12元時，每日獲的利潤最大，最大利潤為720元.

(1)根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；

(2)利用總利潤=每件的銷售利潤X日銷售量列出二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出w的最大值

即可.

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，列出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求最值.

18.【答案】3.9

【解析】解：(1)4P垂直于地面當中午12：00太陽光線與地面垂直，

???四邊形ABFE是矩形，

AB=EF,

???CE=CF,

三角形CEF是等腰三角形，

???CE=2m,乙CEF=15°,

.?.EF=2xCExcosl5°=3,88?3.9m,

故答案為：3.9；

(2)如圖，過點K作于點”，

太陽光線

根據(jù)題意可知，當太陽光線與￡尸垂直時，遮陽效果最佳，

???四邊形KHFE是矩形，

???乙EFH=乙BHK=90°,EF=KH,

由（1）得E尸=3.9m,

KH=3.9m,

OQ

在RtAKHB中，SAT=4.1m,

sin70

下午14：00時的傘體在地面上留下的影子BK的長約為4.1m.

（1）先證明四邊形A2FE是矩形和三角形CEF是等腰三角形，再根據(jù)三角函數(shù)求解即可；

（2）過點K作于點X,先證明四邊形K8FE是矩形，再根據(jù)三角函數(shù)求解即可.

本題考查矩形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，以及利用三角函數(shù)求線段長，熟練掌握這些知識是

解題的關(guān)鍵.

19.【答案】矩形

【解析】（1）證明：如圖1,???四邊形48口）是平行四邊形，

.?.FD=AB,

???AB=AC,

???FD=AC,

DE=CE,

???FD-DE=AC-CE,

??.FE=AE,

???AAEF=MED=90°,

.?.△2EF是等腰直角三角形.

(2)解：①如圖2,-：AB=AC,A.BAC=90。,

???乙BCA=ACBA=45°,

???DE=CE,(CED=90°,

???乙ECD=乙EDC=45°,

???點E在線段5。上，且4EG)=乙BCA=45°,

???CD與CA重合，

???點。在AC邊上，

???^BAD=ABAC=90°,

???四邊形A3尸。是矩形，

故答案為：矩形.

@AF=0AE,

證明：如圖2,連接ER

???乙BFK=90°,FB//AC,FB=AD,

???乙FBK=乙ACB=45°,

??.Z,FKB=乙FBK=45°,

??.FK=FB=AD,乙EKD=乙FKB=45°,乙EKF=/.EDA=135°,

???乙DEK=180°一乙CED=90°,

???乙EDK=乙EKD=45°,

EK=ED,

??.XEKFQ〉EDA(SAS),

FE=AE,乙KEF=LDEA,

AAEF=乙AEB+乙KEF=^AEB+Z,DEA=乙DEK=90°,

AF=VFE2+AE2=yj2AE2=yflAE.

(3)解：如圖3,設(shè)AE交CO于點H,

???四邊形A5陽為菱形，

AD=AB=AC=5,

VDE=CE=272,

???4E垂直平分CD,

二乙EHC=乙AHC=90°,EH=CH=DH=：CD=3義I(272)2+(2<2)2=2,

AH=V52-22=721,

AEEH+AH=2+<21,

??.4E的長為2+尊.

(1)由四邊形ABED是平行四邊形、△力BC是等腰直角三角形得尸。=4B=4C,由△CED是等腰直角

三角形得DE=CE,所以FE=AE,即可證明△AEF是等腰直角三角形；

(2)①先由點E在線段BC上證明點。在AC邊上，因而NB4D=ABAC=90。，所以四邊形ABFD是

矩形；

②連接EF,先證明△EKFaEDA,得FE=AE,乙KEF=ADEA,所以NAEF=^AEB+乙KEF=

乙AEB+/.DEA=乙DEK=90",貝

(3)設(shè)AE交CD于點X,由4D=4C,DE=CE證明AE垂直平分CD,在Rt△EHC和Rt△AHC中根

據(jù)勾股定理分別求出&/、A”的長，即可求得AE的長.

此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題.

20.【答案】解：(1)由題可知二次函數(shù)過點B(3,0),C(0,-3),

將B、C兩點的坐標代入y=/