2024-2025學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（考試范圍：第16~18章）含答案

期中易錯(cuò)題壓軸題專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【23大題型】

（考試范圍：第16?18章）

【滬科版】

A題型梳理

【易錯(cuò)篇】

【考點(diǎn)1二次根式】

【考點(diǎn)2根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】

【考點(diǎn)3二次根式的乘除】

【考點(diǎn)4二次根式的加減】

【考點(diǎn)5一元二次方程】

【考點(diǎn)6一元二次方程的解法】

【考點(diǎn)7一元二次方程根的判別式】

【考點(diǎn)8一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】

【考點(diǎn)9一元二次方程的應(yīng)用】

【考點(diǎn)10勾股定理與網(wǎng)格】

【考點(diǎn)11利用勾股定理求值】

【考點(diǎn)12趙爽弦圖】

【考點(diǎn)13勾股定理逆定理的應(yīng)用】

【考點(diǎn)14勾股定理的應(yīng)用】

【壓軸篇】

【考點(diǎn)15化簡(jiǎn)含字母的二次根式】

【考點(diǎn)16求立體圖形的最短路徑問(wèn)題】

【考點(diǎn)17利用一元二次方程求最值】

【考點(diǎn)18利用一元二次方程的解求參數(shù)取值范圍】

【考點(diǎn)19利用一元二次方程的解法解特殊方程】

【考點(diǎn)20利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】

【考點(diǎn)21圖形上與己知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】

【考點(diǎn)22多結(jié)論問(wèn)題】

試卷第1頁(yè)，共27頁(yè)

【考點(diǎn)23新定義問(wèn)題】

A舉一反三

【易錯(cuò)篇】

【考點(diǎn)1二次根式】

【例1】

（24-25八年級(jí)?福建莆田?期中）

1.已知〃是正整數(shù)，質(zhì)是整數(shù)，則〃的最小值是（）

A.0B.2C.3D.7

【變式1】

（24-25八年級(jí)?廣東河源?期中）

2.若二次根式匹叵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x

A.x>2024B.x22024C.x<2024D.x<2024

【變式2】

（24-25八年級(jí)?浙江舟山?期中）

3.當(dāng)x=一1時(shí)，二次根式j(luò)6-3x的值為.

【變式3】

（24-25八年級(jí)?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）

4.已知y=J2x-1+Jl-2x+2,那么xy=.

【考點(diǎn)2根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】

【例2】

（24-25八年級(jí)?北京順義?期中）

5.如果-4）=（2-x）+2,那么x的取值范圍__________.

【變式1】

（24-25八年級(jí)?甘肅蘭州?期中）

6.適合2府3=6-2a的正整數(shù)。的所有值的平方和為（）

A.13B.14C.15D.16

【變式2】

試卷第2頁(yè)，共27頁(yè)

（24-25八年級(jí)?四川成都?期中）

7.實(shí)數(shù)°、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：77+病+J（叱4=

【變式3】

（24-25八年級(jí)?上海?期中）

8.將蘢--根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)得.

X

【考點(diǎn)3二次根式的乘除】

【例3】

（24-25八年級(jí)?山東煙臺(tái)?期末）

9.幻方是一種中國(guó)傳統(tǒng)游戲，它是將從一到若干個(gè)數(shù)的自然數(shù)排成縱橫各為若干個(gè)數(shù)的正

方形，使在同一行、同一列和同一對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等.類(lèi)比幻方，我們給出如圖

所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對(duì)角線方向上的實(shí)數(shù)相乘的結(jié)果都相等，則數(shù)值

nA+B+C+D0=

□I

HH

【變式1】

（24-25八年級(jí)?山東煙臺(tái)?期中）

10.計(jì)算（g+痣『24（退一行『23的結(jié)果為.

【變式2】

（24-25八年級(jí)?河北唐山?期中）

11.二次根式.，而，回曲HOX'J+y2中最簡(jiǎn)二次根式是.

【變式3】

（24-25八年級(jí)?江西吉安?期末）

試卷第3頁(yè)，共27頁(yè)

12.學(xué)習(xí)了必二時(shí)后，數(shù)學(xué)老師出了一道化簡(jiǎn)題：a+a>1）.下面是小鳧和小

芳的解答過(guò)程.

小亮：解：原式=。+1-。=1;

小芳：解：原式

'：a>\,，原式=。+。-1=2。-1,

(1),的解法是不正確的;

（2）化簡(jiǎn):—,y[ab,其中。<0,b<0.

a

【考點(diǎn)4二次根式的加減】

【例4】

（24-25八年級(jí)?江西萍鄉(xiāng)?期末）

13.^a=V1003+V997,=VlOOT+V999-C=2A/100T,則a，4c的大小關(guān)系用號(hào)

排列為.

【變式1】

（24-25八年級(jí)?河北唐山?期末）

14.下列二次根式中，可與J診進(jìn)行合并的二次根式是（）

A.y/3B.>/6C.D.J24

【變式2】

（24-25八年級(jí)?江蘇南京?期末）

2

15.已知x=g則代數(shù)式/-2X+3的值為

【變式3】

（24-25八年級(jí)?湖北武漢?期末）

16.已知中=2,x+y=4,則

【考點(diǎn)5一元二次方程】

【例5】

（24-25八年級(jí)?河南新鄉(xiāng)?期中）

17.將一元二次方程4x2-1=5x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為一1,則一次項(xiàng)系數(shù)為（）

試卷第4頁(yè)，共27頁(yè)

A.4B.-4C.5D.-5

【變式1】

（24-25八年級(jí)?寧夏銀川?期中）

18.已知方程（〃?-3）才7-云-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則〃?的值為

【變式2】

（24-25八年級(jí)?重慶榮昌?期中）

19.若心是方程尤2+%_1=0的一個(gè)根，貝|2024-2機(jī)2一2”?的值為（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

【變式3】

（24-25八年級(jí)?江蘇鹽城?期中）

20.寫(xiě)一個(gè)一元二次方程使它有一個(gè)解為1,另一個(gè)解為2,并且二次項(xiàng)的系數(shù)為1,這個(gè)

方程是.

【考點(diǎn)6一元二次方程的解法】

[例6]

（24-25八年級(jí)?河北唐山?期中）

21.關(guān)于x的方程x（x-D=3（x-l）,下列解法完全正確的是（）

甲乙丙T

整理得

整理得x2-Ax=-3

x2-4x=-3

移項(xiàng)得：??,。=1,b=-4,c=-3,

x(x-l)-3(x-l)=0,配方得：

A=Z?2—4ac—28

兩邊同時(shí)除以（X-1）

??.(x—l)(x—3)=0,/-4x+4=1,

得到x=3.2

=0或、-3=0,.?.(x-2)2=1,

???玉=2+y/1,

Xj=1,x2=3.???x—2=±1,

%=2-.

xx=\,x2=3.

A.甲和乙B.乙和丙C.乙和丁D.甲和丁

【變式1】

（24-25八年級(jí)?河南新鄉(xiāng)?期中）

22.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

試卷第5頁(yè)，共27頁(yè)

（1）（2X-1）2=（3-X）2；

（2）2X2-4X+1=0；

（3）X（X-4）-4+X=0；

（4）x（x+6）=8（x+3）.

【變式2】

（24-25八年級(jí)?云南昭通?期中）

23.一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程/-13X+42=0的兩根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)

是（）

A.19B.20C.18D.19或20

【變式3】

（24-25八年級(jí)?江蘇宿遷?期中）

24.若一元二次方程。++p=。的兩個(gè)根為再=1,x2=-3,則一元二次方程

a（x+〃+3）~+p=0的解為.

【考點(diǎn)7一元二次方程根的判別式】

【例7】

（24-25八年級(jí)?浙江寧波?期中）

25.已知關(guān)于x的一元二次方程：（0+1）/+2/+（0+1）=0（其中小0為常數(shù)）有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是.

①x=-l必是方程（？+1）*+2/+（°+1）=0的根；

②x=0可能是方程/+qx+p=0的根；

③方程px?+/+1=0必有實(shí)數(shù)根；

④若網(wǎng),為方程px1+qx+\=G的兩個(gè)根，則方程x2+qx+p=0的根為［和十.

【變式11

（24-25八年級(jí)?河南洛陽(yáng)?期中）

26.關(guān)于x的方程（4-1），2+（2左+l）x+l=0有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是（）

試卷第6頁(yè)，共27頁(yè)

A.左>」■且左wlB.k>-S.k^\C.k>-D.k>-

4444

【變式2】

（24-25八年級(jí)?江蘇鹽城?期中）

27.已知關(guān)于x的一元二次方程-（2左+l）x+2左=0.

（1）求證：無(wú)論人為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根大于3,求左的取值范圍.

【變式3】

（24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?期中）

28.己知.、6、c是△48C的三邊，關(guān)于x的方程c（，+〃?）+6（--機(jī)）-2八茄％=0,當(dāng)加>0

時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則A/BC的形狀是三角形.

【考點(diǎn)8一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】

[例8]

（24-25八年級(jí)?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）

29.非零實(shí)數(shù)a,6滿足/一0一2023=0,/-b-2023=0,則+f的值是____.

ab

【變式1】

（24-25八年級(jí)?山東濟(jì)南?期中）

30.碩碩和鵬鵬一起解一道一元二次方程題，碩碩看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，解得方程的兩個(gè)根為

2和-3,鵬鵬看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，解得方程的兩個(gè)根為1和4.則原方程正確的解為（）

A.X]=2,%2=3B.X]——6,%2=1

C.￡=6,X?=11D.玉=-2,x2=-3

【變式2】

（24-25八年級(jí)?福建福州?期中）

31.已知。，6是方程/+%-2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為.

【變式3】

（24-25八年級(jí)?湖北武漢?期中）

32.已知。，6是方程/一x—l=0的兩根，則代數(shù)式2/+5a+3/+3b+l的值是（）

A.19B.20C.14D.15

試卷第7頁(yè)，共27頁(yè)

【考點(diǎn)9一元二次方程的應(yīng)用】

[例9]

（2024?重慶開(kāi)州?一模）

33.某工程隊(duì)采用4,8兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造.原計(jì)劃/型

設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù).

（1）求/型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；

（2）通過(guò)勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米.在實(shí)際施工中，2型設(shè)

備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了（〃?+25）小時(shí)，同時(shí)，N型設(shè)備的鋪路速

度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3%米，而使用時(shí)間增加了加小時(shí)，求m的值.

【變式1】

（24-25八年級(jí)?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）

34.小明鍛煉健身，從N地勻速步行到8地用時(shí)25分鐘.若返回時(shí)，發(fā)現(xiàn)走一小路可使

4、2兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結(jié)果比去時(shí)少用2.5分鐘.

⑴求返回時(shí)/、8兩地間的路程；

（2）若小明從“地步行到2地后，以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)鍛煉過(guò)程不休息）.據(jù)測(cè)

試，在他整個(gè)鍛煉過(guò)程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，

跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時(shí)間

內(nèi)平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里.測(cè)試結(jié)果，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中小明共消耗904卡

路里熱量.問(wèn)：小明從/地到C地共鍛煉多少分鐘.

【變式2】

（24-25八年級(jí)?河南新鄉(xiāng)?期中）

35.某商店以每件40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批熱銷(xiāo)商品，出售價(jià)格經(jīng)過(guò)兩個(gè)月的調(diào)整，從每件

50元上漲到每件72元，此時(shí)每月可售出180件商品：

（1）求該商品價(jià)格的平均月增長(zhǎng)率；

（2）因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價(jià)出售，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每

降低1元，每個(gè)月多賣(mài)出10件，則商家在降價(jià)的同時(shí)，為保證每月的利潤(rùn)達(dá)到6000元，應(yīng)

將售價(jià)定為多少元？

【變式3】

（24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?期中）

試卷第8頁(yè)，共27頁(yè)

36.某人工智能科技體驗(yàn)館在十一假期間為學(xué)生們制訂了豐富多彩的體驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票收費(fèi)

標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過(guò)10人，人均費(fèi)用為240元；如果人數(shù)超過(guò)10人，每增加1人，人

均費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于170元.

(1)若有14人參加旅游，人均費(fèi)用是_元.

(2)某興趣小組的學(xué)生們?nèi)⒓芋w驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票的費(fèi)用共3600元，求參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù).

【考點(diǎn)10勾股定理與網(wǎng)格】

【例10](24-25八年級(jí)?江蘇淮安?期末)

37.某班學(xué)生在勞動(dòng)實(shí)踐基地用一塊正方形試驗(yàn)田種植蘋(píng)果樹(shù)，同學(xué)們將試驗(yàn)田分成7x7

的正方形網(wǎng)格田，每個(gè)小正方形網(wǎng)格田的邊長(zhǎng)為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋(píng)果樹(shù)的

健康成長(zhǎng)，同學(xué)們要把蘋(píng)果樹(shù)種植在格點(diǎn)處(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn))，且每?jī)煽锰O(píng)果

樹(shù)之間的距離都要大于2米，則這塊試驗(yàn)田展多可種植____棵蘋(píng)果樹(shù).

38.如圖，在6x6的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)?jiān)诮o定的網(wǎng)格中按下列要求畫(huà)出

圖形.

I________I______I________t______I________L_______I

(1)畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為4,45,舊的三角形；

(2)畫(huà)一個(gè)腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形.

【變式10-2](24-25八年級(jí)?河南駐馬店?期末)

39.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，若△4BC和△28的頂點(diǎn)都在小正方形網(wǎng)格的

格點(diǎn)上，貝+()

試卷第9頁(yè)，共27頁(yè)

A.45°B.75°C.120°D.135°

【變式10-31（24-25八年級(jí)?安徽安慶?期末）

40.如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A/BC的頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.若

《。18。于點(diǎn)。，則線段的長(zhǎng)為

【考點(diǎn)11利用勾股定理求值】

【例11］（24-25八年級(jí)?浙江紹興?期末）

41.如圖，在長(zhǎng)方形48C。中，4B=3,BC=4,將△ABC沿NC折疊，點(diǎn)8落在"處，AD

【變式11-11（24-25八年級(jí)?江蘇蘇州?期末）

42.勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一顆玻璃珠.被譽(yù)為清代“歷算第一名家”的名數(shù)學(xué)家梅文鼎先生

（圖①）在《梅氏叢書(shū)輯要》（由其孫子梅轂成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾股定

理的證法.其中一種是在圖②的基礎(chǔ)上，運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理完成的.在A/BC中，

ZACB=90°,四邊形/ADE,ACFG,BCHI均為正方形,即與/￡相交于點(diǎn)J,可以證

明點(diǎn)。在直線印上.若△￡>￡/的面積分別為2和6,則直角邊NC的長(zhǎng)為（）

試卷第10頁(yè)，共27頁(yè)

D.2

【變式11-2]（24-25八年級(jí)?陜西西安?期中）

43.對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形/BCD,對(duì)

【變式11-31（24-25八年級(jí)?四川達(dá)州?期末）

44.如圖，在四邊形中，NB=90。，BC=4,AE1CD,垂足為E,AE=CE,連接

AC,若DE=5,AD=46l.求:

（1）/C的長(zhǎng)；

⑵四邊形/BCD的面積.

【考點(diǎn)12趙爽弦圖】

【例12]（24-25八年級(jí)?江蘇宿遷?期末）

45.綜合實(shí)踐

我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”.他用幾何圖形的截、害h拼、

試卷第11頁(yè)，共27頁(yè)

補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)恒等式，嚴(yán)密又直觀，為中國(guó)古代“形數(shù)統(tǒng)一”、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)

格樹(shù)立了一個(gè)典范.在一節(jié)八上數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上,老師為了弘揚(yáng)中國(guó)的數(shù)學(xué)文化，和同學(xué)們開(kāi)

啟對(duì)“趙爽弦圖”的深度研究.

(1)類(lèi)比“弦圖”，證明定理

小明同學(xué)利用四張全等的直角三角形紙片(如圖1),證明勾股定理.

因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以看成4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為僅-的小正方形組成，即面積

1

?22222

表示為：4x-ab+(b-ay=a+b,BPa+b=c,進(jìn)而勾股定理得到了驗(yàn)證.

善于思考的小亮同學(xué)把一個(gè)直立的火柴盒放倒(如圖2),聰明的他發(fā)現(xiàn)用不同的方法計(jì)算

梯形N8C。的面積，也可證明勾股定理，請(qǐng)你和他一起證明.

(2)利用“弦圖”,割拼圖形

如圖3,老師給出由5個(gè)小正方形組成的十字形紙板，讓同學(xué)們嘗試剪開(kāi)，使得剪成的若干

塊能夠拼成一個(gè)無(wú)縫的大正方形，可以怎么剪？請(qǐng)你畫(huà)出示意圖.

(3)構(gòu)造“弦圖”，應(yīng)用計(jì)算

如圖4,在等腰直角三角形NBC中，=點(diǎn)。是2C中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作

CEVAD,垂足為點(diǎn)尸，交43于點(diǎn)E,若BE=3,求AB的長(zhǎng).

【變式12-1](24-25八年級(jí)?江蘇南京?期末)

46.如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等

的直角三角形和中間的小正方形四VP。拼成的一個(gè)大正方形/BCD.連接N。、BP、CN、

試卷第12頁(yè)，共27頁(yè)

DM.若正方形/BCD的面積為2a,陰影部分的面積為2b.則/N的長(zhǎng)度為（）

A.a+bB.a2+b2C.y/a+bD.y]a2+b2

【變式12-2]（24-25八年級(jí)?四川成都?期末）

47.如圖1,將四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)四邊形N8EC,然后將前面四個(gè)全等的直

角三角形拼成了一個(gè)大的正方形如圖2,該正方形的面積為5；再將其四個(gè)全等的直角三角

形拼成了圖3形狀，圖3的外輪廓周長(zhǎng)為4+4石，則圖1中的點(diǎn)C到的距離為.

【變式12-3]（24-25八年級(jí)?浙江金華?期末）

48.圖1是由5個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，延長(zhǎng)。K交/8、NC分別于點(diǎn)

M、N,延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P（如圖2）.

圖1圖2

（1）若用”昉的面積為5,小正方形以”的面積為9,貝UN8=；

（2）如圖2,若:四邊形's'=左，則要遜弊=_______（用含左的代數(shù)式表示）.

?四邊形?四邊形BCNK

試卷第13頁(yè)，共27頁(yè)

【考點(diǎn)13勾股定理逆定理的應(yīng)用】

【例13】（24-25八年級(jí)?黑龍江雙鴨山?期末）

49.兩艘輪船從同一港口同時(shí)出發(fā)，甲船時(shí)速40海里，乙船時(shí)速30海里，兩個(gè)小時(shí)后，兩

船相距100海里，已知甲船的航向?yàn)楸逼珫|46。，則乙船的航向?yàn)椋ǎ?/p>

A.南偏東44。B.北偏西44。C.南偏東44?；虮逼?4。D.無(wú)法確定

【變式13-1］（24-25八年級(jí)?黑龍江大慶?期末）

50.筆直的河流一側(cè)有一旅游地C,河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)4B.其中=由于某種原

因，由C到N的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)〃（4,H,3在

同一直線上），并新修一條路CH,測(cè)得BC=5千米，C〃=4千米，5H=3千米.則原路線

NC=千米.

【變式13-2］（24-25八年級(jí)?遼寧鞍山?期末）

51.如圖，學(xué)校在校園圍墻邊緣開(kāi)墾一塊四邊形菜地48a測(cè)得4B=9m,BC=12m,

CD=8m,4D=17m,且//BC=90。，這塊菜地的面積是（

A.48m2B.114m2C.122m2D.158m2

【變式13-3］（24-25八年級(jí)?吉林四平?期末）

52.如圖①是超市的兒童玩具購(gòu)物車(chē)，圖②為其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖.測(cè)得支架/C=24cm,

CB=18cm,兩輪中心的距離/8=30cm.

（1）連接48,貝^△48。是三角形，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程.

試卷第14頁(yè)，共27頁(yè)

⑵點(diǎn)C到AB的距離是cm.

【考點(diǎn)14勾股定理的應(yīng)用】

【例14】（24-25八年級(jí)?四川成都?期中）

53.四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴(kuò)灌工程之一，也是四川省建成的

第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱(chēng).現(xiàn)為擴(kuò)建開(kāi)挖某段干渠，如圖，欲從干渠

某處/向C地、。地、5地分流（點(diǎn)C,D,3位于同一條直線上），修三條筆直的支渠

AC,AD,AB,且再?gòu)摹５匦蘖艘粭l筆直的水渠與支渠在點(diǎn)“處連

接，且水渠DH和支渠48互相垂直，已知NC=6km,4B=10km,BD=5km.

（1）求支渠的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若修水渠。以每千米的費(fèi)用是0.7萬(wàn)元，那么修完水渠。，需要多少萬(wàn)元？

【變式14-1]（24-25八年級(jí)?福建福州?期中）

54.《九章算術(shù)》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸,

水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水

面，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度.（1丈=10尺）

解決下列問(wèn)題：

（1）示意圖中，線段/尸的長(zhǎng)為尺，線段斯的長(zhǎng)為尺；

（2）求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度.

【變式14-2]（24-25八年級(jí)?安徽阜陽(yáng)?期中）

55.超速行駛是引發(fā)交通事故的原因之一.上周末，小聰?shù)热煌瑢W(xué)在某路段嘗試用自己所

學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路/的距離為100m的點(diǎn)尸處.這時(shí)，一輛轎車(chē)由西向

東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得ZAPO=60°,

NBPO=45°.

試卷第15頁(yè)，共27頁(yè)

ABO

⑴求48的距離，取1.73）

（2）試判斷此車(chē)是否超過(guò)了80km/h的限制速度？

【變式14-3]（24-25八年級(jí)?安徽安慶?單元測(cè)試）

56.由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹(shù)甲被從點(diǎn)/處攔腰折斷，如圖所示，其樹(shù)恰好落在另一棵

樹(shù)乙的根部C處，已知43=4米，3C=13米，兩棵樹(shù)的株距（兩棵樹(shù)的水平距離）為12

米，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)求這棵樹(shù)原來(lái)的高度.

【考點(diǎn)15化簡(jiǎn)含字母的二次根式】

【例15]（24-25八年級(jí)?上海靜安?期中）

57.已知孫＜0,化簡(jiǎn)二次根式上;的值是（）.

y

A.VxB.-y/xC.y/^xD.-V-x

【變式15-11（24-25八年級(jí)?湖北黃石?期中）

58.已知。＜0,則二次根式后或化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）?

A.a4bB.a4~bC.—a4bD.-a4~b

【變式15-21（24-25八年級(jí)?上海?期中）

59.已知〃〉0,那么（或可化簡(jiǎn)為（）

A.bsj—abB.——y[abC.--y/-abD.-y[-ab

bb

【變式15-3]（24-25八年級(jí)?北京順義?期末）

試卷第16頁(yè)，共27頁(yè)

60.當(dāng)加＜0時(shí)，化簡(jiǎn)二次根式二口―，結(jié)果正確的是（）

n\m

A.局mn?B.—nsjmn^C.D.—J令

nn

【考點(diǎn)16求立體圖形的最短路徑問(wèn)題】

【例16】（24-25八年級(jí)?四川達(dá)州?期末）

61.如圖，桌上有一個(gè)圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計(jì)），高為10cm,底面周長(zhǎng)為12cm,

在盒子外壁離上沿2cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，此時(shí)，盒子內(nèi)壁離底部4cm的點(diǎn)B處有一滴

蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點(diǎn)8處吃蜂蜜，求螞蟻爬行的最短距離（）

A.12cmB.2#icmC.60cmD.10cm

【變式16-1]（24-25八年級(jí)?河南周口?期末）

62.如圖①所示的正方體木塊的棱長(zhǎng)為J5cm,沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪

掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②所示的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)

B的最短距離為（）

A.(V2+l)cmB.(V2+V3)cmC.VJcmD.(V3+l)cm

【變式16-2]（24-25八年級(jí)?河南南陽(yáng)?期末）

63.如圖，教室墻面/DE尸與地面48cZ）垂直，點(diǎn)尸在墻面上，若尸/=而米，/B=2米,

點(diǎn)P到《尸的距離是3米，一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)8,它的最短行程是（）米

試卷第17頁(yè)，共27頁(yè)

A.5B.V18C.V13D.3

【變式16-3]（24-25八年級(jí)?陜西西安?期末）

64.如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為5cm、寬為3cm、高為10cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱表面爬

到8點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是cm.

【考點(diǎn)17利用一元二次方程求最值】

【例17】（24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）

65.閱讀理解：

對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a^0）,除了可以利用配方法求該多項(xiàng)式的取值范

圍外，愛(ài)思考的小川同學(xué)還想到了其他的方法，比如先令"2+8+。=了（4片0）,然后移項(xiàng)

可得辦2+6x+（c-y）=0,再利用一元二次方程根的判別式來(lái)確定〉的取值范圍，請(qǐng)仔細(xì)閱

讀下面的例子.

例：求-+2x+5的取值范圍.

解：令/+2工+5=>，x2+2x+（5—=04—4（5—jv）>0.>4.

x2+2x+5>4.

請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

⑴求lx?+4x-3的取值范圍；

⑵若關(guān)于尤的二次三項(xiàng)式/+辦+3（。為常數(shù)）的最小值為-6,求。的值；

【變式17-1]（24-25八年級(jí)?浙江金華?期中）

66.當(dāng)。=,b=時(shí)，多項(xiàng)式/-29+2/-2”46+25有最小值，這個(gè)最小值

是—.

【變式17-2]（24-25八年級(jí)?安徽安慶?專(zhuān)題練習(xí)）

67.閱讀材料：我們都知道/+2"+〃=（a+6『，a2-2ab+b2=（a-b）2

于是，-2/+40x+5=-2（x?-20x）+5

試卷第18頁(yè)，共27頁(yè)

=-2(X2-2-X-10+102-102)+5

=-2](X-10)2-100]+5

=-2(X-10)2+205.

又因?yàn)閮?chǔ)之0,所以，(x-lOpN0,-2(x-10)240,-2(x-10y+2054205.

所以，-2x?+40x+5有最大值205.

如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備用長(zhǎng)34米的鐵柵欄，一邊利用墻，其余邊用鐵柵欄圍成長(zhǎng)方形羊圈

和一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形狗屋CEFG.設(shè)/8=x米.

(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示2C的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果)；

(2)設(shè)山羊活動(dòng)范圍即圖中陰影部分的面積為S平方米，①請(qǐng)用含x的代數(shù)式直接表示出S,

S=；

②山羊的活動(dòng)范圍的面積S能否達(dá)到95平方米？能，就求出x的值，不能請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)求出山羊活動(dòng)范圍面積S的最大值.

【變式17-3](24-25八年級(jí)?浙江?專(zhuān)題練習(xí))

68.已知x,y為實(shí)數(shù)，且滿足/-個(gè)+4/=4,記"=/+刈-4/的最大值為M,最小

值為m,貝!]"+加=.

【考點(diǎn)18利用一元二次方程的解求參數(shù)取值范圍】

【例18](24-25八年級(jí)?浙江溫州?期末)

69.已知關(guān)于x的方程無(wú)2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為()

A.a=-2B.a>0

C.。=-2或〃>0D.QV-2或a>0

【變式18-1](2024?浙江紹興?中考真題)

70.若關(guān)于苫的方程(1-*)尤2+2〃a-1=0所有的根都是比1小的正數(shù).則實(shí)數(shù)加的取值范

圍是.

試卷第19頁(yè)，共27頁(yè)

【變式18-2]（24-25八年級(jí)?浙江金華?期中）

71.若實(shí)數(shù)0,6滿足;〃一。6+/+2=0,則。的取值范圍是（）.

A.aS-2B.C.aW-2或aN4D.-2WaW4

【變式18-3]（24-25八年級(jí)?安徽合肥?期末）

72.已知關(guān)于x的一元二次方程/+ax+b=O有兩個(gè)根多，%,且滿足1<為<%<2.記

t=a+b,貝!1，的取值范圍是.

【考點(diǎn)19利用一元二次方程的解法解特殊方程】

【例19】（24-25八年級(jí)?云南昆明?期末）

73.閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：

要解方程X4-41+3=0,我們發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到

根據(jù)該方程的特點(diǎn)，我們可以這樣做：

解：設(shè)/=>，那么x4=/,于是原方程可變?yōu)?一—+3=0,解得必=1,%=3.

當(dāng)必=1時(shí)，x2=1,x=±1；

當(dāng)力=3時(shí)，x2=3,x=±6；

.■.原方程有四個(gè)根X]=1,x2=-1,x3=V3,x4=-V3.

我們把以上這種解決問(wèn)題的方法叫做換元法.

任務(wù)：

（I）上述解方程的過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是（）

A.分類(lèi)討論思想B.轉(zhuǎn)化思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想

（2）仿照上面的方法，解方程卜2+1）2-13x?+23=0；

【變式19-1]（24-25八年級(jí)?安徽六安?階段練習(xí)）

74.關(guān)于x的方程a（x+左y+2023=0的解是X]=-2,x2=1左、6均為常數(shù)，0）.

問(wèn)題：

（1）關(guān)于x的方程a（x+3+《『+2023=0的根是；

（2）關(guān)于x的方程a（x-左+2丫+2023=0的根為.

【變式19-2]（24-25八年級(jí)?河南洛陽(yáng)?期中）

試卷第20頁(yè)，共27頁(yè)

75.有人說(shuō)“數(shù)學(xué)是思維的體操”，運(yùn)用和掌握必要的“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”是學(xué)好數(shù)學(xué)的

重要法寶.閱讀下列例題及其解答過(guò)程：

例：解方程--2R-3=0.

解：①當(dāng)xNO時(shí)，原方程為f一2工一3=0,

解得國(guó)=-1（與xNO矛盾，舍去），々=3.

②當(dāng)無(wú)<0時(shí)，原方程為Y+2X-3=0,

解得占=1（與x<0矛盾，舍去），x2=-3.

所以原方程的根是玉=3,X2=-3.

在上面的解答過(guò)程中，我們對(duì)x進(jìn)行討論，從而化簡(jiǎn)絕對(duì)值.這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要

思想—分類(lèi)討論.

請(qǐng)仿照上述例題的解答過(guò)程，解方程：x2-|x|-l=0.

【變式19-3］（24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?期末）

76.閱讀下列材料：為解方程,一工2-6=0可將方程變形為［2）2-/-6=0然后設(shè)

2

貝|］（/）2=/，原方程化為「一了一6=o①，解①得乂=_2,匕=3.當(dāng)弘=一2時(shí)，X=-2

2

無(wú)意義舍去；當(dāng)外=3時(shí)，x=3,解得x=±6；;原方程的解為X］=有，x2--V3;

上面這種方法稱(chēng)為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），

則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：

（1）（X2-2X）2-5X2+10X+6=0；

（2）3f+15x+2j/+5x+l=2.

【考點(diǎn)20利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】

【例20】（24-25八年級(jí)?廣東江門(mén)?期末）

77.【背景介紹】

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鷲，其中有著

名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法.如圖.

試卷第21頁(yè)，共27頁(yè)

圖1圖2

【小試牛刀】

把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為。，b,c.顯然，

NDAB=NB=90°,NC_LZ）E.請(qǐng)用。，6,c分別表示出梯形/BCD,四邊形NECO,AEBC

的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：smcD=,

S&EBC，S四邊形—,則它們滿足的關(guān)系式為,經(jīng)化簡(jiǎn)，

可得到勾股定理.

【知識(shí)運(yùn)用】

如圖2,河道上A,3兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距160米，C,。為兩個(gè)菜園（看作兩

個(gè)點(diǎn)），AD1AB,BC1AB,垂足分別為A,B,AD=70米，8C=50米，現(xiàn)在菜農(nóng)要

在上確定一個(gè)抽水點(diǎn)尸，使得抽水點(diǎn)尸到兩個(gè)菜園C,。的距離和最短，則該最短距離

為米.

【知識(shí)遷移】

借助上面的思考過(guò)程，畫(huà)圖說(shuō)明并求代數(shù)式777?+7（12-x）2+36的最小值（0<x<12）.

【變式20-1]（2024?貴州遵義?二模）

78.已知a,6均為正數(shù)，且J/+62,,44a?臚是一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng),

則這個(gè)三角形的面積是（）

31

A.-abB.abC.—abD.lab

22

【變式20-2]（24-25八年級(jí)?山西晉中?期中）

79.如圖（單位：cm）,龍龍家購(gòu)置了一臺(tái)圓形掃地機(jī)，計(jì)劃放置在屋子角落（衣柜、書(shū)柜

與地面均無(wú)縫隙，衣柜不可移動(dòng)）.若要這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則需拖動(dòng)書(shū)柜，使

圖中的x至少為.（結(jié)果保留根號(hào)）

試卷第22頁(yè)，共27頁(yè)

【變式20-31（24-25八年級(jí)?河南鄭州?期末）

80.2024年12月4日，我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日春節(jié)申遺成功.為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區(qū)舉

辦了名為“鄭好遇見(jiàn)，大美非遺”的創(chuàng)意文化市集，諸多非遺有關(guān)文化項(xiàng)目集中亮相.圖圖和

涵涵在市集上買(mǎi)了一個(gè)年畫(huà)風(fēng)箏，在試飛風(fēng)箏過(guò)程中，他們想利用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量風(fēng)箏的垂直

高度.以下是他們測(cè)量高度的過(guò)程：

①先測(cè)得放飛點(diǎn)與風(fēng)箏的水平距離8。的長(zhǎng)為8米；

②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線NC的長(zhǎng)為10米；

③牽線放風(fēng)箏的手離地面的距離為L(zhǎng)5米.

已知4B、C、。點(diǎn)在同一平面內(nèi).

（1）求風(fēng)箏離地面的垂直高度CD；

⑵在測(cè)高的過(guò)程中涵涵提出了一個(gè)新的問(wèn)題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風(fēng)

箏沿射線DC方向再上升9米，&D長(zhǎng)度不變，能否成功呢？請(qǐng)你幫助解決涵涵提出的問(wèn)題.

【考點(diǎn)21圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】

【例21】（2024?福建?一模）

81.點(diǎn)/（2,m）,B（2,m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若A48。是直角

三角形，則m的值不可能是（）

A.4B.2C.1D.0

【變式21-1]（24-25八年級(jí)?吉林四平?期中）

82.如圖，在RtA48C中，ZC=9O°,AB=5cm,AC=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)沿射線3c以

試卷第23頁(yè)，共27頁(yè)

3cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

備用圖1備用圖2

⑴求2C邊的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)4/8尸為直角三角形時(shí)，求f的值；

（3）當(dāng)A4Ap為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)t的值.

【變式21-2］（24-25八年級(jí)?安徽安慶?階段練習(xí)）

83.點(diǎn)尸在歹軸上，5（1,4）,如果尸是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式21-31（24-25八年級(jí)?四川?階段練習(xí)）

84.如圖，在A48C中，/8=NC=2O,3C=32,點(diǎn)。在線段8C上以每秒2個(gè)單位的速度

從3向C移動(dòng)，連接當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)秒時(shí)，與A48C的邊垂直.

【考點(diǎn)22多結(jié)論問(wèn)題】

【例22】（24-25八年級(jí)?浙江金華?階段練習(xí)）

85.如圖，△NBC中，ZBAC=60°,NB/C的平分線4D與邊8c的垂直平分線Am相交于

D,DE工48交的延長(zhǎng)線于E,DFJ.AC于F,下列結(jié)論：①DE=DF；②

DE+DF=AD；③DM平分NEDF；@AB+AC=^AD-正確的是（）

C.①②③D.①②④

試卷第24頁(yè)，共27頁(yè)

【變式22-1]（24-25八年級(jí)?浙江嘉興?期末）

86.已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程/+ax+6=0,x?+cx+d=0有一個(gè)公共解2,且

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a3c,b*d,b^O,"NO.下列結(jié)論：①1■有唯一對(duì)應(yīng)的值二；②“十，&b+d；（3）x=—

b-d242

是一元二次方程S+d）x?+（a+c）x+2=0的一個(gè)解.其中正確結(jié)論的序號(hào)是—.

【變式22-2]（24-25八年級(jí)?廣東茂名?期中）

87.長(zhǎng)方形/3C。中，點(diǎn)E是40的中點(diǎn)，/EBC的平分線交CD于點(diǎn)尸，將ADEF沿斯

折疊，點(diǎn)。恰好落在BE上的點(diǎn)M處，分別延長(zhǎng)8C,即交于點(diǎn)N,下列四個(gè)結(jié)論：

①DF=CF；②ABEN是正三角形；③BF1EN；④%即=3%防.

A.1B.2C.3D.4

【變式22-3]（24-25八年級(jí)?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）

88.如圖，在RtZS/BC中，/4=91，AB=AC,點(diǎn)。為斜邊8c上的中點(diǎn)，點(diǎn)￡,F分

別在直角邊NC上（不與端點(diǎn)重合），且=N廠，連接DF、EF.設(shè)BE=a,

CF=b,.給出下面四個(gè)結(jié)論：①AD跖是等腰直角三角形②a+b=c③a2+62<c2

?c>^a+b）,上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有.

【考點(diǎn)23新定義問(wèn)題】

【例23]（24-25八年級(jí)?湖北荊州?期末）

89.如圖，Rt4/BC中，N4BC=90°,BM1AC,垂足為M,在下列說(shuō)法中:

試卷第25頁(yè)，共27頁(yè)

A

M

BC

?AB\BC2,ZU?為長(zhǎng)度的線段首尾相連能夠組成一個(gè)三角形；

②，而，曲,■為長(zhǎng)度的線段首尾相連能夠組成一個(gè)三角形；

③以（/。+8M）,（/8+的），BM為長(zhǎng)度的線段首尾相連能夠組成一個(gè)直角三角形；

④義，上為長(zhǎng)度的線段首尾相連能夠組成一個(gè)直角三角形；

AB工BC，BM

其中正確的說(shuō)法有.（填寫(xiě)正確說(shuō)法的序號(hào)）

【變式23-1]（24-25八年級(jí)?湖南永州?期中）

90.新定義：關(guān)于x的一元二次方程4+左=0與+左=0稱(chēng)為“同族二次方

程”，如2（x-3『+4=