2023-2024學(xué)年北京市延慶區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年北京市延慶區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.（4分）函數(shù)y=2*在％=1處的導(dǎo)數(shù)值為（）

1

A.21nlB.—C.1D.2

ln2

2.（4分）函數(shù)y=/+2在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為（）

A.3B.5C.7D.9

3.（4分）已知數(shù)列｛斯｝滿足斯+1=2斯，〃2=4,則數(shù)列｛斯｝的前4項和等于（）

A.16B.24C.30D.62

4.（4分）（五-》6展開式中的常數(shù)項為（）

A.-20B.20C.-15D.15

5.（4分）由數(shù)字0,1,2,3,4可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（）

A.25B.20C.16D.12

6.（4分）曲線y=cosx在x=0處的切線方程為（）

A.y=0B.y=-1C.y=xD.y=l

7.（4分）己知函數(shù)/（x）=x3+?x2+x+l（tzGR）有兩個極值點xi,XI（尤1＜尤2）,則（）

A.（1＜一色或。＞^B.xi是7（x）的極小值點

C./+&=弓D.x1x2=—0

8.（4分）設(shè)m,02,<23,-an,是1,2,3,6的一個排列.且滿足|ai-a2121a2-網(wǎng)》|。5-。6|,則

\ai-ai\+\ai-。3|+…+|"5-。6|的最大值是（）

A.17B.15C.13D.11

9.（4分）設(shè)｛斯｝是公比為4（qW-1）的無窮等比數(shù)列，8為其前w項和，fll＞0.則“q＞0”是“％存

在最小值”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

10.（4分）已知數(shù)列｛如｝滿足04"一3=-1,6Z4w-1=1,a2n—an,該數(shù)列的前幾項和為S〃，則下列論斷中錯

誤的是（）

A.431=1

B.622024=-1

C.三非零常數(shù)T,VnEN*,使得劭+T=4〃

D.VnGN*,都有S2九=一2

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）2023年起延慶區(qū)將利用三年時間重點打造“延慶東南山?九溝十八灣”鄉(xiāng)村振興品牌，旨在借

助延慶區(qū)東南部淺山區(qū)和山區(qū)的溝域空間結(jié)構(gòu)、功能布局及秀美山水，構(gòu)建9條各具特色的生態(tài)溝域廊

道、18條生態(tài)溝域農(nóng)文體康旅體驗灣，全面推動延慶區(qū)鄉(xiāng)村振興，打造新時代首都生態(tài)溝域綠色發(fā)展

新典范.小明打算從九溝十八灣中選出一溝一灣去旅游，則不同的選法有種.

12.（5分）已知函數(shù)/'（x）=loga無（。>0且aWl）,若/（1）=1,則.

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=3X3-4x+4,則/（x）在區(qū)間［-3,3］上的最大值為

14.（5分）已知數(shù)列｛斯｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，S”為其前"項和，ma3=16,$3=14,則ai=:

iHTn=axa2-an（〃=1,2,…），若存在&€N*使得7〃最大，則wo的值為.

15.（5分）已知數(shù)列｛.｝的各項均為正數(shù)，滿足利+i=c成+a”，其中常數(shù)c€R.給出下列四個判斷：

1

①右=。<0,則anV幾十］（幾—2）；

②若c=-19則V幾十］（于—2）；

③若c=l,an>n（n^2）,則〃1>1；

④。1=1,存在實數(shù)c,使得斯〉〃（〃22）.

其中所有正確判斷的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（14分）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

（I）/（x）=7?/；

（II）f8=竽;

（IV）f（x）=ln（1-2無）.

17.（13分）為了解客戶對A,8兩家快遞公司的配送時效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶

對這兩家快遞公司評價的調(diào)查問卷，已知A,8兩家公司的調(diào)查問卷分別有120份和80份，全部數(shù)據(jù)

統(tǒng)計如下：

快遞公司A快遞公司8快遞公司

項目配送時效服務(wù)滿意度配送時效服務(wù)滿意度

份數(shù)

評價分?jǐn)?shù)

85WxW9529241612

75?8547564048

65W尤＜7544402420

假設(shè)客戶對A,B兩家快遞公司的評價相互獨立.用頻率估計概率，

(1)從該地區(qū)選擇A快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取1人，估計該客戶對A快遞公司配送時效的評價不低

于75分的概率；

(2)分別從該地區(qū)A和8快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機(jī)抽取1份，記X為這2份問卷中的服務(wù)

滿意度評價不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記評價分?jǐn)?shù)x》85為“優(yōu)秀”等級，75Wx<85為“良好”等級，65Wx<75為“一般”等級、已

知小王比較看重配送時效的等級，根據(jù)該地區(qū)A,B兩家快遞公司配送時效的樣本評價分?jǐn)?shù)的等級情

況.你認(rèn)為小王選擇A,B哪家快遞公司合適？說明理由.

18.(13分)某學(xué)校開展健步走活動，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、

乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.

11月4日11月5日11月6日11月7日11月8日11月9日11月10日

▲—甲-—?---乙

圖1

圖2

(I)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；

(II)從n月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望；

(III)根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如

圖2所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221

名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).(只需寫出結(jié)論)

19.(15分)已知橢圓與+4=1(4Q0)的焦距為4/，以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形的

周長為16.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

\DM\1

(II)過點S(0,l)的直線/交橢圓片于P,。兩點,線段尸。的中點為”.是否存在定點。，使得^^=-?

若存在，求出。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.(15分)已知函數(shù)/(%)=—2+In(x—1),其中機(jī)ER.

(%—1)

(I)當(dāng)m=l時，求曲線y=/(x)在點(2,f(2))處的切線方程;

(II)若/(尤)在(2,+8)上存在極值，求實數(shù)機(jī)的取值范圍；

(III)寫出/(x)的零點個數(shù).(直接寫出結(jié)論即可)

21.(15分)有窮數(shù)列｛斯｝共機(jī)項(機(jī)23).其各項均為整數(shù)，任意兩項均不相等.bi=\ai-ai+i\(z=l,2,

m-1),biWbi+i(z=l,2,m-2).

(I)若｛a〃｝：0,11°3.求。3的取值范圍；

(II)若機(jī)=5,當(dāng)￡乙|七|取最小值時，求￡皂加的最大值；

1

(III)若IWaWm(1=1,2,m),玄憶bk=m+l,求他的所有可能取值.

2023-2024學(xué)年北京市延慶區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案ACCDCDABAc

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.（4分）函數(shù)y=2%在％=1處的導(dǎo)數(shù)值為（）

1

A.21rl2B.C.1D.2

ln2

【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，再將X=1代入導(dǎo)函數(shù)，即可求解.

【解答】解：y=2”?2,

當(dāng)x=l時，函數(shù)y=2*在無=1處的導(dǎo)數(shù)值為2歷2.

故選：A.

【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)師，屬于基礎(chǔ)題.

2.（4分）函數(shù)＞=丁+2在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為（）

A.3B.5C.7D.9

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均變化率公式，即可求解.

【解答】解：＞=丁+2在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為：23+2J/+2）=7.

故選：C.

【點評】本題主要考查平均變化率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

3.（4分）已知數(shù)列｛劭｝滿足斯+1=2斯，a2=4,則數(shù)列｛劭｝的前4項和等于（）

A.16B.24C.30D.62

【分析】由己知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的前4項，進(jìn)而可求前4項的和.

【解答】解:因為數(shù)列｛劭｝滿足曲+1=2麗,及=4,

所以m=2,＜23=8,04=16,

則數(shù)列｛?！ǎ那?項和為2+4+8+16=30.

故選：C.

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.（4分）（?-》6展開式中的常數(shù)項為（）

A.-20B.20C.-15D.15

【分析】在二項展開式的通項公式中，令工的基指數(shù)等于0,求出廠的值，即可求得常數(shù)項.

16—r6—3r

rrr

【解答】解：由于（日―展開式的通項公式為Tr+1=-1）-x=（-1）-C^x—.

6—3r

令二一=0,r=2,故展開式中的常數(shù)項為盤=15,

故選：D.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔

題.

5.（4分）由數(shù)字0,1,2,3,4可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（）

A.25B.20C.16D.12

【分析】要組成一個兩位數(shù)，那邊十位數(shù)必定不能為0,那么本題可以分為兩種情況，第一種是這個兩

位數(shù)不含。得情況；第二種是這個兩位數(shù)含有。得情況，然后對每種情況的個數(shù)進(jìn)行計算，最后求出它

們的總和

【解答】解：第一：當(dāng)兩位數(shù)不含。時，有

=12種，（表示的意思就是在1,2,3,4四個數(shù)字中選出兩個數(shù)并進(jìn)行排列組合）

第二：當(dāng)這個兩位數(shù)含有。時，只有4種情況

二總的個數(shù)為：12+4=16

故選：C.

【點評】本題考查類排列組合的應(yīng)用，對于這類題目先要認(rèn)真審題，根據(jù)題目的要求合理分類討論，同

時要區(qū)別排列與組合的不同.

6.（4分）曲線y=cosx在x=0處的切線方程為（）

A.y=0B.y=-1C.y=xD.y=l

【分析】對函數(shù)y=cosx求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得解.

【解答】解：設(shè)y=/（尤）=cosx,

則，（無）=-sinx,

可得f（0）=0,

又40）=1,

則所求切線方程為y=L

故選：D.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（4分）已知函數(shù)/（x）=X3+6ZX2+X+1（〃eR）有兩個極值點XI,XI則（）

A.a<-遮或a>WB.xi是/（x）的極小值點

11

C.%1+與=可D.xrx2=—

【分析】根據(jù)函數(shù)/（%）=?W+x+l（41GR）有兩個極值點，則導(dǎo)數(shù)為0有兩個根，由單調(diào)性及根與

系數(shù)的關(guān)系逐個判斷即可.

【解答】解：因為函數(shù)/（無）=x3+ar2+x+l（aCR）有兩個極值點xi,xi（xi<x2）,

所以/（尤）=3/+2辦+1=0有兩個根xi,X2（X1<X2）,

所以11+X2=-學(xué)X1X2=故C,。選項錯誤；

因為/（x）=3/+2依+1=0有兩個根xi,X2（X1〈X2）,

所以△=（2a）2-4X3Xl>0,即得/-3>0,解得aV-百或a>B,故A選項正確；

因為/（無）=3/+2亦+1=0有兩個根xi,X2（X1<X2）,

所以了（無）在（-8,XI）上單調(diào)遞增，在（XI,X2）上單調(diào)遞減，在〈XI,+8）上單調(diào)遞增，

故XI是/（X）的極大值點，B錯誤.

故選：A.

【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（4分）設(shè)41,02,<73,…an,是1,2,3,",6的一個排列.且滿足-42日。2-。3|2…冽。5-。6|,則

\a\-a2\+\a2-。3|+…+|。5-。6|的最大值是（）

A.17B.15C.13D.11

【分析】根據(jù)題意，分析可得滿足條件的排列可以為1,2,6,3,5,4,從而可解.

【解答】解：要使|。1-a2\+\a2-。3|+…+|。5-C16|的值最大，

又且|m-42121a2-43|2…2|。5-。6|,

所以排列可以為1,2,6,3,5,4,

則⑷-。2|+|。2-詞+…+|a5-。6|的最大值是5+4+3+2+1=15.

故選：B.

【點評】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.（4分）設(shè)｛劭｝是公比為4（q#-1）的無窮等比數(shù)列，％為其前〃項和，fli>0.則“q>0”是“S"存

在最小值”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)證明充分性，舉出反例可得必要性不成立，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，無窮等比數(shù)列｛劭｝中，ai>0,

若g>0,則a〃=aiq"-l>0,必有S+i>Sa,故甑存在最小值Si,

則“q>0”是“S存在最小值”的充分條件，

反之，當(dāng)41=1,4=一&時，S”存在最小值S2,

則%>0"不是“S”存在最小值”的必要條件；

故“q>0”是“S存在最小值”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.（4分）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足“4〃-3=-1,Q4〃-l=l,a2n=an,該數(shù)列的前〃項和為S,則下列論斷中錯

誤的是（）

A.431=1

B.02024=-1

C.m非零常數(shù)T,V尤N*,使得斯+7=斯

D.V尤N*,都有S2九=-2

【分析】由數(shù)列的遞推式，計算〃31和。2024,可判斷A&由數(shù)列的遞推式推得〃22時，“4〃一3+44〃一2+M

.1+。4〃=0,計算可判斷。，再由排除法可得結(jié)論.

【解答】解：由〃4〃-3=-1,44〃-1=1,Cl2n=Cln,可得〃31=〃32-1=1,〃2024=。1012=〃506=。253=44x64

-3=-1,故A3正確；

由41=-1,42=—1,。3=1,44=-19。5=-1,46=1,〃7=1,。8=11,…，Ri44〃-3+。4〃-2+。4〃

-1+。4九="1+。4展2+1+〃4”=。4展2+。4”,

當(dāng)n=l時，〃2+〃4=2〃2=-2,當(dāng)n=2時，〃6+〃8=。3+〃4=0,…，

即〃22時，44展3+。4展2+44展1+04〃=0,貝W尤N*,都有S2n=—2,故。正確；

由排除法，可得。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.(5分)2023年起延慶區(qū)將利用三年時間重點打造“延慶東南山?九溝十八灣”鄉(xiāng)村振興品牌，旨在借

助延慶區(qū)東南部淺山區(qū)和山區(qū)的溝域空間結(jié)構(gòu)、功能布局及秀美山水，構(gòu)建9條各具特色的生態(tài)溝域廊

道、18條生態(tài)溝域農(nóng)文體康旅體驗灣，全面推動延慶區(qū)鄉(xiāng)村振興，打造新時代首都生態(tài)溝域綠色發(fā)展

新典范.小明打算從九溝十八灣中選出一溝一灣去旅游，則不同的選法有162種.

【分析】直接利用組合知識求解即可.

【解答】解：由題意，可得小明打算從九溝十八灣中選出一溝一灣去旅游，則不同的選法有盤盤&=162

種.

故答案為：162.

【點評】本題考查了排列組合的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

12.(5分)已知函數(shù)/'(x)=k＞ga無(。＞0且aWl),若/(1)=1,則a=e.

【分析】根據(jù)已知條件，對/(%)求導(dǎo)，再結(jié)合/(1)=1,即可求解.

【解答】解：函數(shù)/'(X)=logaX(。＞0且。力1),

則/⑴=/，

f(1)=1,

1

則了m=-=1，解得

故答案為：e.

【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

128

13.(5分)已知函數(shù)〃久)久3一4久+4,則/(x)在區(qū)間［-3,3］上的最大值為丁.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，與端點處的函數(shù)值比較即可得出結(jié)論.

1

【解答】解：函數(shù)/■(%)=_4%+4,XG［-3,3］,

f(x)=/-4=(x+2)(尤-2),

可得函數(shù)/(x)在［-3,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增.

；.x=-2時，f(x)取得極大值；x=2時，f(x)取得極小值.

/(-2)=-1+8+4=^,

而7(3)=9-12+4=1,

一28

.V(x)在區(qū)間［-3,3］上的最大值為三.

2Q

故答案為：—.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題..

14.（5分）已知數(shù)列｛麗｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前〃項和，aia3=16,&=14,則ai=4

記Cn=l,2,…），若存在為eN*使得7“最大，則項的值為3或4.

【分析】由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求及=4,又53=14,可得自黑；^O'解得自二朝:;=2

即可求得及，分類討論可求q的值，即可求解數(shù)列的各項，即可求解.

【解答】解：等比數(shù)列｛礪｝中，公比q>0；由口「。3=16=謾，所以〃2=4,又53=14,

所以，？二二%,解得［”緘野之,

—10—8—2

若黑11：時，可得4=2,則〃2=Qiq=2X2=4,

且的，。2，…，。而的值為2,4,8,16,…，可知數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞增，且各項均大于1,

所以不會存在如使得a?,…，的乘積最大（舍去）；

若｛詈=；時'可得Q=2，則劭=aiQ=8x^=4,

11

且…，。九0的值為8,4,2,1/彳，…，

可知數(shù)列｛斯｝單調(diào)遞減，從第5項起各項小于1且為正數(shù)，

前4項均為正數(shù)且大于等于1,

所以存在如=3或碩=4,使得8X4X2X1的乘積最大，

綜上，可得加的一個可能值是3或4.

故答案為：4；3或4.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、分類討論思想等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.（5分）已知數(shù)列｛即｝的各項均為正數(shù)，滿足即+1=。凝+劭，其中常數(shù)cER.給出下列四個判斷：

1

①若41=1,c<0,則許V后萬（7122）;

1

②若c=-1,則anV九+i（3—2）;

③若c=l,a〃>n（九22）,則〃1>1；

@ai=1,存在實數(shù)c,使得即>〃（九22）.

其中所有正確判斷的序號是②③④.

【分析】對于①：若m=l,c<0,取c=—最可得a2/,與a2?矛盾，從而判定①；對于②：若

111

c=-1,可推得0V劭<1,再由遞推式推得一一一>71—2,從而推得的1VH（幾22）,可判定②;

。九口2八十工

對于③：若c=l,an>n（n^2）,假設(shè)〃1W1,則如二於+的工？，與〃2>2矛盾，故m>l,從而判

定③；對于④：當(dāng)。1=1時，若。=2,可得的=2於+的=3〉2,在此情況下，可證存在實數(shù)c,使

得斯>〃（n、2）成立，從而判定④.

【解答】解：對于①：若QI=1,c<0,則g=。講+的=c+1，

當(dāng)c=_，時,a2-|,與a2G矛盾，故①錯誤；

對于②：若c=-l,則冊+i=-謚+a九〉0,所以0<許<1,

1、八一1

又02=-青+。1，若-講+&<@,該不等式恒成立，即OVa2V了

,,1111.1111

^3。力4-1=—2+Q力=~7~\T=I~-3,

&i+lQn（l—即）an+l0幾1—即an+l即1—廝

111

由于0<薪<1,所以----->1,所以-------—>1,

aa

1—（1rln+ln

,111111

所以〃三3時，一—---->1,.....-.....>1,…，———>1,

a九“71-10九-1"九-2"3g

1111

累加得一-—>n-2,所以一>n-2+—>n-2+3=n+l,

a九。2Q?i。2

11

所以a九V1+］（九十3）,綜合得的1V元釘（荏22）,故②正確；

對于③：若c=l,an>n（〃\2）,an+1-an+an,

假設(shè)mWl,則a2=嫌+&1<2,與C?2>2矛盾，故ai>l,故③正確；

對于④：當(dāng)ai=l時，若c=2,則an+i=2磷+即，此時a2=2講+%,=3>2,

根據(jù)二次函數(shù)y=2f+x,可得其在（0,+8）上單調(diào)遞增，并增加得越來越快，

但是函數(shù)y=x在（0,+8）上單調(diào)遞增，但增加速度恒定，

故在°2>2的情況下，a”>”必成立，即存在實數(shù)c,使得所>"（九22）,故④正確.

故答案為：②③④.

【點評】本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，屬中檔題.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（14分）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

（I）/（尤）—x2"^；

（IDf（x）=甯；

RD4）=忍

（IV）f（x）=ln（1-2x）.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，即可依次求解.

【解答】解：(I)/(X)=口必

則了(x)=2%?/+/?/=(2%+x2)8

(11)&)=竽;

川電:y-叱0)2_康一歷先"位

人」/w-m心-/'

(IID所生

貝U//(%)—cosx-(1+cosx)—sinx'(―sinx)

(1+cosx)2

_cosx+cos2x+siri2ix_1+cos%_1

(l+cosx)2(l+cos%)21+COSX

(IV)f(%)=ln(1-2x),

11_?

則廣⑺二E.(1-2x)，=e?(-2)=ra-

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

17.(13分)為了解客戶對48兩家快遞公司的配送時效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶

對這兩家快遞公司評價的調(diào)查問卷，已知A,8兩家公司的調(diào)查問卷分別有120份和80份，全部數(shù)據(jù)

統(tǒng)計如下：

快遞公司A快遞公司B快遞公司

項目配送時效服務(wù)滿意度配送時效服務(wù)滿意度

份數(shù)

評價分?jǐn)?shù)

85W%W9529241612

75W尤<8547564048

65?7544402420

假設(shè)客戶對A,B兩家快遞公司的評價相互獨立.用頻率估計概率,

(1)從該地區(qū)選擇4快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取1人，估計該客戶對A快遞公司配送時效的評價不低

于75分的概率；

(2)分別從該地區(qū)A和8快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機(jī)抽取1份，記X為這2份問卷中的服務(wù)

滿意度評價不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記評價分?jǐn)?shù)xN85為“優(yōu)秀”等級，75Wx<85為“良好”等級，65Wx<75為“一般”等級、已

知小王比較看重配送時效的等級，根據(jù)該地區(qū)A,B兩家快遞公司配送時效的樣本評價分?jǐn)?shù)的等級情

況.你認(rèn)為小王選擇A,8哪家快遞公司合適？說明理由.

【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,結(jié)合獨立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)

而得到X的分布列，再利用期望公式求出E(X)的值；

(3)根據(jù)題意分別計算A,8快遞公司配送時效評價為“優(yōu)秀”或“良好”的概率，再比較即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，該地區(qū)參與A快遞公司調(diào)查的問卷共120份，樣本中對A快遞公司

配送時效的評價不低于75分的問卷共29+47=76份，

...,7619

所以樣本中對A快遞公司配送時效的評價不低于75分的頻率為---=一,

12030

19

估計該地區(qū)客戶對A快遞公司配送時效的評價不低于75分的概率一；

30

(2)X的所有可能取值為0,1,2,

記事件C為“從該地區(qū)A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取1份，該份問卷中的服務(wù)滿意度評價不

低于75分”，事件D為“從該地區(qū)B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取1份，該份問卷中的服務(wù)滿

意度評價不低于75分”，

由題設(shè)知，事件C,。相互獨立，且。(。)=斗界=1P(D)=與署

所以尸(X=0)=P(CD)=(l-g)X(1-^)=運(yùn)，

——2323s

P(X=l)=P(CDUCD)=(1—()X+1X(1-

P(X=2)=P(CD)=|x|=|,

所以X的分布列為：

X012

P151

12122

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0xi+lx^+2x|=||；

(3)答案不唯一，

答案示例1：小王選擇A快遞公司合適，理由如下：

29

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計A快遞公司配送時效評價為“優(yōu)秀”的概率是一【，估計5快遞公司配送時效評價

120

1

為“優(yōu)秀”的概率是g,

291

因為二>?故小王選擇A快遞公司合適，

1205

答案示例2：小王選擇3快遞公司合適，理由如下：

19

由(1)知，估計A快遞公司配送時效評價為“良好”以上的概率是右，由樣本數(shù)據(jù)可知，估計5快遞

30

公司配送時效評價為“良好”以上的概率是四四=至=1，因為V<—,故小王選擇2快遞公司

8080103010

合適.

【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔

題.

18.(13分)某學(xué)校開展健步走活動，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、

乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.

11月4日11月5日11月6日11月7日11月8日11月9日11月10日

-甲乙

圖1

圖2

(I)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；

(II)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望；

(III)根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如

圖2所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221

名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).(只需寫出結(jié)論)

【分析】(I)結(jié)合古典概型概率公式求解；

(II)先求出X的可能取值，然后求其對應(yīng)的概率，最后求其分布列及其期望；

(III)結(jié)合頻率分布直方圖求解.

【解答】解：(【)設(shè)“甲比乙的步數(shù)多”為事件A.

在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多,

所以PQ4)=宗

即這一天甲比乙的步數(shù)多的概率為最

(II)由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天，

X的所有可能取值為0,1,2,

P(x=o)=胃4，P(X=1)=胃=3p(x=2)=管=7，

則X的分布列為:

X012

P~2~~41

777

2416

即E(X)=0Xy+lXy+2Xy=y.

(Ill)11月6日.

【點評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，重點考查了頻率分布直方圖，屬中檔題.

19.(15分)已知橢圓￡?鳥+4=1(a>b>0)的焦距為4VL以橢圓石的四個頂點為頂點的四邊形的

周長為16.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點S(0,1)的直線/交橢圓E于P,Q兩點，線段P。的中點為是否存在定點D,使得喘=!?

若存在，求出。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(I)由題意可得2c=4/，4Va2+b2=16,解得a,6的值，即求出橢圓的方程；

(II)使得需=2,等價于以尸。為直徑的圓恒過定點。，當(dāng)直線/的斜率不存在和為0時，以P。

為直徑的圓上，兩式聯(lián)立可得。的縱坐標(biāo)為-2,設(shè)。(0,-2),當(dāng)直線/的斜率垂直且不為0時，設(shè)

―?—>

直線/的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出DQ?DP=0,即存在。(0,-2)

滿足條件.

【解答】解：(I)由題意可得2c=4\泛，4Va2+b2=16,解得〃2=12,廿=4,

%2y2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：不+—=1；

124

(II)若存在定點D,使得\D身M\=予1等價于以尸。為直徑的圓恒過定點D，

當(dāng)直線/的斜率不存在時，PQ為直徑的圓的方程為？+/=4,①，

當(dāng)直線/的斜率為。時，令y=l,得彳=±3,因此P。為直徑的圓的方程為x?+(y-1)2=%②

聯(lián)立①②，得］：［二2=9'整理可得：2y=-4,解得y=-2,

猜測點。的坐標(biāo)為(0,-2),

當(dāng)直線/的斜率垂直且不為。時，設(shè)直線/的方程為》=丘+1,設(shè)P(xi,yi),Q(%2,”)，

y=fcx+1

聯(lián)立.％2y2,整理可得：(3乒+1)/+6丘-9=0,

應(yīng)+彳=1

IYI.I6k9_j【_,1

貝！J%1+%2=-----2——，%i%2=-----2——'yi=kxi+l,y2=kx2+l,

3k+l3k+l

—>—>

所以DP-DQ=Qi，%,+2)?(刀2，>2+2)=x\xi+(fcci+3)(te+3)

C9(\k

=(r+l)xixi+3k(X1+X2)+9=(k2+1)(——7—)+3k(——+9=0.

3fcz+l3fcz+l

綜上，存在定點D(0,-2),使得三\DM二\=-1-

\PQ\2

【點評】本題考查橢圓的方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(15分)已知函數(shù)/'(久)=―7n2+E(x—1),其中"￡R.

(x-1)

(I)當(dāng)機(jī)=1時，求曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程；

(II)若尤)在(2,+8)上存在極值，求實數(shù)優(yōu)的取值范圍；

(III)寫出了(x)的零點個數(shù).(直接寫出結(jié)論即可)

【分析】(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可；

(II)f(無)=0在(2,+8)上有解，貝I］(x-1)2-2m=0在(2,+°°)上有解，即可求解；

(III)利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

1

【解答】解：(I);當(dāng)m=1時，/(X)=—

(X-1)

21

/(%)=--^-3+/(2)=1,f(2)=-1,

(%—1)人±

???曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為

y-l=-(x-2),即x+y-3=0.

(II)?.?(>)='2+伍(萬一1)在(2,+8)上存在極值，

0-1)

2

f，3__2_.1_(%T)—2m

J(久)__；一^3十啟I——；―*-'

(X—1)41(X—1)

...(X-1)2-2〃7=0在(2,+8)上有解。2機(jī)=(X-1)2在(2,+8)上有解，

?1

2m〉才

1

故機(jī)的取值范圍(],+00).

(III)當(dāng)小《0時，f(x)有一個零點；

當(dāng)0<m〈/時，f(