2024-2025學(xué)年北師版八年級數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)講義+專項(xiàng)練習(xí)：等腰三角形中的分類討論思想（七大考點(diǎn)）解析版

專題L8等腰三角形中的分類討論思想七大考點(diǎn)

【北師大版】

?題型梳理

【題型1與邊分類討論】.......................................................................1

【題型2與角分類討論】.......................................................................3

【題型3與高分類討論】.......................................................................7

【題型4與垂直平分線分類討論】..............................................................11

【題型5與中線分類討論】....................................................................16

【題型6與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段需分類討論】..........................................................19

【題型7構(gòu)造等腰三角形需分類討論】..........................................................23

，舉一反三

【題型1與邊分類討論】

【例1】（2023春?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學(xué)校考開學(xué)考試）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且

a、b滿足（a-2尸+-3|=0,則此等腰三角形的周長為（）

A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10

【答案】A

【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于。、。的方程組，接下來解方程組即可求出a、b的值，再分類

討論，可得結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意得，a-2=0,b—3=0,

.'.a—2,b—3,

①當(dāng)a=2是腰時(shí)，三邊分別為2、2、3,能組成三角形，

周長為：2+2+3=7.

②當(dāng)6=3是腰時(shí)，三邊分別為3、3、2,能組成三角形，

周長為：3+3+2=8.

所以等腰三角形的周長7或8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題.

【變式1-1］（2023春?山東威海?八年級統(tǒng)考期末）用一條長20cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若一邊長是

1

另一邊長的2倍，則底邊的長為.

【答案】4cm

【分析】設(shè)較短的邊長為xcm,則較長的邊為2xcm,分兩種情況：當(dāng)較短的邊為底邊，較長的邊為腰時(shí)；當(dāng)

較長的邊為底邊，較短的邊為腰時(shí)，分別進(jìn)行求解即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)較短的邊長為xcm,則較長的邊為2xcm,

當(dāng)較短的邊為底邊，較長的邊為腰時(shí)，則x+2x+2x=20,

解得：x=4,

此時(shí)三角形三邊長分別為4cm,8cm,8cm,能組成三角形；

當(dāng)較長的邊為底邊，較短的邊為腰時(shí)，貝屹久+x+尤=20,

解得：x=5,

此時(shí)三角形三邊長分別為5cm,5cm,10cm,

5+5=10,

不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；

綜上所述，三角形底邊的長為4cm,

故答案為：4cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形任

意兩邊之和大于第三邊，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023春?安徽六安?八年級?？计谥校┮阎妊鰽BC的周長為18,BC=8,若AABCmADEF,

則ADEF中一定有一條邊等于（）

A.7B.2或7C.5D.2或5

【答案】D

【分析】分為腰、BC為底兩種情況，求出等腰三角形的另兩邊，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.

【詳解】解：當(dāng)8c=8為腰時(shí)，等腰AABC的周長為18,

...另兩邊為8或2,

當(dāng)BC=8為底時(shí)，另兩邊為5或5,

V△ABC34DEF,

：.△DEF中有一條邊等于2或5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

2

【變式1-3］（2023春?陜西西安?八年級西安市第八十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義；等腰三角形的底邊長與其

腰長的比值左稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”.若等腰三角形的周長為13cm,AB=5cm,則它的“優(yōu)美比”

為（）

A.：B.|C.|^|D.［或|

【答案】C

【分析】分兩種情況：力B為腰或48為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美

比%.

【詳解】解：當(dāng)4B腰時(shí)，則底邊=3cm；

此時(shí)，優(yōu)美比k=|;

當(dāng)4B為底邊時(shí)，則腰為4cm；

此時(shí)，優(yōu)美比k=與

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【題型2與角分類討論】

【例2】（2023春?八年級課時(shí)練習(xí)）過等腰三角形底角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形

均為等腰三角形，則原等腰三角形的頂角度數(shù)為.

【答案】36。或然）。

【分析】分兩種情況畫出圖形，①當(dāng)BC=BD=AD,AB=AC時(shí)，設(shè)乙4=a,得NC=乙CDB=2a.AABC=

ZC=2a.由N4+AABC+zC=180°,則a+2a+2a=180°,即可得到a=36°；②當(dāng)4D=BD,BC=DC,

AB=AC時(shí)，設(shè)44=a.得/ABC=zC=3a.貝叱4+/.ABC+zC=180°,則a+3a+3a=180°,得a=

然）。?

【詳解】解：分兩種情況討論：

①如圖（1）,

A

A

B（1）。

3

當(dāng)BC=BD=AD,時(shí)，設(shè)乙4=a.

■:BD=AD,

Z-ABD=乙4=a,

'.Z-CDB=Z-ABD+Z-A=2a.

■;BC=BD,

/.zf=Z-CDB=2a.

*：AB=AC,

Z-ABC=Z-C—2a.

,?24+/ABC+NC=180。，

Act+2a+2a=180°,

解得a=36°.

②如圖(2),

A

B(2)C

當(dāng)4D=BD,BC=DC,48=AC時(shí)，設(shè)=a.

"：AD=BD,

Z.A=乙ABD=a.

Z-BDC=Z-A+乙ABD=2a.

?；BC=DC,

/.Z-CBD=Z.BDC=2a,

Z-ABC=乙ABD+Z-CBD=3a.

9：AB=AC,

:?乙ABC=乙C=3a.

??2/++NC=180°,

.\a+3a+3a=180°,

4

解得a=（—）。.

綜上，原等腰三角形頂角的度數(shù)為36。或（手）。.

故答案為：36?；颍ㄒ唬?/p>

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)等知識，分類討論是

解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?安徽亳州?八年級統(tǒng)考期末）一個(gè)等腰三角形，其中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5,它的

三個(gè)內(nèi)角可能是（）

A.30°,30°,120°B.50°,50°,80°

C.75°,75°,30°D.80°,80°,20°

【答案】C

【分析】分兩種情況，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5,

二設(shè)一個(gè)內(nèi)角等于2x,另一個(gè)內(nèi)角等于5支，

???三角形是等腰三角形，

2x+2x+5x=180°或5x+5%+2x=180°,

解得：x=20°或久=15°,

,三個(gè)內(nèi)角是40。,40°,100?；?5。，75°,30°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023春?八年級課時(shí)練習(xí)）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等

腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中，44=80°,則它的特征值k為（）

A.黑弓B.，或（C.1或4D.高或4

【答案】A

【分析】分/A為頂角和底角兩種情況,利用等腰三角形的兩底角相等求出底角或頂角，然后根據(jù)k的定義求

解即可.

【詳解】解：①當(dāng)NA為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：I（180°-80°）=50°

,,80°8

..k=-=-

50°5

5

②當(dāng)NA為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180。-80。-80。=20。.

?二特征值k=N=-

80°4

綜上所述，k為:或

故答案為A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，NA是頂角還是底角的分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023春?山東棗莊?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中，^ABC=40°,^BAC=80°,以點(diǎn)力為

圓心，4C長為半徑作弧，交射線B4于點(diǎn)D,連接CD,則N8CD的度數(shù)是.

【答案】10?；?00。

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在BA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。在84的延長線上時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定

理以及三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，

當(dāng)點(diǎn)。在上時(shí)，由作圖可得：AD=AC,

???乙ADC=Z.ACD,

???乙ADC+Z-ACD+2LBAC=180°,ABAC=80°,

1800-/-BAC1800-80°

???Z.ADC=Z-ACD=---------=----------=50°,

22

???在△ABC中，/.ABC=40°,Z.BAC=80°,

???^ACB=180°-/LABC-^BAC=180°—40°-80°=60°,

???乙BCD=AACB-AACD=60°-50°=10°,

當(dāng)點(diǎn)。'在84的延長線上時(shí)，由作圖可得：AD'AC,

6

???^AD'C=AACD',

vZ.D'AC=ZXBC+AACB=40°+60°=100°,AAD'C+AACD'+zDMC=180°,

AAD'C=/.ACD'=40°,

???/.BCD'=Z.ACB+/.ACD'=60°+40°=100°

綜上所述：NBC。的度數(shù)是：10?；?00。，

故答案為：10?；?00。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上

知識點(diǎn)，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

【題型3與高分類討論】

【例3】（2023春?廣東深圳?八年級?？计谥校┤粢粋€(gè)等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角

形的底角的度數(shù)是（）

A.15°B.75°C.15?；?5。D.無法確定

【答案】C

【分析】分兩種情況，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，結(jié)合等邊三角形的判定和

性質(zhì)求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù).

【詳解】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，作CD，48于點(diǎn)取AC的中點(diǎn)￡,連接DE,如圖：

為AC的中點(diǎn)，

：.DE=CE=-AC,

2

VCD--AC,

2

ACD=CE=DE,

???△CDE為等邊三角形,

7

:.乙DCE=60°,

???乙4=90。-60。=30。，

'：AB=AC,

工匕B=4ACB=75°；

當(dāng)△/山?為鈍角三角形時(shí)，作80，乙4,交乙4的延長線于點(diǎn)。，取的中點(diǎn)凡連接。E,如圖:

貝IJ乙=90°,

?/E為48的中點(diǎn)，

：.BE=DE=-AB,

2

i

?:BD=-AB,

2

???△BDE為等邊三角形，

：.Z.ABD=60°,

=90。-60。=30。，

:ZBAC=150°,

u

：AB=ACf

:.乙ABC=M=15°；

綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是15。或75。，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊三角形的

判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式3-1］（2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40。，則腰上的高與底邊的夾

角為.

【答案】20?；?0。

【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計(jì)算.

【詳解】當(dāng)40。角為底角時(shí)，如圖，

8

"：CA=CB,

：.^CAB=NB=40°,

過點(diǎn)A作AD1CB,交BC的延長線于點(diǎn)D,

：.AADC=90°,

：./.DAB=90°-ZB=50°；

當(dāng)40。角為頂角時(shí)，如圖,

'：CA=CB,

過點(diǎn)A作4Gle8,交BC于點(diǎn)G,

/./.AGB=90°,

：.^GAB=90。-NB=20°；

故答案為20。或50。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的角的計(jì)算，熟練掌握分類思想是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?全國?八年級課堂例題）已知AABC的高A。，BE所在的直線交于點(diǎn)F,若BF=2C,則

乙48C的度數(shù)為.

【答案】圖見解析，45?；?35。

【分析】分兩種情況，畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】解：［作圖區(qū)］

當(dāng)乙4BC為銳角時(shí)，如圖①.

9

A

當(dāng)乙4BC為鈍角時(shí)，如圖②.

［解答區(qū)］

①若AABC為銳角三角形時(shí)，N4BC為銳角，如圖①，

,：AD1BC,BE1AC,

:.乙BDF=AADC=乙BEC=90°,

.*.ZC+ACBE=90°,ZC+乙CAD=90°,

:.乙CBF=ACAD,

：.ABDF三△ADC(AAS),

：.BD=AD,

：./-ABD=45°,

即Z718C=45°；

②若△ABC為鈍角三角形時(shí)，乙4BC為鈍角，如圖②，

同理可證4BDF=AXDC(AAS),

：.BD=4D,

ABD=45°,

：.Z.ABC=135°,

綜上所述，乙4BC的度數(shù)為45。或135。.

故答案為：45?；?35。.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］(2023?山東泰安?統(tǒng)考二模)在平行四邊形2BCD中，AD=BD,8E是4。邊上的高，乙EBD=30°,

則乙4的度數(shù)為.

【答案】60。或30。

【分析】首先求出乙4DB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，得出乙4的度數(shù).

10

【詳解】解：情形一：當(dāng)E點(diǎn)在線段4D上時(shí)，如圖所示,

???BE是4。邊上的高，乙EBD=30°,

???^ADB=90°-30°=60°,

???AD=BD,

Z4=^ABD=(180°-60°)+2=60°；

情形二：當(dāng)E點(diǎn)在力。的延長線上時(shí)，如圖所示,

???4BDE=60°,

???AD—BD,

：.ZX=/.ABD=-/-BDE=30°.

2

故答案為：60。或30。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的高等知

識，得出Z4DB的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

【題型4與垂直平分線分類討論】

【例4】(2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末)已知線段4B垂直平分線上有兩點(diǎn)C、D,若N4DB=80°,ACAD=

10°,貝IJNACB=()

A.80°B.90°C.60?；?00。D.40?；?0°

【答案】C

【分析】如圖，垂直平分AB,垂足為E,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=D2,則根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出/ZMB=/O8A=50。，當(dāng)C點(diǎn)在線段QE上，NCAQ=1O。時(shí)，則/C4B

二40。，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算/ACB=100。；當(dāng)C'點(diǎn)在ED的延長線上，NC&D

=10。時(shí)，貝吐C'4B=60。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得41C'B=60。.

11

【詳解】解：如圖，。石垂直平分A3,垂足為￡,

：.DA=DB,

11

AZDBA=-(180°-ZADB)=-x(180°-80°)=50°,

22

當(dāng)C點(diǎn)在線段￡>E上，NCA￡)=10。時(shí)，貝!|NC4B=50。-10。=40。，

'JCA^CB,

：.ZCAB=ZCBA=4Q°,

：.ZACB=180°-40°-40°=100°；

當(dāng)C'點(diǎn)在EZ)的延長線上，NC'4D=10。時(shí)，則/(?28=50。+10。=60。,

"：CA=CB,

：./.ACB=60°,

綜上所述，ZACB的度數(shù)為60。或100°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，

到線段兩端點(diǎn)的距離相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

【變式4-1]（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）已知，在AOPQ中，OP=OQ,OP的垂直平分線交OP于

點(diǎn)0,交直線OQ于點(diǎn)E,NOEP=50。，貝ikPOQ=.

【答案】65。或115。

【分析】AOPQ為銳角三角形時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線的定義得到NODE=NPDE=90。，從而求得N0ED=

△PED二3乙OEP,繼而可得NE0D=90°-25°=65。，問題得解；△OPQ為鈍角三角形時(shí)，同理可得NE0D=

90。-25。=65。，即NPOQ=180。一4￡。。，問題得解.

【詳解】解：①如圖1,AOPQ為銳角三角形時(shí)，

12

o

TOE垂直且平分OP,

：.^ODE=Z.PDE=90°,OE=PE,

i

:,乙OED=乙PED=-ZOEP,

2

又,：（OEP=50°,

:,乙OED=/-PED=25°,

???4￡。0=90。-25。=65。；

②如圖2,△OPQ為鈍角三角形時(shí)，

???DE垂直且平分OP,

：.^ODE=Z.PDE=90°,OE=PE,

i

：.Z.OED=乙PED=二乙OEP,

2

又?："EP=50°,

J./-OED=乙PED=25°,

???"。0=90。-25。=65。，

:,（POQ=180°-65°=115°；

故答案為：65?；?15。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)

及定理，準(zhǔn)確作出圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023春?上海?八年級專題練習(xí)）在△ZBC中，Z.BAC=a,邊ZB的垂直平分線交BC于點(diǎn)。，邊

13

4c的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,連接4D,AE,貝吐￡ME的度數(shù)為.（用含a的代數(shù)式表示）

【答案】2a-180?；?80。-2a

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到NB=ABAD,ZC=NC4E,進(jìn)而得到NB+NC=ABAD+

^CAE=180°-a,再分兩種情況：①NB4C為鈍角；②NB4C為銳角進(jìn)行討論，利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

即可得出答案.

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖所示，當(dāng)NB4C為鈍角時(shí)，

：.BD=AD,AE=CE

??Z-B=Z-BAD,Z-C—Z-CAE

??Z-B+Z.C=Z-BAD+Z-CAE,

又??"B+ZC+Z.BAC=180°,ABAC=a

?"B+ZC=Z-BAD+/.CAE=180°-a

'：^BAC=乙BAD+/.CAE+^DAE

：.^DAE=Z.BAC-(4BAO+^CAE)=2a-180°

〈DM垂直平分48,EN垂直平分/C

：.BD=AD,AE=CE

/.Z-B—Z-BAD,Z-C—Z-CAE

**?Z-B+Z-C=Z-BAD+Z-CAE,

又〈KB+ZC+^BAC=180°,Z.BAC=a

:.乙B+ZC=4BAD+/.CAE=180°-a

14

VzFXC=憶BAD+^CAE)一^DAE

J.Z.DAE={Z.BAD+Z.CAE)-^.BAC=180°-2a

故答案為：2a-180?；?80。一2a.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí))ANBC中，力B的垂

直平分線與N4CB的外角平分線交于點(diǎn)DE垂直直線BC于E,若AC=7,CE=2,貝的長是.

【答案】11或3

【分析】分點(diǎn)E在BC上或點(diǎn)K在8c的延長線上兩種情形，分別利用HL證明尸三Rt△BDE,得BE=4F,

同理可得CE=CF,從而解決問題.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí).

過點(diǎn)D作。交4c的延長線于E連接4。=8。，

的垂直平分線與44cB的外角平分線交于點(diǎn)D,

：.AD=BD,DE=DF,

在Rt△40E和Rt△BDE中，

(AD=BD

IDF=DE'

Rt△ADFaRtABOE(HL),

：.BE=AF,

同理可得CE=CF,

：.AF=7+2=9,

：.BC=BE+CE=9+2=11,

當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖，

15

M

AD

I一一I

BCE

同理可得4F=BE=AC-CF=7-2=5,

：.BC=BE-CE=5-2=3,

綜上：BC=11或3,

故答案為：11或3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【題型5與中線分類討論】

【例5】（2023春?湖北恩施?八年級校考階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的中線分周長為9和12兩部分，請你

畫出示意圖，并結(jié)合圖形，求這個(gè)等腰三角形的各邊長

【答案】這個(gè)等腰三角形的底為9或5,這個(gè)等腰三角形的腰為6或8

【分析】由題意得，腰上的中線把等腰三角形分成9和12兩部分，則要分一腰的一半與另一腰的和為9或

12兩種情況進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：如圖，①當(dāng)4。+力。=9時(shí)，

???CD是4B邊的中線，

1

???AD=-AC,

2

???-AC=9,AC=6,

2

???BC=9；

②當(dāng)49+/C=12時(shí)，貝Ij|/C=12,

AC=8；

BC=5,

16

答：這個(gè)等腰三角形的底為9或5,這個(gè)等腰三角形的腰為6或8.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及二元一次方程組的應(yīng)用；解題時(shí)主要利用了分情況討論的思想及列

二元一次方程組求解，也是正確解答本題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023春?重慶九龍坡?八年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))在周長為10的AABC中，AB=

AC,2。為AABC的中線，且8。將AABC的周長分為兩部分，兩部分的差值為2,則底邊長為.

【答案】2或日

【分析】等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為兩部分，但已知沒有明確是哪兩部分，因此有兩種情況，

需要分類討論.

【詳解】解：在A48C中，AB=AC,8。為AABC的中線，

設(shè)AB=AC=x,則AD=CD=gx,同時(shí)設(shè)BC=y

①當(dāng)CAABD—C^BCD=2時(shí)，

(11

(%+&%+BD)—(-x+y+BD)=2

%+x+y=10,

解得，

：.BC=2;

②當(dāng)CABCD~C^ABD=2時(shí)，

(1i

(-x+y+BD)—(%+-x+BD)=2

2%+y=10

(x——8

解得，J

：.BC=—,

3

綜上，△ABC的底邊8c的長為2或葭

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算.在解題時(shí)要注意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023春?江蘇?八年級專題練習(xí))在△ABC中，AB=AC,AC邊上的中線8。把△ABC的周長分

為24cm和30cm的兩部分，則BC的長為()cm

A.14B.16或22C.22D.14或22

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，得出4。=。。=豺配根據(jù)AB=AC,得出AB=2AD,分兩種情況當(dāng)4B+AD=24cm

17

時(shí)，2A￡)+A￡)=24cm,可求BC=30cm-C￡>=30cm-8cm=22cm,當(dāng)A8+AD=30cm時(shí)，2AZ)+A￡>=30cm,可求

BC=24cm-C￡)=24cm-1Ocm=14cm艮可.

【詳解】解：,?,點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，

：.AD=DC=-AC,

2

9

：AB=AC9

：.AB=2ADf

分兩種情況，當(dāng)AB+AO=24cm時(shí)，2AD+AD=24cm,

角軍得8cm,

VBC+CD=30cm,

BC=30cm-C￡)=30cm-8cm=22cm,

當(dāng)A5+AZ)=30cm時(shí)，2AD+AD=30cm,

解得AD=10cm,

VBC+C￡)=24cm,

BC=24cm-CD=24cm-1Ocm=14cm,

?\BC的長為14cm或22cm.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，中線性質(zhì)，一元一次方程，線段和差，分類思想的應(yīng)用，掌握等腰三角

形性質(zhì)，中線性質(zhì)，一元一次方程，線段和差，分類思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023春?遼寧沈陽?八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谀┮阎粋€(gè)等腰三角形的周長為45cm,

一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分為3:2的兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底長為.

【答案】9cm或21cm

【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立

方程組，進(jìn)而可求得等腰三角形的底邊長.注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是

否滿足三角形的三邊關(guān)系.

18

【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長是xcm,底邊長是ycm.

根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分為27cm和18cm兩部分，

12或h2,

-x+y=18-%+y=27

解用二端;品

經(jīng)檢驗(yàn)，都符合三角形的三邊關(guān)系.

因此這個(gè)等腰三角形的腰長為9cm或21cm.

故答案為：9cm或21cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確3：2兩部分是哪一部分含有底邊,

所以一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要,

也是解題的關(guān)鍵.

【題型6與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段需分類討論】

【例6】（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，直線a,6交于點(diǎn)0,Na=40。，點(diǎn)A是直線。上的一個(gè)定點(diǎn)，

點(diǎn)8在直線6上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線a的上方，若以點(diǎn)O,A,8為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則

ZOAB^'

【答案】40或70或100

【分析】根據(jù)△為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)。4=03時(shí),

分別求得符合的點(diǎn)8,即可得解.

【詳解】解：要使AOAB為等腰三角形分三種情況討論：

19

①當(dāng)。8尸AS時(shí)，ZOAB=Z?=40°；

②當(dāng)時(shí)，/048=180。-2'40。=100。；

③當(dāng)。4=023時(shí)，ZOAB=ZOBA=^(180°-40°)=70°；

故答案為：40或70或100.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023春?浙江杭州?八年級開學(xué)考試)如圖，在44BC中，AB=AC,ABAC=40°,邊4B繞點(diǎn)4逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)加°(0＜?。?60)得到線段4。，連接BD,DC.若/BDC為等腰三角形，則爪所有可能的取值是.

【答案】20,80,200,320.

【分析】以點(diǎn)4為圓心，以4B長為半徑作圓4分別以B,C為圓心，以BC長為半徑作圓8和圓C,BC的中垂

線交圓力于劣，4兩點(diǎn)，圓B與圓4交于點(diǎn)。3，圓C與圓4交于點(diǎn)%，%,D2,D3,以四點(diǎn)即為所求.

【詳解】如圖，以點(diǎn)力為圓心，以4B長為半徑作圓4分別以B,C為圓心，以BC長為半徑作圓B和圓C,BC的

中垂線交圓4于2，4兩點(diǎn)，圓B與圓4交于點(diǎn)4，圓C與圓4交于點(diǎn)心，Ci-D2,D3,以四點(diǎn)即為所求，根

據(jù)等腰三角形性質(zhì)，ABAD2=20°,ZS4￡＞4=80°,^BAD1=200°,ABAD3=320°.

故答案為20,80,200,320.

【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)，圓周角定理.

【變式6-2](2023?全國?八年級專題練習(xí))如圖，點(diǎn)。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn).將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)60°得AADC,{WABOC=AADC,連接00.已知44。8=110°,設(shè)48。。=a.

20

A

⑴發(fā)現(xiàn)問題：發(fā)現(xiàn)NtMD的大小不變?yōu)開。.

(2)分析問題：當(dāng)a=150。時(shí)，分析判斷AAOD的形狀是一三角形.

(3)解決問題：請直接寫出當(dāng)&為_度時(shí)，△力。。是等腰三角形.

【答案】⑴50

(2)直角

⑶125°或110°或140°

【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NOBA+4048=70。，再由等邊三角形的性質(zhì)推出NOBC+

/.OAC=50°,由旋轉(zhuǎn)的，性質(zhì)可得=NOBC,貝=N04C+NDAC=4。4C+NOBC=50°；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得C。=CD,乙OCD=60。,則4OCD是等邊三角形，得到NC。。=60°,由此求出乙4。。=

AAOC-ACOD=40°,貝吐40。=180?！狽。4D-N40D=90。，即可得到△40D是直角三角形；

(3)分。4=OA=OD,4。=。。三種情況，根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出N40D的度數(shù)，

進(jìn)而求出乙4OC的度數(shù)，即可利用周角的定義求出答案.

【詳解】(1)解：：乙4。8=110。，

/.Z.OBA+Z.OAB=180°-AAOB=70°,

AABC是等邊三角形,

J.^LBAC=4ABC=60°,

Z.BAC+Z.ABC=120°,5PZ.0BA+乙OBC+Z.OAB+Z.OAC=120°,

：.^OBC+^OAC=50°,

?.?將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得4ADC,

：./.DAC=Z.OBC,

：.^OAD=ZOXC+ADAC=^OAC+乙OBC=50°,

故答案為：50

21

A

(2)解：??,將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得△40C,

：.CO=CD,/.OCD=60°,

△OCD是等邊三角形，

A/-COD=60°,

VZ.AOC=360°-"OB-乙BOC=100°,

：.Z.AOD=Z-AOC-/.COD=40°,

A/-ADO=180°-Z-OAD一^AOD=90°,

???△ZOD是直角三角形，

故答案為：直角；

(3)解：當(dāng)。/=D4時(shí)，則乙4。。=乙ADO=18。。廣。=65。，

：.Z-AOC=乙AOD+乙COD=125°,

：.a=360°-4AOB-Z.AOC=125°；

當(dāng)OZ=。。時(shí)，貝！U。/。=^ODA=50°,

：.^AOD=180°-AOAD一4ODA=80°,

：.Z.AOC=^AOD4-乙COD=140°,

：.a=360°-AAOB-AAOC=110°；

當(dāng)ZD=。0時(shí)，貝!ULM。=^DOA=50°,

：.Z-AOC=^AOD+(COD=110°,

：.a=360°-4AOB-Z.AOC=140°；

綜上所述，a的度數(shù)為125。或110?；?40。時(shí)，△4。。是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟

知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2023春?廣東茂名?八年級?？计谥?如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,在直線

22

BC或AC上取一點(diǎn)P,使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有一個(gè).

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一

三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可.

①AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)Pi（PA=PB）,交直線BC于點(diǎn)P2;

②以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有二點(diǎn)P3,P4，交BC有一點(diǎn)P2，（此時(shí)AB=AP）；

③以B為圓心，BA為半徑畫圓，交BC有二點(diǎn)P5,P2，交AC有一點(diǎn)P6（此時(shí)BP=BA）.

故符合條件的點(diǎn)有6個(gè).

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時(shí)本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思

考要全面，做到不重不漏.

【題型7構(gòu)造等腰三角形需分類討論】

【例7】（2023春?江西上饒?八年級校考階段練習(xí)）有一三角形紙片ABC,/A=70。，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，

沿8。方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩個(gè)紙片均為等腰三角形，則/C的度數(shù)可以是—.

【答案】20。或35?；?7.5。

【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/ADB,再求出NBDC,然

23

后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解.

【詳解】由題意知小ABD與^DBC均為等腰三角形，

對于△ABD可能有①AB=BD,此時(shí)/ADB=/A=70。，

.,.ZBDC=180°-ZADB=180°-70°=110°,

1

ZC=-(180°-110°)=35。，

②AB=AD,此時(shí)NADB=T(180°-ZA)=|(180°-70°)=55°,

NBDC=180°-ZADB=180°-55°=125°,

(180。-125。)=27.5。，

③AD=BD,止匕時(shí)，ZADB=180°-2x70°=40°,

AZBDC=180°-ZADB=180°-40°=140°,

ZC=i(180-140°)=20%

綜上所述，NC度數(shù)可以為20。或35。或27.5。.

故答案為：20。或35?；?7.5。

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論.

【變式7-1](2023春?八年級課時(shí)練習(xí))過等腰三角形底角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三

角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的頂角度數(shù)為.

【答案】36?；?嶗。

【分析】分兩種情況畫出圖形，①當(dāng)BC=BD=AD,AB=4C時(shí)，設(shè)NA=a,得NC=4CDB=2a.AABC=

ZC=2a.由42+/.ABC+zC=180°,則a+2a+2a=180°,即可得到a=36°；②當(dāng)AD=BD,BC=DC,

AB=4C時(shí)，設(shè)N&=a.得/ABC=zC=3a.貝能力+乙ABC+NC=180°,則a+3a+3a=180°,得a=

(*

【詳解】解：分兩種情況討論：

①如圖(1),

A

A

B(1)。

24

當(dāng)BC=BD=AD,時(shí)，設(shè)乙4=a.

■:BD=AD,

Z-ABD=乙4=a,

'.Z-CDB=Z-ABD+Z-A=2a.

■;BC=BD,

/.zf=Z-CDB=2a.

*：AB=AC,

Z-ABC=Z-C—2a.

,?24+/ABC+NC=180。，

Act+2a+2a=180°,

解得a=36°.

②如圖(2),

A

B(2)C

當(dāng)4D=BD,BC=DC,48=AC時(shí)，設(shè)=a.

"：AD=BD,

Z.A=乙ABD=a.

Z-BDC=Z-A+乙ABD=2a.

?；BC=DC,

/.Z-CBD=Z.BDC=2