2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)必修第二冊 第七章《復(fù)數(shù)》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷） 解析版

第七章《復(fù)數(shù)》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）

一：單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求，選對得5分，選錯(cuò)得0分.

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-（3+2i）|=l,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義得出z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，從而可判斷其所在的象限.

【詳解】因?yàn)閨z-（3+2i）|=i,

所以點(diǎn)z的軌跡是以（3,2）為圓心，1為半徑的圓,

所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z=2的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)加的值為（）

m-i

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得z=2的實(shí)部和虛部，解方程即可求得答案.

【詳解】由題意可得z=2=產(chǎn)±Ti+（：+2）i,

m-i+m+1

,,2m-1m+2

解得m=3，

m2+17-m2+17

故選：D

3.|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計(jì)算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

則|2+i2+2i3|=|l-2i|="+(-2)2=V5.

故選：C.

4.歐拉公式屋=cosO+isind把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧

美.若復(fù)數(shù)z滿足(ei"+i)-z=l,則z的虛部為()

D.-1

【答案】B

【分析】由歐拉公式和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得z,由復(fù)數(shù)虛部定義求得結(jié)果

【詳解】由歐拉公式知：

17tin

e=cos兀+isin兀=一1,(e+i)-z=(-l+i)-z=i,

._i_i(T—i)」—i_lL

；.z的虛部為-g.

2

故選：B

5.(cos750+isin75°lx=()

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及其三角形式的運(yùn)算即可得到答案.

1.(1.1訐｛y[2母'V241.

T-l-TxT-l-T-----------------^1，

122八22；2222

cos75+isin75x--------1

=(cos750+isin750)x(cos315°+isin315°)

=cos(75°+3150)+isin(750+315°)

h1

=cos390°+isin390°=cos30°+isin30°=—+-i

22

故選：A.

6.已知復(fù)數(shù)2=??0+1$出外是虛數(shù)單位，OeR),則的最小值是(

A.V2B.V2-1C.V2+1D.1

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的模長計(jì)算結(jié)合同角的三角函數(shù)和輔助角公式計(jì)算可得.

【詳解】由己知可得z-l-i=cos"l+（sin"l）i,

匕-l-i|

=J(cosA-1)。+(sin6-11

所以=Jcos?e-ZcosM+l+sin」6-2sind+l

=小-2(sin6)+cos4)

=J3-2V2sinp+^j

當(dāng)sin[〃+：J=l時(shí)，上式模長取得最小值,

最小值為

故選：B.

7.如果復(fù)數(shù)2=機(jī)？+加一2-（加一l）i是純虛數(shù)，zweR,i是虛數(shù)單位，貝!J（）

A.加。1且加w-2B.m-\

C.m=-2D.加=1或加=一2

【答案】C

m2+m—2=0

【分析】根據(jù)題意復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，即得，從而求解.

[加一1iw0n

【詳解】由復(fù)數(shù)2=加2+加_2_（機(jī)一l）i是純虛數(shù)，

pn2+zn-2=0

得

解得:加=-2.

故選:C.

8.已知復(fù)數(shù)Z滿足工=工+14,則Z/2,z3,…,z23中不同的數(shù)有（）

z22

A.4個(gè)B.6個(gè)C.2019個(gè)D.以上答案都不正確

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式可求z6=l，從而可判斷出不同的數(shù)的個(gè)數(shù).

于是z,z2/3,…,z2°2。中有6個(gè)不同的數(shù).

故選：B.

二：多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）

A.若(l+i)z=-i,則忖=1

B.對任意復(fù)數(shù)Iz2,有上色月與]也|

C.對任意復(fù)數(shù)Z],Z2,有Z/Z2=Z『Z2

D.在復(fù)平面內(nèi)，若河={2|2-2歸2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

【答案】BC

【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.

-ix(l-i)-1-i

【詳解】對A：由(l+i)z=-i,故之二---二

1+i(l+i)(>i)2

對B：設(shè)4=a+bi￡R)、z2=c+di￡R),

貝生㈤=|(tz+M)(c+(7i)|=\ac-bd+(〃d+/)c)i|=yj^ac-bd^2+(ad+

=7a2c2-labcd+b2d2+a2d2+labcd+b2c2=Va2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

22

匕1卜匕2I=y/a+b-+/=J(q2+52)(/+/)=NQ2c2+62d2+丘2,

故匕匐引訃㈤，故B正確;

對C：設(shè)4=a+bi￡R)、z2=c+di(c,dwR),

有Z］工=(Q+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+『c)i,則z1z=ac—bd-(ad+bc)i,

Zj-Z2=^a-bi)(c-di)-ac-bd-(ad+bc)\,故句-z2=4-z2,故C正確;

對D：設(shè)2=丫+,歷(x,yeR),則有(》-2丫+/44,

集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐?2,0)為圓心，半徑為2的圓，

故S=nr2=4兀，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知復(fù)數(shù)2=856+15出6(。€11),則()

A.忖=1B.|z2|=|z|2

C.z-z=1D.|z+l|>2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可判斷A,根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算即可判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)乘法代數(shù)運(yùn)

算即可判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算和余弦函數(shù)的有界性即可判斷D.

【詳解】對于A,\z\=Vcos26*+sin2Q-1,A正確；

對于B,因?yàn)閺?fù)數(shù)二=cos6+isine(eeR),則z2=cos20—sin2+2isin0cos0=cos20+isin2^,

則—卜Jcos」26+sin226=1,而目2=Jcos。2+sin」6=1,貝[z[=|z『，故B正確；

對于C,z-z-(cos0+isin0)-(cos^-isin^)=cos2+sin20-\,C正確；

對于D,由題意得z+l=(cos8+l)+isin。，

z+11=J(cos]+1)2+sin20=Vcos20+sin20+\+2cos0=j2+2cosJ,

因?yàn)閏os。e[-1,1],則當(dāng)j2+2cos6?e[0,2],故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.設(shè)復(fù)數(shù)4/2/3,且z^wO,其中均為確定的復(fù)數(shù)，下列說法正確的是().

A.若2逐2=㈤2,則Z1+Z?是實(shí)數(shù)

B.若空2=匕小，則存在唯一實(shí)數(shù)對(。,6)使得Z3=叼+%

+ZZ

C.若21Z3|31|=°，則Z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線

D.若匕2I+匕3|<1，則二“<1

1-^2^3

【答案】ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，以及共輛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.

【詳解】對于A中，若Z]Z2=L「，因?yàn)?Z2NO,則2戶2=|勺「=Z]Z1,可得Z2=Z],

設(shè)Z1=M+"i,加,〃eR,貝!Jz+z2=Z]+Z[=2機(jī)eR,所以A正確；

對于B中，由A得Z2=z「設(shè)Z]=機(jī)+而,機(jī),,若23=叼+反2，

則z3=azx+bZ[=a(jn+ni)+b(m—ni)=(〃+b)+(a—b)ni,

只要機(jī)=0或〃=0,選項(xiàng)B就不正確；

例如：?=所(〃wO”R),此時(shí)Z2=Z]=-加，

z3=5ni可表示為z3=5ni=4疝+i=4z1-z2^z3=5ni=6ni-i=6^+z2,

所以表示方法不唯一，所以B錯(cuò)誤.

對于C中，若乎3+卜3.=。,則/+㈤同=。，可得㈤同=一奪3eR,

則匕31kl=-ZjZ3>0,所以Z34ER且Z3Z1?0,

T^Z3Z^=Z<0,貝！H3=L=3=$Z]=G,其中W=；V0,

則復(fù)數(shù)Z3對應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)4對應(yīng)的向量方向共線，且長度是同倍，

故Z3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線(且與方向共線)，所以c正確.

對于D中，若㈤+團(tuán)<1,可得㈤一1〈-㈤<0,同理㈤一1<0,

由之<1即同一Z3|<卜一Z2Z3],可得g-Z3)02-Z3)<(1-Z2,3)(1-Z2Z3),

即Z2z2+Z3Z3-(z2Z3+z2z3)<l+z2z2z3z3-(z2z3+z2z3),

2222

即z2z2+z3z3<1+z2z2z3z3,即|z2|+|z3|<l+|z2||z3|,

gp(|Z2|-l)(|z3|-l)>0,

因?yàn)棰門<。,㈤T<。，所以(㈤-1)(閡-1)>0成立,

所以成立，所以D正確.

1-Z2Z3

故選：ACD.

三：填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為7,若l-3i=2z-彳，貝"z|=.

【答案】V2

【分析】設(shè)z=a+6i(a,6eR),代入已知式利用復(fù)數(shù)相等的定義求得得z,再由復(fù)數(shù)模的概念求得結(jié)論.

［詳解］設(shè)2=°+歷（a,6eR）,則』="歷.

因?yàn)閘-3i=2z—亍，所以l—3i=〃+3bi,

所以解得所以z=l-i,所以目=JL

3b=-3,D=-l,11

故答案為：V2.

13.已知i是虛數(shù)單位，化簡學(xué)察的結(jié)果為_______.

2+31

【答案】4+Z//+4

【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以2-3i,然后計(jì)算其運(yùn)算結(jié)果即可.

5+14i（5+14i）（2-3i）52+13i

【詳解】由題意可得=4+i

2+3i-（2+3i）（2-3i）-13

故答案為：4+i.

2

14.已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+—=加(加eR)，則實(shí)數(shù)加為.

Z

【答案】2

【分析】設(shè)z=l+bi,beR且直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

［詳解】設(shè)2=1+折，且bwO.

22

則z+『l+6F二m

Z>2+3

二m

X+b1

mGR,解得旭=2,

b3-b

=0

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，(15題13分，16-17題15分，18-19題17分)解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟。

15.已知復(fù)數(shù)z=(l+ai)(l+i)+2+4i(aeR).

(1)若z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y=O上，求”的值；

(2)求|z-l|的取值范圍.

【答案】(1)a=-1;(2)/，+8.

【解析】(1)化簡z,得z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線尤-〉=0計(jì)算；(2)代入模長公式表示出匕-1|,

再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.

【詳解】(1)化簡得z=(l+ai)(l+i)+2+4i=(3-a)+m+5)i,所以z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3-.,。+5),

在直線尤7=0上，所以3-”(“+5)=0,得0=-1.

(2)|z-1|=|(2-a)+僅+5舛=J(2-療+(a+5了=也/+6a+29,因?yàn)閍cA,

R2a2+6a+29>^-,所以匕一1|=也/+6a+29L亭,所以|z-l|的取值范圍為當(dāng),+8.

16.已知復(fù)數(shù)z=〃Li(:〃eR),且J(l+3i)為純虛數(shù)&是z的共軌復(fù)數(shù)).

⑴設(shè)復(fù)數(shù)4=彳土生，求聞；

小2。23

(2)復(fù)數(shù)Z2=4_*—在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Z

【答案】(1)歸|=乎；

⑵".

_17

【分析】(1)由z-(l+3i)為純虛數(shù)，可得機(jī)=3,從而得4=-5+'i,再根據(jù)模的公式求解即可；

(2)化簡得。+需i,再根據(jù)題意列出不等式組求解即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)閦=Ht-i(加eR),貝1]1=機(jī)+3

所以z-(l+3i)=(w+i)(l+3i)=(???-3)+(3m+l)i為純虛數(shù),

m-3=0

所以3〃?+1"解得加=3.

加+4i3+4i(3+4i)(l+i)-l+7i17.

所以4=----F—1

1-i1-i(Ji)(l+i)222

因此㈤=

(2)解：因?yàn)?2。23=14x505+3=j3=-

a-i2023q+i(q+i)(3+i)3Q—1+3

貝！)22=--------

z(3T(3+i)10io

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,

-1>01

則寶八，解得?！刀?

[<2+3>03

因此實(shí)數(shù)。的取值范圍是，,+sj

17.已知復(fù)數(shù)z=l+mi(i是虛數(shù)單位，meR),且=(3+i)為純虛數(shù)G是Z的共軌復(fù)數(shù))

⑴求實(shí)數(shù)加及目；

〃一i2023

(2)設(shè)復(fù)數(shù)句=幺_*—,且復(fù)數(shù)百對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

Z

【答案】⑴優(yōu)=一3,忖=而

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡彳-(3+i),再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念得到方程(不等式)組，求出〃?的值,

即可求出z,從而求出其模;

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡4,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到不等式組，解得即可.

【詳解】(1)Vz=1+mi,Z=1-mi，

/.z(3+i)=(l-mi)(3+i)=(3+機(jī))+(1—3m)i,

：N<3+i)為純虛數(shù),

3+m=0

解得m=-3,

1—3mw0

故z=l-3i,貝!j閆=Jl?+(-3)2=

(2)i2023=i4)<505+3=i3=-i，

a-i2023_a+i_(a+i)(l+3i)_a-33a+l.

-'z_一l-3i_(l-3i)(l+3i)-+101

???復(fù)數(shù)Z]所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,

a—3

"To-<o

解得<a<3，

3。+1八

----->0

110

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為

18.設(shè)復(fù)數(shù)Z1和Z2滿足關(guān)系式zZ+Z]+如;=0,其中4為不等于0的復(fù)數(shù).證明:

(1)Z1+Z2=Z1+Z2；

(2)%+4%+4|=甘；

Z]+ZZ]+4

⑶

Z2+/z2+A

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)設(shè)4=a+6i,Z2=c+di(a,6,c,deR),利用共輾復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念計(jì)算即可；

⑵根據(jù)條件式及共輾復(fù)數(shù)的意義變形得(4+⑷6+勾=心=邸，再結(jié)合第一問的結(jié)論證明即可;

(3)利用第一問與第二問結(jié)論證明即可.

【詳解】(1)設(shè)為=Q+bi/2=c+di(a,b,c,dER),

貝UZ]+Z2=(a+c)+(b+d)in+z2=(a+c)-(b+d)i,zx+z2=a-bi+c-di=a+c-(<b+d^i,

顯然4+Z2=4+Z2,得證；

(2)由已知zxz2+Azx+AZ2=0=>ZR+Azx+AZ2+AA=AA=(z1+A^z2+/)=，

又由(1)知z?+/=z2+4，卜2+4="+4=卜+力|,

所以L+/|匕2+/|=匕1+司Z2+W=[Z[+司Z?+'=[(Z]+⑷,+=Mf，得證；

--

(3)因?yàn)樗訸1+/WO/2+4w0，即有Zi+Z=-LI—

z2+4

所以二———乜，

Z+

Z2+/伉+⑷修+4)伉+/).+/)\2A

由(2)知匕1+旬匕2+4|=|4「，

所以41=號(hào)與三，得證.

|z2+A^|z2+A\Z2+AZ2+A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用共輾復(fù)數(shù)的定義及幾何意義并注意設(shè)問之間的遞進(jìn)關(guān)系一一證明即可.

19.任意一個(gè)復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式都可寫成復(fù)數(shù)三角形式，即2=°+歷=r(cose+isin。)，其中i為虛數(shù)單位,

r=匕|=77萬20,2兀).棣莫弗定理由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667?1754)創(chuàng)立.設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表

示為：Z]=6(cos〃+isin。]),z2=r,(cos+isin612),則：z-=7%[cos(4+%)+isin(4+60].如果令

Z1=Z2=…=Z"=z,則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：z"=r”(cos捫+isin〃0).請用以上知識(shí)解決以下問題.

⑴試將z=6-3i寫成三角形式;

(2)試應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方公式推導(dǎo)三倍角公式：sin30=3sin-4sin30:cos3^=4cos361-3cos61；

(3)計(jì)算：cos40+cos4(6>+120°)+cos4(6-120。)的值.

【答案】(l)2g"*isi吟)

(2)推導(dǎo)過程見解析

9

3)-8

【分析】(1)求出復(fù)數(shù)的模，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，即可求得答案；

(2)設(shè)模為1的復(fù)數(shù)為2=856+15由夕，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡,

即可推得結(jié)論；

(3)由(2)的結(jié)論結(jié)合恒等變換推出cosa6=4cos40+4cos20+3),繼而得

8

COS4(6>+120")=-[cos(40+120°)+4cos(261-120°)+3],cos4(<9-120°)=-[cos(46>-120°)+4cos(26>+1200)+3],

再結(jié)合cos。+cos(。+120。)+cos(8—120。)=0,化簡，即可求得答案.

【詳解】(1)由于z=-3i,故|z|=J3+9=2，

(2)設(shè)模為1的復(fù)數(shù)為舅=cos6+isin。,

323

則z，二(cos6+isin夕丫=