2024-2025學年人教A版高一數(shù)學必修第二冊考點突破：復數(shù)的概念

7.1復數(shù)的概念

【考點梳理】

>考點一：復數(shù)的概念

>考點二：復數(shù)實部和虛部

>考點三：根據(jù)相等條件求參數(shù)

>考點四：復數(shù)的分類問題

>考點五：已知復數(shù)的類型求參數(shù)

>考點六：復數(shù)的坐標問題

>考點七：復數(shù)的模的問題

>考點八：復數(shù)的綜合問題

【知識梳理】

知識點一復數(shù)的有關(guān)概念

1.復數(shù)

⑴定義：我們把形如a+6i(a,6GR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位,滿足］2=二1

(2)表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，即2=。+所(。，6GR),其中a叫做復數(shù)z的實部，6叫做復數(shù)z的虛部.

2.復數(shù)集

(1)定義：全住復數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集.(2)表示：通常用大寫字母C表示.

知識點二復數(shù)的分類

實數(shù)(6=0),

1.復數(shù)z=a+bi(q,b￡R)純虛數(shù)Q=0,

虛數(shù)Sw0)

非純虛數(shù)aW0.

2.復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系

復數(shù)集

實數(shù)集

知識點三復數(shù)相等的充要條件

設(shè)a,b,c,d都是實數(shù)，則a+bi=c+di<>a=。且b=d,a+bi=O<>a=b=O.

知識點四復數(shù)的幾何意義

1.復數(shù)z=a+6i(a,bGR),一一對應.復平面內(nèi)的點Z(a,b).

2.復數(shù)z=a+6i(a,bGR),―對應.平面向量法.

知識點五復數(shù)的模

1.定義：向量法的模叫做復數(shù)z=a+bi(a,6GR)的?；蚪^對值.

2.記法：復數(shù)z=a+歷的模記為團或|°十歷］.

3.公式：\z\=\a-\-b\\=Ja~~\~b2.

知識點六共拆復數(shù)

1.定義：當兩個復數(shù)的實部相笠，虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軌復數(shù).虛部不等于0的兩個共輾復數(shù)

也叫共軟虛數(shù).

2.表示：z的共軌復數(shù)用日表示，即若z=a+6i(a,6GR),則日=°一萬.

【題型歸納】

題型一：復數(shù)的概念

1.(2024高一?全國)給出下列命題：

①若"CR,則(4+l)i是純虛數(shù)；

②若eR且a>6,則a+i>b+i；

③若a,6eC,則復數(shù)a+齒的實部為a,虛部為6；

④i的平方等于-1.

其中正確命題的序號是()

A.①B.②

C.③D.④

【答案】D

【分析】利用復數(shù)的概念逐一判斷各個命題即得.

【詳解】對于復數(shù)a+bi(a,beR),當a=0且6Ho時為純虛數(shù)，

在①中，若。=-1,則(。+)不是純虛數(shù)，①錯誤；

在②中，兩個虛數(shù)不能比較大小，②錯誤；

在③中，只有當時，復數(shù)。+歷的實部才為a,虛部為6,③錯誤；

在④中，i的平方等于-1,④正確.

故選：D

2.(22-23高一下?全國?課后作業(yè))下列四種說法正確的是()

A.如果實數(shù)a=6,那么a-b+(a+b)i是純虛數(shù).

B.實數(shù)是復數(shù).

C.如果a=0,那么z=a+歷是純虛數(shù).

D.任何數(shù)的偶數(shù)次幕都不小于零.

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念及分類，逐項判定，即可看求解.

【詳解】對于A中，若a=b=Q,那么a-b+（a+b）i=OeR,所以A錯誤；

對于B中，由復數(shù)的概念，可得實數(shù)是復數(shù)，所以B正確；

對于C中，若。=0且6=0時，復數(shù)z=a+bi=0eR,所以C不正確；

對于D中，由虛數(shù)單位i2=-l,可得D錯誤.

故選：B.

3.（22-23高一下?湖南長沙）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）

A.若工2+1=0,貝ljx=iB.實部為零的復數(shù)是純虛數(shù)

C.z=（/+l）i可能是實數(shù)D.復數(shù)z=2+i的虛部是i

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念即可求解.

【詳解】A.x=±i,說法不正確；

B.實部為零的復數(shù)可能虛部也為零，從而是實數(shù)，說法不正確；

C.當x=i時，z=（，+l）i是實數(shù)，說法正確；

D.復數(shù)z=2+i的虛部是1,說法不正確.

故選：C.

題型二：復數(shù)實部和虛部

4.（23-24高一下?江蘇蘇州?期中）若復數(shù)z滿足z=l-6f（i是虛數(shù)單位），貝ijz的虛部是（）

A.V3B.-V3C.V3iD.-后

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的虛部概念求解.

【詳解】z的虛部是-VL

故選：B.

5.（23-24高一下?廣東湛江?期末）以2i-病的虛部為實部，以百+2『的實部為虛部的新復數(shù)是（）

A.-V5+iB.2+iC.2-2iD.V5+V5i

【答案】C

【分析】首先求出2i-石的虛部，與后+2i?的實部，即可得解.

【詳解】復數(shù)2i-石的虛部為2,又向+2i2=-2+百，

則、6i+2i2的實部為-2,

所以新復數(shù)為2-2i.

故選：C

6.（23-24高一下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知復數(shù)2=<?0$]+認052a（0<1<2兀）的實部與虛部互為相反數(shù)，則a的取值不

可能為（）

兀5兀一4兀

A.—B.—C.兀D.—

333

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，可知cosa+cos2a=0,結(jié)合倍角公式解方程即可.

【詳解】由題意，可知cosa+cos2a=0,

所以cosa+2cos2a-1=0,

解得cosa=-1或cosa--,

2

冗Sir

因為0<々<2無，所以a=?；騛=—或a=—,

33

故選：D

題型三：根據(jù)相等條件求參數(shù)

7.（2023?湖南岳陽?模擬預測）己知i為虛數(shù)單位，x/為實數(shù)，若（x+>i）+2=（3-4i）+2yi,則x+尸（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由復數(shù)相等可列出方程組求解.

【詳解】由題意（x+yi）+2=（x+2）+W=（3-4i）+2yi=3+（2y-4）i,

|x+2=3

所以.”，解得x=l,y=4,所以x+.v=5.

[y=2y-4

故選：D.

8.（2023?全國?模擬預測）已知=l-W,其中x,y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則工一了=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由復數(shù)相等的條件列方程組求解出X,〉，從而可求出x-y的值.

【詳解】由題意得金-5=1-貞,

所以x-y=l.

故選：A

9.(21-22高一?全國?課后作業(yè))若a,6eR,i是虛數(shù)單位，a+2021i=2-bi,則/+bi等于()

A.2021+2iB.2021+4iC.2+2021iD.4-2021i

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)相等可得a=2,-6=2021,進而即得.

【詳解】因為。+2021i=2-bi,

所以。=2,-6=2021,即a=2,6=—2021,

所以/+6i=4-2021i.

故選：D.

題型四：復數(shù)的分類問題

10.(2024高一下?江蘇?專題練習)下列命題：

①若aeR,則(a+l)i是純虛數(shù)；

②若a,6eR,且。>b,貝!Ja+i>b+i；

③若-4)+(/+3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=±2；

④實數(shù)集是復數(shù)集的真子集.

其中正確的是()

A.①B.@C.③D.(4)

【答案】D

【分析】對于①，當。=-1時，即可判斷；對于②，兩個虛數(shù)不能比較大小；對于③，當x=-2時，即可判斷;

對于④，由復數(shù)集與實數(shù)集的關(guān)系即可判斷.

【詳解】對于①，若"=-1,則(a+l)i不是純虛數(shù)，則①錯誤；

對于②，兩個虛數(shù)不能比較大小，則②錯誤；

對于③，若》=-2,則/一4=0,X2+3X+2=0,此時(/-4)+1+3》+2》不是純虛數(shù)，則③錯誤；

對于④，由復數(shù)集與實數(shù)集的關(guān)系可知，實數(shù)集是復數(shù)集的真子集，則④正確.

故選：D.

11.（22-23高二上?浙江溫州?期中）若a,beR,則“復數(shù)2=。+歷為純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位）”是“6w0”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】復數(shù)z=a+6i為純虛數(shù)，即a=0,且6片0,判斷其與b片0的推斷關(guān)系.

【詳解】復數(shù)z=a+歷為純虛數(shù)，等價于”=0,且6二0,

a=0,且6x0可推出bwO,但6片0,不一定得至1]。=。，且6力0,

所以“復數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)”是“b片?！钡某浞植槐匾獥l件.

故選：B.

12.（2024高一下?江蘇?專題練習）對于復數(shù)a+6i（a,6eR）,下列說法正確的是（）

A.若。=0,則a+歷為純虛數(shù)

B.若a+（6-l）i=3-2i,貝lja=3,b=-2

C.若b=0,貝Ua+bi為實數(shù)

D.i的平方等于1

【答案】C

【分析】根據(jù)純虛數(shù)定義、復數(shù)相等的定義，結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)、復數(shù)的分類逐一判斷即可.

【詳解】A：當。=6=0時，a+6i=0顯然是實數(shù)，因此本選項說法不正確；

（、[a—3[tz=3

B：a+6-l）i=3-2inn因此本選項說法不正確；

[b—l=—2]匕=-1

C：6=0,a+6i=aeR,因此本選項說法正確；

D：由虛數(shù)單位的定義可知：i2=-l，因此本選項說法不正確，

故選：C

題型五：己知復數(shù)的類型求參數(shù)

13.（24-25高一下?全國?隨堂練習）若復數(shù)2=病_1+（療_/_21為純虛數(shù)，則實數(shù)加的值為（）

A.-1B.±1C.1D.-2

【答案】C

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可列關(guān)系求解.

【詳解】由于2=川-1+（/-加一2萬為純虛數(shù)，

所以"尸一1=0且“J-7W-2H0,

解得機=1,

故選：C

14.（24-25高一下?全國）設(shè)aeR,則“a堤”復數(shù)（"1）（。+2）+i為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合復數(shù)的有關(guān)概念分析判斷即可.

【詳解】當。=1時，復數(shù)（a-l）（a+2）+i=i,為純虛數(shù)；

當復數(shù)（。-DS+2）+i為純虛數(shù)時，有（a-l）（a+2）=0,得“=1或。=一2.

所以“a=1”是“復數(shù)（。-1）（。+2）+i為純虛數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

15.（23-24高三上?山東德州）如果復數(shù)2="22+2加是純虛數(shù)，，〃eR,i是虛數(shù)單位，則（）

A.加wl且加w-3B.m=-3

C.m-1D."?=1或加=-3

【答案】B

f+2???—3—0

【分析】根據(jù)純虛數(shù)得到1~,解得答案.

［加一1w0

+277/—3—0

八，解得加=一3.

加—1I

故選：B

題型六：復數(shù)的坐標問題

16.（23-24高一下?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末）占在復平面內(nèi)對應的點位于（）

22

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷即可.

【詳解】；i在復平面內(nèi)對應的點為［3,-；］，位于第四象限.

故選：D

17.（2024高一下?江蘇?專題練習）在復平面內(nèi)，平行四邊形N8CD的3個頂點4B,C對應的復數(shù)分別是

l+2i,-2+i,0,則點。對應的復數(shù)是（）

A.3-iB.-l+3iC.3+iD.-3-i

【答案】C

【分析】設(shè)點。的坐標為（x，v）,然后由題意得益=團，從而可求出X/的值，進而可求得點。對應的復數(shù).

【詳解】由題知，點41,2）,2（-2,1）,C（O,O）,設(shè)點。的坐標為（三歷，

則有力=（x-l,y-2）,5C=（2,-1）.

又因為四邊形48co為平行四邊形，所以而=反

[x-l=2|x=3

即°「得「所以點。對應的復數(shù)為3+i.

[y-2=-l[y=l

故選：C.

18.（23-24高三上?江蘇常州?期末）在復平面內(nèi)，復數(shù)z=-^+如i對應的向量為刀，復數(shù)z+1對應的向量為歷,

22

那么向量而對應的復數(shù)是（）

A.1B.-1C.y/3iD.-V3i

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷即可.

【詳解】由題意得方=（i，°），

則加對應復數(shù)1.

故選：A.

題型七：復數(shù)的模的問題

19.（23-24高二下?云南?期末）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=3-4i,則|z|=（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的模的計算公式求解即可.

【詳解】復數(shù)z=3-4i,則|z|=j32+（-4）2=5.

故選：C.

20.（23-24高一下?四川遂寧?階段練習）復數(shù)z=2+3i,下列說法不正確的是（）

A.z的實部為2B.z的虛部為3i

C.z=2-3iD.|F|=V13

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的實部、虛部、共輾復數(shù)、模等知識確定正確答案

【詳解】因為z=2+3i,所以實部為2,虛部為3,1=2-3i，同=舊.

故選：B

21.(23-24高一下?浙江寧波?期末)已知復數(shù)2=。4的實部與虛部相等，則|z-i|=()

A.V2B.V5C.2V2D.V10

【答案】B

【分析】由實部與虛部概念可得。=-1,代入計算可求出結(jié)果.

【詳解】易知z=a-i的實部為。，虛部為-1,

由題意可知a=T,

則|z-i|=-i-i|=卜］-2i|="I)?+(—2)2=#.

故選：B

題型八：復數(shù)的綜合問題

22.(24-25高一下?全國)設(shè)。為坐標原點，已知向量西，也分別對應復數(shù)4，z2,且4=3+(/_10”,

2

Z=--+(2。-5"(其中aeR),若4+z?可以與任意實數(shù)比較大小.

21-a

⑴求向量存對應的復數(shù)；

(2)設(shè)ZZ2中點為Z,求口引.

【答案】(1)-■—+2i

O

【分析】(1)先求出4+Z2的表達式，根據(jù)Z|+Z2為實數(shù)的條件求出。的值，進而得到馬和Z2,再根據(jù)向量與復數(shù)的

對應關(guān)系求出向量ZZ對應的復數(shù);

(2)利用中點坐標公式求出Z|Z2中點z對應的復數(shù)，最后根據(jù)復數(shù)的模的計算公式求出I歷I

【詳解】(1)Z1+Zz=U+4+(-25)i=二13+(1+215)i.

1a+51-a)'7a+4a-5v7

???3+Z2可與任意實數(shù)比較大小，，句+z2為實數(shù),

a?+4〃—5w03

解得。=3.二.4二三一1z2=T+i，

a?+2〃—15—0O

向量存對應的復數(shù)為(T+i)-1]—i]=-^+2i.

23.(24-25高一下?全國)已知復數(shù)z=("?2+機-6)+(/-加-2)i?！眅R).

⑴若z是實數(shù)，求實數(shù)〃?的值；

(2)若z是虛數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍；

(3)若z是純虛數(shù)，求實數(shù)加的值.

【答案】(1)心=2或a=一1

(2)機w2且加大一1

(3)w=-3

【分析】(1)根據(jù)復數(shù)為實數(shù)的充要條件列式求解即可.

(2)根據(jù)復數(shù)為虛數(shù)的充要條件列式求解即可.

(3)根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件列式求解即可.

【詳解】(1)若z是實數(shù)，則加2一加一2=0,解得刃=2或機=一1.

(2)若z是虛數(shù)，則"/一7〃一2片0,解得加力2且加W-1.

[加2—m—2w0

(3)若z是純虛數(shù)，則2,二解得加=-3.

[m~+m-6=0,

24.(23-24高一下?陜西商洛?期末)已知加eR,復數(shù)z=(加2-機-2)+??？+3機+2)i.

⑴若z為純虛數(shù)，求上+3-2i；

(2)若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求整數(shù)機的值.

【答案】⑴6；

(2)0和1

【分析】(1)由z為純虛數(shù)，求出加的值，從而得到復數(shù)Z,求解;zi+3-2i模長即可；

(2)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求出加的取值范圍，進而得到整數(shù)加的值即可.

【詳解】(1)由于復數(shù)z=(加2-加一2)+(加2+3機+2)i為純虛數(shù)，

I^22—ui—2=0

所以《2cc八，解得機=2,此時z=12i,

加+3加+2w0

|zi+3-2i=|-l-2i|=Vl+4=V5

（2）若z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限,

,m2-m-2<0

則《解得-1＜加＜2,

m2+3m+2>0

故整數(shù)加的值有0」.

【高分達標】

一、單選題

25.（24-25高一下?全國）復數(shù)i+i?在復平面內(nèi)對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】依據(jù)題意化簡復數(shù)，求出對應坐標后判斷象限即可.

【詳解】由題意得i+i2=i-l,對應點為（T，D,

它在第二象限，故B正確.

故選：B

26.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）在復平面內(nèi)，。為原點，向量力對應的復數(shù)為-l+2i.若點N關(guān)于虛軸的對稱

點為點8,則向量礪對應的復數(shù)為（）

A.-2-iB.-2+iC.l+2iD.-l+2i

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】因為復數(shù)-l+2i對應的點為/（T2）,

所以點/關(guān)于虛軸的對稱點為3（1,2）,

所以礪對應的復數(shù)為l+2i.

故選：C

27.（23?24高一下?甘肅慶陽?期中）已知虛數(shù)z是關(guān)于x的方程――2x+〃=0（a￡R）的一個根，且忖=近，貝！

（）

A.3B.2C.4D.7

【答案】D

【分析】法一：設(shè)z=〃7+"i（%〃eR,g0）,代入原方程，根據(jù)復數(shù)相等和忖可得到答案；法二:

解關(guān)于x的方程求出對應的含參數(shù)。的虛數(shù)根，再由目=近，求出。的值.

【詳解】法一：設(shè)Z=M+疝（也〃￡R,九。0）,由=（加+疝）2=加2一〃2+2加〃j.

22

貝(J-—2x+a=掰？一〃2+2mn\-2m-2n\+a=(^m-n-2m+a^+(2mn-2n^i=0,

~m~2-n~2-2m+a=0,

2mn-2n-0,

則解得n2=6；

nw0,

a=7

|z|=y/m2+n2-近

法二：由（x-1）~=1-a有虛數(shù)根，可知。>1且x=l±Ja-li,

又由目=>/7,有由+a-l=J7，解得a=7.

故選：D.

28.（23-24高一下?福建福州?期末）若（/_4）+（公+3X+2）1是純虛數(shù),則實數(shù)x=（）

A.±2B.-2C.2D.-1

【答案】C

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，列出方程組，求解即可.

靖-4=0

【詳解】因為（龍2-4）+（—+3x+2）i是純虛數(shù)，所以2、c八，解得：尤=2,

無~+3x+220

故選：C

29.（23-24高一下?廣東清遠?期中）已知復數(shù)z=3-4i,則（）

A.z的虛部為—4iB.|z|=3+4i

C.F=3+4iD.z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)虛部、共輾復數(shù)、模和對應點坐標所在象限的知識，選出正確選項.

【詳解】復數(shù)z=3-4i的虛部為-4,故A不正確；

22

|z|=|3-4i|=^3+（-4）=5,故B不正確；

7=3+4i,故C正確；

z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（3,-4）,位于第四象限，故D不正確.

故選：C.

30.（23-24高一下?湖南邵陽?期末）已知〃eN,/=則“〃為偶數(shù)”是“i"e/"（i是虛數(shù)單位）的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由i的運算性質(zhì)可得答案.

【詳解】當"為偶數(shù)時，i"=±le/，則“〃為偶數(shù)”是“iY/"（i是虛數(shù)單位）的充分條件；

當〃為奇數(shù)時，i"=土任/,則i"e/時,"為偶數(shù),則“"為偶數(shù)”是（i是虛數(shù)單位）的必要條件.

綜上，“〃為偶數(shù)”是（i是虛數(shù)單位）的充要條件.

故選：C

31.（23-24高一下?安徽蕪湖?期末）在復平面內(nèi)，復數(shù)3+4i,-2+i對應的向量分別是。而，ON，其中。是原點,

則向量荻對應的復數(shù)為（）

A.-5-3iB.-l-3iC.5+3iD.5-3i

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量的減法運算求解.

【詳解】由題意可得弧:=（3,4）,ON=（-2,1）,

所以旃=麗一加=（-2,1）-（3,4）=（-5,-3）,

所以向量耐對應的復數(shù)為-5-3i.

故選：A.

3

32.（23-24高一下?湖北?期末）當了＜根＜1時，復數(shù)加（4+i）-（3+i）在復平面內(nèi)對應的點位于（）

4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

3

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)的幾何意義可得（4"-3,以-1）,結(jié)合:＜加＜1即可下結(jié)論.

4

【詳解】帆（4+i）-（3+i）=（4w-3）+（m-l）i,

所以該復數(shù)在復平面所對應的點的坐標為（4加-3,m-1）,

31

又一＜加＜1,所以0＜4m-3＜1,——＜/w-1＜0,

44

所以點（4加-3,川-1）位于第四象限.

故選：D

二、多選題

33.（23-24高一下?四川達州?期中）下列四種說法不正確的是（）

A.如果實數(shù)a=6,那么a-6+（a+6）i是純虛數(shù).

B.實數(shù)是復數(shù).

C.如果a=0,那么z=a+bi是純虛數(shù).

D.任何數(shù)的偶數(shù)次幕都不小于零.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念及分類，逐項判定，即可求解.

【詳解】對A,當。=6=0時，則“-6+（“+6）i是實數(shù)，故A錯誤；

對B,根據(jù)復數(shù)定義可知，故B正確；

對C,a=b=Q,那么z=a+6i是實數(shù)，故C錯誤；

對D,根據(jù)虛數(shù)i2=_l，故D錯誤.

故選：ACD

34.（24-25高一下?全國?單元測試）在復平面內(nèi)，若z=/（l+i）-/M（4+i）-6i所對應的點位于第二象限，則實數(shù)加

的值可以是（）

1011

A.—B.—C.3D.4

33

【答案】AB

【分析】先把復數(shù)整理成z=（療-4加）+（蘇-加-6）i,根據(jù)復數(shù)對應的點位于第二象限列式，求出實數(shù)加的取值范

圍，再逐一驗證即可.

【詳解】整理得Z=（川-4〃7）+（/-〃L6）i,對應的點位于第二象限，

,[m2-4m<0.,

則2<c，解得3〈機<4.

\jn~-m—b>0

故選：AB

35.（23-24高一下?河南商丘?期中）已知復數(shù)z=m2-i+（m+i）i（mcR）,則下列命題正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則加=1

B.若z為實數(shù)，貝！|2=0

3

C.若z在復平面內(nèi)對應的點在直線了=2x上，則加=5

D.z在復平面內(nèi)對應的點可能在第三象限

【答案】AB

【分析】根據(jù)復數(shù)的分類，即可列出方程或不等式，進而判斷A,B;根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可列出方程或不等式，

進而可以判斷C,D.

2

fm-i=o

【詳解】對于A,若z為純虛數(shù)，貝!J解得加=1,A正確；

[加+lw0

對于B,若z為實數(shù)，則優(yōu)+1=0,所以加=-1,此時z=0,B正確；

對于C,Z在復平面內(nèi)對應的點為(用-1/7+1),

3

所以機+1=2("/-1),即2加之-加-3=0,解得加=-1或機=于C錯誤；

「機2-1<。

對于D,若z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，則無解，

[m+l<0

所以z在復平面內(nèi)對應的點不可能在第三象限，D錯誤.

故選：AB.

36.(23-24高一下?內(nèi)蒙古興安盟?期末)已知復數(shù)z=l-2i,貝|()

A.z的共軌復數(shù)為l+2i

B.z是純虛數(shù)

C.z的模是5

D.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

【答案】AD

【分析】根據(jù)共輾復數(shù)的定義判斷A選項，根據(jù)復數(shù)類型判斷B選項，應用模長公式判斷C選項，根據(jù)復數(shù)對應

點判斷D選項.

【詳解】對于A,由共輾復數(shù)定義知z的共軌復數(shù)為l+2i,故A正確；

對于B,純虛數(shù)要求實部為0,故B錯誤；

對于C,忖="+(_2]=后,故C錯誤；

對于D,z在復平面內(nèi)對應的點為。,-2),位于第四象限，故D正確.

故選：AD.

37.(23-24高一下?安徽銅陵?期末)已知復數(shù)z=(a-l)+(/+2a-3)i,其中。為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法

正確的是()

A.若z為虛數(shù)，則awl或aw-3

B.若復平面內(nèi)表示復數(shù)2的點位于第二象限，則q<-3

C.若z>-2,貝a=1

D.若Qw1且Qw-3,則z?=|z/

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)的運算形式，逐項判定，即可求解.

【詳解】由復數(shù)z=(a-l)+(/+2a-3)i,其中。為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，

對于A中，若z為虛數(shù)，則滿足°2+24―3片0,解得。片1且aw-3,所以A不正確；

—1＜0

對于B中，若復平面內(nèi)表示復數(shù)Z的點位于第二象限，則滿足2。,八，

+2。一3〉0

解得。＜-3,所以B正確；

仿2+2a—3=0

對于C中，若z＞-2,可得1,解得4=1,所以C正確；

對于D中，當"1且g-3,可得z為虛數(shù)，z2為虛數(shù)，而，eR,所以z2w，，所以D不正確.

故選：BC.

38.(23-24高一下?重慶?期末)已知復數(shù)句=2+篁/2=3-苞4/2在復平面內(nèi)對應的點分別為2”22,則()

A.歸+21=團+"|

B.,乙|=5五

C.滿足目=上|的復數(shù)z對應的點Z形成的圖形的周長是5兀

D.滿足㈤＜目＜"|的復數(shù)z對應的點Z形成的圖形的面積是12兀

【答案】BD

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得4=(2,3)0=(3,-4).求得區(qū)+Z2后㈤+㈤即可判斷A;求得必也|=5后即可判斷

B；求得6+62=25即可判斷C；求得13＜1+人＜25即可判斷D.

【詳解】由莓=2+3i,%=3-4i,得4=(2,3),Z?=(3,-4).

A：Z]+z2=5-i,貝!|卜+Z2I=,又㈤=411,22|=5,

所以k+z?國卻+㈤,故A錯誤;

B："『抱-3)2+(3+葉=5后,故B正確；

C：設(shè)2=。+歷(。,6€11),則目=揚+62,

22

由目=團，得J/+H=5,gpa+b=25,

所以復數(shù)z對應的點Z形成的圖形的周長為10%，故C錯誤;

D：設(shè)2=0+及(0,6?11),則回="2+62,

又㈤=7^,匕2|=5,所以屈<，/+方<5,BP13<<z2+/?2<25,

所以滿足㈤〈回〈㈤的復數(shù)Z對應的點Z形成的圖形的面積為25兀-137t=12兀，故D正確.

故選：BD

三、填空題

39.(24-25高一下?全國?隨堂練習)在復平面內(nèi)，復數(shù)6+5i,-2+3i對應的點分別為4,B,若C為線段的中

點，則點C對應的復數(shù)是.

【答案】2+4i

【分析】寫出復數(shù)所對應點的坐標，有中點坐標公式求出C的坐標，則答案可求.

【詳解】因為復數(shù)6+5i,-2+篁?qū)狞c分別為4(6,5),5(-2,3).

且C為線段42的中點，所以C(2,4).

則點C對應的復數(shù)是2+4i.

故答案為：2+4i.

40.(23-24高一下?安徽馬鞍山?期末)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z和(z+2『-8i均為純虛數(shù)，貝巾+3|=.

【答案】V13

【分析】先利用待定系數(shù)法、純虛數(shù)的概念求出z,然后根據(jù)模的計算公式求解即可.

【詳解】由題意設(shè)2=W(了€人了/0),

則(Z+2『-8i=(2+M丫-8i=4-必+(4>一8)i是純虛數(shù)當且僅當［:嗔］o，

解得y=_2,所以2+3|=|3-圖=132+(-2)2=而.

故答案為：V13.

41.(2024?福建泉州?模擬預測)已知幕函數(shù)J=/(x)的圖象過點(2,拒)，則復數(shù)z=/(2)+/(5)-i(其中i為虛數(shù)單

位)的模的大小=.

【答案】V7

【分析】設(shè)出/(x)=x〃，代入(2,也)，求出解析式，計算出/(2)=亞,/(5)=石，求出2=血+石1，計算出模長.

【詳解】設(shè)累函數(shù)〃x)=/,因為函數(shù)圖象過點(2,0),

所以2"=也，解得。=；，所以/（尤）=%；，

所以/⑵=22=亞J⑸=愣=5

.?.z=/（2）+/（5）-i=V2+V5-i,

.,.|z|=V7.

故答案為：V7.

42.（23-24高一下?廣東惠州?期中）在復平面內(nèi)，把與復數(shù)3-百i對應的向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后,

則所得向量對應的復數(shù)為（用代數(shù)形式表示）.

【答案】-V3-3i

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角形計算即可.

如圖所示，復數(shù)3-后對應的向量厲=（3,-6）,則乙!OC=30°,|次卜百口?=2百,

繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得向量礪，則ABOD=60°,網(wǎng)=|西=2百，

則向量麗=（-73,-3），對應的復數(shù)為-G-3i.

故答案為：-3t

四、解答題

43.（23-24高一下?四川內(nèi)江?階段練習）已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=（川-5機+6）+（/-2〃?）i,加eR.

⑴當復數(shù)z為虛數(shù)時，求加的取值范圍；

（2）當復數(shù)z在復平面對應的點在第二象限，求m的取值范圍.

【答案】（1）僅W2且機力0

⑵（2,3）

【分析】（1）由虛數(shù)的概念列方程求解即可;

—5m+6<0

(2)由復數(shù)的幾何意義得2cC，解不等式即可得解.

【詳解】(1)因為復數(shù)z虛數(shù)，所以2冽W0

解得，加。2且加wO

m2—5rn.+6<0

八,

)m2-2cm>0

[2<m<3