2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：勾股定理的應(yīng)用（1個知識點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型+習(xí)題鞏固）解析版

第02講勾股定理的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握勾股定理的應(yīng)用以及應(yīng)用的各種類型，能夠熟練的把勾股

①勾股定理的應(yīng)用

定理應(yīng)用在各種類型中解決問題。

思維導(dǎo)圖

勾股定理的應(yīng)用

知識點(diǎn)

勾股定理的應(yīng)用勾股定理驗(yàn)證面積關(guān)系或求面積

利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)

勾股定理與特殊直角三角形

題型

利用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離

勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

J—

知識清單

知識點(diǎn)01勾股定理的應(yīng)用

I.勾股定理的應(yīng)用：

（1）后股定理在幾何中的應(yīng)用：

在直角三角形中計算或證明，即已知兩邊的長求第三邊，或者證明含有平方關(guān)系的幾何題。

【即學(xué)即練1】

1.在RCN8C中，已知其兩邊長分別為a,b,且滿足（°-3）2+|6-4|=0,則該直角三角形的斜邊長為

（）

A.5B.V?C.5或WD.5或4

【分析】根據(jù)題意求出。=3,6=4,分類討論6是斜邊，a,6是直角邊兩種情況即可求解.

【解答】解:由（a-3）2+歸-4|=0得，。=3,6=4；

①若a,6是直角邊，則斜邊長為療彳=5,

@'：b>a,

...若6是斜邊，則斜邊長為4.

綜上，該直角三角形的斜邊長為5或4.

故選：D.

（2）勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：

在建筑測量，工程設(shè)計等實(shí)際問題中，如遇到求高度、長度、距離、面積等，可以構(gòu)造直角三角形運(yùn)

用勾股定理求解。

【即學(xué)即練1】

2.如圖，某自動感應(yīng)門的正上方/處裝著一個感應(yīng)器，離地/2=2.1米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)

時，感應(yīng)門就會自動打開.一個身高1.6米的學(xué)生正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（2C=1.2

米），感應(yīng)門自動打開，則人頭頂離感應(yīng)器的距離4D等于（）

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

【分析】過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,構(gòu)造RtAADE,利用勾股定理求得的長度即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)￡,

；/5=2.1米，2E=CD=L6米，ED=8C=1.2米，

'.AE=AB-BE=2A-1,6=0.5（米）.

在RtAiDE中，由勾股定理得到：AD=7AE2+DE2=V0-52+l.~2^=1.3（米），

故選：B.

（3）直角三角形的三邊所作相同圖形的面積關(guān)系：

以直角三角形的三邊做相同的圖形（等邊三角形、等腰直角三角形、正方形、半圓），則兩直角邊所

作圖形的面積之和等于斜邊所作圖形的面積。

【即學(xué)即練1】

3.如圖，以直角三角形三邊為直徑的半圓，則他們面積關(guān)系正確的是（）

A.S]+S2>NB.SI+S2>S3C.51+82=83D.5*1+*S*2~25*3

【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可.

【解答】解：設(shè)直角三角形兩直角邊分別為。、b,斜邊為C,

以直角三角形三邊為直徑的半圓,則他們面積關(guān)系:

12q-r2

則S3=2'兀（2）=8'

2

S2=1K也、2Kb

份）8

na27Tb2K.22、兀c2

Sl+S2—+b)=-=s3-

故選：C.

【即學(xué)即練2】

4.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形/、

2、4,則最大正方形￡的面積是（）

A.64B.136C.72D.16

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫?B,C,。的面積和即為最大正方

形的面積.

【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得4、8的面積和為另，C、。的面積和為必，

22

SI=42+62,S2=2+4,

于是*S，3=51+52，

即可得$3=16+36+4+16=72.

故選：C.

（4）利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)J?：

將/表示成兩個有理數(shù)的平方的和,以這兩個有理數(shù)為直角三角形的直角邊，借助數(shù)軸上構(gòu)造

直角三角形，畫出斜邊。斜邊的長度即為品。

【即學(xué)即練1】

5.如圖，數(shù)軸上/點(diǎn)表示的數(shù)為-1,2點(diǎn)表示的數(shù)是2,過點(diǎn)3作千點(diǎn)3,且3C=2（單位長

度），以點(diǎn)“為圓心，NC的長為半徑作弧，弧與數(shù)軸的一個交點(diǎn)。表示的數(shù)為（

C.-713-1D.-713+1

【分析】首先在直角三角形中運(yùn)用勾股定理求出。的長度，然后根據(jù)可得/。的長度，即可

求出數(shù)軸上點(diǎn)。表示的數(shù)

【解答】解：在直角三角形中運(yùn)用勾股定理求出CA的長度小地二十/二后,

.??AC=AD=V13-

...點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為J石+1，

二點(diǎn)D表示的數(shù)是-V13-1.

故選：C.

（5）特殊直角三角形三邊的比值關(guān)系：

利用勾股定理以及特殊直角三角形的性質(zhì)可得特殊直角三角形三邊的比值關(guān)系。含30°角的直角三角

形三邊的比值關(guān)系為（從小到大）1：收2；含45°的直角三角形（等腰直角三角形）三邊的比

值關(guān)系為（從小到大）1：1：V2—。

【即學(xué)即練1】

,NN=30°,BC=2,CD是N8邊上的高，則的長為（）

C.3.5D.4

【分析】求出入&C￡>=30°,再根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可得

2

再根據(jù)AD=AB-BD代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

【解答】解：在RtZ\4BC中，VZACB=90°,BC=2,ZA=30°,

：.AB=2BC=4,

"JCDLAB,

：.ZADC=ZCDB=90a,

/.ZACD=90°-60°,

/.ZBCD=90°-ZACD=30°,

■:/CDB=90°,BC=2,NBCD=30°,

；?BD=yBC=b

：?AD=AB-BD=3,

故選：B.

（6）利用勾股定理求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離：

在平面直角坐標(biāo)系中，若2（占，%）和8（x2,為），由勾股定理可得

阿卜WG+Ol—%）2

【即學(xué)即練1】

7.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)/（1,2）和點(diǎn)2（-2,4）,則線段48=_百§_.

【分析】根據(jù)勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式列式計算即可.

【解答】解：：點(diǎn)月（1,2）和點(diǎn)8（-2,4）,

?'-AB=V(-2-1)2+(4-2)2=，

故答案為：V13?

題型精講

題型01勾股定理驗(yàn)證面積關(guān)系或求面積

【典例1］如圖，在直角三角形的三邊上分別有一個正方形，其中兩個正方形的面積分別是81和225,則

字母8所代表的正方形的邊長是（）

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，得字母8所代表的正方形的面積等于其它兩個正方形的面

積差.

【解答】解：由勾股定理得：字母8所代表的正方形的面積=225-81=144.

所以字母2所代表的正方形的邊長是正正=12.

故選：A.

【變式1】如圖，在四邊形/BCD中，ZDAB=ZBCD=90°,分別以四邊形/BCD的四條邊為邊向外作

四個正方形，面積分別為a,b,c,d.若a=2,b+c=\2,則“為（）

【分析】利用勾股定理的幾何意義解答.

【解答】解：由題意可知：a=AB2,b=Bdc=B,d=AD?.

如圖，連接3D,

在直角AABD和ABCD中，BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,

即a+d=6+c.

?a=2,b+c=12,

d=12-2=10.

【變式2】將三張半圓形紙片按如圖的方式擺置，半圓的直徑恰好構(gòu)成一個直角三角形，若知道圖中兩個

月牙形的面積和，則一定能求出()

A.直角三角形的面積

B.最大半圓形的面積

C.較小兩個半圓形的面積和

D.最大半圓形與直角三角形的面積和

【分析】兩個月牙形的面積和=以么(8c為直徑的半圓的面積的和+直角三角形三角形的面積-以

為直徑的半圓的面積，由此即可解決問題.

22

【解答】解：以NC為直徑的半圓的面積=』TTX(^-)=2LAC,

同理：以BC、N5為直徑的半圓的面積分別是？LgC2,JLAB2,

88

???兩個月牙形的面積和二以/C、3c為直徑的半圓的面積的和+直角三角形三角形的面積-以N8為直徑

的半圓的面積，

二兩個月牙形的面積和=匹/。2+2￡忒；2-工/加+直角三角形的面積=2L^AC2+BC2-AB2)+直角三

8888

角形的面積，

由勾股定理得：AC1+BC1=AB-,

二兩個月牙形的面積和=直角三角形的面積.

故選：A.

【變式3】如圖，在中，N4CB=9Q°,若48=17,則正方形/EDC和正方形3CG尸的面積之和

C.324D.170

【分析】由勾股定理得/32=NC2+3C2=172=289,再由正方形的面積公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：在RtZ\/8C中，ZACB=90°,

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=172=289,

二正方形4EDC和正方形BCGF的面積之和=/。2+802=289,

故選:B.

【變式4】如圖，在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側(cè)作正方形、面積分別記為Si，S2,

S3.若S3+S2-S=18.則圖中陰影部分的面積為（）

A.6B.—C.5D.—

22

【分析】由勾股定理得Sl+S2=$3，再由S3+S2-$1=18求出$2=9,即可解決問題.

【解答】解：在RtZ\/BC中，由勾股定理得：AC2+AB2=BC2,

即Si+S2=S3,

,**S3+S2-Si=18,

???S2=9,

由圖形可知，陰影部分的面積=工$2，

2

...陰影部分的面積=a,

2

故選：B.

題型02利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)

【典例1】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù)是1,點(diǎn)5表示的數(shù)是-2,BC=1,ZABC^90°,以點(diǎn)/為圓心,

NC的長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于原點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)D,則點(diǎn)。表示的數(shù)是（）

2

A.dB.2-710c.V10-1D.A/10-2

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出/c長，再根據(jù)圓的半徑相等可知/o=/c,即可得出答案.

【解答】解：???8CL48,

ZABC=90°,

?'?AC-4]2+32=7If）,

?.,以/為圓心，/C為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)。，

：.AD=AC=yflO,

二點(diǎn)。表示的數(shù)是1-JI5；

故選：A.

【變式1】如圖的數(shù)軸上，點(diǎn)4C對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為1,3,線段于點(diǎn)4且N8長為1個單位長

度，若以點(diǎn)C為圓心，8c長為半徑的弧交數(shù)軸于0和1之間的點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸表示的實(shí)數(shù)為（）

??P曲1一

-^10H234

A.3-V5B.、而-2C.V5-1D.3-V10

【分析】利用勾股定理即可求得C8的長度，然后根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可求得答案.

【解答】解：由題意可得N3/C=9O°,AB=\,AC=3-1=2,

22=

則C5=^2+1VS'

那么點(diǎn)尸表示的實(shí)數(shù)為3-返，

故選：A.

【變式2】如圖，長方形0/2C的邊。/長為2,邊48長為1,0/在數(shù)軸上，以原點(diǎn)。為圓心，對角線

02的長為半徑畫弧，交正半軸于一點(diǎn)，則這個點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（）

【分析】由勾股定理求出08的長，即可解決問題.

【解答】解：???四邊形O48C是矩形，

：.ZOAB=90°,

:，0B=VOA2+AB2=V22+l2=炳，

這個點(diǎn)表示的示數(shù)是返，

故選：C.

【變式3】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)/表示的數(shù)是1,點(diǎn)C表示的數(shù)是3,BCLAC,垂足為C,且2c=1,以/

為圓心，N8長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。表示的數(shù)為（）

/J-—-、、

//、X

??D'I?rd%

-3-2-10123

A.1-V5B.1-^5C.V5D.-V5

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的，再由作圖得AB=AD=JU，即可解決問題.

【解答】解：'：BC±AC,

：.ZACB=90°,

在Rtz\4BC中，由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=^22+12=V5）

由題意可知，AB=AD=V5>

...點(diǎn)。表示的數(shù)為1-V5，

故選：4.

題型03勾股定理與特殊直角三角形

【典例1】如圖，在RtZ\/2C中，NC=90°,N/=30°,BC=2,則/C=()

，

c°---------、卜

A.MB.2A/3C.2V5D.4

【分析】根據(jù)題意，ZC=90°,N/=30°,BC=2,得到43=4,根據(jù)勾股定理求出NC即可.

【解答】解：；/C=90°,//=30°,BC=2,

.?.45=4,

?*-AC=VABMC2=2\/3>

故選：B.

【變式1】在中，ZC=90°,/B=30°,BC=3\^cm則48的長度是()

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【分析】根據(jù)直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半解答.

【解答】解：在RtZUBC中，48=30°,BC=3y/3cm,

.BC_373_V3

"AB~AB~2'

..D_3V3_(、

??ABr—6\c/ti),

V3

2

故選：B.

【變式2】如圖，在△NBC中，ZC=90°,48=30°,AD平方/B4C,DELAB,垂足為E,AD=2,

則8C的長為()

【分析】證明N34D=N8,從而得4D=AD=2,在Rtz\/CD中，由/C4D=30°,求出CD的長度即

可求出8c的長度.

【解答】解：在△4BC中，

VZC=90°,Z5=30°,

AZBAC=1S0°-ZC-ZB=60°,

'：AD平分/A4C,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

*/ZBAD=ZB,

：.AD=BD=2,

在RtZ\/C。中，

VZC4Z）=30°,

：.CD=^AD=\,

2

；.BC=CD+BD=3.

故選:B.

【變式3】在△N3C中，已知//=30°,AC=8,BC=5,某同學(xué)用直尺和圓規(guī)先確定了三角形頂點(diǎn)/、

C,在用3c長確定頂點(diǎn)8時，作出了如圖所示的兩個8點(diǎn)，那么這兩個8點(diǎn)之間的長度為（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】過C作CCN8,垂足為。，利用股股定理求出CD的長，再利用勾股得到求出2。，即可得到

結(jié)論.

【解答】解：過C作CD_L48,垂足為

VZA=30°,AC=8,

???8=￡XAC=4,

在RtZ\8CZ)中，

5￡)=VBC2-CD2=VS2-42=3,

這兩個5點(diǎn)之間的長度為3義2=6,

故選：A.

題型04利用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離

【典例1］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（2,3）到原點(diǎn)的距離是（）

A.1B.5C.V5D.713

【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2,3）到原點(diǎn)的距離是：

V（2-0）2+（3-0）2=V13-

故選：D.

【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2,0）和（0,3）,則這兩點(diǎn)之間的距離是（）

A.B.V5C.13D.5

【分析】先根據(jù)/、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出。/及08的長，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：'：A（2,0）和3（0,3）,

?■?^=VoA2-H3B2=V13-

故選：A.

【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知/(2,3),8(-2,-14),C(4,6),。(-1,-7)四點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是()

A.AC=2BDB.CD=2ABC.AD=2BCD.BC=2AD

【分析】根據(jù)勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式分別對各個選項進(jìn)行判斷即可.

【解答］解:N、；AC=V(2-4)2+(3-6)2=V4+9=V13，BD=V(-2+1)2+(-14+7)2=Vl+49=5>/2，

:.AC￥2BD,故/選項不符合題意；

B、7CD=V(4+1)2+(6+7)2=V25+169=V194'AB=V(2+2)2+(3+14)2=V16+289=V305'

:.CDW2AB,故8選項不符合題意；

C、AD=V(2+1)2+(3+7)2=A/9+100=ViO9'

BC=V(-2-4)2+(-14-6/=也6+400=V436=2>/109，

：.AD^2BC,故C選項不符合題意；

VBC=2ViO9,AD=V109,

：.BC=2AD,故。選項符合題意；

故選：D.

【變式3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/和點(diǎn)2的坐標(biāo)分別是(百，0)、(0,3),以點(diǎn)/為圓心，以N5長

為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(373,0)B.(-V3,0)

C.(273,0)D.(373,0)或(-V§,0)

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求出的長，進(jìn)而得到ZC的長，設(shè)C(x,0),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距

離公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：：點(diǎn)/和點(diǎn)8的坐標(biāo)分別是(炳，0)、(0,3),

AB=732+（VS）2=2V3;

.以點(diǎn)/為圓心，以長為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)C,

，AC=2?，

設(shè)C（X,0）,貝U：IX-V3I=蓊，

,x=3如或x=V§；

/?C（W3,0）或C（3次，0）,

故選：D.

題型05勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】如圖，一棵直立的大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角,

這棵樹在折斷前的高度為（）

A.（2+2A歷）米B.（2+笳）米C.4米D.6米

【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再加上離地面

的距離就是折斷前樹的高度.

【解答】解：如圖，根據(jù)題意2c=2米，ZBCA^90°,

VZBAC=30°,

.?./8=23C=2X2=4米，

2+4=6米.

故選：D.

【變式1】如圖（1）,在某居民小區(qū)內(nèi)有一塊近似長方形的草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在

草坪內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草，如圖（2）,經(jīng)過測量NC=3加，4B=4m,

計算僅僅少走了4步.（假設(shè)1米為2步）

(1)(2)

【分析】根據(jù)勾股定理求出路長,即三角形的斜邊長，再求兩直角邊的和與斜邊的差即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意知：/A4c=90°,/C=3w,48=4加,

?*-BC=VAC2+AB2=VS2+42=5(m>

；.3+4-5=2(m),

VI米為2步,

；.2米為4步,

，僅僅少走了4步.

故答案為：4.

【變式2】如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，“遠(yuǎn)航”

號以每小時⑵mile的速度沿北偏東60°方向航行,''海天”號以每小時16"mile的速度沿北偏西300方

向航行.2小時后，“遠(yuǎn)航”號、“海天”號分別位于",N處，則此時“遠(yuǎn)航”號與“海天”號的距離為40

【分析】根據(jù)題意可得：MP=24海里，NP=32海里，ZAPM=60°,NAPN=30°,從而可得NNPM

=90°,然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答.

(海里)，7Vp=16X2=32(海里)，ZAPM^60°,NAPN=30°,

/.ZNPM=ZAPN+ZAPM=90°,

在RtAJVPM中，MN=dNP?+MP2=32+24=40（海里），

，止匕時“遠(yuǎn)航”號與“海天”號的距離為40〃加/e,

故答案為：40.

【變式3］如圖，當(dāng)秋千靜止時，踏板離地的垂直高度8￡=1根，將它往前推4加至C處時（即水平距離

CD=4m）.踏板離地的垂直高度3=3加，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是5m.

A

IMIcZd/.

■1.F-7.............-E

【分析】設(shè)/C的長為x冽，貝UZ5=4C=x加，故AD=AB-BD=（x-2）m.在直角△4OC中利用勾

股定理即可求解.

【解答】解：由題意可知，CF=3m,BE=lm,

:?BD=2m.

設(shè)4C的長為x冽，貝!J4B=/C=x加，

'.AD—AB-BD=（x-2）m.

在RtZ\4CD中，

由勾股定理，得/Z）2+CZ）2=/C2,

222

即（x-2）+4=X9

??x=5,

故答案為：5.

So

雷強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-6,-8）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離為10

B.點(diǎn)/到x軸的距離為6

C.點(diǎn)/到y(tǒng)軸的距離為8

D.點(diǎn)/在第四象限

【分析】根據(jù)勾股定理結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)特征逐一判斷即可.

【解答】解：：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6,-8）,

二點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離為｛$2+82=1。；點(diǎn)/到無軸距離為|-8|=8；點(diǎn)/到y(tǒng)軸的距離為|-6|=6；點(diǎn)/

在第三象限，

故正確的是選項/,

故選：A.

2.如圖，在△NO8中，ZAOB=9Q°，08=3,OA=1,在數(shù)軸上，以點(diǎn)/為圓心，48的長為半徑畫

弧，交數(shù)軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P表示的數(shù)是（)

C.標(biāo)-1D-1~\[S

【分析】由勾股定理得出N8的長度，繼而可得答案.

【解答】解：在RtZUOB中，=0B=3,

，4B=VOA2<)B2=V12+32=)

則點(diǎn)p表示的數(shù)為1-Vio.

故選：A.

3.如圖，在中，ZABC=90°,分別以8C,AC,為直徑向外構(gòu)造半圓，則圖中三個半圓的

面積S①，S②，S③之間的關(guān)系為（）

B.S①+S③=S②

cS^+sQsl)D-S?+S?=S?

【分析】利用勾股定理解Rt△MC可得AB2+BC2=AC2,進(jìn)而推出

22

冗?（號）=/冗■（與'）,即S①+S③=S②?

【解答】解：：在RtZ\48C中，ZABC=90°,

:.AB2+BC2^AC2,

;分別以BC,AC,AB為直徑向外構(gòu)造半圓，三個半圓的面積S①，S②，S③,

冗’(竽)■"'(票)’

.,.s①+s③=s②,

故選：B.

4.如圖，分別以的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，若斜邊45=6,則圖中陰影部分的面積為

2

【分析】根據(jù)勾股定理可得N，2+〃C2=/C2,從而可得AH2,AC2，SAACH-|AC-同理

SABCF4BC2,SAABE4AB2,再根據(jù)402+g2=/爐，代入求值即可.

為直角三角形，

...由勾股定理得：AH2+HC2=AC2,

又,：AH=HC,

,""2=/AC2，

2=2

???^C7/=y^X/7C=lAHjAC>

同理，SABCF==BC2，SA^E==AB2，

44

在RtZ\4BC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

"：AB=6,

,陰影部分的面積為SUCH^SABCF^SUBE

=yAC2+yBC2+YAB2

444

=L^Q2+BC1+AB2}

=工/2/爐

4

=—AB2

2

=-X62

2

=18.

故選：D.

5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)N,C表示的實(shí)數(shù)分別是-2,1,2CL/C于點(diǎn)C,且2c的長度為1個單位長度，連

接力艮若以點(diǎn)/為圓心，A8長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸所表示的實(shí)數(shù)為（）

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系解答即可.

【解答】解：數(shù)軸上的點(diǎn)/,C表示的實(shí)數(shù)分別是-2,1,且8C的長度為1個單位長度,

在直角三角形/3C中，由勾股定理得：AB=VBC2+AC2=7I2+32=VIO-

，點(diǎn)尸表示的數(shù)為-2.

故選：B.

6.某小組開展了關(guān)于筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動.如圖，當(dāng)張角為/胡尸時，頂部邊緣2處離

桌面的高度8c為10.5cm,此時底部邊緣N處與C處間的距離NC為36c加，小組成員調(diào)整張角的大小繼

續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為尸時（點(diǎn)。是點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣。處到桌面的距離?！隇?/p>

22.5cm,則底部邊緣/處與E之間的距離/￡為（）

A.20cmB.18cmC.12cmD.30cm

【分析】根據(jù)題意得NNC5=N4￡O=90°,AB=AD,由勾股定理求出的長，再由勾股定理即可求

出/￡的長.

【解答】解：由題意得：NACB=NAED=90°,AB=AD,

在Rt/X/CB中，由勾股定理得：^=VAC2+BC2=VS62+10.52=37-5Gm）,

；?AD=AB=37.5cm,

在RtzX/切中，由勾股定理得：/E=JAD2_DE2=J37.52-22.52=30（5?），

故選：D.

7.如圖，是一個蓋子圓心處插有吸管的圓柱形水杯，水杯底面直徑為10”?,高度為12ca,吸管長為25c加

（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管長度為ac”,則。最小為（）

A.11B.12C.13D.14

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)勾股定理求出的長即可推出結(jié)果.

【解答】解：由題意可知，當(dāng)吸管如圖所示放置時，露在水杯外面的吸管長度最短,

:水杯底面直徑為高度為12c加，

.'.AC=5cm,BC=\2cm,

?*-^=VAC2+BC2=13C/M,

...露在水杯外面的吸管長度=25-13=12（cm）,

即。最小為12,

8.如圖，一架25加的云梯45斜靠在一豎直的墻NO上，這時NO為24加.如果梯子N8的底端向墻一側(cè)移

動了2加，那么梯子的頂端向上滑動的距離是（）

C.2mD.(4-V5)n

【分析】利用勾股定理求出的長，再求出OC的長，進(jìn)而即可得解.

【解答】解：:48=25加，4O=24m,

0B=VAB2-A02=7irJO5=VAB2-A02=7(M)>

?：0B=7m,BD=2m,

：?0D=7-2=5(m),

,:CD=25m,

OC=VCD2-OD2=7252-52=1076m，

OC=dCD?_g2={252.52=10加(m),

???AC=0C-A0=(l(h/6-24)IT，

故選：4

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)是(2,2),若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且是等腰三角形，則點(diǎn)P的

坐標(biāo)不可能是()

A.(4,0)B.(0,&)C.(-V8,0)D.(0,2)

【分析】將四個選項中的點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)尸(4,0)時，

O^=^22+22=2V2,PA=V(2-4)2+22=2\/2)

：.PA^OA,

.?.△/尸。是等腰三角形，故選項/不符合題意；

當(dāng)尸(0,2)時，

OP=2=AP,

.?.△/尸。是等腰三角形，故選項。不符合題意；

當(dāng)尸(-?,0)時，

OA=yj22+22=242=op,

.?.△/尸。是等腰三角形，故選項C不符合題意；

當(dāng)尸(0,V2)時無法得出△NPO是等腰三角形，故選項3符合題意，

故選：B.

io.如圖，在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側(cè)作正方形，面積分別記為s，必，電,

若S3+S2-SI=24,則圖中陰影部分的面積為()

A.6B.12C.10D.8

【分析】由勾股定理得/C2+/82=8C2,即SI+S2=S3,再由S3+$2-SI=24求出$2=12,即可解決問題.

【解答】解：在中，由勾股定理得：AC2+AB2^BC2,

即Si+S2=S3,

'：S3+S2-Si=24,

:.s2^n,

由圖形可知，陰影部分的面積=工$2=6,

2

故選：A.

11.如圖，已知AB=NC,8到數(shù)軸的距離為1,則數(shù)軸上C點(diǎn)所表示的數(shù)為1-、石.

【分析】先利用勾股定理求出的長從而得到NC的長，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求解即可.

【解答】解：利用勾股定理算得ABWF+225，

AC=V5-

數(shù)軸上C點(diǎn)所表示的數(shù)為：if而.

故答案為：1-V5-

12.如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于點(diǎn)、D,S.DA^DB.若CD=4,貝!I8C=

12.

【分析】根據(jù)/。平分N8/C,得出根據(jù)得出/以2=/3,從而得出NZMC

=ZDAB=ZB,根據(jù)NC=90°,得出NZMC=N。48=NB=30°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性

質(zhì)，得出4D=DC=8,即可得出答案.

【解答】解：平分/A4C,

ZDAB=ZDAC,

,:DA=DB,

NDAB=NB,

NDAC=NDAB=/B,

VZC=90°,

AZDAC+ZDAB+ZB^90°,

：.ZDAC=ZDAB=ZB=30°,

VDC=4,

：.AD=DC=?>,

:.DB=DA=8,

：.BC=DB+DC=U.

故答案為：12.

13.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形/、B,C,D

的面積之和是100cm2,則最大的正方形的邊長為10cm.

【分析】設(shè)正方形/、B、C、D、E、F、G的邊長分別為a、b、c、d、e、f,g,由勾股定理得e?=

a2+b2,f^c2+d2,g2=e2+/2-則正方形尾廠的面積和=正方形/、B、C、。面積的和，最大正方形G

的面積=正方形E、廠的面積和，再推出最大正方形G的面積=正方形/、B、C、。的面積之和=

100cm2,即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)正方形/、B、C、D、E、尸、G的邊長分別為a、b、c、d、e、f,g,

??.所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，

.".e2=a2+b2,fi=c1+d1,g2-=e1+f-,

正方形E、歹的面積和=正方形/、B、C、。面積的和，最大正方形G的面積=正方形E、尸的面積

和，

，最大正方形G的面積=正方形4、B、C、。的面積之和=100c加2,

最大的正方形G的邊長=JI35=1O(cm),

故答案為：10.

14.如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高7米，兩樹相距12米，一只小鳥從一棵樹的樹梢/飛到另

一棵樹的樹梢3,則小鳥至少要飛行13米.

【分析】過3作2c〃地面，連接由題意得8c=12米，AC=（12-7）（米），由勾股定理可得

的長，即小鳥至少要飛行的距離.

【解答】解：過2作8C〃地面，連接48,

由勾股定理得，4B=yj卜。2中=13（米）,

故答案為：13.

15.如圖，鐵路和公路P。在點(diǎn)。處相交，點(diǎn)/到九W的直線距離為120加.如果火車行駛時，周圍200M

以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路九W上沿ON方向以72幻""的速度行駛時，點(diǎn)/處受噪音影響

【分析】過點(diǎn)N作/CLON,利用銳角三角函數(shù)的定義求出/C的長與200%相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然

后過點(diǎn)4作/。=/8=200機(jī)，求出BD的長即可得出居民樓受噪音影響的時間.

【解答】解：過點(diǎn)/作NCLLON,NB=/0=200米，

?.,04=240米，/C=120米,

當(dāng)火車到3點(diǎn)時對/處產(chǎn)生噪音影響，此時/8=200米，

:48=200米，/C=120米，

...由勾股定理得：5c=160米，CD=160米，即50=320米，

?..火車在鐵路上沿ON方向以72碗，=20米/秒的速度行駛，

.?.影響時間應(yīng)是:3204-20=16（秒）.

故N處受噪音影響的時間是16秒.

故答案為：16.

16.如圖，兩條公路/卜乙交于點(diǎn)。，在公路4旁有一學(xué)校/，與。點(diǎn)的距離為170%,點(diǎn)N（學(xué)校）到公

路/1的距離為80加，一大貨車從。點(diǎn)出發(fā)，行駛在公路/i上，汽車周圍100%范圍內(nèi)有噪音影響.

（1）貨車開過學(xué)校是否受噪音影響？為什么？

（）若汽車速度為初力，則學(xué)校受噪音影響多少秒鐘？

;2807

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)4（學(xué)校）到公路。的距離為80加，一大貨車從。點(diǎn)出發(fā)，行駛在公路4上,

汽車周圍100m范圍內(nèi)有噪音影響，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)貨車開過，在點(diǎn)8至點(diǎn)。學(xué)校受噪音影響，則/2=4D=100m,由等腰三角形的性質(zhì)得8加=

DM,再由勾股定理得BA/=60m,則AD=120m,即可解決問題.

【解答】解：（1）貨車開過學(xué)校受噪音影響，理由如下：

:點(diǎn)/（學(xué)校）到公路4的距離為80加，大貨車從。點(diǎn)出發(fā)，行駛在公路A上，汽車周圍100加范

圍內(nèi)有噪音影響，80<100,

貨車開過學(xué)校受噪音影響；

（2）如圖，設(shè)貨車開過，在點(diǎn)8至點(diǎn)。學(xué)校受噪音影響，則A8=4D=100m,

'：AMLlx,

:.BM=DM,

由勾股定理得：BM==V100^-80^=（m）,

：.BD=2BM=12O（m）,

;汽車速度為8Qkmlh=2@mls,

9

影響時間=120+222=5.4（秒），

9

答：學(xué)校受噪音影響5.4秒鐘.

17.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到

E,繩子始終繃緊且繩長保持不變.

（1）若C尸=7米，/尸=24米，4?=18米，求男子需向右移動的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計算回答，該男子能否在30秒內(nèi)將船從/處移動到岸邊點(diǎn)F

的位置？

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求NC、8c的長，然后作差求解即可；

（2）求出從4處移動到岸邊點(diǎn)尸的時間，再比較即可.

【解答】解：（1）；/4FC=90°,/尸=24米，CF=7米，

.?.這二八產(chǎn)出F2r242+72=25（米），

"：AB=18米，

：.BF=AF-AB=24-18=6（米），

5C=22

VBF+€F=