2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：勾股定理的應(yīng)用（五大類型）專練（解析版）

專題1勾股定理的應(yīng)用（五大類型）專練

類型一：勾股定理解決路徑問題

類型二：勾股定理解決折疊問題

類型三：勾股定理解決實際問題

類型四：勾股定理探究動點問題中的直角三角形存在問題

類型五：對角線垂直的四邊形（垂美四邊形）

類型一：勾股定理解決路徑問題

1.如圖，高速公路的同一側(cè)有N,8兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為NC=2Am,BD=

4km,CD=8km.要在高速公路上C,。之間建一個出口尸，使/,8兩城鎮(zhèn)到尸的距離之和最小，則這

個最短距離為10的？.

B

A

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出P點位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即

可.

【解答】解：如圖所示：作/點關(guān)于直線的對稱點H,再連接B,交直線于點尸，

則此時AP+PB最小，過點B作BELCA交延長線于點E,

'：AC=2km,BD=4km,CD=8km.

:.AE=4-2=2km,AA'=4hn,

.'.A'E—6km,BE=CD=8km,

在RtzXHEB中，

A'B=762+82=10km,

貝ijAP+PB的最小值為10km.

故答案為：10命.

2.如圖，是一個三級臺階，它每一級長，寬，高分別為4加，旦加和』加，/和3是這個臺階的兩個相對的

44

端點，/點上有一只螞蟻想到8點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（）

A

A.3.5mB.4.5mC.5mD.5.5m

【分析】將臺階展開為矩形，然后利用勾股定理計算的值，則根據(jù)兩點之間線段最短得到螞蟻所走

則NC=4a,BC=（告+X3=3（m）,

在RtZX/BC中，AB=7AC2+BC2=^42+32=5（加）’

所以螞蟻所走的最短路線長度為5m.

故選：C.

3.如圖，在四邊形N8CO中，對角線/C_L8。，AC=2BD=10,則N8+CD的最小值為（）

【分析】過點8作8￡〃/C,BE=AC=10,則四邊形8EC4是平行四邊形，利用勾股定理求出的長,

再利用三角形三邊關(guān)系可得答案.

【解答】解：過點3作2E〃/C,BE=AC=10,

則四邊形5EC4是平行四邊形，

：.AB=CE,

"CBDLAC,AC//BE,

：.ZDBE=90°,

\"2BD=10,

：.BD=5,

???D￡=VBD2+BE2=752+102=5娓，

;DE+CE，DE,

：.DE+CE的最小值為5場,

4.如圖，一個無蓋的長方體盒子的長、寬、高分別為3.5c加，3.5cm,24cm,一只螞蟻想從盒底的點Z沿盒

的表面爬到盒頂?shù)狞c8,則它爬行的最短路程是25cm.

24cm

------3.5cm

3.5cm

【分析】分兩種情況，一是沿長方體正面、右側(cè)面爬行，二是沿長方體底面、后側(cè)面爬行，將長方體展

開，連接48,用勾股定理求出48,比較大小即可得到最短路程.

【解答】解：分兩種情況：

①如圖，展開后連接/瓦則就是在表面上從4到3的最短距離，

在中，由勾股定理得：AB=7AM2+BM2=7(3.5+3.5)2+242=25;

②如圖，展開后連接N8,則N8就是在表面上從4到8的最短距離，

-------/1B

--------'N

在RtZ\/8N中，由勾股定理得：AB=VAN2+BN2=VS.52+（24+3.5）2=^768.5；

vV768.5>25,

，爬行的最短路程是25cm,

故答案為：25.

5.如圖將一根15<:加長的細(xì)木棒放入長寬分別為41?加，3c加和12c"?的長方體無蓋盒子中，則細(xì)木棒露在外

面的最短長度是多少？

【分析】長方體內(nèi)體對角線是最長的，當(dāng)木條在盒子里對角放置的時候露在外面的長度最小，這樣就是

求出盒子的對角線長度即可.

【解答】解：由題意知：盒子底面對角長為｛32+42=5。加，

盒子的對角線長：《52+122=13。加,

細(xì)木棒長15cm,

故細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是：15-13=2cm.

所以細(xì)木棒露在外面的最短長度是2厘米.

6.為籌備迎新生晚會，同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙.如圖，已知圓

筒高108”?,其圓筒底面周長為36cm,如果在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪油紙的最短為180cm.

【分析】將圓柱體沿一條母線展開，可得圖形，如圖，只需求出每一圈所需的油紙的長度即可，展開后

即轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的問題，在中，N8已知，8C的長可求出，根據(jù)勾股定理即可得出

/C的長度，由于油紙纏繞4圈，故油紙的總長度為4/C的長度.

【解答】解：將圓筒展開后成為一個矩形，如圖，整個油紙也隨之分成相等4段只需求出NC長即可，

在RtAABC中，

：/5=36,2c=12§.=27CW,

4

：.AC2=AB2+BC2=362+272,

.\AC=45cmf

J應(yīng)裁剪油紙的最短=45X4=180(cm).

故答案為：180.

R

7.重慶是一座橋都，如圖所示，嘉陵江在CC'處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，都為0.5公里，從/處到達(dá)2處

（/到8的水平距離是4.5公里，/到8的豎直距離是3.5公里），須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?，橋與河垂

直），設(shè)嘉陵江以及兩座橋都是東西、南北走向的，造的兩座橋可使從N到8的路程最短，/處到8處

的最短路徑長為6公里.

B

【分析】過/作/尸，CD,且/尸等于河寬，過8作BGLCE,且3G等于河寬，連接GR與河岸相交

于中、。'.作、EE'即為橋，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到/。=陽'，BE=GE',然后得到“

處到B處的最短路徑長即為/尸+G尸+2G的長度，然后利用勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖，過/作/尸，CD,且/尸等于河寬，過2作3GLCE,且BG等于河寬，連接GR

與河岸相交于9、D：作D?、EE'即為橋.

BG

由作圖可知，AF//DD',AF=DD',

則四邊形NED'。為平行四邊形，

；.AD=FD',

同理，BE=GE',

C.AD+DD'+D'E'+EE'+BE=FD'+AF+D'E'+GE'+BGWAF+GF+BG

：.A處到B處的最短路徑長即為NF+G尸+2G的長度

:/到2的水平距離是4.5公里，4到5的豎直距離是3.5公里，河寬相同，都為0.5公里,

：.BG=AF=DD'=0.5（公里），

GF=V(4.5-0.5)2+(3.5-0.5)2=5(公里)，

：.AF+BG+GF=Q.5+0.5+5=6(公里),

：.A處到B處的最短路徑長為6公里.

故答案為：6.

8.如圖，在10義8的方格內(nèi)取N,B,C,。四個格點，使N8=8C=2CD=4,尸是線段8c上的動點，連

接力尸，DP.

(1)設(shè)BP=a,CP=b,用含字母a,b的代數(shù)式分別表示線段/尸，DP的長；

(2)設(shè)k=AP+DP,人是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)分別用x表示出2尸、CD的長度，再根據(jù)勾股定理求出“尸、DP的長即可;

(2)作點/關(guān)于5c的對稱點,連接D,再由對稱的性質(zhì)及勾股定理即可求解.

【解答】解:(1)由題意結(jié)合圖形知：

?：4B=BC=2CD=4,BP=a,CP=b,

?■■^P=VAB2+PB2=V16+a2'?=VcD2+PC2=V4+a2;

(2)存在.

如圖，作點/關(guān)于2C的對稱點,連接D交BC于P,

則此時，人存在最小值，

過/'作E_LCD交。C的延長線于E,

：.A'E=4,DE=6,

則HD=E2+DE2=742+62=>

最小值為2d石.

9.如圖1,C為線段8。上一動點，分別過點8、。作EDLBD,連接NC、EC.已知/8=2,

DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長為_、，4+（8-X）2+71+x2

（2）求/C+CE的最小值

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請模仿圖1在網(wǎng)格中（圖2）構(gòu)圖并求代數(shù)式，乂2+1+Y（3-x）2+4

的最小值.

【分析】（1）由勾股定理即可求解；

（2）過點/作/尸，垂足為點尸，連接/E,則有尸=2,BD=AF=8,要使/C+EC的值最

小，則需滿足點/、C、E三點共線即可，即最小值為/E的長，然后問題可求解；

（3）取尸為線段2D上一動點，分別過點2、。作EDLBD,連接/尸、EP.己知43=1,DE

=2,BD=3,然后同理（2）可進(jìn)行求解.

【解答】解：（1）:AB上BD,EDLBD,

AABC和△CDE是直角三角形，

,:AB=2,DE=\,BD=8,設(shè)CD=x,

：.BC=8-x,

在中，AC=VAB2+BC2=V1+(8-X)2-

在RtzxcoE中，CE=VDE2-K:D2=71+X2)

???ACCE=V4+(8-x)2+A/1+X2，

故答案為：V4+(8-X)2W1+X2;

（2）過點4作4DE,垂足為點尸，連接如圖所示:

9：AFLDE,AB_LBD,EDLBD,

???四邊形45。尸是矩形，

:?AB=DF=2,BD=AF=8,

：?EF=3,

ACCE=V4+（8-x）2+A/1+X2，

要使NC+EC的值最小，則需滿足點/、C、E三點共線即可，即最小值為NE的長，

：.AC+CE的最小值A(chǔ)E=VAF2+EF2=V?3；

（3）取尸為線段2D上一動點，分別過點2、。作EDLBD,連接/尸、EP.已知45=1,DE

=2,BD=3,如圖所示：

?—?—?—?—?—?—?

設(shè)BP=x,則根據(jù)勾股定理可得：AP=7X2+1,PE=V（3-X）2+4-

；?AP+PE=^/X2+1W（3-X）2+4,

同理（2）可知二二的最小值即為點/與點片之間的距離，

AP+PE=VX2+1+4（3-x）2+4的最小值為d32+32=3a-

類型二：勾股定理解決折疊問題

10.如圖，己知正方形/BCD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DR延長斯交N2于

點G,則△BEG的周長為24.

【分析】連接GZ）,證明△NOGg△bDG（乩）得出NG=FG,^AG=FG=x,則￡G=x+6,8G=12-

x,勾股定理求得x=4,則/G=GF=4,BG=8,進(jìn)而勾股定理求得GE,即可求解.

【解答】解：連接GD,如圖所示,

由折疊可知，DF=DC=DA,NDFE=/C=90°,

；.NDFG=NA=90°,

RtA^DG^RtAFDG(HL),

:.AG=FG,

???正方形邊長是12,

:.BE=EC=EF=6,

設(shè)NG=FG=x,則￡G=x+6,BG=\2-x,

由勾股定理得：EG1=BE-+BG1,

即：(x+6)2=62+(12-x)2,

解得：x=4,

：.AG=GF=4,BG=8,

GE=VBE2+BG2=Ve2+82=10，

小BEG的周長為BE+EG+GB=6+8+10=24,

故答案為：24.

11.如圖，長方形紙片/BCD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長方形紙片折疊，使點。與點8重合，點C

落在點〃的位置，折痕為ER則△N8E的面積為()

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

【分析】設(shè)則￡O=3E=9-x,根據(jù)勾股定理可求得NE,的長，從而不難求得△/8E的面

積

【解答】解：設(shè)/E=x,由折疊可知：ED=BE=9-x,

.在RtAJBE中，32+/=(9-x)2

??x==4,

3X4=6(.cm2)

22

故選：A.

12.如圖，矩形4BCD中，48=8,BC=4,將矩形沿/C折疊，點。落在點。'處，則重疊部分的

面積為10.

【分析】因為8c為N尸邊上的高，要求的面積，求得即可，求證△，四'烏4CFB,得BF=

D'F,設(shè)Z/F=x,則在RtZU尸ZT中，根據(jù)勾股定理求x,尸=/8-8/.

【解答】解：易證△4ED'四八CFB,

：.D'F=BF,

設(shè)。'F=x,則4F=8-x,

在RtZUFD，中，（8-尤）2=X2+42,

解之得：x=3,

:.AF=AB-FB=8-3=5,

：.S^FC=~?AF-BC=10.

故答案為：10.

13.如圖，矩形4BCZ）中，48=8,40=10,E是CD上一點，把△/￡>￡沿直線NE翻折，。點恰好落在

【分析】在4/8/中，利用勾股定理可求得2尸的長，進(jìn)而可求得C尸長；同理在△（?斯中，利用勾股

定理可求得CE長.

【解答】解：???四邊形N28是矩形，

AZ5=ZC=90°,AD=BC=\Q,CD=AB=8.

,:AAEF是A4DE翻折得到的，

：.AF=AD=10,EF=DE,

：.BF=6,

：.FC=4,

,：FC1+CE1=EF2,

：.41+CE2=(8-CE)2,

解得C￡=3.

故答案為3.

14.如圖，把長方形紙片。/3C放入平面直角坐標(biāo)系中，使04,0c分別落在x軸、y軸上，連接/C,將

紙片0/2C沿NC折疊，使點5落在點。的位置，40與y軸交于點E,若2(2,4),則。E的長為

3

【分析】由四邊形是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△/￡(?是等腰三角形，然后在Rt^NE。中，利

用勾股定理求得NE,的長.

【解答】解：：四邊形O/8C是矩形，

：.OC//AB,

：.ZECA=ZCAB,

根據(jù)題意得：ZCAB=ZCAD,NCD4=NB=9Q°,

：.ZECA=ZEAC,

：.EC=EA,

,:B(2,4),

：.AD=AB=4,

設(shè)OE=x,則/E=EC=OC-OE=4-x,

在RtZUOE中，AE2=OE2+OA2,

即(4-x)2—X2+4,

解得：x=3,

2

：.0E=&,

2

故答案為：區(qū).

2

15.如圖，△/BC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,將沿。￡翻折，使點/與點3重合，貝U/￡

的長為()

B

A.工B.3C.空D.空

848

【分析】在RtZXBCE中，由臺爐二^^爐+水吃得到％2=(4-X)2+32,即可求解.

【解答】解：設(shè)4E=BE=x,則CE=4-x,

在Rtz\8CE中，BE2^CE2+BC2,

即x2=(4-x)2+32,

解得x=2^,

8

故選：D.

16.如圖，在正方形48CD中，AB=4,E是8的中點，將△8CE沿3E翻折至△2FE,連接。尸，則

的長度是()

5555

【分析】由勾股定理可求8E的長，由折疊的性質(zhì)可得CE=E/=2,BELCF,FH=CH,由面積法可求

?！?生區(qū)，由勾股定理可求的長，由三角形中位線定理可求。尸=2￡"=生叵.

55

?.,在正方形48co中，48=4,￡是CD的中點,

:.BC=CD=4,CE=DE=2,NBCD=90°,

22

?*-BE=VBC<E=V16+4=2疾,

,/將△BCE沿BE翻折至AB巨￡,

：.CE=EF=2,BELCF,FH=CH,

S^BCE=L乂BEXCH=LXBCXCE,

22

5

EH=y/2

CE_CR2)

VDD

,:CE=DE,FH=CH,

：.DF=2EH=^^-,

5

故選：D.

17.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點。的坐標(biāo)為(15,9),過點。作軸，。(7，；1軸，點￡為y軸上一

點，將△4ED沿直線DE折疊，點/落在邊2C上的點尸處.

(1)請你直接寫出點/的坐標(biāo)；

(2)求FC,/￡的長；

(3)求四邊形EOFD的面積.

y”

0]FCX

【分析】(1)證明四邊形NOC。是矩形，再結(jié)合。的坐標(biāo)即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出。尸的長，再根據(jù)勾股定理求出CF的長，即可得出。下的長，設(shè)/E=x,在

RtAOEF中根據(jù)勾股定理得出等式求解得出AE的長即可；

(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，四邊形EOF。的面積M&EOKSAEFDU&EOF+SA/ED，再根據(jù)三角形的面積

公式求解即可.

【解答】解：(1)軸，DCLx軸，ZAOC=90°,

???四邊形/OC￡＞是矩形，

:。的坐標(biāo)為(15,9),

：.AD=OC=\5,CD=AO=9,

：.A(0,9)；

(2)?.,將△/￡￡)沿直線OE折疊，點/落在邊3c上的點尸處.

：.DF=AD=\5,

:CF=VDF2-CD2=V152-92”,

：.OF=OC-CF=15-12=3,

設(shè)則環(huán)=x,OE=9-x,

在RtZSO防中，由勾股定理得，

OE1+OF1=EF1,

即(9-x)2+32=X2,

解得x=5,

：.AE=5；

(3)由(2)知/E=5,

：.OE=9-5=4,

由折疊的性質(zhì)可知，SAAED=S^DFE，

；?四邊形EOFD的面積=Sz^oKS△m￡)=3.0/7+5力助

=1CE-OF+^XAE-AD

=yX4X3^X5X15

=87

~2~'

類型三：勾股定理解決實際問題

18.如圖，一棵直立的大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵

樹在折斷前的高度為()

A.(2+2A歷)米B.(2+2AB)米C.4米D.6米

【分析】根據(jù)直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再加上離地面

的距離就是折斷前樹的高度.

【解答】解：如圖，根據(jù)題意2C=2米，N2C4=90°,

VZBAC=30°,

；./8=28C=2X2=4米,

，2+4=6米.

故選：D.

19.如圖，某自動感應(yīng)門的正上方/處裝著一個感應(yīng)器，離地/5=2.1米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍

內(nèi)時，感應(yīng)門就會自動打開.一個身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（8C=

1.2米），感應(yīng)門自動打開,則人頭頂離感應(yīng)器的距離ND等于（）

感應(yīng)器，乜

/

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

【分析】過點。作DELAB于點E,構(gòu)造RtZ\4DE,利用勾股定理求得的長度即可.

【解答】解：如圖，過點。作于點E,

感應(yīng)器

/

//

砥E

----------B

；AB=2.1米，2石=。。=1.6米，ED=2C=1.2米，

：.AE=AB-BE=2A-1.6=0.5（米）.

在RtA4DE中，由勾股定理得到：AD=VAE2+DE2=Jo.52+l.22=1.3（米）,

故選：B.

20.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，“遠(yuǎn)航”號以每

小時12〃加淤的速度沿北偏東60°方向航行，“海天'號以每小時16nmile的速度沿北偏西30°方向航

行.2小時后，“遠(yuǎn)航”號、“海天”號分別位于"，N處,則此時“遠(yuǎn)航’"號與“海天”號的距離為3

nmile,

北1

p\s

【分析】根據(jù)題意可得：兒。=24海里，NP=32海里，ZAPM=60°,NAPN=3Q°,從而可得NA7W

=90°,然后在RtZXNPM中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：如圖：

由題意得：7WP=12X2=24(海里)，NP=16X2=32(海里)，ZAPM=60°,/APN=30°,

ZNPM=ZAPN+ZAPM^90°,

在Rt/\NPM中，MN=?詆2+MP2=32+24=4°（海里）,

，此時“遠(yuǎn)航”號與“海天”號的距離為40〃加/e,

故答案為：40.

21.在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地.送行二步與人齊，五尺

人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有幾.”此問題可理解為：如圖,

有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地距離長度為1尺.將它往前水平推送10尺，即4c=10尺，則

此時秋千的踏板離地距離/'。就和身高5尺的人一樣高.若運(yùn)動過程中秋千的繩索始終拉得很直，則繩

索OA長為14.5尺.

【分析】設(shè)秋千的繩索長OA—xR,由題意知：OC=x-（5-1）=（工-4）尺，。/'=10尺，。4'=

x尺，根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)秋千的繩索長為x尺，

由題意知：OC=x-(5-1)=(x-4)尺，CA'=10尺，OA'=x尺,

在RtZXOC/T中，OC2+CA'2=CA'2,

(x-4)2+162—x2,

解得：x=14.5,

答：繩索CU長為14.5尺.

故答案為：14.5.

22.如圖是某小區(qū)兩面直立的墻壁之間的安全通道的示意圖，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角

的距離3C為0.7米，梯子頂端到地面的距離NC為2.4米.如果保持梯子底端位置（點B）不動，將梯

子斜靠在右墻，梯子頂端到地面的距離/。為1.5米.求這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬CD.

0.7米

【分析】在RtZ^42C中，利用勾股定理求出48長，再在RtZ\/'8。中，利用勾股定理求出AD長，然

后可得CD的長.

【解答】解：在Rta/BC中，由勾股定理得：^=7AC2+BC2=72.42+0.72=2.5（米），

".A'8=/8=2.5米，

在RtZM'中，由勾股定理得：BD=yjB2-A?D2=_52_1._1=2（米），

：.BC+BD=0.1+2=2.1（米），

答：這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬CD為2.7米.

23.如圖，兩條公路4、4交于點。，在公路乙旁有一學(xué)校4與。點的距離為170加，點/（學(xué)校）到公

路/1的距離為80加，一大貨車從。點出發(fā)，行駛在公路4上，汽車周圍100〃z范圍內(nèi)有噪音影響.

（1）貨車開過學(xué)校是否受噪音影響？為什么？

（2）若汽車速度為80加7力，則學(xué)校受噪音影響多少秒鐘？

【分析】（1）根據(jù)點N（學(xué)校）到公路。的距離/”為80加，一大貨車從。點出發(fā)，行駛在公路4上,

汽車周圍100加范圍內(nèi)有噪音影響，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)貨車開過，在點8至點。學(xué)校受噪音影響，則NB=/D=100m,由等腰三角形的性質(zhì)得2初=

DM,再由勾股定理得3河=60加，則80=120加，即可解決問題.

【解答】解：（1）貨車開過學(xué)校受噪音影響，理由如下：

??,點/（學(xué)校）到公路4的距離為80加，大貨車從。點出發(fā)，行駛在公路（上，汽車周圍100加范

圍內(nèi)有噪音影響,80<100,

貨車開過學(xué)校受噪音影響；

（2）如圖，設(shè)貨車開過，在點8至點。學(xué)校受噪音影響，則/3=/。=100%，

'：AMLlx,

：.BM=DM,

由勾股定理得：BM=｛皿2-hM=d1OC|2_8O2=60(w),

：.BD=2BM=UQ("?),

?.?汽車速度為^km/h=22^-m/s,

9

.,.影響時間=120+222=5.4（秒）,

9

答：學(xué)校受噪音影響5.4秒鐘.

24.在“歡樂周末?非遺市集”活動現(xiàn)場，諸多非遺項目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了

心.小明買了一個年畫風(fēng)箏，并進(jìn)行了試放，為了解決一些問題，他設(shè)計了如下的方案：先測得放飛點

與風(fēng)箏的水平距離為15加；根據(jù)手中余線長度，計算出ZC的長度為17處牽線放風(fēng)箏的手到地面的

距離N8為1.5〃?.已知點/,B,C,。在同一平面內(nèi).

（1）求風(fēng)箏離地面的垂直高度CD；

（2）在余線僅剩7.5加的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線DC方向再上升12加，請問能否成功？請運(yùn)用數(shù)學(xué)

知識說明.

【分析】（1）過點工作NELCD于點E,在RtZk/EC中，根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）假設(shè)能上升12%作圖RtA4EE根據(jù)勾股定理可得4F=25m,再根據(jù)題意，17+7.5=24.5<25,

即可求解.

【解答】解：（1）如圖1所示，過點/作/E_LCO于點E,則/E=AD=15加，AB=CD=1.5m,NAEC=

90°,

圖1

在Rt/X/EC中，CE=I/AC2-AE2=V172-152=8（加）'

CD=CE+CD=8+1.5=9.5（m）；

（2）不能成功，理由如下：

假設(shè)能上升12根，如圖所示，延長DC至點尸，連接4F,則C尸=12%,

在RtzXNE尸中，^=VAE2+EF2=V152+202=25（加）'

"：AC=17m,余線僅剩7.5機(jī)，

.*.17+7.5=24.5<25,

...不能上升12加，即不能成功.

類型四：勾股定理探究動點問題中的直角三角形存在問題

25.如圖，點/是射線8M外一點，連接若/8=5°加，點/到8"的距離為3c加，動點P從點3出發(fā)

沿射線2M以2cro/s的速度運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為/秒，當(dāng)△N8P為直角三角形時，t的值為（）

C.2或空D.2或在

448

【分析】過點N作利用勾股定理先求出4c加，再分當(dāng)N/P8=90°時，當(dāng)NA4P=90°

時，兩種情況討論求解即可.

【解答】解：過點工作AHLBM,

7點/到2M的距離為3cm,

：?4H=3cm,

9.AB—5cm,

根據(jù)勾股定理，得BH=7I^I?=4cm，

當(dāng)//尸8=90°時，如圖所示:

BH=4cm

根據(jù)題意，得2t=4,

解得t=2；

當(dāng)/B4P=90°時，如圖所示:

''AB—5cm,BP=2tcm,AH—3cm,BH=4cm,

:.HP=⑵-4)cm,

根據(jù)勾股定理，^AP2=BP2-AB2=4t2-25,AP2=AH2+HP2=9+(2f-4)2

A4Z2-25=9+(2f-4)2,

解得t金

綜上所述，當(dāng)△NB尸為直角三角形時，，的值為2或空,

8

故選：D.

26.如圖，在△4SC中，AB=2\cm,AC=12cm,ZA=60°，點P從點8出發(fā)以每秒3c加的速度向點/

運(yùn)動，點。從點/同時出發(fā)以每秒2c加的速度向點C運(yùn)動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也

隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為/秒，當(dāng)△NP0為直角三角形時，則t的值為3或21秒.

【分析】根據(jù)題意，先列出/P,的代數(shù)式，當(dāng)為直角三角形時，則//QP=90°,/APQ=

30°或//尸。=90°,ZAQP=30°,再根據(jù)30°角所對的邊是斜邊的一半，建立關(guān)于f的方程求解即

可.

【解答】解：根據(jù)題意得：BP=3tcm,AQ=2tcm,0WK6.

；.AP=AB-BP=(21-3力cm,

當(dāng)N/0尸=90°時,

VZA=60°,

AZAPQ=30°,

AQQAP，

解得:t=3,

當(dāng)NZP0=9O。時，

：//=60°,

：.ZAQP=30°,

**,yAQ=AP'

?,-yX2t=21-3f

解得：士與，

4

綜上，當(dāng)，的值為3秒或9秒時，△/尸0為直角三角形.

4

故答案為：3或21.

4

27.如圖：在△4SC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=Scm,8。是//8C的角平分線.（1）貝UCD=

3cm；

（2）若點E是線段48上的一個動點，從點3以每秒1cm的速度向/運(yùn)動，6或生秒鐘后

是直角三角形.

【分析】（1）過點。作DELAB于E,利用角平分線的性質(zhì)得CD=DE,再根據(jù)面積法可得答案;

（2）分NADE=90°或/NED=90°兩種情形，分別畫出圖形，利用勾股定理可得答案.

【解答】解：（1）如圖，過點。作。于E,

B

在Rt^4BC中，由勾股定理得，

^=VAC2+BC2=IO>

'：BC±AC,DEVBE,8。是/N3C的角平分線,

：.CD=DE,

vsAABD

.,.設(shè)CZ)=OE=x,

則(8-x)X6=10x,

解得x=3,

即CD=3cm,

故答案為：3cm；

(2)如圖，當(dāng)ED_L4D時，

則ED//BC,

：.2CBD=4BDE,

：./BDE=ZEBD,

:.BE=DE,

設(shè)t秒后△以￡>是直角三角形，

則BE=DE=tcm,

在Rt/X/DE中，由勾股定理得,

52+t2=(10-02,

解得t=—,

4

當(dāng)?！阓L/5時，由（1）得CD=DE=3cm,

B

?:BD=BD,

：?Rt/\CBDmRtAEBD(HL),

:?BE=BC=6cm,

故答案為：6或延.

4

28.如圖，在RtZk48C中，ZABC=90°,⑷3=16,8c=12,。為NC邊上的動點，點。從點C出發(fā)，沿

邊。向點/運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動到點/時停止.已知點。運(yùn)動的速度為每秒2個單位長度，設(shè)點。運(yùn)動的時

間為fs,當(dāng)△BCD是直角三角形時，f的值為衛(wèi)或10.

5

B

CDA

【分析】分①NCD8=90°時，利用△/8C的面積列式計算即可求出2。，然后利用勾股定理列式求解

得到CD,再根據(jù)時間=路程+速度計算；②NC8O=90°時，點D和點/重合，然后根據(jù)時間=路程

?速度計算即可得解；

【解答】解：在RtZ\48C中，ZABC=90°,/8=16,BC=\2,

22

"B=I/16+12=20,

①/CD3=90°時，S“BC=LAC，BD=IAB?BC,

22

即工X20?8D=』X16X12,

22

解得80=至，

5

所以CD=Ji22-(^-)2-'

VDD

/=毀+2=退(秒)；

55

②/C8D=90°時，點。和點/重合,

(=20^-2=10(秒),

綜上所述，f=辿或10；

5

29.如圖，在△NBC中，N4CB=90°,AB10cm,BC=6cm,點P雙點B出發(fā),以每秒4CM的速度沿折

線3—4—Cf3運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f秒(?>0).

(1)若點尸在NC上，則線段PC的長為(18-41)cm；(用含/的式子表示)

(2)點P在運(yùn)動過程中，若△8CP是以P8為底邊的等腰三角形，求1的值.

Ak

CB

【分析】(1)勾股定理求出/C的長，根據(jù)路程等于速度乘以時間，求出點尸運(yùn)動的路程，進(jìn)而表示出

AP,再用/C-NP,表示出CP即可；

(2)根據(jù)△8CP是以P8為底邊的等腰三角形，得到3C=CP,分點P在上和點P在NC上，兩種

情況進(jìn)行討論求解即可.

【解答】解：(1)?:BC=6cm,ZACB=90°,4B=10cm,

AC=VAB2-BC2=8cm>

由題意，得：點尸移動的路程為4,c加，

.\AP=(4L10)cm,

：.CP=AC-AP=(18-40cm；

故答案為：(18-4%)；

(2)①當(dāng)點。在邊4C上時：

則:6=18-4人

②當(dāng)點P在邊48上時：

過點定C作作CDLAB于點D.

:.PB=2BD.

vyAB-CD=yAC-BC'

.?.108=6X8.

94

,,CD=cir-

bc

BD=VBC2-CD2=^-cn-

b

???PB嚕cn-

b

即4t-y.

綜上所述，f的值為3秒或9秒.

5

30.如圖（1）,在等邊△N8C中，8c=15厘米，點￡以2厘米/秒的速度從點8出發(fā)向點/運(yùn)動（不與點/

重合），點/以1厘米/秒的速度從點N出發(fā)向點C運(yùn)動（不與點C重合），設(shè)點E,尸同時運(yùn)動，運(yùn)動時

間為/秒.

（1）在點尸運(yùn)動過程中，經(jīng)過幾秒時△/所為等邊三角形？

（2）在點E,廠運(yùn)動過程中，△“斯的形狀能否為直角三角形？若能，請求出時間f的值；若不能，請

說明理由.

【分析】（1）由等邊三角形的判定，當(dāng)/￡=/尸時，尸是等邊三角形，由此即可解決問題;

（2）分兩種情況，由直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解:（1）由題意得：AF=t,AE=\5-2t,

則，當(dāng)/時，△/￡尸是等邊三角形，

.'.15-2t=t,解得：t=5,

經(jīng)過5s時，△/￡尸為等邊三角形；

（2）ZX/M的形狀能為直角三角形.

分兩種情況，理由如下：

①如圖1,當(dāng)/AFE=9Q°時，

c

所以，ZAEF=30°,

因為，AF-^AE-

所以，更2L=t，

2X

所以，t="；

4

②如圖2,當(dāng)NAEF=9Q°時，ZAFE=30°,

圖⑴

所以，AE^-AF'

所以，15-2t=-^-t-

所以，f=6,

.?.當(dāng)運(yùn)動時間為型S或6s時，防為直角三角形.

4

類型五：對角線垂直的四邊形（垂美四邊形）

31.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形/5CO,對角線NC,

5。交于點O.若4D=2,BC=1,則/52+CZ）2等于（）

【分析】在RtZUOB與Rt^COD中，由勾股定理得，AB2^OA2+OB2,CD2=OD2+OC2,再將兩式相加

根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：在RtZk/O8與Rt4COD中，由勾股定理得，

AB2=OA2+OB2,CD2=OD2+OC2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2

=AD2+BC2

=22+72

=53,

故選：D.

32.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂