2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：正方形（3個知識點+5類熱點題型+習(xí)題鞏固）解析版

第05講正方形

學(xué)習(xí)目標

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.熟悉正方形的定義，掌握正方形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。

①正方形的定義與性質(zhì)2.掌握正方形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定正方

②正方形的判定形。

③中點四邊形3.掌握中點四邊形的定義,能夠熟練的根據(jù)四邊形的性質(zhì)判斷中點四邊

形的形狀。

窈思維導(dǎo)圖

正方形的定義與性質(zhì)

知識點01正方形的定義與性質(zhì)

i.正方形的定義：

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。

所以正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，還是特殊的菱形。

2.正方形的性質(zhì)：

同時具有平行四邊形、矩形以及菱形的一切性質(zhì)。

【即學(xué)即練1】

1.正方形有而矩形不一定有的性質(zhì)是（

A.四個角都是直角B.對角線相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

【分析】根據(jù)正方形與矩形的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：/、正方形和矩形的四個角都是直角，故本選項錯誤；

5、正方形和矩形的對角線相等，故本選項錯誤；

C、正方形和矩形的對角線互相平分，故本選項錯誤；

。、正方形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線互相平分但不一定垂直，故本選項正確.

故選：D.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，己知點E,點尸為正方形48co內(nèi)兩點，C,E,尸三點共線且滿足N2￡C=NCFD=9（r,連接

并延長交8C于點G,若EG平分/BEC,AB=運,則。￡的長為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【分析】先證明△BCEgZiC。尸得CE=DR再證明尸為等腰直角三角形，設(shè)DF=x,在尸

中由勾股定理列出方程求得x,進而由勾股定理求得

【解答】解：二?四邊形N8C。是正方形，

：.BC=CD,Z5CD=90°,

VZBEC=90°,

：.ZCBE+NBCE=NBCE+NDCF=90°,

：.ZCBE=ZDCF,

在△BCE和△CD/中，

fZSEC=ZCFD=90°

(Z.CBE=乙DCF,

IBC=CD

:.ABCE冬ACDF(AAS),

：.CE=DF,

■:EG平分NBEC,

1

：.NDEF=NCEG=-ZBFC=45°,

:,EF=DF=CE,

設(shè)EF=DF=CE=x,

*：CF2+DF2=CD2,

（2町2+）=（a2,

??X=1,

:.DE=VDF2+EF2=V2>

故選：B.

【即學(xué)即練3】

3.如圖，在正方形/BCD中，點尸為邊CD上一點，BF與AC交于點、E.若NCBF=20。，則N/即的大

小為65度.

B-------------"C

【分析】根據(jù)正方形的對稱性可知，與△/￡>￡關(guān)于直線/C對稱，得到//￡?=//班，利用三

角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和可解.

【解答】解：:四邊形ABC。是正方形，且ZC為正方4BC。的對角線，

...△/2E與△/￡>￡關(guān)于直線NC對稱，ZACB=45°,

ZAED=ZAEB,

,/ZAEB為△即C的外角，

:.NAEB=NCBE+NACB=200+45°=65°,

：.ZAED=65°,

故答案為：65.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，將正方形0/2C放在平面直角坐標系中，。是原點，工的坐標為（百，1）,則點C的坐標為（）

【分析】作NE_Lx軸于E,CF_Lx軸于尸，證明△OCF之△/OE,得出對應(yīng)邊相等。9二/后二：!，CF=OE

=百，即可求出結(jié)果.

【解答】解：作軸于E,CFLx軸于尸，如圖所示:

則NCFO=/O￡/=90°,

.,.Zl+Z3=90°,

?..四邊形。NBC是正方形，

：.OC=OA,ZAOC=90°,

.?.Zl+Z2=90°,

.*.Z3=Z2,

(/.CFO—/.OEA

在△OC尸和△NOE中，［N3=N2,

loc=4。

:.△OCF出4AOE(AAS),

：.OF^AE=\,CF=OE=?

...點C的坐標為(-1,百)；

【即學(xué)即練4】

5.如圖，已知點E在正方形48co內(nèi)，滿足N/E3=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是（）

AD

B

A.48B.60C.76D.80

【分析】先由//歐=90°,4E=6,3E=8,根據(jù)勾股定理求得AB=10,再分別求出正方形/BCD的

面積和的面積，即可由S陰影=S正方形/BCD-鼠在8求出陰影部分的面積.

【解答】解：,:NAEB=90°,AE=6,BE=8,

?MB=y/AE2+BE2=V62+82=10,

:四邊形/BCD是正方形，

=2

?,S正方形ABCD^B=102=100,

11

S^AEB=^AE-BE=5x6X8=24,

；?S陰影=S正方形ZBC。~山EB=100-24=76,

.,?陰影部分的面積是76,

故選：C.

知識點02正方形的判定

1.正方形的判定:

判定方法文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

AB=BC=CD=AD

四條邊都相等且

/ABC=/BCD=/CDA=

直接判定四個角也相等的

/DAB

四邊形是正方形

???四邊形/BCD是正方形

鄰邊相等的矩形:在矩形NBC。中，AB=AD

DC

矩形加特殊是正方形.,?四邊形4BCD是正方形

性對角線垂直的矩;在矩形中，AC±BD

形是正方形.,?四邊形是正方形X

4BCDAB

有一個角是直角的;在菱形中，/4BC=90°

菱形加特殊菱形是正方形.,?四邊形4BCD是正方形

性對角線相等的菱,在菱形/BCD中，AC=BD

形是正方形四邊形/BCD是正方形

【即學(xué)即練1】

6.已知四邊形N2CD中，/A=/B=/C=90°,如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么

這個條件可以是（）

A./。=90°B.AB=CDC.AC=BDD.BC=CD

【分析】先判斷四邊形/BCD是矩形，由正方形的判定可直接判斷。正確.

【解答】解：在四邊形/BCD中，

VZA=ZB=ZC=90Q,

四邊形N8CD為矩形，

而判斷矩形是正方形的判定定理為：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，

故。正確，

故選：D.

【即學(xué)即練2】

7.在四邊形48co中，AB=BC=CD=DA,如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條

件可以是()

A.ACLBDB.AB//CDC.ZA=90°D.Z^=ZC

【分析】利用菱形的判定方法結(jié)合正方形的判定進而得出答案.

【解答】解：?.,在四邊形/BCD中，/3=3C=CZ)=Z)/,

...四邊形是菱形，

當N/=90°時，

菱形/BCD是正方形.

故選：C.

【即學(xué)即練3】

8.已知：如圖，在Rt448C中，ZACB=90°,CD是△N8C的角平分線，DELBC,DFLAC,垂足分別

為點￡,F,求證：四邊形CEL下是正方形.

【分析】要證四邊形CED尸是正方形，則要先證明四邊形。KCF是矩形，已知CD平分DEL

8C,。/C,故可根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形判定，再根據(jù)正方形的判定方法判這四邊形CED尸

是正方形.

【解答】證明：,:CD平分N4CB,DEVBC,DFVAC,

：.DE=DF,NDFC=9Q°,ZDEC=90°,

又：/4C8=90°,

...四邊形。ECF是矩形,

,:DE=DF,

矩形。EC尸是正方形.

【即學(xué)即練4】

9.如圖，在中，ZACB=90°,。為中點，過點。作。EL48,交BC于點、E,過點/作/尸

//BE,交ED的延長線于點凡連接/￡,BF.

(1)判斷四邊形/防廠的形狀，并說明理由.

(2)當一△48C滿足條件AC=BC時,四邊形NE3尸是正方形.

【分析】（1）由//〃BE,得/FAD=NEBD,而AD=BD,NADF=NBDE,即可根據(jù)“4S4”證明△

ADF9ABDE,得AF=BE,則四邊形/匹尸是平行四邊形，因為斯_L4B,所以四邊形4ESF是菱形；

（2）當NN￡8=90°時，四邊形/E3尸是正方形，由/C=N4E8=90°,點C與點E重合，則NC=

AE=BE=BC,所以當/C=BC或//BC=45°時，四邊形/￡8尸是正方形，于是得到問題的答案.

【解答】解：（1）四邊形/匹尸是菱形，

理由：'JAF//BE,

ZFAD=ZEBD,

；D為AB中點，

:.AD=BD,

在△4DP和△ADE中，

(Z.ADF=Z.BDE

\AD=BD,

V/.FAD=乙EBD

：.AADF^^BDE(ASA),

：.AF=BE,

...四邊形/￡8尸是平行四邊形，

?：DELAB,AF//BE,交皮）的延長線于點R

C.EFLAB,

四邊形NEAF是菱形.

（2）二?四邊形/班廠是菱形，

...當//班=90°時，四邊形/歐尸是正方形,

；NC=NAEB=9Q°,

.??點。與點E重合，

:.AC=AE=BE=BC,

.?.當/C=3C時，四邊形/￡3尸是正方形，

故答案為：AC=BC.

注：答案不唯一，如：ZABC=45°.

知識點03中點四邊形

1.中點四邊形的定義：

連接四邊形各邊的中點得到的四邊形叫做中點四邊形。

2.中點四邊形的形狀：

①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。

②對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。

③對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。

【即學(xué)即練11

10.順次連接下列圖形的各邊中點，所得圖形為矩形的是（）

①矩形；

②菱形；

③對角線相等的四邊形；

④對角線互相垂直的四邊形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

11

【分析】連接NC、BD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NC=AD,根據(jù)三角形中位線定理得到環(huán)=/C,FG=~

BD,GH^-AC,EH=~BD,進而得到防=FG=G〃=EH,根據(jù)菱形的判定定理即可判斷①，進而可

以判斷③；根據(jù)三角形中位線定理得到砥〃AD,FG//BD,進而證明四邊形EFG/f是平行四邊形，根

據(jù)矩形的判定定理即可判斷④，進而可以判斷②.H

【解答】解：如圖1,連接ZC、BD,

???四邊形/BCD為矩形，

.?…，JXX.

,1點E、F、G、H分別為4B、BC、CD、4。的中點，nFc

1111圖1

.\EF=—AC,FG=《BD,GH=—AC,EH=~^BD,

:,EF=FG=GH=EH,

四邊形EFG”為菱形，故①不符合題意；

???矩形的對角線相等，

順次連接對角線相等的四邊形的中點，所得圖形為菱形，故③不符合題意；

如圖2,E,F,G,〃分別是四邊形N8,BC,CD,ZX4的中點，

...四邊形EFG”是矩形，故④符合題意;

???菱形的對角線互相垂直，

???順次連接菱形的各邊中點，所得圖形為矩形，故②符合題意;

故選：C.

題型精講

題型01利用正方形的性質(zhì)求線段長度

【典例1］如圖，在正方形N8CD中，點G在8c邊上，連接NG,Z)￡_L/G于點￡,8F_L/G于點R若

BF=4,DE=9,則E》的長為()

8C.12D.2

【分析】由正方形的性質(zhì)得/8=￡M，/BAD=90°,由DE_L/G于點E,8尸，NG于點尸，得N4FB=N

DEA=90°,則N3/R=/ZDE=90°-ADAE,即可根據(jù)“N/S”證明△胡尸名△NOE,WBF=AE=

4,AF=DE=9,則即=/尸-4E=5,于是得到問題的答案.

【解答】解：?..四邊形N2C。是正方形，

；.AB=D4,NB4D=90°,

?.?￡?E_L4G于點E,AF_L4G于點RBF=4,DE=9,

；.NAFB=NDE4=90°,

：.ZBAF=ZADE=90°-/DAE,

在和中，

(Z.BAF=Z.ADE

\z-AFB=/,DEA,

VAB=DA

:.ABAFQAADECAAS),

:?BF=AE=4,AF=DE=9,

.\EF—AF-AE=9-4=5,

故選：A.

【變式1】如圖，在正方形ABCD中，。為對角線NC、AD的交點，E、尸分別為邊3C、CD上一點，且

OELOF,連接EF.若N/OE=150°,DF=五,則￡尸的長為()

A.2B.2+y/2C.2V^D.+1

【分析】由題意證明△5OE也△CObC4S/),所以O(shè)E=OF,則是等腰直角三角形；過點尸作

FG上OD,解三角形O/口即可得出。尸的長，進而可求出骸的長.

【解答】解：在正方形45CD中，4C和5。為對角線，

AZAOB=ZBOC=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

VZAOE=\50°,

；?NBOE=60°；

9：OEA.OF,

：.ZEOF=ZBOC=90°,

AZBOE=ZCOF=60°,

:?△BOEQACOF(ASA),

：.OE=OF,

???△O跖是等腰直角三角形；

過點歹作尸GLOD,如圖，

：.ZOGF=ZDGF=90°,

VZOZ>C=45°,

???ADGF是等腰直角三角形,

=*尸=1,

：.GF=DG

：.OF=2GF=2,

:.EF=^OF=2?

故選：C.

【變式2】如圖，正方形4BCD,點E為4B邊上一點,AE=3,BE=LN￡DC的平分線交5C于點尸,

A.2B.2.5C.3D.3.5

【分析】延長4月交48的延長線于點“，根據(jù)正方形的性質(zhì)得40=48=80=8=4,NA=NABC=N

C=90°,AB//CD,則?！?5,根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得NCQF=NEZ)b=N〃，則￡”=

DE=5,進而得CD=BH=4,證明△CD/和全等得C產(chǎn)=5R則G/是/的中位線，然后根

據(jù)三角形中位線定理可得出G方的長.

【解答】解：延長小交45的延長線于點如圖所示：

??ZE=3,BE=1,

；?4B=4E+BE=4,

???四邊形4BCZ)為正方形，

；.AD=AB=BC=CD=4,ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,

在RtZ\4DE中，由勾股定理得：DE=^AD2+AE2=5,

?:DF平分/ECD,

：.ZCDF=ZEDF,

■:AB〃CD,

:?/CDF=/H,ZC=ZCBH=90°,

J/EDF=Z/7,

:?EH=DE=5,

：.BH=EH-BE=5-1=4,

；?CD=BH=4,

在△CD廠和中，

fzC=Z.CBH=90°

\CD=BH,

JCDF=乙H

：./\CDF^/\BHF(ASA),

:.CF=BF,

:點G是。E的中點，

，GF是△￡>￡”的中位線,

1

：.GF=~EH^2.5.

故選：B.

【變式3】已知正方形/5CO的邊長為4,點尸為線段/。上的動點（不與點/重合），點/關(guān)于直線8尸

的對稱點為點E,連接PE,BE,CE,DE,當△CDE是以CE為腰的等腰三角形時，4P的值為_8-4百

【分析】當△CDE是以CE為腰的等腰三角形時，有以下兩種情況：①當CE=CO=4時，過點￡作￡亂

。于點M,ME的延長線交2C于點N,則四邊形CDM7V是矩形，進而得MN=CD=4,△班C是等

邊三角形，則￡N=2百，ME=4-26,在四邊形/8EP中，NPEB=NBAD=90°,NABE=30°,

則//PE=150°進而得NMPEnSO。,貝i]/P=P￡=8—4百；②當CE=O￡時，過點E作￡〃_LCD,

"E的延長線交于點T,則“7是正方形48?！醯囊粭l對稱軸，進而得NE=8E=4,則△48E是等邊

4A/3

三角形，然后在RtZUB尸中可求出/尸=受，綜上所述即可得出/尸的值.

【解答】解：：四邊形N8CD是正方形，且邊長為4,

：.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：PA=PE,AB=BE=4,ZPEB=ZBAD=90°,ZPBA=ZPBE,

當△CDE是以CE為腰的等腰三角形時，有以下兩種情況：

①當CE=CZ）=4時，過點E作近以，4。于點〃石的延長線交于點N,如圖1所示：

圖1

AANMD=ZMNC=ABCD=ZCDA=90°,

???四邊形CDW是矩形，

:?MN=CD=4,

?：BE=BC=CE=4,

J.AEBC是等邊三角形，

:.CN=12BC=2,NEBC=6Q°,

；.NABE=NABC-NEBC=3Q°,

在RtZ\ECN中，由勾股定理得：EN=y/cE2-CN2=V42-22=273，

：.ME=MN-EN=4-2V3，

在四邊形N5EP中，ZPEB=ZBAD=90°,ZABE=30°,

AZAPE=90°-NABE=15Q°,

：.ZMPE=ISO°-NAPE=3Q°,

在Rt/XPMEl中，PE=2ME=8-4?

；./P=P￡=8—4百；

②當CE=DE時，過點E作的延長線交于點T,如圖2所示:

圖2

：.DH=CH,

；.HT是CD的垂直平分線，

...777是正方形ABCD的一條對稱軸，

；.AE=BE=4,

是等邊三角形，

:.NABE=6Q°,

；.NPBA=NPBE=3Q°,

在RtA4BP中，BP=2AP,

由勾股定理得：AB=NBP2_AP2=SAP,

?毋=爭8=與義4=等

綜上所述：當△?>￡是以CE為腰的等腰三角形時，NP的值為8-4省或殍.

題型02利用正方形的性質(zhì)求角的度數(shù)

【典例1］如圖，正方形4BCD的對角線相交于點。，則的度數(shù)是（）

A\D

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)對角線互相垂直可求解.

【解答】解：???四邊形N8CD為正方形，

：.ACLBD于點O,

：.ZAOB=90°,

故選：D.

【變式1】如圖，在正方形外側(cè)，以為一邊向上作等邊三角形連接BE,AC,相交于點

F,則/瓦（的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得NA4￡>=90°,ZBAC=45°,AB=AD=AE,/DAE=

60°,進而得/A4E=150°,NABE=/E=15°,然后根據(jù)尸C=NA4C+N48E即可得出答案.

【解答】解：???四邊形48co是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZBAD=90°,NB4c=45°,

?.?△4DE是等邊三角形，

：.AD=AE=DE,ZDAE=60°,

：.AE=AB,ZBAE=ZBAD+ZDAE=150°,

11

：.AABE=AE^~(180°-/BAE)=]X(180°-150°)=15°,

AZBFC=ZBAC+ZABE=450+15°=60°.

故選：C.

【變式2】如圖，在正方形48co中，點、E,廠分別是對角線2,/C上的點，連接CE,EF,DF,若EF

//BC,且NCE產(chǎn)=a,則N4FD的大小為（）

AD

B0C

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

【分析】設(shè)/C,AD相交于點。，先證明8E=CR進而可證明△2CE和△(7￡)/全等，則

=a,進而得NOD尸=45°-a,然后在RtZXOD尸中，可求出//FD的度數(shù).

【解答】解：設(shè)NC,8。相交于點O,如圖所示：

AaD

BC

???四邊形Z8CZ)是正方形，

：.BC=CD,OB=OC,/EBC=/FCB=NFCD=NCDB=/45°,ZDOC=90°,

■:EF//BC,

：.ZOEF=ZEBC=Z45°,NOFE=NFCB=N45°,NBCE=NCEF=a,

：?OE=OF,

：.OB-OE=OC-OF,

:?BE=CF,

在和△CD廠中，

(BC=CD

\z-EBC=Z.FCDi

VBE=CF

:?△BCEQACDF(SAS),

J/BCE=NCDF=a,

：.ZODF=ZCDB-ZCDF=45°-a,

在Rt/^OD廠中，ZDOC=90°,

/.ZAFD=90°-ZODF=90°-(45°-a)=45°+a.

故選：D.

【變式3】如圖，在正方形45C。中，E為5C延長線上一點，連接?！?尸為5C上一點，且EF=DE,連

接。？G為CD上一點，且DG=CR連接4G并延長交DE于點連接CM,若NZUM=a,則N

DCM=()

A.2aB.45°+aC.90。-5aD.45°+5a

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△ZDG和△OCF全等，得出N￡UG=NCQ尸=a,于是得出N/0尸=90°

-a,推出/。/。=//。/=90-。，再證△瓦加是等腰三角形，即可得出N瓦)廠的度數(shù)，再根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理求出出的度數(shù)，從而得出△4。河是等腰三角形，繼而推出△DCM是等腰三角形，從

而求出NDCM的度數(shù).

【解答】解：???四邊形45C。是正方形，

AZADC=ZDC5=90°,AD=DC,AD//BC,

(AD=DC

在△ZOG和△OCF中，｛乙40G=4DCF,

WG=CF

：.AADG^ADCF(SAS),

???ZDAG=ZCDFf

丁ZDAG=a,

:?/CDF=CL,

VZADG=ZADF+ZCDF=90°,

:.ZADF=90°-a,

,:AD〃BC,

：.ZDFC=ZADF=90-a,

?:EF=DE,

,,,△功甲是等腰三角形，

:?/EFD=/EDF=90°-a,

???在“中，ZDAM=a,ZADM=ZADF+ZEDF=90-a+90°-a=180°-2a,

AZ^A?=180°-a-(180°-2a)=a,

:./DAM=/AMD,

是等腰三角形，

：.AD=DM,

：.DM=DC,

???△DC"是等腰三角形，

1

AZDCM=ZDMC=-(180°-/CDM),

9：ZCDM=ZADM-ZADC=\S0°-2a-90°=90°-2a,

1

:./DCM=《(180°-90°+2a)=45°+a,

故選：B.

題型03利用正方形的性質(zhì)求點的坐標

【典例1］如圖，在平面直角坐標系中，正方形0/2C的頂點。，2的坐標分別是（0,0）,（4,0）,則

B.(2V^,-2V^)

C.(2,-2)D.(2V2，-2)

【分析】根據(jù)NC、08的互相垂直平分，且O2=4=4C,即有OZ）=Z）8=D/=￡>C=2,問題得解.

【解答】解：在平面直角坐標系中，正方形O/8C的頂點O,5的坐標分別是（0,0）,（4,0）,如

.'.AC,。3的互相垂直平分，且O3=4=/C,

：.OD=DB=D4=DC=2,OD1DC,

點坐標（2,-2）,

故選：C.

【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形O/8C為正方形，點C坐標為（3,2）,則點/的坐標為

()

【分析】如圖所示，過點/作軸于點。，過點。作CE_Lx軸于點￡,根據(jù)正方形的性質(zhì)，可證

RtA^O/)^RtAOCE(ASA),可得Z)O=￡C,AD=OE,根據(jù)點。的坐標可確定OE,CE的長，由此即

可求解.

【解答】解：如圖所示，過點力作軸于點。，過點。作CE_Lx軸于點E,

：.OA=AB=BC=OC,ZAOC=90°,

AZAOD+ZEOC=90°,/AOD+/OAD=90°,

：.ZOAD=ZEOC,

在Rtz\4OD,Rtz\OCE中，

(Z-OAD=乙COE

]AO=CO,

3。。=(OEC=90°

ARtA^OD^RtAOCE(ASA),

：.DO=EC,AD=OE,

VC(3,2),

：.OE=3,CE=2,

：.OD=2,AD=3,且點4在第二象限，

：.A(-2,3),

故選：B.

【變式2】如圖，在平面直角坐標系中，正方形/BCD的頂點/(-2,0),B(0,1),則點。的坐標是

【分析】由“44S”可證△N8O咨△8?！?，可得/O=D〃=2,BO=AH=l,即可求解.

【解答】解：如圖，過點。作軸于點兄

：.AO=2,80=1,

?..四邊形N8CD是正方形，

：.AB=AD,ZDAB=90°=ZAOB=ZDHA,

：.ZABO+ZBAO^90°^ZBAO+ZDAH,

：.ZABO=ZDAH,

在△450和△0/8中，

(Z.A0B=4DHA

\/.AB0=Z.DAH,

VAB=DA

MABO0ADAH(AAS),

:.A0=DH=2,BO=4H=1,

二點。(-3,2).

故選：B.

【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形/BCD是正方形，點/的坐標為(1,0),點8的坐標為

(-2,4)，點。在第一象限，則點C的坐標為()

A.(2,8)B.(3,7)C.(1,8)D.(2,7)

【分析】過點8作瓦口軸，垂足為尸，過點C作CEL8尸，垂足為E,證明△NE8四△5EC,得到3￡=

AF=2,CE=BF=4,計算Ek的長即可.

【解答】解：如圖，過點3作8/J_x軸，垂足為尸，過點C作CEL8尸，垂足為￡,

:./BFA=/CEB=90°,

.\Z2+Z3=90°

?..四邊形N8C。是正方形，點/的坐標為（1,0）,點8的坐標為（-2,4）,

：.AB=BC,ZABC=90°,AO=1,BF=4,OF=2,

：.AF=3,Zl+Z2=90°,

；.N1=N3,

"：AB=BC,ZBFA=ZCEB=9Q°,

/.AAFBqABEC,

:.BE=AF=3,CE=BF=4,

；.斯=3+4=7,CE-OF=2,

.?.點C（2,7）,

故選：D.

題型04正方形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1］已知四邊形/BCD是平行四邊形，再從①/3=8C,②N/8C=90°,③AC=BD,?AC±BD

四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中不正確的

是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

【分析】要判定是正方形，則需判定它既是菱形又是矩形，據(jù)此解答.

【解答】解：/、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是

矩形，所以平行四邊形N8C。是正方形，

故本選項不符合題意；

B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得

出平行四邊形/BCD是正方形，

故本選項符合題意；

C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四

邊形N8CD是正方形，

故本選項不符合題意；

D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平

行四邊形/BCD是正方形，

故本選項不符合題意；

故選:B.

【變式1】如圖，在菱形/BCD中，對角線/C,2。相交于點。，添加下列條件，能使菱形/BCD成為正

A.AB=DBB.BD=OCC.AC=BDD.N4DC=120°

【分析】根據(jù)正方形的判定方法，一一判斷即可.

【解答】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個內(nèi)角是直角，（2）

對角線相等.即滿足條件

故選：C.

【變式2】如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,N/=90°,AB=BC,ZZ）=45°,CD的垂直平分線交

CD于E,交4D于尸，交2C的延長線于G,若4D=a.

（1）求證：四邊形/2C尸是正方形；

（2）求3G的長.

【分析】（1）先根據(jù)48=//=//尸C=90°,判定四邊形48CF是矩形，再根據(jù)4B=BC,即可得到

四邊形/8C尸是正方形；

（2）先判定△CEGg/\DEF（44S）,得出CG=FD,再根據(jù)正方形N3CF中，BC=AF,即可得到/尸+即

=BC+CG,即/O=8G=a.

【解答】解：（1）：CZ）的垂直平分線交CD于E,交于尸，

：.FC=FD,

：.ZD=ZFCD=45°,

:./CFD=90°,BPZAFC^90°,

又,：ADI/BC,ZA=90°,

.,.N2=90°,

四邊形/2C尸是矩形，

又；AB=BC,

四邊形/8CF是正方形；

(2)?.?尸G垂直平分CD,

ACE=DE,ZCEG=ZDEF=90°,

'：BG//AD,

：.2G=NEFD,

在△CE'G和△￡>￡產(chǎn)中，

"G=/.EFD

\z.CEG=/-DEF,

(CE=DE

:ACEG經(jīng)XDEF(AAS),

：.CG=FD,

又：正方形NBC/中，BC=AF,

：.AF+FD=BC+CG,

:.AD=BG=a.

Bx-----￡------7G

D

F

【變式3】如圖，正方形48co中，48=4,點E是對角線/C上的一點，連接過點E作所，ED,

交48于點尸，以。E、即為鄰邊作矩形。斯G,連接/G.

(1)求證：矩形DEFG是正方形；

【分析】(1)如圖，作EAf_L4D于M,EN1AB于N.只要證明△￡1〃￡)出△E7VF即可解決問題;

(2)只要證明△NOGg△(?￡>￡,可得NG=E。即可解決問題.

;四邊形4BC。是正方形，

ZEAD=ZEAB,

?.,EM_L4Z>于M,EN1AB于N,

:.EM=EN,

'：ZEMA=ZENA=ADAB=900,

四邊形NNE"是矩形，

\'EF±DE,

：.ZMEN=ZDEF=9G°,

二NDEM=/FEN,

'：ZEMD=ZENF=90°,

AEMD沿AENF,

：.ED=EF,

?..四邊形。EFG是矩形，

四邊形DEFG是正方形.

(2)解：：四邊形。EFG是正方形，四邊形/BCD是正方形,

：.DG=DE,DC=DA=AB=4,ZGDE=ZADC=90°,

ZADG=ZCDE,

:.△ADG'SE(&4S)，

J.AG^CE,

：.AE+AG^AE+EC^AC=皿。=4①

【變式4】如圖，正方形/BCD中，N8=4,點￡是對角線NC上的一點，連接DE.過點E作成，￡￡),

交AB于點、F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接NG.

(1)求證：矩形。MG是正方形；

(2)求AGUE的值.

【分析】(1)如圖，作于M,EN1AB于N.只要證明△￡1〃￡＞注△ENF即可解決問題;

(2)只要證明△/DGgZXCDE,可得NG=EC即可解決問題.

【解答】(1)證明：如圖，作于M,ENLAB于N.

;四邊形4BCD是正方形,

ZEAD=ZEAB,

?.?EATLND于M,ENLAB于N,

：.EM=EN,

?:NEMA=/ENA=/DAB=90°,

，四邊形/NEKr是矩形，

'JEFLDE,

：.ZMEN=ZDEF=90°,

/./DEM=NFEN,

VZEMD=ZENF=90°,

AEMD沿AENF,

：.ED=EF,

?..四邊形DEFG是矩形，

四邊形DEFG是正方形.

（2）解：??,四邊形。EFG是正方形，四邊形45CZ）是正方形,

:?DG=DE,DC=DA=AB=4,/GDE=/ADC=90°,

J/ADG=/CDE,

???△ADG?ACDE（SAS）,

：.AG=CE,

:?AE+AG=AE+EC=AC=五AD=4近.

題型05圖形的中點四邊形

【典例1】順次連接矩形各邊的中點所得的四邊形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.不能確定

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形.

【解答】解：如圖：E,F,G,"為矩形的中點，則HH=HD=BF=CF,4E=BE=CG=DG,

在Rt/X/E”與RtzXDG//中，AH=HD,AE=DG,

：.AAEH<ADGH,

：.EH=HG,

同理，AAEHmADGH沿4BEF沿ACGF沿ADGH

:.EH=HE=GF=EF,ZEHG=ZEFG,

.?.四邊形斯G77為菱形.

【變式1】順次連接四邊形N8Q?各邊中點，得到四邊形EFGH要使四邊形EFG”是菱形，應(yīng)添加的條

件是（）

A.AD//BCB.AC=BDC.ACLBDD.AD=AB

【分析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：

①定義；

②四邊相等；

③對角線互相垂直平分.

【解答】解：添加/C=5D

如圖，4C=BD,E、F、G、〃分別是線段/8、BC、CD、4D的中點，

則EH、FG分別是△N3。、△BCD的中位線，EF、bG分別是△NBC、△4CD的中位線，

11

：.EH=FG=~BD,EF=HG=]AC,

.,.當/C=AD時，

EH=FG=FG=EF成立,

則四邊形EFG”是菱形.

故選：B.

【變式2】如圖，AC,3。是四邊形/BCD的對角線，點E,廠分別是5C的中點，點跖N分別是

AC,皿的中點.若四邊形及“N是菱形，則原四邊形/BCD應(yīng)滿足的條件是()

C.ACLBDD./ABC+NDCB=9Q°

11

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到=FN=EM^-CD,則可證明四邊形勵〃W為平行

四邊形，當當EN=FN,即N8=C。，則此時平行四邊形是菱形，據(jù)此可得答案.

【解答】解：F,N,M分別是BC,BD,NC的中點，

：.AE=DE,BN=DN,AM=CM,BF=CF,

:.EN、NF、FM、EM分別為AABD、△BCD、AABC、的中位線，

11

：.EN=FM^-AB,FN=EM^~CD,

四邊形EMFN為平行四邊形，

當EN=FN,即/8=CD,則此時平行四邊形EMFN是菱形，

故選：B.

【變式3】如圖，在四邊形4BCZ)中，E,尸分別是40,5C的中點，G,X分別是3。，NC的中點，順次

連接各點得到四邊形EGEff.

(1)求證：四邊形EGF”是平行四邊形；

(2)若4B=CD,求證：IZJEGFH是菱形.

BFC

【分析】（1）由三角形中位線定理，得至！JG/〃EH,GF=EH,推出四邊形EGW是平行四邊形;

（2）由三角形中位線定理得到/G=/H,又四邊形￡GF"是平行四邊形，推出口EGF”是菱形.

【解答】證明：（1）,?,點E與點〃分別為/C的中點，

；?EH是LADC的中位線，

1

：.EH//CD,EH=~CD,

1

同理：GF//CD,GF=~CDf

J.GF//EH,GF=EH,

??..四邊形EGW是平行四邊形；

（2）??,點尸與點7/分別為BC,4C的中點，

；?FH是4ABC的中位線，

1

.\FH=~AB,

1

9：FG=~CD,AB=CD,

:,FH=FG,

由（1）知四邊形是平行四邊形,

.?.口EG"7'是菱形.

'強化訓(xùn)練

1.下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線互相垂直；②它是一個正方形；③它是一個菱

形.下列推理過程正確的是（）

A.由①推出②，由②推出③B.由①推出③，由③