2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期必刷題之平行四邊形

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版八年級期中必刷?？碱}之平行四邊

形

一.選擇題（共5小題）

1.（2014?河南）如圖，的對角線AC與3。相交于點(diǎn)。，ABVAC,若42=4,AC=6,則BD的

長是（）

2.（2021?灌陽縣二模）如圖，在回ABC。中，4￡>=8,點(diǎn)、E,尸分別是BDCZ）的中點(diǎn)，則E尸等于（）

3.（2016?河北模擬）如圖，在EIABC。中，A￡>=6,A8=4,平分NAOC交8C于點(diǎn)￡,則BE的長是

（）

4.（2017?莆田模擬）平行四邊形的一條邊長是12cm,那么它的兩條對角線的長可能是（）

A.8cm和16cmB.lOcm和16cm

C.8cm^014cmD.8C?J和12C?J

5.（2015?綿陽）如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)E,NCBD=90°,BC=4,BE=

ED=3,AC=10,則四邊形ABCD的面積為（）

二.填空題（共5小題）

6.（2024春?梁平區(qū)期末）如圖，在等邊三角形A8C中，BC=6cm,射線AG〃BC,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射

線AG以\cmls的速度運(yùn)動，點(diǎn)尸從點(diǎn)2出發(fā)沿射線BC以2aMs的速度運(yùn)動.如果點(diǎn)E、F同時出發(fā)，

s時，以A、C、E、尸為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

7.（2015?無錫）已知：如圖，AD,8E分別是△ABC的中線和角平分線，AD±BE,AD=BE=6,則AC

的長等于

8.（2014?襄陽）在E1ABC。中，BC邊上的高為4,A8=5,AC=2V5,貝！1EL4BC。的周長等于

9.（2015?汕尾）如圖，在回中，8E平分NA2C,BC=6,DE=2,貝旭A2CD的周長等于

10.（2015?湖北）在回中,A￡）=BDBE是A。邊上的高，NEBD=20°,則ZA的度數(shù)為.

解答題（共5小題）

11.（2013?江北區(qū)校級模擬）如圖，已知團(tuán)A8C。中，AE平分交。。于E,DFLBCF,交AE

于G,且過點(diǎn)。作A3的垂線，分別交AE、A2于點(diǎn)M、N.

（1）若M為AG中點(diǎn)，且DM=2,求DE的長;

12.（2015?宿遷）如圖，四邊形ABC。中，ZA=ZABC=90°,AD=1,8C=3,E是邊C。的中點(diǎn)，連

接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形8DFC是平行四邊形；

(2)若△BCQ是等腰三角形，求四邊形8OFC的面積.

13.(2012?重慶模擬)如圖，在平行四邊形A8CD中，/BAD、N4BC的平分線AF、BG分別與線段

交于點(diǎn)尸、G,AE與8G交于點(diǎn)E.

(1)求證：AF±BG,DF=CG；

(2)若A2=10,A￡>=6,AP=8,求PG和BG的長度.

14.(2020?安徽模擬)已知：如圖，在平行四邊形4BC。中，點(diǎn)M在邊上，且CM.BA

的延長線相交于點(diǎn)￡.求證：

(1)AE=AB；

(2)如果平分NABC,求證：BMLCE.

15.(2022春?白堿灘區(qū)期末)如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,AD=12cm,8C=15c:w,點(diǎn)尸自點(diǎn)A

向。以lczn/s的速度運(yùn)動，到。點(diǎn)即停止.點(diǎn)。自點(diǎn)C向8以2c機(jī)/s的速度運(yùn)動，到8點(diǎn)即停止，點(diǎn)

P,。同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t(s).

(1)用含r的代數(shù)式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=

(2)當(dāng)t為何值時，四邊形4PQB是平行四邊形？

(3)當(dāng)f為何值時，四邊形POCQ是平行四邊形？

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版八年級期中必刷?？碱}之平行四邊

形

參考答案與試題解析

題號12345

答案CCABD

一.選擇題（共5小題）

1.（2014?河南）如圖，I3A8CQ的對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,AB±AC,若AB=4,AC=6,則8。的

長是（）

A.8B.9C.10D.11

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；勾股定理.

【答案】C

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求2。的長，進(jìn)而可求出8。的長.

【解答】解：的對角線AC與8。相交于點(diǎn)。，

J.BO^DO,AO=CO,

'：AB±AC,AB=4,AC=6,

AZBAO=90°,OA=3

：.BO=V32+42=5,

：.BD=2BO=10,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，是中考常見題型，比較簡單.

2.（2021?灌陽縣二模）如圖，在團(tuán)ABCQ中，AD=8,點(diǎn)E,尸分別是BZ）,CD的中點(diǎn)，則EP等于（）

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì).

【答案】c

【分析】由四邊形ABC。是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得8C=AO=8,又由點(diǎn)E、F

分別是引入C。的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.BC^AD=8,

;點(diǎn)E、尸分別是8。、CD的中點(diǎn)，

11

：.EF^^BC=^x8^4.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

3.(2016?河北模擬)如圖，在EL4BCD中，AD=6,A2=4,DE平分/ADC交BC于點(diǎn)E,則BE的長是

()

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【答案】A

【分析】由四邊形ABC。是平行四邊形，可得8C=AO=6,CD=AB=4,AD//BC,得/ADE=/DEC,

又由。E平分乙M)C,可得/CDE=NDEC,根據(jù)等角對等邊，可得EC=CD=4,所以求得

-EC=2.

【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC^AD=6,CD=AB=4,AD//BC,

：./ADE=NDEC,

：?！昶椒忠?。。

/ADE=NCDE,

：.ZCDE=ZDEC,

.?.EC=C￡>=4,

：.BE=BC-EC=2.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義與等腰三角形的判定定理.注意當(dāng)有平行線和

角平分線出現(xiàn)時，會出現(xiàn)等腰三角形.

4.（2017?莆田模擬）平行四邊形的一條邊長是12c7W，那么它的兩條對角線的長可能是（）

A.8cm^016cmB.10cMi和16c加

C.和D.8cm和12czM

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)中，兩條對角線的一半和一邊構(gòu)成三角形，利用三角形三邊關(guān)系判斷可

知.

【解答】解：44+8=12,不能構(gòu)成三角形，不滿足條件，故A選項錯誤；

B、5+8>12,能構(gòu)成三角形，滿足條件，故2選項正確.

C、4+7<12,不能構(gòu)成三角形，不滿足條件，故C選項錯誤；

。、4+6<12,不能構(gòu)成三角形，不滿足條件，故。選項錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】主要考查了平行四邊形中兩條對角線的一半和一邊構(gòu)成三角形的性質(zhì).并結(jié)合三角形的性質(zhì)解

題.

5.（2015?綿陽）如圖，在四邊形A8CZ）中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)E,ZCBD=90°,BC=4,BE=

ED=3,AC=10,則四邊形A8C￡>的面積為（）

A.6B.12C.20D.24

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理，可得EC的長，根據(jù)平行四邊形的判定，可得四邊形A2C。的形狀，根據(jù)平行

四邊形的面積公式，可得答案.

【解答】解：在中，由勾股定理，得

CE=y/BC2+BE2=V32+42=5.

;BE=DE=3,AE=CE=5,

，四邊形ABCD是平行四邊形.

四邊形A3。的面積為BU3D=4X(3+3)=24,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用了勾股定理得出CE的長，又利用對角線互相平分

的四邊形是平行四邊形，最后利用了平行四邊形的面積公式.

二.填空題(共5小題)

6.(2024春?梁平區(qū)期末)如圖，在等邊三角形A8C中，BC=6cm,射線AG〃BC,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射

線AG以\cmls的速度運(yùn)動，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cmis的速度運(yùn)動.如果點(diǎn)E、F同時出發(fā)，

設(shè)運(yùn)動時間為f(s)當(dāng)2或6S時,以A、C、E、尸為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】動點(diǎn)型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分別從當(dāng)點(diǎn)尸在C的左側(cè)時與當(dāng)點(diǎn)尸在C的右側(cè)時去分析，由當(dāng)AE=C尸時，以A、C、E、

E為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案.

【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)B在C的左側(cè)時，根據(jù)題意得：AE=fcm,BF=2tcm,

則CF=BC-BF=6-2/(加)，

\'AG//BC,

...當(dāng)時，四邊形AECF是平行四邊形，

即1=6-It,

解得：f=2；

②當(dāng)點(diǎn)P在C的右側(cè)時，根據(jù)題意得：AE=tcm,BF=2tcm,

貝I」CF=BF-BC=2t-6(cm),

'."AG//BC,

...當(dāng)AE=CF時，四邊形AEPC是平行四邊形,

BPt=2t-6,

解得：f=6；

綜上可得：當(dāng)f=2或6s時，以A、C、E、/為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

故答案為：2或6.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的判定.此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程

思想的應(yīng)用.

7.（2015?無錫）已知：如圖，AD,8E分別是△ABC的中線和角平分線，AD±BE,AD=BE=6,則AC

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理.

【專題】計算題；壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】過。點(diǎn)作DF//BE,則DF=扣E,F為EC中點(diǎn)，在RtAADF中求出AF的長度，根據(jù)已知

條件易知G為4。中點(diǎn)，因此E為A尸中點(diǎn)，則AC=%尸.

【解答】解：過D點(diǎn)、作DF〃BE,

是△ABC的中線，AD1BE,

二）為EC中點(diǎn),AD1DF,

'：AD=BE=6,則。尸=3,AF=7AD?+DF2=3小,

：BE是△ABC的角平分線，ADLBE,

：.AABG咨△DBG,

；.G為4。中點(diǎn)，

為AE中點(diǎn)，

AC=1-AF=5X3近=^

A

/\\E

G

Bn

故答案為：---.

2

【點(diǎn)評】本題考查了三角形中線和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

8.（2014?襄陽）在回ABC。中，8c邊上的高為4,AB=5,AC=2^,貝l|回A2CD的周長等于12或20.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).一

【專題】分類討論；矩形菱形正方形.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意分別畫出圖形，邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出即

可.

【解答】解：如圖1所示：

:在12ABe。中，8C邊上的高為4,AB=5,AC=2V5,

：.EC=<AC2-AE2=2,AB=CD=5,

BE='JAB2-AE2=3,

：.BC=BE+CE=3+2=5,

：.AD=BC=5,

的周長等于：5+5+5+5=20,

如圖2所示：

:在回ABC。中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=2近，

：.EC=y/AC2-AE2=2,AB=CD=5,

BE=<AB2-AE2=3,

：.BC=3-2=1,

.,.ElABCZ）的周長等于：1+1+5+5=12,

貝（JEIABCD的周長等于12或20.

故答案為：12或20.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用分類討論得出8c的值是解題關(guān)

鍵.

9.（2015?汕尾）如圖，在團(tuán)A3CD中，3E1平分NA3C,BC=6,DE=2,貝lj團(tuán)A3CD的周長等于20

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)四邊形A3C。為平行四邊形可得A石〃3C,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出N

ABE=/AEB,繼而可得A8=AE,然后根據(jù)已知可求得結(jié)果.

【解答】解：?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AE//BC,AD=BC,AB=CD,

???/AEB=/EBC,

〈BE平分NABC,

???/ABE=/EBC,

：.ZABE=/AEB,

：.AB=AE,

：.AE+DE=AD=BC=6,

.\AE+2=6,

：.AE=4,

：.AB=CD=4,

：.^\ABCD的周長=4+4+6+6=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出/

ABE=/AEB.

10.（2015?湖北）在團(tuán)ABCD中，AD=BD,BE是邊上的高，ZEBD=20°,則/A的度數(shù)為55°或

35°.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先求出NADB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，得出/A的度數(shù).

【解答】解：情形一：當(dāng)E點(diǎn)在線段上時，如圖所示，

是AD邊上的高，Z￡BD=20°,

：.ZADB=90°-20°=70°,

"：AD=BD,

情形二：當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長線上時，如圖所示,

I________Z

???5E是邊上的高，ZEBD=20°,

；?/BDE=70°,

9：AD=BD,

11

ZA=ZABD^^ZBDE=jx70°=35。.

故答案為：55°或35°.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，得出的度數(shù)是解題

關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

11.（2013?江北區(qū)校級模擬）如圖，已知E1ABCZ）中，AE平分□交。。于E,DF1,BCF,交AE

于G,且&。=。足過點(diǎn)。作A8的垂線，分別交AE、A2于點(diǎn)M、N.

（1）若M為AG中點(diǎn)，且。M=2,求。E的長；

(2)求證：AB^CF+DM.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由EIABCD中，AE平分交。C于E,DFYBC,易證得NZ）MG=/DGM,求得DG

=DM=2,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，求得AG的長，繼而求得。E的長；

（2）此題有多種解法，通過構(gòu)造不同的直角三角形，找到相應(yīng)的全等三角形，在根據(jù)對應(yīng)邊和對應(yīng)角

相等，即可推出結(jié)論.

【解答】解：（1）:?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

；./BAE=NDEA,

平分NBA。，

：.ZDAE=ZDEA,

:.DE=AD,

,：DF1BC,

：.DF±AD,

為AG中點(diǎn)，

；.AG=2ZW=4,

■:DNLCD,

：.ZADM+ZMDG=ZMDG+ZEDG,

：.ZADM=ZEDG,

：.ZDAE+ZADM=ZDEA+ZEDG,

即ZDMG=ZDGM,

:.DG=DM=2,

在RtAADG中，DE=AD=y/AG2-DG2=2?

(2)證法一：過點(diǎn)A作AO的垂線交ON的延長線于點(diǎn)”,

在和△尸。。中，

NADH=乙FDC

AD=FD，

ADAH=Z.DFC=90°

：.ADAH^/\DFC(ASA),

：.AH=FC,DH=DC,

'CDFLAD,

：.AH//DF,

：.ZHAM=/DGM,

?:/AMH=NDMG,/DMG=/DGM,

：.ZHAM=ZHMA,

???AH=MH,

:.MH=CF,

；?AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM.

證法二：延長MQ到點(diǎn)尸，使。尸=CR連接PE

由(1)知AZ)=Z)E,

又AD=DF,

:.DF=DE,

ZDFC=ZEDP=90°

ARtADCF^RtAEPD,

：.DC=EP,ZCDF=ZPED

：.PE//DF,

:?/PEA=/DGA,

由(1)得NDGA=NOME,

???/PEA=ZDME

:?PM=PE,

jfffPM=DM+DP=DM+CF,PE=CD=AB,

：.AB=DM+FC.

證法三：過點(diǎn)A作AHLCB于點(diǎn)H,

易證之△OCR

從而證得四邊形AHFD為正方形.

把△AOG繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,

得△?1//P，NAHP=NAHB=90°

:.P、H、8三點(diǎn)共線

平分/BA。，

：.Z1=Z2,而/2=//MP,

AZHAB+Z1=ZHAB+ZHAP,即

'：AH//DF,

：./HAG=ZDGA

而/。GA=/APB

ZPAB=/APB

：.AB=PB

'：PB=PH+HB=DG+FC

：.AB=DM+FC.

證法四：在。C上截取。P=DW,連接PR

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD

：.ZBAE=ZDEA,

而

NDAE=NDEA=DA=DE,

又/ADF=/MDE=90°,

ZADM=ZEDG,

：.AADM^/\EDG,

C.DM^DG,

：.DG=DP,

又AD=DF,

:.DF=DE,l^ZPDF^ZFDP,

???△PDFmAGDE,

：.ZDPF=NDGE,ZDFP=NDEG,

：.ZCPF=ZDGM,

?；NDFP+/CFP=/DEG+NDMG=90°,

；?NCFP=NDMG,

而NDMG=NDGM,

ZCFP=ZCPF=CF=CP,

而CD=DP+CP=DM+CF,AB=CD,

：.AB=DM^CF.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)與性質(zhì)以及勾股

定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

12.（2015?宿遷）如圖，四邊形ABC。中，ZA=ZABC=90°,AD=1,BC=3,E是邊C。的中點(diǎn)，連

接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDPC的面積.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出8C〃AD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得/CBE

=/DFE,然后利用“角角邊”證明△BEC和△尸C。全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得3E=ER

然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

⑵分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；

②8C=C。時，過點(diǎn)C作CGLAF于G,判斷出四邊形AGC8是矩形，再根據(jù)矩形的對邊相等可得AG

=BC=3,然后求出。G=2,利用勾股定理列式求出CG,然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得

解；③時，8c邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2A￡）=2,矛盾.

【解答】（1）證明：*.?/A=NA8C=90°,

J.BC//AD,

:./CBE=/DFE,

在ABEC與AFED中,

ZCBE=乙DFE

乙BEC=4FED,

CE=DE

:.△BEgAFED,

：.BE=FE,

又是邊CD的中點(diǎn)，

：.CE=DE,

...四邊形BDFC是平行四邊形;

（2）①BC=BO=3時，由勾股定理得，AB=<BD2-AD2=V32-I2=2V2,

所以，四邊形BOPC的面積=3X2企=6或；

②BC=CD=3時，過點(diǎn)C作CGLAF于G,則四邊形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3,

所以，DG=AG-AD=3-1=2,

由勾股定理得，CG='CD?—DG2=732—22=痛,

所以，四邊形2OPC的面積=3x^=3而；

③時，BC邊上的中線應(yīng)該與8C垂直，從而得到8c=2AO=2,矛盾，此時不成立;

綜上所述，四邊形BDFC的面積是6夜或3西.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）確

定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）難點(diǎn)在于分情況討論.

13.（2012?重慶模擬）如圖，在平行四邊形A8CO中，/BAD、NA8C的平分線AF、8G分別與線段?！辏?/p>

交于點(diǎn)尸、G,AF與BG交于點(diǎn)E.

（1）求證：AF±BG,DF=CG；

（2）若AB=10,AD=6,AF=8,求FG和BG的長度.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由在平行四邊形ABC。中，/BAD、/ABC的平分線ARBG分別與線段CD交于點(diǎn)R

G,易求得2/54尸+2乙486=180°,即可得/A￡B=90°,證得A幾L8G,易證得△AO尸與△BCG是

等腰三角形，即可得AD=ORBC=CG,又由AO=BC,即可證得=CG；

(2)由(1)易求得。尸=CG=6,CD=AB=10,即可求得尸G的長；過點(diǎn)5作尸交。C的延長

線于點(diǎn)易證得四邊形A8H/為平行四邊形，即可得△"BG是直角三角形，然后利用勾股定理，即

可求得BG的長.

【解答】(1)證明：TA尸平分N5AZ),

1

???ZDAF=ZBAF=^ZBAD.

,.?3G平分NABC,

???ZABG=ZCBG=專NABC.

,/四邊形ABCD平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AD=BC,

：.ZBAD+ZABC=1SO°,

BP2ZBAF+2ZABG=180°,

.\ZBAF+ZABG=90°.

AZAEB=180°-(NBA尸+NABG)=180°-90°=90°.

：.AFLBG；

9：AB//CD,

：.ZBAF=NAFD,

ZAFD=NDAF,

：.DF=AD,

'：AB//CD,

：.NABG=NCGB,

：.ZCBG=ZCGBf

:.CG=BC,

9：AD^BC.

：.DF=CG；

(2)解：'：DF=AD=6,

：.CG=DF=6.

：.CG+DF=12,

四邊形ABCD平行四邊形,

：.CD^AB=1Q.

.?.10+FG=12,

：.FG=2,

過點(diǎn)B作BH//AF交DC的延長線于點(diǎn)H.

；.NGBH=NAEB=90°.

'."AF//BH,AB//FH,

四邊形ABHF為平行四邊形.

.?.8H=AF=8,FH=AB=10.

:.GH=FG+FH=2+10=12,

.?.在Rt^BHG中：BG=<GH2-BH2=4A/5.

：.FG的長度為2,BG的長度為4V5.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂直的定義以及勾股定理等

知識.此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法.

14.(2020?安徽模擬)己知：如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)M在邊上，且CM、BA

的延長線相交于點(diǎn)E.求證：

(1)AE=AB；

(2)如果平分/ABC,求證：BMYCE.

E

A/V__Q

B

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】幾何圖形問題；證明題；數(shù)形結(jié)合.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由在平行四邊形A8C0中，AM=DM,易證得之△OCM(A4S),即可得AE=CD

=AB；

(2)由平分NA5C,易證得△BCE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)??,四邊形A5CQ是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CDf

：.ZE=ZDCM,

在△AEM和△DCM中，

ZE=乙DCM

LAME=乙DMC,

AM=DM

：./\AEM^/\DCM(A4S),

：.AE=CD,

：.AE=AB；

(2)??,3M平分NA5C,

???/ABM=/CBM,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZCBM=ZAMB,

：.ZABM=ZAMB,

：.AB=AM,

9：AB=AE,AM^DM,

???點(diǎn)M是A。的中點(diǎn)，

：.BC=2AM,

：?BC=BE,

???△5CE是等腰三角形.

平分NA5C,

：.BM±CE.

E

B匕-----------------------77

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的判定.此題難度適

中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

15.(2022春?白堿灘區(qū)期末)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=Ucm,BC=15aw,點(diǎn)尸自點(diǎn)A

向。以ICMI/S的速度運(yùn)動，到。點(diǎn)即停止.點(diǎn)。自點(diǎn)C向B以2an/s的速度運(yùn)動，到B點(diǎn)即停止，點(diǎn)

P,。同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為f(s).

(1)用含f的代數(shù)式表示：

AP=t；DP=12-r；BO=15-2r；CO=2t.

(2)當(dāng)f為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？

(3)當(dāng)f為何值時，四邊形PDC。是平行四邊形？

AP——>D

B<--------QC

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.

【專題】動點(diǎn)型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)速度、路程以及時間的關(guān)系和線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可求出AP,DP,BQ,C。的

長

(2)當(dāng)時，四邊形APQB是平行四邊形，建立關(guān)于f的一元一次方程方程，解方程求出符合

題意的“直即可；

(3)當(dāng)PD=CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形；建立關(guān)于f的一元一次方程方程，解方程求出符合

題意的，值即可.

【解答】解：(1)312-f,15-2t,2t

(2)根據(jù)題意有AP=fcmCQ=2tcm,PD=(127)cm,BQ=(15-2t)cm.

：AD〃BC,...當(dāng)時，四邊形4PQB是平行四邊形.

t=15-2t,解得f=5.

.?，=5s時四邊形APQB是平行四邊形；

(3)由CQ—2tcm,

AD=12cm,BC=15cm,

：.PD=AD-AP=(12-/)cm,

如圖1,,：AD//BC,BPPD//CQ,

當(dāng)尸Z)=QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形.

即：12-t=2t,

解得t=4s,

...當(dāng)f=4s時，四邊形POC。是平行四邊形.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，難度適中，解

題的關(guān)鍵是把握“化動為靜”的解題思想.

考點(diǎn)卡片

1.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進(jìn)價，利潤率=等乂100%）；（4）工程問題（①工作量=人均效率X人數(shù)

進(jìn)價

X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差,倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求

的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、

求解、作答，即設(shè)、歹人解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1.審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（尤），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù).

3.歹（J：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

2.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短

的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，

容易忽略.

3.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

4.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.