廣東省珠海某校2024-2025學年高二下學期第一階段考試數學試題（解析版）

第頁，共頁2023級高二下學期第一階段考試數學試題本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應的信息點涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，只需將答題卡交回.一、單選題:本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知函數的圖象如圖所示，不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據的正負分情況討論，再結合函數圖象判斷的正負，進而求解不等式.【詳解】1.當時，此時不等式等價于.從函數圖象可知，當，函數單調遞增時.觀察圖象，在上單調遞增，即此時當時，滿足題意.2.當時，此時不等式等價于.由函數單調性與導數的關系，當，函數單調遞減時.觀察圖象，在上單調遞減，即此時當時，，滿足題意.綜上，不等式的解集是，故選：B.2.若a∈N＋，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由排列公式即可知正確選項.【詳解】.故選：D3.若等比數列的前n項和為，已知，且與的等差中項為2，則（）A. B.9 C.27 D.81【答案】D【解析】【分析】根據等比中項以及等差中項的性質，建立方程，解得和公比，結合等差數列通項公式，可得答案.【詳解】因為數列為等比數列，所以，解得，并設數列的公比為，因為與的等差中項為2，所以，則，即，解得，故.故選：D.4.在數列中，，，記為數列的前項和，則（）A.0 B.18 C.10 D.9【答案】C【解析】【分析】利用數列的遞推公式順次求解其項，可知數列為周期數列，據其周期求和即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，，，，，，，…，故數列為周期數列，周期為4，所以.故選：C.5.函數的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷出函數的奇偶性，可排除AC，再利用導數得出單調性即可得出結果.【詳解】可得的定義域為關于原點對稱，且，為奇函數，圖象關于原點對稱，故AC錯誤；當時，，故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故D錯誤，B正確.故選：B.【點睛】思路點睛：函數圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.6.數列{an}的通項公式為，該數列的前50項中最大項是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用分離常數法分析數列的單調性，再根據單調性求數列的最大項.【詳解】因為所以當，即時，，所以.當，即時，，所以.且時，數列為遞減數列，所以該數列的前50項中最大項是.故選：C7.已知實數，，滿足，，，其中為自然對數的底數.則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構建函數，利用導數分析的單調性，根據題意可得，，，且，，，結合單調性分析判斷.【詳解】設，可知函數的定義域為，且，因為在定義域上單調遞增，且，若，則；若，則；可得在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，，，可得，，，即，，，且，，，可知，且，，，所以.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于構建函數，結合函數的單調性分析判斷.8.有理數都能表示成（其中且與互質）的形式．任何有理數都可以化為有限小數或無限循環(huán)小數；反之，任一有限小數或無限循環(huán)小數也可以化成的形式，從而是有理數，如．已知構成無窮數列，令，為數列的前項和，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求數列的通項公式，再利用裂項相消求數列的前項和，求證數列的增減性可得其范圍.【詳解】，，，，又Sn則隨n的增大而增大，當時，取最小值，又，則，所以.故選：A.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分．9.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設六周，則下列說法正確的是（

）A.某學生從中選2門課程學習，共有15種選法B.課程“御”“書”“數”排在相鄰的三周，共有144種排法C.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法D.課程“禮”不排在第一周，課程“數”不排在最后一周，共有480種排法【答案】AB【解析】【分析】根據排列、組合常見模型解法結合基本計數原理逐項判斷即可得答案．【詳解】對于A：從六門課程中選兩門的不同選法有種選法，故A正確；對于B：課程“御”“書”“數”排在相鄰的三周，故可把這三門課程當作一個整體有種排法；再與剩下三門課程進行全排列有種排法，所以根據分步乘法計數原理共有種排法，故B正確；對于C：課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，故可把這兩門課程看成一個整體有種排法，再與剩下四門課程進行全排列有種排法，根據分步乘法計數原理，“樂”“射”相鄰的排法共有種，六門課程的全排列共有種排法，故“樂”“射”排在不相鄰的兩周有種排法，故C錯誤；對于D：六門課程的全排列共有種排法，“禮”排在第一周或“數”排在最后一周的排法共有，“禮”排在第一周且“數”排在最后一周的排法共有，故課程“禮”不排在第一周，課程“數”不排在最后一周共有種排法，故D錯誤.故選：AB.10.下列結論不正確的是（

）A.若數列為等比數列，且前項和，則B.若數列為單調遞增的等比數列，則公比C.若數列的前項和，則數列為等差數列D.若是不全相等的非零實數，且成等差數列，則能構成等差數列【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，結合等比數列前項和公式求解判斷即可；對于B選項，舉特例判斷即可；對于C選項，根據和的關系求出，進而判斷即可；對于D選項，由成等差數列可得，假設，，能構成等差數列，推導出和條件矛盾，進而判斷即可.【詳解】對于A選項，已知數列為等比數列，且前項和.等比數列前項和公式為（，），對比可得，解得，A選項正確.對于B選項，若等比數列的首項，公比時，數列也是單調遞增的，例如，公比，此時數列單調遞增，但，所以B選項錯誤.對于C選項，已知數列的前項和，當時，.當時，當時，，所以.由于從第二項起才滿足等差數列的通項公式，所以數列不是等差數列，C選項錯誤.對于D選項，因為，，成等差數列，則，假設，，能構成等差數列，則，把代入上式得，即，又因為，則，即，所以，這與，，不全相等矛盾，所以，，不能構成等差數列，D選項錯誤.故選：BCD.11.如圖，由函數與的部分圖象可得一條封閉曲線，則（）A.有對稱軸B.上任意兩點間的距離C.直線被截得弦長的最大值為D.的面積大于【答案】ACD【解析】【分析】利用反函數概念可判斷；聯(lián)立方程，求出交點即可判斷；找出過與曲線相切且與平行的點即可；由，計算即可判斷.【詳解】對于選項A：由，的反函數為，兩者關于對稱，故A正確.對于選項B：，令，當時，；當時，；可知在上單調遞減；上單調遞增，注意到，在內有一個零點，另一個零點為，，故B錯誤.對于選項C：與曲線對稱軸垂直，如圖，只需考察曲線上到距離大最大值即可，找出過與曲線相切且與平行的點即可，令，令，此時到的距離，直線被截得弦長最大值，故正確.對于選項D：，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的三角形面積，通常將三角形分成兩個底位于坐標軸上的小三角形，如本題中.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.《九章算術》、《數書九章》、《周髀算經》是中國古代數學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有_________種．【答案】【解析】【分析】先求出三人選書沒有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.【詳解】若三人選書沒有要求，則有種，若三人選擇的書完全相同，則有種，所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.故答案為：.13.已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試用推導等差數列前n項和的方法探求：若，則________．【答案】4050【解析】【分析】根據可得，結合函數得到當時，，進而結合倒序相加法求解即可.【詳解】正數數列是公比不等于1的等比數列，，則，由，當時，，于是，令，則，因此，所以.故答案為：4050.14.已知對于任意的，存在，使得不等式恒成立，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】令，則，令，利用導數求出函數的單調區(qū)間，從而可求出函數的零點，進而求出的符號分別情況，即可求出函數的單調區(qū)間，進而求出，即可得解.【詳解】令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以又，且當時，，當時，，即，且當時，，當時，，所以存在唯一，使得，所以，故當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則，令，則，當時，，當時，，所以函數上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以實數取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求滿足不等式的正整數的集合；（2）用0，1，2，3，4，5這六個數字組成滿足下列條件的四位數．（i）能被5整除的無重復數字的四位數有多少個？（ii）恰有三個重復數字的四位數有多少個【答案】（1）；（2）（i）108；（ii）100【解析】【分析】（1）利用組合數公式化簡得一元二次不等式，再利用且，即可得正整數的集合；（2）（i）分個位為0和個位為5兩種情況，再利用特殊元素和特殊位置優(yōu)先處理原則即可；（ii）分重復數字為0、重復數字不為0，但數中有0和重復數字不為0，數中也無0三種情況，再利用排列和計數原理解決即可.【詳解】（1）原不等式可化為：，

即，

即，解得，

又因為且，所以，

則不等式的解集為．

（2）（i）個位為0時，能被5整除的無重復數字的四位數有個，當個位為5時，能被5整除的無重復數字的四位數有個，綜上，能被5整除的無重復數字的四位數有個；（ii）重復數字為0時，滿足條件的四位數有個，重復數字不為0，但數中有0時，滿足條件的四位數有個，重復數字不為0，數中也無0時，滿足條件的四位數有個，綜上，恰有三個重復數字的四位數共有個.16.已知數列的前項和，數列是正項等比數列，滿足，.（1）求，的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由數列通項公式與求和公式的關系求出，以及等比數列的通項公式求出，可得答案；（2）由分組求和，利用等差數列與等比數列的求和公式，可得答案.【小問1詳解】因為，所以時.當時，，所以，，滿足，所以，數列是正項等比數列，.所以公比，.【小問2詳解】由（1）知，，.17.已知數列滿足．（1）證明：數列為等差數列；（2）設，記數列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）等式兩邊同時除以可得；（2）（ii）由錯位相減法求和即可；（ii）構造數列，由不等式組求數列的最值大即可.【小問1詳解】因為，即，所以數列是以為首項，3為公差的等差數列.【小問2詳解】（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因為，所以，令，不妨設的第項取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.18.已知函數，．（1）求的極值；（2）討論的單調性；（3）若，且當時，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導，再根據極值的定義即可得解；（2）分和兩種情況討論求解即可；（3）不等式，令函數，利用導數求出函數最小值，即可得解.【小問1詳解】函數，定義域為，，時，，時，，有極小值，無極大值；【小問2詳解】函數的定義域為，求導得，當時，恒成立，函數在上單調遞增；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；【小問3詳解】當時，，不等式，令函數，依題意，，恒成立，求導得，令，求導得，函數在上單調遞增，而，則存在，使，即，此時，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，由，得，則，，所以的取值范圍是.19.在必修一中，我們曾經學習過用二分法來求方程的近似解，而英國物理學家、數學家艾薩克?牛頓與德國哲學家、數學家戈特弗里德?萊布尼茨各自獨立發(fā)明了微積分．其中牛頓在《流數法與無窮級數》（TheMethodofFluxionsandInifiniteSeries）一書中給出了“牛頓切線法”求方程的近似解．具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值．一直繼續(xù)下去，得到．一般地，過點作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值，稱數列為牛頓數列．（