湖北省荊州市沙市中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)年度下學(xué)期級4月模擬數(shù)學(xué)試卷命題人：郭松審題人：冷勁松考試時間：年4月日一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則（A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域的求法可分別確定集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：或，即；，，即，.故選：B.2.若為虛數(shù)單位，，則的最大值為（）A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為以點為圓心，1為半徑的圓，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡為以點為圓心，1為半徑的圓，所求式子的幾何意義表示點到圓上點的距離的最大值，第1頁/共24頁如圖所示，最大值為.故選：D.3.學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會互相影響，則不同的選法種數(shù)為（）A.20B.25C.225D.450【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】甲和乙的選擇方法分別有種方法，所以甲和乙不同的選擇方法有種.故選：C4.已知向量，滿足，，則（）A.3B.4C.6D.7【答案】D【解析】【分析】由已知及向量數(shù)量積的運算律得，進(jìn)而求.【詳解】由，則，所以.故選：D5.已知數(shù)列中，，記為的前項和，，則的值為（）A.2023B.2024C.2025D.2026第2頁/共24頁【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用與的關(guān)系，推得，結(jié)合累乘法，即可求得的值，得到答案.【詳解】數(shù)列中，滿足，當(dāng)時，可得，兩式相減，可得，即，所以，又由，則.故選：B.6.已知點，到同一直線的距離分別為2，3，若這樣的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】問題化為、相交求參數(shù)范圍.【詳解】以為圓心，2為半徑的圓為，以為圓心，3為半徑的圓為，若符合題設(shè)的直線恰有2條，即上述兩圓相交，而，所以，可得，所以.故選：B7.函數(shù)的最小值為（）A.6B.C.D.【答案】A【解析】第3頁/共24頁【分析】分，，三種情況結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】當(dāng)時，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.綜上所述，函數(shù)的最小值為6.故選：A.8.已知拋物線的焦點為的準(zhǔn)線與其對稱軸交于點，過的直線與交于兩點，且，若射線為的平分線，則（）A.B.4C.5D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，然后利用，得到，進(jìn)而利用，化簡，可求出的值【詳解】，則，所以．過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，第4頁/共24頁因為為的平分線，由角平分線定理得，又，所以，由拋物線的定義得，又，所以．故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.是的一個周期B.在上遞減C.將圖象向左平移個單位可得到的圖象D.若，則【答案】ACD【解析】最小正周期公式可判斷A的單調(diào)性可判斷B象左右平移作用于自變量，且左加右減可判斷C；由題代入求出，再通過誘導(dǎo)公式和二倍角公式湊角求值可判斷D.第5頁/共24頁【詳解】對于A，由題意，函數(shù)，可得的最小正周期為，所以是的一個周期，故A正確；對于B，由，可得，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C，將的圖象向左平移個單位可得，，即，故C正確；對于D，若，即，即，所以，故D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)8，6，4，，3，7，9，10的上四分位數(shù)為9B.若，，且，則C，D相互獨立C.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，的概率越大D.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)，9的方差為20【答案】BD【解析】【分析】ABC選項利用正態(tài)分布中的意義進(jìn)行解釋；D選項利用方差公式進(jìn)行計算.【詳解】對于A選項，將數(shù)據(jù)從小到大排列為3，4，6，7，8，9，10，，共8個數(shù)，第6頁/共24頁則，則上四分位數(shù)為，故A錯誤；對于B選項，，，由條件概率公式得，得到，即C，D相互獨立，故B正確；對于C選項，，，由對稱性可知在的概率等于在的概率的2倍，當(dāng)越大，數(shù)據(jù)越離散，其概率越小，故C錯誤；對于D選項，由樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為4，得，，，，，4的平均數(shù)為4，由，，，，的平均數(shù)為22，得，因此，，，，，4的方差為，，，，，，9的方差為，故D正確.故選：BD.2，在中正確的是（）A.存在點，使得平面B.若，則動點的軌跡長度為第7頁/共24頁C.為中點，若平面，則動點的軌跡長度為D.存在點，使得三棱錐的體積為【答案】BCD【解析】【分析】取的中點，證得平面平面，得到平面，結(jié)合，可判定A；由，求得，得到點的軌跡為圓弧，可判定B；點為中點，取的中點，證得平面平面，得到動點的軌跡為線段，可判定C；結(jié)合，可判定D.【詳解】對于A中，取的中點，的中點為，連接，由為等邊三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，因為平面平面，過作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，在矩形中，，所以，如圖所示，此時的延長線與線段無公共點，所以不存在點，使得平面，所以A錯誤；第8頁/共24頁對于B中，因為，在直角中，可得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓弧，又因為，所以動點的軌跡長度為，所以B正確；對于C中，由點為中點，取的中點，連接，可得，，因為平面，且平面，所以平面，同理可得平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面平面，由平面，所以動點的軌跡為線段，其長度為，所以C正確；對于D中，由，當(dāng)點在內(nèi)及其邊界上運動時，可得，因為，所以存在點，使得三棱錐的體積為，所以D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：對于立體幾何中的動點軌跡與存在性性問題的求解策略1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；第9頁/共24頁3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.展開式中的常數(shù)項為__________．【答案】.【解析】【分析】利用通項公式即可得出．【詳解】通項公式T（x2）6r（﹣1）rx123r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展開式中的常數(shù)項15．故答案為15．【點睛】本題考查了二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.3放有紅球2個，黃球2個，綠球2個；黃色箱子中放有紅球3個，黃球1個，綠球2個；綠色箱子中放有紅球3個，黃球2個．要求參與者先從紅色箱子中隨機(jī)抽取一個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨機(jī)抽取一個小球，抽獎結(jié)束．若第二次抽取的是紅色小球，則獲得獎品，否則不能獲得獎品．若甲為參與者，在其第一次抽取的不是紅球的條件下，獲得獎品的概率為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出事件后，結(jié)合條件概率公式計算可求得結(jié)論.【詳解】設(shè)，分別表示第一次抽到的小球的顏色分別是紅、黃、綠的事件，設(shè)表示第二次抽到的小球的顏色是紅的事件，在甲先抽取的不是紅球的條件下，甲獲得獎品的概率為：第10頁/共24頁.故答案：14.已知雙曲線（，，的直線交C的右支于點（點A在點B作直線C于點（點E與直線的交點在直線上，則C的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】利用給定條件分別求出邊長，利用余弦定理表示同角的三角函數(shù)，建立齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖記直線與直線的交點為P，且連接，則，由對稱性有過坐標(biāo)原點O且．由有，，又，，，，，，即，，在中，，第11頁/共24頁在中，，解得，故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定條件求出各個三角形的邊長，然后利用余弦定理表示同一個角，得到所要求的離心率即可．四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.【小問1詳解】因為，又，所以，整理得，即，因為，所以，所以，則；【小問2詳解】第12頁/共24頁由（1）得，得，所以，所以，所以的周長為.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，.（1）已知為中點，求證：平面；（2）求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1中點，，由此可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】取中點，連接，第13頁/共24頁四邊形為正方形，，，平面，平面，，；，，平面，平面，平面，平面，又為中點，，平面，又平面，平面，，；，為中點，；，平面，平面，又平面，，，平面，平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；第14頁/共24頁，即平面與平面夾角余弦值為，平面與平面的夾角為.17.已知橢圓與軸交于點的直線與交于在點的（1）若點是線段的中點，求點的坐標(biāo)；（2）過作軸的垂線交橢圓于點，連，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】1）設(shè)點，表示出點，代入橢圓方程建立方程組，求解方程組即可.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理探求直線過定點，進(jìn)而設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出三角形面積的函數(shù)關(guān)系求解即得.【小問1詳解】依題意，，設(shè)點，由點是線段的中點，得，由點都在橢圓上，得，解得，所以點的坐標(biāo)為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由點在點的右側(cè)，得，第15頁/共24頁由消去y得，由，得，，則有，顯然，直線的方程為：，當(dāng)時，，因此直線過定點，設(shè)直線的方程為，由消去x得，則，，于是，點到直線的距離，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而當(dāng)時，直線與橢圓相切，不符合題意，所以面積的取值范圍為.18.已知.第16頁/共24頁（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）當(dāng)時，求證：；（3）當(dāng)，試討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間內(nèi)為（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】1）當(dāng)時，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時，分析得出，令，可得，結(jié)合（1）中結(jié)論可證得；（3）解法一：對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出函數(shù)在不同情況下的零點個數(shù)；解法二：求得，令，令數(shù)在不同情況下的零點個數(shù)；解法三：將函數(shù)解析式變形為，設(shè)，則，則有，設(shè)，則，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析的符號變化，可得出的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理可得出函數(shù)的零點個數(shù).【小問1詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則在為增函數(shù)；當(dāng)時，，則在為減函數(shù)；故當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間內(nèi)為.第17頁/共24頁【小問2詳解】因為，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以，設(shè)，由（1）可知，所以不等式成立.【小問3詳解】解法一：，設(shè)，此時，則，因為，所以，則在為減函數(shù)，，①當(dāng)時，，結(jié)合在為減函數(shù)，當(dāng)時，在為增函數(shù)；當(dāng)時，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù)，又因為，所以只有一個零點；②當(dāng)時，，所以存在，使得，當(dāng)時，，所以在上增函數(shù)；當(dāng)時，，所以在上減函數(shù).因為，則，當(dāng)，使得，第18頁/共24頁所以時，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)時，，即，即在為增函數(shù)；當(dāng)時，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)，又因為，所以.所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個零點.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)有1個零點；當(dāng)函數(shù)有2個零點.解法二：，設(shè)，此時，則，設(shè)，所以，①當(dāng)時，此時，則，此時，當(dāng)時，在為增函數(shù)；當(dāng)時，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù).又因為，所以只有一個零點；②當(dāng)，所以，設(shè).因為，因為時，所以存在，使得當(dāng)時，，即，所以在上增函數(shù)；第19頁/共24頁當(dāng)時，，即，所以在上減函數(shù).因為，則，當(dāng)，使得，所以時，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)時，，即，即在為增函數(shù)；當(dāng)時，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)，又因為，所以.所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個零點.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)有1個零點；當(dāng)函數(shù)有2個零點.解法三：，設(shè)，則，則有，，設(shè).因為，所以，則在為減函數(shù)，，①當(dāng)，即，結(jié)合在為減函數(shù)當(dāng)時，在為增函數(shù)；當(dāng)時，在為減函數(shù)；所以，所以，即在上為減函數(shù).又因為，所以只有一個零點；②當(dāng)時，，所以存在，使得，第20頁/共24頁當(dāng)時，，所以在上增函數(shù)；當(dāng)時，，所以在上減函數(shù).因為，則，當(dāng)，使得，所以時，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)時，，即，即在為增函數(shù)；當(dāng)時，，即，即在為減函數(shù)；當(dāng)，又因為，所以.所以使得，在為減函數(shù)，所以，所以存在兩個零點.綜上所述：當(dāng)