2024-2025學(xué)年上海市松江區(qū)高二年級下冊3月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市松江區(qū)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題

一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，

1-6題每個(gè)空格填對得4分，7-12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得0分.

,lim/(l+Ar)-/(l)=4

1.若函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)存在，且-Ax，則/")=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得答案.

【詳解】函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)存在，且lim/(1+工)_/⑴=/Q)=4.

於fOAx

即/⑴=4.

故4

2.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=2〃+3(s的單位：m,時(shí)間單位：s),則該質(zhì)點(diǎn)在/=3時(shí)的瞬時(shí)速度

為m/s.

【正確答案】12

【分析】先求得s'(/),進(jìn)而求得瞬時(shí)速度.

【詳解】因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為S=2/+3,所以s'(/)=4/,

所以當(dāng)”3時(shí)的瞬時(shí)速度為4x3=12m/s.

故12

3.已知復(fù)數(shù)2=》+.，eR),JL|z+4-3i|=2,則滿足的軌跡方程是.

【正確答案】(x+4『+(y—3)2=4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的概念列方程.

【詳解】,.?復(fù)數(shù)2=%+頁0,^€11),

所以(x+4『+(y—3)2=4.

故(％+4)一+(y-3y=4

4.在等差數(shù)列中，品=22,則6=.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.

【詳解】?.?等差數(shù)列中，Sn=22,所以品="(41"J=lk=22,所以。6=2.

2

故2

5.函數(shù)/(x)=x2+x的圖像在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為.

【正確答案】3x-y-1=0

【分析】求導(dǎo)，可得/⑴=2,/'(1)=3,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【詳解】因?yàn)?(x)=/+x,則/'(x)=2x+l,

可得/⑴=2,/'⑴=3,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),切線斜率4=3,

所以所求切線方程為j-2=3(x-l),即3x—y—1=0.

故答案為.3x—y—1=0

6.甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽，己決出了第1名到第4名(沒有并列名次).甲、乙、

丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”.

從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為.

【正確答案】8

【分析】由題意可得丙不是第1名，甲、乙相鄰，先排丙，再排甲乙和丁即可.

【詳解】當(dāng)丙是第2名時(shí)，甲、乙只能是第3,4名，丁為第1名，此時(shí)共有2種情況，

當(dāng)丙為第3名時(shí)，甲、乙是第1,2名時(shí)，丁為第4名，此時(shí)共有2種情況，

當(dāng)丙是第4名時(shí)，甲、乙有可能是第1,2名或2,3名，

若甲、乙是第1,2名時(shí)，丁為第3名，此時(shí)共有2種情況，

若甲、乙是第2,3名時(shí)，丁為第1名，此時(shí)共有2種情況，

綜上所述：4人的名次排列情況種數(shù)為2+2+2+2=8種情況.

故8

7.已知函數(shù)/(乃=；1+"+111%在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

【正確答案】k>----

3

【分析】利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為/'(X)20在(3,+勾)上恒成立，利用參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.

【詳解】由于函數(shù)/(x)=g"M%在區(qū)間(3,+s)上單調(diào)遞增，

所以/'(%)=》+左+120在(3,+8)上恒成立，即x+,2-左恒成立,

XX

由y=xH—在(3,+8)上單調(diào)遞增，則xH—>3H—=—，

xx33

7/107、10

-k<—=>左2---.

33

所以實(shí)數(shù)片的取值范圍為—弓，

故答案為.一■—,+°0

8.己知函數(shù)/Xx)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若/(x)=2x+3/'(O)-e)則/'(2)=.

【正確答案】2-3e2

【分析】由〃x)=2x+3/'(O)-eX求導(dǎo)，先求得/'(O)=—1,進(jìn)而得到了'(x)求解.

【詳解】解：因?yàn)?(x)=2x+3/'(O>e，,

所以/'(x)=2+3/'(O>e)則/⑼=2+3廣⑼,

解得解(O)=T,所以r(x)=2-3e\

所以r(2)=2-3e2,

故2-3e?

9.已知集合/U5UC={%,%，/，%，%}，且NcB={%,%},則集合4B、。所有可能的情

況有種.

【正確答案】500

【分析】由題意分類討論，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為：

A中元素：aA,a2,B中元素：ava2,C為空集.

現(xiàn)將元素%,。2，。3，。4，。5往三個(gè)集合中放，

為有兩種放法，放在集合。中或者不放在集合C中；出同生,有兩種放法.

對于生，分兩種情況：放在集合C中或者不放在集合。中.

當(dāng)也放在。中時(shí)，可以不放在集合A與集合3中，也可以放在其中一個(gè)集合，但不能同時(shí)放在集合

43中，共3種放法；當(dāng)小不放在集合。中時(shí)，必須放在集合A或集合3中，共兩種放法，故對于

。3，共5種放法.

%同。3，有5種放法，同，有5種放法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有2倉也5倉內(nèi)5=500種.

故500.

10.設(shè)函數(shù)/(x)=/—sinx+x+3,則滿足/(x)+/(2—3x)<6的x取值范圍是.

【正確答案】(1,+s)

【分析】設(shè)g(x)=/(x)-3,研究函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)

化為代數(shù)不等式，即可求解.

【詳解】令函數(shù)g(x)=/(x)-3=x3-sinx+x,函數(shù)定義域?yàn)镽,

g(-x)=(-x)3-sin(-x)-x=-x3+sinx-x=-g(x),函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，

因?yàn)間，(x)=3x2—cosx+120,當(dāng)x=0時(shí)取等號，因此函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

不等式/(x)+/(2-3%)<6可轉(zhuǎn)化為/(x)—3<-[/(2-3%)-3],

即g(x)<-g(2-3x)=g(3x-2),

則X<3x-2,解得X>1.

故(1,+8)

11.已知工(x)=xe*+sinx+cosx,<+i(x)是<(x)的導(dǎo)函數(shù),即人(x)=#%)/(x)=月⑺,...?

則力5(0)=,

【正確答案】25

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，探求工(x)的規(guī)律，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，可得力(x)=yf(x)=(l+x)e，+cosx—sinx，

xxx

f3(x)=f/()=(^+x)e-sinx-cosx,f4(x)=f3'^=(3+x)e-cosx+sinx,

￡(x)=￡'(%)=(4+xgx+sinx+cosx,/(x)=/'(%)=(5+x)e*+cosx-sinx,

t

依此規(guī)律，可得：A+4?-A?=4e,

所以叁(x)"(x)+24e、，

由為5(°)=<(0)+24e°=1+24=25.

故25.

12.用d(X,r)表示點(diǎn)X與曲線r上任意一點(diǎn)距離的最大值.已知函數(shù)<(X)=txi+(l-t)x,

3

xe[0,l],f2(^x)=tx+(l-^)x,t€[1,2].設(shè)2是曲線;；=工(%)上的動點(diǎn)，當(dāng)/epl時(shí)，

d(P,f2(x))的最小值為.

【正確答案】V17

【分析】令/(x)=V+(l-/)x,通過求導(dǎo)可得/(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，由此可得d(P/(x)),

結(jié)合/e1,1可得結(jié)果.

【詳解】令/(x)=/x3+(l-r)x,貝?。?［x)=3r，+1T.

因?yàn)?1,1,所以/'(x)20在［0,2］上恒成立，則/(X)=V+(1T卜在［0,2］上單調(diào)遞增.

由力(2)=67+2,可設(shè)M(2,67+2),則“P,力(x))=|兒研.

由工⑴=1，可設(shè)N。』)，則d(P/(x)"|ACV|=Jl+⑹+1)22Jl+16xg+l］=V17-

故答案為

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定d(P,力(x))的最小值.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)每題有

且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.下列向量中，與向量5=(3,4)共線的一個(gè)單位向量是()

A.(-6,-8)C.(8,6)D.件||

【正確答案】B

【分析】根據(jù)條件，直接求出與5=(3,4)共線的單位向量，即可求解.

【詳解】設(shè)與向量值=(3,4)共線的單位向量為B=Aa=(3九4X)(2豐0),

則+16%=5囚=1,解得2=±7所以B=［不不)或很=1一父_1

故選：B.

14.已知可導(dǎo)函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，/（2）=0,/'（x）為函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)

論不一定成立的是（）

A./'⑴〈/⑴B.r（5）＜/（5）C.r（2）=/（2）D.

八3）＜/，（4）＜/15）

【正確答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，r（i）＜o(jì),由圖可知，/（i）＞o,所以/故A成

立；

由圖可知，/'（5）〉0,/（5）＞0,但不確定/'（5）與/（5）的大小關(guān)系，故B不一定成立；

由圖可知，/，（2）=/（2）=0,故C成立；

由圖可知，函數(shù)在區(qū)間［2,+8）上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，所以/'（3）＜/'（4）＜/'（5）,

故D成立.

故選：B.

15.某手機(jī)專賣店新進(jìn)A,B,C,D,E,F,G這7款充電寶，準(zhǔn)備將它們在貨柜里擺成一排

售賣，則下列說法不正確的是（）

A.若A,B,C必須擺在前三個(gè)位置，則不同的擺法有144種

B.若A,B,C彼此不相鄰，D.E,F,G也彼此不相鄰，則不同的擺法有72種

C.若A,B,C彼此不相鄰，則不同的擺法有1440種

D.若A不能擺在后兩個(gè)位置，則不同的擺法有3600種

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用排列計(jì)數(shù)問題，結(jié)合不相鄰問題和特殊元素(位置)逐項(xiàng)分析計(jì)算得

解.

【詳解】對A選項(xiàng)：滿足條件的擺法有：A，A：=6x24=144,故A選項(xiàng)內(nèi)容正確；

對B選項(xiàng)：滿足條件的擺法有：A，A：=6x24=144,故B選項(xiàng)內(nèi)容錯(cuò)誤；

對C選項(xiàng)：滿足條件的擺法有：A>A：=24x60=1440,故C選項(xiàng)內(nèi)容正確；

對D選項(xiàng)：：滿足條件的擺法有：A；.A?=5x720=3600,故D選項(xiàng)內(nèi)容正確.

故選：B

16.若函數(shù)/(x)的圖象上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得/(x)在這無數(shù)個(gè)點(diǎn)處的切線重合，則稱/(x)為“共

切線函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“共切線函數(shù)”的是()

A.f(x)=sinx+2cosxB./(x)=x3+sinx

rfl、_封+2》,》<0,

“xj/(x-2),x>oD.f(x)=xsiwc

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)共切線函數(shù)的定義判斷A；利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可得/1力=加至多有兩個(gè)

解判斷B；利用數(shù)形結(jié)合判斷C；求出導(dǎo)函數(shù)，確定切線斜率，判斷D

【詳解】對于A項(xiàng)，/(x)=sinx+2cosx=&sin(x+0),其中。為銳角且tang=2,

顯然直線y=±后是/(%)圖象的切線且切點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故A項(xiàng)正確.

對于B項(xiàng)，/(x)=x3+sinx,則/，(x)=312+cosx,

令g(x)=3、2+cosx,則g'(x)=6x—sinx,

令/z(x)=6x—sinx,則〃'(％)=6—cosx>0,

所以/Z(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡(—8,0)時(shí)，g"(X)<0,/'(X)單調(diào)遞玻,

當(dāng)xe（0,+oo）時(shí)，g'（x）>0,/'（尤）單調(diào)遞增,

所以/'（力=加（加為常數(shù)）至多有兩個(gè)解，

即不存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處的切線斜率相同，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.

x2+2x,x<0,

對于C項(xiàng)，作出/（x）=<的部分圖象，如圖所示:

/(x-2),x>0

\斗

\y=f（x）

\-2O246、

產(chǎn)-1

則/（X）的圖象與直線V=T相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為—1,1,3,5,…,

x2+2x,x<0,

所以/(%)=,是“共切線函數(shù)”，故C項(xiàng)正確.

/(x-2),x>0

對于D項(xiàng)，f(x)=xsinx,則/'(x)=sinx+xcosx,

注意到]+2E1=1,]+2hrj=^+2hi,keZ,

所以/（x）在點(diǎn)]+2E,]+2E（左eZ）處的切線方程均為y=x,故D項(xiàng)正確.

故選:ACD

關(guān)鍵點(diǎn)睛：題目是新定義的題型，本質(zhì)是求不同兩點(diǎn)處的切線，保證切線相同，所以可以先保證斜

率相同，在斜率相同的情況下，求出切線所過的點(diǎn)，寫出切線方程，保證方程相同

三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域

內(nèi)寫出必要的步驟.

17.⑴已知匕2-4：=26,〃eN,求〃的值；

(2)已知圓G：(x—。)2+_/=1,圓。2：一+(了—6)2=9,ae{0,l,2,3},6e{-4,—2,0,1,3},

若兩個(gè)圓有交點(diǎn)，則以a為橫坐標(biāo)，6為縱坐標(biāo)點(diǎn)尸伍/）有幾個(gè)?

【正確答案】（1）6；（2）12個(gè)

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)公式列方程求值.

(2)根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，確定|GG|的取值范圍，得到滿足的條件，再一一把滿足條件的

列舉出來即可.

【詳解】(1)由P3—P：=26n(〃+2)(〃+D—〃(〃—1)=26,

所以〃2+3〃+2-+〃=26=4〃=24=>"=6.

(2)因?yàn)閨cc|="?+上，

因?yàn)閮蓚€(gè)圓有交點(diǎn)，所以3—1可。。2歸3+1=24。02歸4.

所以4</+62〈i6.

當(dāng)Q=0時(shí)，b——4,3,-2,

當(dāng)〃=1時(shí)，b=3,-2,

當(dāng)a=2時(shí)，6=0,1,-2,3,

當(dāng)a=3時(shí)，6=0,1,-2,

共有12個(gè).

18.已知在正四棱柱—4片。。1中，40=3,，4=4,點(diǎn)￡是?？诘闹悬c(diǎn).

(1)求異面直線40］與?！晁山堑挠嘞抑?

(2)求三棱錐A-￡AD的體積.

【正確答案】(1)—;

(2)3.

【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)證得0E〃/。1，由此求得異面直線所成角的平面角，利用余弦定

理計(jì)算即可求解；

(2)通過證明線面垂直得到三棱錐的高，再利用三棱錐體積轉(zhuǎn)化即可.

【小問1詳解】

如圖，連接ZC,設(shè)2?？?。=0,則。為ZC的中點(diǎn)，

又E為CQ的中點(diǎn)，.?.OE〃4Di，

異面直線ADX與DE所成角為或其補(bǔ)角，

O萬ICC

?在ADEO中，DO=^-,OE=-AD.=-,DE=-,

22122

-2-5-1--25----9

cosZDEO=———[<2=—,

2x325

22

..?異面直線AD,與DE所成角的余弦值為||.

【小問2詳解】

A

???COLBD,且==3五，

:.CO=-CA=-BD=—，

222

又在正四棱柱ABCD-中，DDX±平面ABCD,COu平面ABCD,

,DD[_LCO,又DD[nBD-D,DDX,BDu平面DXDB,

.?.。。，平面。1。5,又是Cj的中點(diǎn),

[=1X1]13\/~2

VD「EBD=—E-BDD、=T^C-BDDTT^^BDD,'CO=—X—X3^/2x4x---=3.

2}23622

19.某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量x萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等），x>0,已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品共

需投入成本/+12/+36X萬元，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為180+元/件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為銷售量x萬元的函數(shù)；

（2）當(dāng)銷售量x投入多少元時(shí)，該公司的利潤最大，最大值多少？

【正確答案】（1）y=-x3-12x2+144x+200（%>0）

（2）當(dāng)x=4時(shí)，利潤最大，最大為520萬元

【分析】（1）根據(jù)已知條件列式得出函數(shù)；

（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可得出最大值.

【小問1詳解】

由題意知，

1180+^^]x-(x3+12x2+36x)=180x+200-x3-12x2-36x,

y=

y=-x3-12x2+144x+200(x>0).

【小問2詳解】

y'=-3x2-24x+144=-3(x~+8x—48)=-3(x+12)(%-4),

當(dāng)xe(0,4)時(shí)，/>0,函數(shù)9=一為3-12/+144%+200&>0)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(4,+8)時(shí),/<0,函數(shù)9=一無3—12—+144%+200(%>0)單調(diào)遞減,

則當(dāng)x=4時(shí)，利潤最大，最大為520萬元.

2

20.已知雙曲線匕=1,設(shè)其左、右頂點(diǎn)分別為48，中心為O.

3

(1)求雙曲線「的焦點(diǎn)；

(2)斜率為@5的直線/交雙曲線r于C,。兩點(diǎn)，且。CLOD,求弦長|CD|；

5

(3)設(shè)雙曲線尸右支上兩點(diǎn)M,N滿足直線AM與BN在y軸上的截距之比為1:3,判斷直線MN

是否過定點(diǎn)，并說明理由.

【正確答案】(1)(-2,0),(2,0)

(2)4

(3)過定點(diǎn)，理由見解析

【分析】(1)由雙曲線方程得a=1,6=6,再利用見仇。間的關(guān)系，即可求解;

(2)設(shè)直線/的方程為了=半(x-旬,聯(lián)立直線與雙曲線方程，消了得4/+2日-+5)=(),

利用根與系數(shù)間的關(guān)系，結(jié)合條件，得到k=±2,再利用弦長公式，即可求解;

(3)根據(jù)題設(shè)，設(shè)線的方程為y=《x+l),直線5N的方程為歹=—3/(x—1),分別聯(lián)立雙曲

7+36t)J—9「—318?)

線方程，直接求出河由對稱性設(shè)出定點(diǎn)尸(x,0),利用

1二3-t-)13-9產(chǎn)3-9t2)

建立方程，從而得(6x-12乂/+1)=0,即可求解.

【小問1詳解】

2__________

由雙曲線「：廠-1■=1,易知a=l,b=，則c=+/=2，

所以雙曲線「的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0).

【小問2詳解】

由題意設(shè)直線/的方程為y=平(x—左)，且。(國,必),。(9,/)，

y=~r-(x~k)

聯(lián)立直線/和雙曲線方程得I,，消y并整理得4/+2Ax—(/+5)=0,

JV—

13

k左2+5

所以△=(2fc)2+16(/c2+5)>0,且玉+工2=-5，西%2=---—，

因?yàn)?。CLOD,則反，無，即雙.歷=0,

XjX2+乂%=0，則8%也一3Mxi+/)+3k2=0,

2(k2+5)+9左2+3左2=0,解得左=±2,

弦長|CZ>|=J(X]-％)2+(必一%)2=J1+-^p--1-^1-^2|

7(X1+X2)2-4X1X2=

【小問3詳解】

由題意得4(-1,0),8(1,0),則設(shè)直線的方程為y=/(x+l),則直線BN的方程為

y=-3t(x-l),

v=r(x+l)

聯(lián)立直線與雙曲線的方程得｛2J2_，整理得(3—/)/一2/x—〃一3=0,

x---=1

3

一「一3r+3

；-xx=，則XM=^7

AM3—t3—I

j=-3r(x-l)

聯(lián)立直線BN與雙曲線的方程得｛2J2_，整理得(3—9/)x2+i8/x—9/2—3=0,

X----二1

3

-9〃—3-9/—3

...xx貝人

BN3—9〃3—9〃

-M(^2]4z9￡zl&

13—尸3_%2，3_9打

若直線九W過定點(diǎn)，由對稱性得定點(diǎn)在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為尸(x,0),

6t187

9

則須M=G，即/丁=f，化簡得(6x—12)(r+1)=0,

I+J—yt—J\/

6x—12—0>解得x=2>

直線兒W過定點(diǎn)QO).

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)求證：當(dāng)0<x〈l時(shí)，2/(功2/—1；

(3)若A(x)=X2-2H+.其中0<，<1.討論函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【正確答案】(1)—

e

(2)證明見解析；(3)答案見解析；

【分析】(1)利用極值的定義求解；

(2)將不等式轉(zhuǎn)化為當(dāng)0<x<l時(shí)，2xlnx-x2+l>0，令g(x)=Zxlnx-f+1,由g(x)疝門之0

證明;

(3)根據(jù)〃(幻=爐-2力+lnx|,分0<x<1和0<x(!先去掉絕對值，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解.

ee

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)-xlnx,

所以/(x)=l+lnx,令/'(x)=0,得x=L,

e

當(dāng)0<x<L時(shí)，/