2024屆高三二輪復習：解析幾何（二）

24屆高三二輪復習解析幾何專題5——解析幾何（二）

一、單焦點三角形的內(nèi)心模型

1.（2023下?四川綿陽?高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知雙曲線

、一4=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為百，鳥,P為雙曲線上的一點，/為△尸耳鳥的

ab

內(nèi)心，且西+2國=2百，則C的離心率為（）

12J3

A.-B.-C.—D.2

353

2.（2021?四川成都?校聯(lián)考三模）己知雙曲線C：'-g=1（。>0,b>0）的左，右焦

ab

點分別是耳，耳，點尸是雙曲線C右支上異于頂點的點，點“在直線無=〃上，且滿足

—?PFPF

PH=2尸=f+尸芻|,2eR.若5HP+4HF,+3明=。,則雙曲線C的離心率為（）

〔I叫

A.3B.4C.5D.6

3.（2022?陜西西安?西北工業(yè)大學附屬中學校考模擬預測）已知橢圓

22

1T+}=1（a>6>0）的左、右焦點分別為耳、耳，經(jīng)過耳的直線交橢圓于A,3,△NBg

的內(nèi)切圓的圓心為/,若3歷+4而+5孤=6,則該橢圓的離心率是（）

B-1V3D.

~T2

22

4.（2018下?四川雅安?高三雅安中學階段練習）已知橢圓二+勺=1（〃>6〉0）的離心率

a2b2

3

為“M是橢圓上一點，片上是橢圓的左右焦點,C為△兒庫用的內(nèi)切圓圓心，若

ULULIULUUUUI

mCF1+3CF2+3CM=0,則根的值是（）

A.4B.3C.2D.1

22

5.（2023上?四川眉山?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：A+J=l（a>6>0）,片,8為左

ab

右焦點，點尸（2,6）在橢圓C上，的重心為G,內(nèi)心為/,且有記=4方瓦（2

為實數(shù)），則橢圓方程為（）

；22

AA.——-+—y=1B.二+匕=1

86164

C.—+^=1D

927-?？?/p>

試卷第1頁，共22頁

二、雙焦點三角形的內(nèi)心模型

6.（2022上?江蘇揚州?高二江蘇省祁江中學校考期中）已知片，月分別為雙曲線

22

C:?-左=1的左、右焦點"￡為雙曲線C的右頂點一過片的直線與雙曲線C的右支交

于48兩點（其中點/在第一象限），設峪N分別為“￡月，丹外的內(nèi)心，則

的取值范圍是（）

22

7.（2021上?安徽?高三校聯(lián)考開學考試）已知雙曲線餐-4=1的左右焦點為片，F(xiàn)2,

ab

過月的直線交雙曲線于M,N兩點（"在第一象限），若△兒陰匕與△明月的內(nèi)切圓半

徑之比為3：2,則直線九W的斜率為（）

A.V6B.2A/6C.V3D.273

8.（2024?江西鷹潭?貴溪市實驗中學?？寄M預測）已知耳，耳分別是雙曲線C：

22

土-2=1的左、右焦點，過G的直線與雙曲線C的右支交于4,B兩點,△/片名和

39-

△8耳用的內(nèi)心分別為“，N,貝力"AM的取值范圍是（）

A.[273,4）B.[3,273）C.[273,+oo）D.（3,273）

22

9.（2023上?四川成都?高二成都七中?？计谀┮阎?，B分別為雙曲線C：?一｝=1

的左、右焦點，E為雙曲線C的右頂點.過B的直線與雙曲線C的右支交于45兩點

（其中點/在第一象限），設M,N分別為A4FIF2,的內(nèi)心，則|Affi|-|NE|的

取值范圍是（）

4百4百）3733疔V5好)

B.C.D.)

22

10.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C:+-%=l（a>0,6>0）的左、右焦點分

別為瓦外，離心率為2,焦點到漸近線的距離為新.過工作直線/交雙曲線C的右支于

48兩點，若〃,G分別為△/與與△瓦笆的內(nèi)心，則匠G|的取值范圍為.

試卷第2頁，共22頁

三、漸近線特征三角形與離心率

22

11.（2018?全國?高考真題）設耳,B是雙曲線C:三-與=1（a>0,b>0）的左、右

ab

焦點，。是坐標原點.過月作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|尸耳|=卡|。刈，

則C的離心率為

A.V5B.V3C.2D.72

12.（2020上?福建寧德?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：E-2=1（。>0/>0）的左、右焦

點分別為4,耳，過與作雙曲線c的一條漸近線的垂線/,垂足為“，直線/與雙曲線C

的左支交于E點，且〃恰為線段%的中點，則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.C.V3D.V5

2

13.（2021下?吉林白山?高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線二-==1（。>0/>0）的左右

焦點分別為￡,工，以。片為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點初（異于坐標原

點。），若線段肛交雙曲線于點尸，且沙尸則該雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.乎D.76

14.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個焦點為耳月，以C的實軸為直徑的圓

3

記為。，過耳作。的切線與C交于N兩點，且cos/4M=M，則C的離心率為

（）

A.在B.-C.叵D.姮

2222

四、垂直漸近線體系

15.（2021上?福建漳州?高二福建省平和第一中學?？茧A段練習）已知與為雙曲線

22

]-方=1（。>0,6>0）的右焦點，經(jīng)過與作直線/與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為

A,直線/與雙曲線的另一條漸近線在第二象限的交點為8.若|/用=/陷則雙曲

線的離心率為.

22

16.（2016下?浙江?高三階段練習）已知雙曲線C:三-七=1（?！?力>0）的左焦點為尸，

過點尸作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為〃，點P在雙曲線上，且麗=3麗,

則雙曲線的離心率為

試卷第3頁，共22頁

A.V3B.26C.叵D.V13

2

22

17.（2017?江西?江西師大附中?？既＃┮阎率请p曲線?-與=1（。>08>0）的左

ab

右焦點，過與作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點A,交另一條漸近線于點5,且

麗=；月瓦則該雙曲線的離心率為

A.—B.立C.V3D.2

22

18.（2018?山東濟南?統(tǒng)考一模）設片名，分別為雙曲線二-冬=1（。>0,6>0）的左、右焦

ab

點，過耳作一條漸近線的垂線，垂足為“，延長耳M與雙曲線的右支相交于點N,若

加=3而，則此雙曲線的離心率為（）

A.叵B.-C.-D.巫

2333

22

19.（2020上?四川成都?高二樹德中學?？茧A段練習）已知雙曲線C：j一與=1,

ab

（〃>0,6>0）過。的右焦點尸作垂直于漸近線的直線/交兩漸近線于A、3兩點A、8兩

AF1

點分別在一、四象限，若隹=彳，則雙曲線。的離心率為（）

BF2

A.拽B.2C.V3D.75

3

五、極化恒等式

22

20.（2022上?山東淄博?高二校聯(lián)考階段練習）若耳、g為橢圓C：3+看=1的左、

右焦點，焦距為4,點尸為C上一點，若對任意的均存在四個不同的點尸滿

足西.比=2,則C的離心率e的取值范圍為.

22

21.（2022?全國?高三專題練習）已知的上、下焦點分別是耳,

外，若橢圓C上存在點尸使得西瓦=兩°+萬瓦2<41-3〃，則其離心率的

取值范圍是（）

A.層］B.加C.［。與口.

22.（2023上?重慶?高二重慶市育才中學?？计谥校┮阎?。,0）,月（。,0）為雙曲線

22___,___1

亍-3=l（a>0,6>0）的兩個焦點，尸為雙曲線上一點，且兩?用=-,。2.則此雙曲

線離心率的取值范圍為（）

試卷第4頁，共22頁

B.（1,2]D.（2,+oo）

23.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學校校考三模）已知N是橢圓

22

1T+方=1（。>6>0）上關于原點。對稱的兩點，P是橢圓C上異于的點，且

西心兩的最大值是《。2,則橢圓C的離心率是（）

2

22

24.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預測）已知M,N是橢圓C:f+與=l（a>6>0）上關于

原點。對稱的兩點，尸是橢圓C上異于M,N的點，且同7.麗的最大值是則橢

4

圓C的離心率是（）

A.-B.yC.—D.@

3223

六、解析幾何小題中的直角界定

22

25.（2023上?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知￡,&為橢圓亍+}=1（。>6>0）

的左右焦點，橢圓上存在點尸（x,j）使/耳尸耳為鈍角，則橢圓離心率的取值范圍

.

Ko

26.（2022上?福建福州?高二福州三中?？计谥校┮阎c尸在以耳,耳為左、右焦點的

22

橢圓C:鼻+斗=15>6>0）上，橢圓內(nèi)存在一點。在尸旦的延長線上,且滿足。耳，0P,

ab

3

若sin/月產(chǎn)。=y,則該橢圓離心率取值范圍是（）

夜）

A?島ri]nB.卜n力CJrv2]D.[O'/i

27.（2024?全國?高三專題練習）如圖，橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上，4,4,此鳥

橢圓頂點，耳為右焦點，延長烏匕與小巴交于點P，若/百尸4為鈍角，則該橢圓離心

率的取值范圍是（）

試卷第5頁，共22頁

[21

28.（2023?陜西西安?西北工業(yè)大學附屬中學校考模擬預測）已知兩動點A,B在橢圓

C：1r+/=1（。>1）上，動點尸在直線3x+4y-10=0上，若//尸5恒為銳角，則橢

圓C的離心率的取值范圍是（）

A.[0,|]B.臣].閘D.俘1

29.（2022上?天津和平?高二天津市匯文中學?？茧A段練習）已知橢圓￡的左、右焦點

分別為片，耳，過片且斜率為2的直線交橢圓E于尸，。兩點，若/耳尸區(qū)為直角，則橢

圓E的離心率為（）

A.正B.1C.—D.-

3333

22

30.（2022?廣西柳州?統(tǒng)考三模）如圖，￡、丹分別是雙曲線C：亍-方=1（。>01>0）

的左、右焦點，過耳的直線/與C的左、右兩支分別交于點A、B,若4/8&為以外為直

角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）

A.4B.V?C.生D.G

3

31.（2023上?山東棗莊?高二棗莊市第三中學?？茧A段練習）蒙日是法國著名的數(shù)學家,

他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，所以這個圓又被叫做“蒙日

22_

圓”，已知點/、8為橢圓（+}=1（0<Z><V3）上任意兩個動點，動點尸在直線

試卷第6頁，共22頁

4x+3y-10=0±,若//尸8恒為銳角，則根據(jù)蒙日圓的相關知識，可知橢圓C的離心

率的取值范圍為

七、米勒定理

32.（2015上?江蘇鹽城?高三階段練習）如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點西尼

在'軸上且焦距為」c,一￡一上為左右頂點，左準線：與i軸的交點為,1/,

噢渴粗碗,若點；在直線,上運動，且離心率「'，則酗就的最大

■

值為一.

22

33.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）已知橢圓C：1+2=1的左右焦點分別為耳，F(xiàn)2,

若與橢圓C無公共點的直線x=3上存在一點尸，使得tan/片尸用的最大值為2a,則橢

圓離心率的取值范圍是.

34.（2022上?河北石家莊?高二河北新樂市第一中學統(tǒng)考期中）已知雙曲線

22

二-與=1僅乃＞0）的左頂點為4左焦點為尸，P為漸近線上一動點，且尸在第二象限

ab

內(nèi)，O為坐標原點，當尸尸最大時，I。尸1=6,則雙曲線的離心率為.

35.（2005?浙江?高考真題）如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點片，耳在x軸上，

長軸44的長為4,左準線/與x軸的交點為|加蜀：［4用=2:1.

（1）求橢圓的方程;

試卷第7頁，共22頁

⑵若點P為/上的動點，求/耳尸鳥的最大值.

八、曲率半徑

36.（2021?江蘇?高二專題練習）曲率半徑是用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度的

22

量，已知對于曲線1=1（。>0/>0）上點尸（X。,后）處的曲率半徑公式為

ab

3

及=/廿（日+或丫，則下列說法：

[/b4J

①對于半徑為R的圓，其圓上任一點的曲率半徑均為R

22

②橢圓]+方=1（。>6>0）上一點處的曲率半徑的最大值為a

2272

③橢圓谷+4=1（a>6>0）上一點處的曲率半徑的最小值為—

④對于橢圓5+/=1（。>1）上點處的曲率半徑隨著a的增大而減小

其中正確的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

37.（2022?江西?校聯(lián)考二模）曲率半徑可用來描述曲線在某點處的彎曲變化程度，曲率

22

半徑越大則曲線在該點處的彎曲程度越小.已知橢圓04+[=1（°>6>0）上點

ab

3

P（X。,％）處的曲率半徑公式為及=.若橢圓C上所有點相應的曲率半徑

的最大值為8,最小值為1,則橢圓C的標準方程為（）

22

AX2_inX2_

A.----Fy—1B.----Fy=1

24

CD一+丁_1

42164

22

38.（2022?浙江?高三專題練習）設8是橢圓C:=+4=l（a>6>0）的上頂點，若C上

ab

的任意一點。都滿足I尸5區(qū)26,則。的離心率的取值范圍是（）

A.B.P1

39.（2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預測）密切圓（OsculatingCircle））,也稱

曲率圓，即給定一個曲線及其上一點P,會有一個圓與曲線切在P點，而且是與曲線在

該點鄰近最貼近的圓，換言之，沒有一個圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，此圓

稱為曲線在點尸處的密切圓，密切圓可能是與曲線在該點相切的圓中半徑最大的（比如

在拋物線頂點處的內(nèi)切圓），曲線上某點的曲率圓的半徑稱為曲率半徑.拋物線

試卷第8頁，共22頁

C:/=2x在頂點處的曲率半徑為,

22

40.（2023上?遼寧葫蘆島?高三統(tǒng)考期末）設5是橢圓。:!7+%=1（“>6>0）的上頂點,

若C上的任意一點P都滿足|依歸6。，則C的離心率的取值范圍是.

九、中垂線截距定理

22

41.（2022?山西?校聯(lián)考模擬預測）雙曲線。：土方=1（〃>0/>0）的右頂點為4。（3氏0）

在x軸上，若C上存在一點尸（異于點A）使得NPLP。，則。的離心率的取值范圍是

A.（啦,+勾B.（2,+8）C.（1,0]D.（1,V2）

22

42.（2018上?黑龍江哈爾濱?高二哈師大附中階段練習）已知橢圓T+q=l（a>6>0）

ab

的右頂點為A,點尸在橢圓上，。為坐標原點，且/。尸/=90。，則橢圓的離心率的取

值范圍為

22

43.（2016上?陜西漢中?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：（a>0,b>0）的右

aZb2

頂點為A,x軸上有一點Q（2a,0）,若C上存在一點P,使AP1PQ,則雙曲線離心率

的取值范圍是

B.《若D.1?膂

十、拋物線的小結論

44.（2023?四川成都?石室中學?？既＃┮阎獟佄锞€無y=8x的焦點為尸，點尸與點

C關于原點對稱，過點。的直線/與拋物線￡交于A,8兩點（點C和點/在點2的兩

側），則下列命題中正確的有

①若2尸為A/CP的中線，貝力/尸|=2|8尸|；②若2尸為乙4尸C的平分線，貝力/尸|=8；

③存在直線/,使得|/C|=亞尸|；④對于任意直線/‘都有|相|+|斯|>2|CF].

A.1個B.2個C.3個D.4個

45.（2022?四川眉山?仁壽一中?？级＃┮阎獟佄锞€/=2px（〃>0））的焦點為R過

下且傾斜角為:的直線/與拋物線相交于/，8兩點，|，同=12,過/,8兩點分別作拋

4

試卷第9頁，共22頁

物線的切線，交于點。.則下列四個命題中正確的個數(shù)是（）個.

①。/，網(wǎng)

②若1）,P是拋物線上一動點，貝"尸初1+|尸用的最小值為：；

③^AOB（O為坐標原點）的面積為3亞.；

P

（4）M（-—,Q）,則tanZXA/3=.

A.1B.2C.3D.4

46.（2022?四川涼山?統(tǒng)考三模）己知拋物線C:/=4x,焦點為尸，點”是拋物線C

上的動點，過點尸作直線（"1）》+>-2.+1=0的垂線，垂足為尸，貝+的最

小值為（）

A.B.c.5D.3

22

47.（2023?四川南充?四川省南充高級中學校考三模）已知拋物線。:/=2.5>0）的

焦點為尸，直線/：2x+y-6=0與拋物線C交于48兩點，M是線段N8的中點，過M

作了軸的垂線交拋物線C于點N,則下列判斷正確的序號是

①若/過點尸，則C的準線方程為工=-3

②若/過點尸，則?哉=3

③若福.屜=0，則點尸的坐標為g,。］

_.24

④若福?福k=0，貝1p=歷.

48.（2023下?四川遂寧?高三射洪中學?？奸_學考試）已知拋物線C:j?=4x的焦點為

F,過點尸的直線交C于43兩個不同點，則下列結論正確的是.

①若點P（2,2）,則廠|+|/尸|的最小值是3

②M切的最小值是2

③若9口=12,則直線N2的斜率為土?

④過點42分別作拋物線C的切線，設兩切線的交點為。，則點。的橫坐標為T

十一、雙曲線漸近線的本質(zhì)問題

49.（2021?河北石家莊?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：J--x2=l（a>0）,其上、下焦點分

別為片，F(xiàn)2,O為坐標原點.過雙曲線上一點〃（毛,％）作直線/,分別與雙曲線的漸

試卷第10頁，共22頁

近線交于尸，。兩點，且點”為尸。中點，則下列說法正確的是（）

A.若Uy軸,則同1=2.

B.若點"的坐標為（1,2）,則直線/的斜率為:

C.直線尸。的方程為理-x°x=l.

a

D.若雙曲線的離心率為由，則三角形。尸。的面積為2.

2

50.（2022上?江蘇南京?高三江蘇省江浦高級中學校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線C

2

I-丁=1的左右焦點分別為耳外，。為坐標原點，P為雙曲線右支上的一點，過點尸

的直線/與右支交于另一點。，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于48兩點，則（）

A.點尸到兩條漸近線的距離之積為定值B.a?分為定值

C.F周忖閶<口。『D.|以|=怛。

丫2

51.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:二-/=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,

4-

左、右頂點分別為N,。為坐標原點.直線/交雙曲線C的右支于尸，0兩點（不

同于右頂點），且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于48兩點，則（）

A.9?礪為定值

B.以=怛。|

C.點尸到兩條漸近線的距離之和的最小值為拽

5

D.存在直線/使聲.近=0

52.（2023?安徽合肥?合肥市第八中學?？寄M預測）如圖，O為坐標原點，片,與分別

為雙曲線C:x2-==l（6>0）的左、右焦點，過雙曲線C右支上一點尸作雙曲線的切線/

分別交兩漸近線于48兩點，交x軸于點。，則下列結論正確的是（）

B?S^IOB=2s△/op

試卷第11頁，共22頁

C.S叢AOB=2b

D.若存在點P,使得S△"內(nèi)="?,且麗=2萬月，則雙曲線C的離心率為2或

旦

2

53.（2023上?湖北襄陽?高二襄陽市第一中學?？计谀┤鐖D，過雙曲線

2

C_方=1（6>0）右支上一點P作雙曲線的切線I分別交兩漸近線于/、2兩點，交x

軸于點。，斗鳥分別為雙曲線的左、右焦點，。為坐標原點，則下列結論正確的是

C.S—OB=2b

1——------.

D.若存在點尸，使cos/耳S.FlD=2DF2,則雙曲線C的禺心率e=2

22

54.（2020?山東日照?統(tǒng)考一模）已知雙曲線土-2=l（〃eN*）,不與x軸垂直的直線/

與雙曲線右支交于點3,C,（8在x軸上方，。在x軸下方），與雙曲線漸近線交于點

A,D（A在x軸上方），。為坐標原點，下列選項中正確的為（）

A.|，C卜忸卜恒成立

B.右工8℃=,則卜忸C|=|CD|

C.△40。面積的最小值為1

D.對每一個確定的〃，若|/邳=忸。=|。|,則的面積為定值

55.（2021上?江蘇鹽城?高二鹽城中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Qy中，等軸雙曲

線Ck：y2-x2=k（kwN*）,若直線/與Ck在x軸上方的曲線交于P,。兩點，點尸在歹

軸右側，0在y軸左側，同時，直線/與Ck的漸近線交/，N兩點，M點在第一象

限.下列說法中正確的有（）

試卷第12頁，共22頁

A.對每一個確定的左值,若|MP|：|尸0|：|OM=1：1：1，則SAM為定值

S1

B.薩金=5是“尸，。為線段九W的三等分點”的充要條件

'△OMNJ

C.AOMN的面積的最小值是1

D41

,1^1

56.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測）己知雙曲線C:/一：=1的左，右焦點分別為耳,

F2,點尸是雙曲線C的右支上一點，過點尸的直線/與雙曲線C的兩條漸近線交于M,

N,則（）

A.郎2-尸?琢的最小值為8

B.若直線/經(jīng)過耳，且與雙曲線C交于另一點Q,則忸。|的最小值為6

c.|尸可卜|尸閶-|af為定值

D.若直線/與雙曲線C相切，則點M,N的縱坐標之積為-3

22

57.（2023上?貴州六盤水?高二統(tǒng)考期末）設點尸是雙曲線C：'-鼻=1（a>0,

ab

b>0）上任意一點，過P作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交漸近線于點42.若

四邊形0/P8的面積為2,則雙曲線的焦距的最小值為（）

A.8B.4A/3C.472D.2a

22

58.（2023下?廣西?高二校聯(lián)考階段練習）如圖,已知雙曲線亍-3=1（。>0,6>0）的

右焦點為R過點下的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于N兩點.若

MF=3FN,OM=3OPX）PPF=Q,則雙曲線的離心率為（）

C.2D.V3

十二、非對稱韋達

試卷第13頁，共22頁

22

59.(2022?全國?高三專題練習)設直線/過點尸(0,3),和橢圓/+寧=1順次交于

Ap

兩點，試求百的取值范圍.

PB

60.(2023?全國?高三專題練習)直線/與拋物線/=2x交于/、8兩點，且滿足

OA1OB,證明：直線/過定點.

22

61.(2023?全國?高三專題練習)已知點尸為橢圓E：L+2L=I的右焦點，A,5分別為

43

其左、右頂點，過尸作直線/與橢圓交于M,N兩點(不與1,8重合)，記直線

與2N的斜率分別為3附證明?為定值.

62.(2022?全國?高三專題練習)已知A、8分別是橢圓］+V=1的右頂點和上頂點,

C、。在橢圓上，且CD//4B,設直線/C、AD的斜率分別為勺、k2,證明：%向為定

值.

2

尤2y1

63.(2022?全國?高三專題練習)已知橢圓C：—+=1(a>6>0)的左右焦點分

a

別為片(-c,0),乙(c,0),分別為左右頂點，直線/：x=(y+l與橢圓C交于48兩

點，當t=一立時，A是橢圓的上頂點，且△/片巴的周長為6.

3

⑴求橢圓C的方程；

(2)設直線交于點。，證明：點。在定直線上.

(3)設直線/MIN的斜率分別為左，《，證明：,為定值.

十三、退化二次曲線觀點的漸近線

2

64.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模)已知雙曲線￡：土-/=i與直線/：了=辰-3相交于

4

/、8兩點，M為線段48的中點.

⑴當人變化時，求點M的軌跡方程；

(2)若/與雙曲線￡的兩條漸近線分別相交于C、。兩點，問：是否存在實數(shù)公使得/、

3是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出左的值；若不存在，說明理由.

22

65.(2023下?山西呂梁?高二?？奸_學考試)已知雙曲線-與=l(a>0,6>0)的離

ab

心率為半，點［2,--■1在雙曲線￡上.

(1)求石的方程；

(2)過E的右焦點E的直線/與雙曲線E的右支交于48兩點，與兩條漸近線分別交于

試卷第14頁，共22頁

M,N兩點，設|兒叫=川/卻，求實數(shù)2的取值范圍.

66.（2024上?黑龍江哈爾濱?高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學校聯(lián)考期末）已知百，

22

丹分別是雙曲線C：^-4=1（a>0,b>0）的左、右焦點，|與周=2瓦，點片

到。的漸近線的距離為3.

（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；

（2）已知點。為坐標原點，動直線/與C相切，若/與C的兩條漸近線交于A,3兩點，

求證：“。的面積為定值.

67.（2023上?浙江杭州?高二統(tǒng)考期末）已知點4f分別為雙曲線。：/-/=/（。>0）

的左頂點和右焦點，過尸且垂直于無軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點3,AABF

的面積為2（亞+1）.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵若直線了=履-與雙曲線的左、右兩支分別交于“，N兩點，與雙曲線的

兩條漸近線分別交于P,。兩點，記△MON,△/尸。的面積分別為豆，邑（。為坐標

原點）.若E=%邑，求實數(shù)彳的取值范圍.

22

68.（2022上?遼寧錦州?高二?？计谥校┮阎p曲線C：與雙曲

22

線土-匕=1有相同的焦點；且C的一條漸近線與直線X-2〉+2=0平行.

23

⑴求雙曲線C的方程；

（2）若直線/與雙曲線C右支相切（切點不為右頂點），且/分別交雙曲線C的兩條漸近線

于42兩點，O為坐標原點，試判斷。的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，

請說明理由.

69.（2023?全國?校聯(lián)考二模）已知雙曲線C:+-4=1（°>0/>0）的離心率為行.

ab"

（1）求雙曲線C的漸近線方程；

⑵動直線/分別交雙曲線C的漸近線于A,8兩點（A,8分別在第一、四象限），且AO/8

（。為坐標原點）的面積恒為8,是否存在總與直線/有且只有一個公共點的雙曲線C,

若存在，求出雙曲線C的方程；若不存在，說明理由.

22

70.（2022上?廣東東莞?高三統(tǒng)考期末）已知片（-2,0）,8（2,0）為雙曲線氏*-3=1

試卷第15頁，共22頁

(a>0,b>0)的左右焦點，點|2,丁|在雙曲線￡上，。為坐標原點.

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)若不與坐標軸平行的動直線/與雙曲線￡相切，分別過點片，巴作直線/的垂線，垂

足為P,Q,求△OP。面積最大值.

十四、拋物線同構與軸點等比性質(zhì)

71.(2023?四川成都?三模)已知斜率為g的直線/與拋物線C：/=4x相交于P,。兩點.

(1)求線段尸。中點縱坐標的值；

⑵己知點7(e,0),直線巾,3分別與拋物線相交于兩點(異于尸求證：直

線恒過定點，并求出該定點的坐標.

72.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模)拋物線C：/=2px(p>0)上的點M到x軸的距離

為2/,到焦點的距離為g.

⑴求拋物線C的方程和點M的坐標；

(2)若點初在第一象限，過M作直線/交拋物線C于另一點N,且直線/與直線

x-2y+3=0交于點P,過戶作了軸的垂線交C于。.證明：直線0N過定點.

73.(2022上?全國?高三階段練習)已知拋物線C:y2=20x(p>0)的準線與x軸的交點

為H,直線過拋物線C的焦點尸且與C交于/,8兩點，△92的面積的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程；

⑵若過點的動直線/交。于N兩點，試問拋物線C上是否存在定點￡,使

得對任意的直線/,都有加若存在，求出點￡的坐標；若不存在，則說明理由.

74.(2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模)已知拋物線C：/=2px(p>0)經(jīng)過點尸。，-2),過點

0(0,T)的直線/與拋物線C有兩個不同交點/,B,且直線正/交y軸于M,直線

變y軸于N.

⑴求直線/斜率的取值范圍；

(2)證明：存在定點T,使得麗=彳/,麗且<+,=-4.

X//

75.(2023?廣西柳州?二模)已知拋物線C:x?=2度經(jīng)過點尸(-2,1),過點。(-1,0)的直

線/與拋物線C有兩個不同交點42,且直線產(chǎn)/交x軸于直線尸3交x軸于N.

試卷第16頁，共22頁

（1）求直線/斜率的取值范圍；

（2）證明：存在定點T,使得西=207,函=〃方且4+工=4.

Z//

76.（2023上?湖北?高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：y2=2px,焦點為F,點

M（-2,0）,N（2,2）,過點M作拋物線的切線MP,切點為P,|尸刊=3,又過