2025北師版七年級數(shù)學(xué)下冊復(fù)習(xí)專練：與三角形有關(guān)角的綜合（含解析）

專題4.2與三角形有關(guān)角的綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

分類討論思想：當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每

一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

,*

?知識點總結(jié)

一、三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理

1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°

且小于180°.

2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

二、三角形的外角性質(zhì)

1.三角形的外角和為360。；

2.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

3.三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

?典例分析

【典例1】在△ABC中，/。=60。，點。，E分別是△ABC邊AC,上的點，點P是一動點，令4PDA=41,

Z.PEB=Z.2,乙DPE=乙a.

【問題初探】

(1)如圖1,若點P在線段力B上，且Na=60°,則Nl+Z2='

圖1

(2)如圖2,若點P在線段4B上運動，則Nl,N2,Na之間的數(shù)量關(guān)系為

圖2

【問題再探】

(3)如圖3,若點P在線段2B的延長線上運動，求Nl,N2,Na之間的數(shù)量關(guān)系;

A

(4)如圖4,若點P運動到ZMBC的內(nèi)部，求Nl,N2,Na之間的數(shù)量關(guān)系.

A

【問題解決】

(5)若點P運動到AABC的外部，且滿足與點4分別居于直線BC的兩側(cè)時，請直接寫出此時NLN2,Na之

間的數(shù)量關(guān)系.

【思路點撥】

本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確識別圖形，找出相關(guān)角與角之間的關(guān)系.

(1)(2)均先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4+NB和N4PD+NBPE,再根據(jù)NA+Nl+N4PD=NB+N2+

乙BPE=180°求出NA+41+4APD+NB+N2+乙BPE=360°,從而求出答案即可；

(3)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4+乙48。和43,Z4,再根據(jù)乙4+N2BC+Z.1+N4=360。，從而求

出答案即可；

(4)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4+乙ABC,再根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出N4+NB+Nl+N2+Na=

5400,從而得到答案即可；

(5)分三種情況討論：①在線段的延長線上，②不在線段4B的延長線上，③當(dāng)點P在4C延長線上，分

別畫出圖形進(jìn)行解答即可.

【解題過程】

解：(1)???+NC=180°,乙C=60°,

???Z.A+^B=180°-60°=120°,

???Z-APD+Na+Z.BPE=180°,z,a=60°,

???Z-APD+Z-BPE=120°,

???Zi4+zl+Z.APD=zB+z2+乙BPE=180°,

Z-A+z.1+Z-APD+Z-B+z.2+Z-BPE=360°,

ZX+zB+Z-APD+乙BPE+Z1+z2=360°,

??.z.1+Z2=360°-120°-120°=120°,

故答案為：120；

(2)???乙4+乙8+NC=180°,ZC=60°,

.??+乙8=180°-60°=120°,

???Z-APD+Na+Z-BPE=180°,

???Z-APD+Z-BPE=180°-Z.a,

???4%+41+/.APD=+42+乙BPE=180°,

??.Zy4+Z1+^APD+ZB+Z2+乙BPE=360°,

△A++A.APD+乙BPE+Z1+Z2=360°,

z.1+Z2=360°-120°-180°+z.a=60°+Ac,

故答案為：zl+z2=60°+zcr；

（3）如圖所示:

圖3

???4人+AABC+ZC=180°,Z.C=60°,

???+(ABC=180°-60°=120°,

???z3+Z2+zcr=180°,

.?.43=44=180°-z2-NQ,

???Z-A+乙ABC+Z1+z4=360°,

???120°+41+180°-Z2-za=360°,

z.1—z.2=60°+Z-CC；

(4)???NA+48+NC=180°,Z-C=60°,

??.Z.A+A.B=180°-60°=120°,

,?,五邊形ZBEPF的內(nèi)角和為(5-2)x180°=540°,

Z-A+Z-B+z.1+z.2+Z-CC=540°,

??.zl+Z2=540°-120°-皿

即zA+乙2=420°-zcr；

(5)由題意可知點P的位置可能兩種情況，

①在線段4B的延長線上，如(3)zl,Z2,Na之間的數(shù)量關(guān)系為：N1-42=60。+Na；

②不在線段4B的延長線上，有兩種情況

第一種如圖所示：

C

：.Z.A+A.B=180°-60°=120°,

z.3+z2+zcr=180°,

.?.z.3=z4=180°-z2-za,

???+乙8++44=360°,

???120°+Z1+180°-N2-4a=360°,

**.z.1—z.2=60°+Na,

第二種如圖所示：

???180°-60°-(180°-zl)=180°-Na-(180°-z2)

?*.z.1—z.2=60°-Z-CC.

③當(dāng)點尸在AC延長線上時，如圖：^PDA=Z1=180°,^PEB=Z.2,ADPE=Za,

P

???乙PCE+乙PEC+NP=180°,

???(180°-60°)+(180°-42)+Na=180°,

*,*300°-z.2+Z-CC=z.1,

zl+Z2=300。+〃；

???若點P運動到A4BC的外部，且滿足與點A分別居于直線8c的兩側(cè)時，Z1,42,Na之間的數(shù)量關(guān)系為:

Z.1—Z.2=60°+Z-CC；Z.1—Z.2=60°—cc；z.1+z.2=300°+Z-cc.

?學(xué)霸必刷

1.（2023上?天津東麗?八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知N4BC=110。，4E1平分NB4D,CE平分乙DCB,CE的

延長線交AB于點孔設(shè)N4EF=a,乙ADC=B，則下列關(guān)系正確的是（）

A.￡=110°+2aB.0=220°—2a

C.0=110°+aD.￡=250°—2a

【思路點撥】

延長4。交BC于點G,設(shè)4員4。的度數(shù)為2x,NDC8的度數(shù)為2y,通過角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得

到％+y=號2：之間的關(guān)系，在根據(jù)三角形內(nèi)角和得到NB+NBFC+NBCF=180。，將x+y=任/代入,

即可解答.

【解題過程】

設(shè)484。的度數(shù)為2x,ZDCB的度數(shù)為2y,

???4E平分NB4D,CE平分NDCB,

11

???Z-EAF=-Z.BAD=x/FCB=-Z.DCB=y,

vZ-ADC=P，

Z-DGC—Z-ADC-Z.DCG=0—2y,

???乙BGD=180°一乙DGC=180°―/?+2y,

在^BAG中，4B+ABAG+Z.BGA=110°+2x+180O-p+2y=180°,

6—110。

?,?％+y=---,

???Z.AEF=a,

Z.CFB=Z.FAE+Z.AEF=x+a,

在aBFC中，Z-BFC+Z.FBC+z_B=%+a+y+110°=180°,

將久+y="產(chǎn)代入可得a+婦產(chǎn)+110°=180°,

整理得0=250°-2a,

故選：D.

2.（2023上?江西南昌?八年級校考階段練習(xí)）如圖，AABC=^ACB,BD,CD,力。分別平分△ABC的內(nèi)角

/.ABC,外角N4CF,夕卜角NE4c.以下結(jié)論：?AD\\BC；?^ACB=2/LADB；?ABDC=^BAC；?^ADC=

90°-^ABD；?/.ADB=45°-1ZCDB.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【思路點撥】

根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)對選項逐個判斷即可.

【解題過程】

解：平分ZE4C

J.Z.EAC=2/.EAD

Z.EAC=/.ABC+Z.ACB,/.ABC=Z.ACB

：.^EAC=2^ABC

：.^EAD=乙ABC

：.AD\\BC,故①正確；

'：AD\\BC

：.A.ADB=/-DBC,

Z.ABC=Z.ACB

AZ-ABC=乙ACB=2Z.DBC=2jADB,②正確；

?:乙DCF+^ACD+/-ACB=180°,Z-ACD=4DCF

：.2Z.DCF+/-ACB=180°,

■:乙BDC+乙DBC=^DCF

：?2人BDC+2Z.DBC+Z-ACB=180°

?????.AABC+2ABDC+Z-ACB=180°

???Z.BAC+/.ABC+乙ACB=180°

A^BAC=2Z.BDC

：.￡BDC=：乙BAC,③正確；

「BO平分乙4BC,

：.^ABD=乙DBC

\9AD\\BC

，乙ADB=乙DBC

：.Z.ABD=Z.ADB

CO平分乙4CF

A^ACF=2乙DCF

■:乙ADB+乙CDB=乙DCF,2乙DCF+乙ACB=180°

：?2乙DCF+Z.ABC=2乙DCF+2(ABD=180°

???乙DCF+乙ABD=90°

???Z-ADB+乙CDB+^ADB=90°

/.Z.ABD=45°乙CDB,⑤正確；

U：AD\\BC

:?(DCF=乙40c

VZ.DCF+Z.ABD=90°,

AZ.ADC+乙ABD=90。即NZOC=90°-乙ABD,④正確；

正確的個數(shù)為5

故選：D

3.（2023下?福建福州?七年級?？计谀┤鐖D，在AABC,BD、BE分別是高和角平分線，點F在C/的延長

線上,FH1BE交BD于G,交BC于H,下歹悌論:①乙DBE=NF；②24BEF=ABAF+ZC；③NF=|(zBXC-

ZC)；④乙BGH=4ABE+4C,正確的是()

A.1B.2C.3D.4

【思路點撥】

①根據(jù)BD14C,FH1BE,以及NFGD=NBGH即可推出NDBE=NF；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外

角的性質(zhì)證明即可；③證明乙4BD=90。一NB4C,由①知：NDBE=NF即可證明NF=|(乙84c—NC)；④

由同角的余角相等證明NBGH=乙BED,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可推出NBGH=

Z-ABE+Z.C.

【解題過程】

解：*：BDLAC,

：./.F+Z.FGD=90°.

?：FHIBE,

;?乙DBE+乙BGH=90°.

VZFGP=乙BGH,

:.乙DBE=ZF.

故①正確；

;呂七平分乙/區(qū)。，

：.Z.ABE=UBE=-Z-ABC.

2

Z-BEF=乙CBE+乙C,

：.2Z-BEF=2(乙CBE+zC)=^ABC+24c.

V/.BAF=ZXBC+ZC,

.?.2NBEF=NB4F+NC.

故②正確；

平分4BC,

乙ABE=-/.ABC=-(180°-4BAC-zC)=90。-工LBAC--LC.

22、,22

?；BDLAC,

：.Z.ABD=90°-ABAC.

：.乙DBE=/.ABE-Z.ABD=(90°-1/.BAG-jzf)-(90°-zBXC)=|(zBXC-zC).

由①知：Z.DBE=4F,

=2(NB4C-NC).

故③正確；

'：BDLAC,FH1BE,

：.Z.BGH+Z.DBE=90°,4BED+4DBE=90°.

:.乙BGH=4BED=Z.CBE+ZC.

平分乙4BC,

：.^.ABE=乙CBE,

：.4BGH=LABE+￡C.

故④正確；

綜上可知，正確的有①②③④，共4個，

故選D.

4.(2023下?河北保定?七年級統(tǒng)考期末)如圖，和C4分別是△48c的內(nèi)角平分線和外角平分線，a42是

N&BD的角平分線，C4是N&CD的角平分線，是N&BD的角平分線，C4是N&CD的角平分線，若4人=

a,則N42023_?

【思路點撥】

根據(jù)角平分線的定義可得N&BD=3乙4BC,乙4停。=亞4。。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得［乙48。+

乙4）=^N4BC+N&,化簡可得N4=［乙4,進(jìn)一步找出其中的規(guī)律，即可求出乙42023的度數(shù).

【解題過程】

解：???B必和C4分別是△48C的內(nèi)角平分線和外角平分線，

11

?*.Z-A1BD=-Z.ABC,Z.A1CD=-Z-ACD,

又???Z.ACD=/-ABC+Z.A,Z-ArCD=Z.ArBD+/.A19

-1i

???j（ZXBC+△/）=；乙ABC+,

A1.

???乙4i=-zX,

同理可得：Zi42=|z.i41=/乙4，

.1.

..........

1

則人2023=河74力，

???Z.A=a,

■■-zyl2023=

故答案為：22O23a.

5.（2024上?福建三明?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，AD,4E分別是△ABC的角平分線和高線，點

尸在BC延長線上，F(xiàn)HLAD,交AE于點G,交4B于點H.給出下歹?。萁Y(jié)論：①乙DAE=zF；?^ACF=2zF+

"DF；@Z-AGF=^ADB；@Z.ACB=2乙F+AB.

其中結(jié)論正確的為.（填序號）.

【思路點撥】

對于①，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及同角的余角相等，即可判斷結(jié)果；

對于②，通過舉反例“當(dāng)NB=40°,Z.ACB=60。時，Z.ACF豐2zF+乙4。尸.”計算可得②的結(jié)論不成立;

對于③，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，即可判斷結(jié)果；

對于④，根據(jù)2D是△ABC的角平分線，F(xiàn)H1A。,可得乙4HN=N4MN,再利用三角形的外角性質(zhì)，可逐

步推得結(jié)論成立.

【解題過程】

解：對于①，

??YE是△力BC的高線，

Z.AED=90°,

LDAE+乙ADE=90°,

???FH1AD,

Z.F+Z.ADE=90°,

???Z.DAE=Z.F,

??.①正確；

對于②，

舉反例，當(dāng)乙B=40°,乙1CB=60。時，乙4CF豐2乙F+/.ADF.

理由如下：

當(dāng)4B=40°,Z.ACB=60。時，

ABAC=180°-40°-60°=80°,

???4。是AABC的角平分線，

1

???ADAC=-ABAC=50°,

2

???Z.AED=90°,

???/.CAE=90°-乙ACB=30°,

???乙DAE=乙DAC-/-CAE=50°-30°=20°,

??,Z-AED=90°,

???Z.ADF=180°-^CAD-Z.ACB=70°,

ZF+Z.ADF=90°,

.??乙F=90°-^ADF=20°,

???2zF+Z-ADF=110°,

而乙4CF=180°-Z-ACB=120°,

???Z.ACFH2Z-F+Z-ADFf

.?.②錯誤；

對于③，

???乙4G尸是AGEF的夕卜角，

Z.AGF-Z.GEF+Z.F—90°+Z.F,

■：NADB是AADE的外角，

.-.4ADB=/.DAE+/.AED=90°+/.DAE,

而由①知miE=乙F,

4ADB=90°+ZF,

Z.AGF=Z.ADB,

二③正確；

對于④，

設(shè)FH與4C交于點M,與4。交于點N,

???力。是△ABC的角平分線，

.-.乙HAN=4MAN,

???4ANH=乙ANM=90°,

Z.AHN=4AMN,

又4AHN=NB+NF,Z4CB=MMF+zF=^AMN+zF,

.-.Z.ACB=/.B+Z.F+Z.F=2zF+乙B,

??.④正確.

故答案為：①③④.

6.(2023上?吉林?八年級階段練習(xí))【題目】如圖①：根據(jù)圖形填空:

(2)/-A+Z-B+Z-C+Z-D+/-E=+Z.1+Z.2=

【應(yīng)用】

(3)如圖②.求乙4+48+/。+乙。+/￡1的度數(shù)；

【拓展】

(4)如圖③，若乙BGF=110。，則乙4+NB+NC+ND+NE+NF的大小為___度.

【思路點撥】

本題考查了多邊形的外角和以及外角和的求法，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)利用三角形外角性質(zhì)即可求出；

(2)根據(jù)外角性質(zhì)，將乙4+/8+/。+4。+4后轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)計算即可；

(3)利用三角形外角性質(zhì)將乙4+ZB+ZC+Z￡>+NE轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180。即

可得到結(jié)果；

(4)禾U用外角套外角可得4BGF=NB+NBDF+NF,“GE=乙4+NC+NE,根據(jù)對頂角相等，即可計

算出結(jié)果.

【解題過程】

解：(1)是三角形的外角，

z.1=Z.C+Z.E,

???42是三角形的外角，

z2=Z.B+Z-D.

故答案為：乙E,乙D.

(2)Vzl=zC+z￡,z2=zB+z￡),

”+48+NC+ND+4E=N&+41+42=180°,

故答案為:乙4；180°.

(3)VzXFG=zC+zF,=NB+m

Z-A+乙B+Z-C+Z-D+Z-E=Z-A+Z.AFG+Z-AGF=180°；

(4)如圖，連接DG并延長，

根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得：

乙BGF=4BGK+AFGK=NB+4BDK+乙FDK+NF=NB+乙BDF+4F,

同理可得：/-CGE=/.C+Z.A+Z.E,

VZ-BGF=乙CGE=110°,

??Z-A+乙B+Z-C+Z-D+Z-E+Z-F=Z-BGF+Z-CGE=220°,

故答案為:220。.

7.(2023上?山西大同?八年級統(tǒng)考階段練習(xí))綜合與探究

(1)如圖1,將△ABC沿著DE第一次折疊，頂點B落在△ABC的內(nèi)部點。處，試探究Nl+N2與NB之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2,將AABC沿著FG第二次折疊，頂點C恰好與點。重合，若24=85。，45=62。，求N1+N3的

度數(shù).

(3)如圖3,將△力BC沿著GH第三次折疊，頂點4恰好與點。重合，若乙4=a,△5=0,用含a,0的代數(shù)

式表不N6-(z.1+Z./K7O).

【思路點撥】

(1)由折疊的性質(zhì)得出NBDE=NODE,乙BED=KOED,由平角的定義及三角形內(nèi)角和定理可得出答案；

(2)由(1)可知41+42=2乙B,43+N4=2/C,求出42+44=180°-z5°=180°-62°=118°,則

可得出答案；

(3)由(2)可知Nl+N2=2/B,N4GO+N4=2NC,求出+乙4G。=180。-2a+應(yīng)由周角的定義

求出46=180?！?則可得出答案.

【解題過程】

(1)Z1+Z2=2乙B.

理由：由折疊得：/-BDE=/.ODE,乙BED=4OED,

???^ADB+ABEC=360°,

Z.1+Z_2=360°-Z.BDE-乙ODE一4BED-乙OED=360°-2乙BDE-2乙BED,

：.Z.1+N2=2（180°-乙BDE-乙BED）=2zB；

（2）由（1）可知+N2=2/B,N3+N4=2NC,

z.1+z.2+z.3+N4=2乙B+2NC，

???乙4=85°,

???zl+z2+z3+z4=2(180°-85°)=190°,

???z5=62°,

Z2+Z4=180°-Z5°=180°-62°=118°,

??.zl+Z3=190°-118°=72°；

(3)由(2)可知41+乙2=248,乙4G0+44=24f,

z.14-Z-AGO=2.Z-B+2z.C—(乙2+z.4),

???Z-A=a,z5=jS,

??.zl+Z.AGO=2(180°-a)-(180°-3)

=180°-2a+/7,

又???46=360°-4DOE-z5-(GOF-乙GOH=360°--zC-z5-a

=360°-(180°-a)-/?-a

=180°+a—p—a

=180°-/?,

???Z6一(zl+^AGO)=180°一夕一(180°-2a+夕)

=2a—2/3.

8.(2023上?全國?八年級期末)(1)如圖，把AABC沿DE折疊，使點A落在點&處，試探究Nl、N2與乙4的

關(guān)系；

(2)如圖2,若N1=140°,Z2=80°,作N4BC的平分線BN,與N4CB的外角平分線CN交于點N,求NBNC的

度數(shù)；

(3)如圖3,若點4落在zkABC內(nèi)部，作乙48C,N4C8的平分線交于點兒,此時N112,NB&C滿足怎樣

的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程.

【思路點撥】

(1)由折疊的性質(zhì)可知乙4=乙％,根據(jù)外角定理得到N1=乙4+乙4MD,乙4M。=乙4]+42,代入即可

得至此1=2N4+N2；

(2)先根據(jù)(1)的結(jié)論求出得到乙4=30°,再由角平分線的定義得到4NBC乙4BC,^NCH=^ACH,

再根據(jù)三角形外角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化即可得到ZJV==15°；

(3)由折疊的性質(zhì)可知乙4ED==4&DE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明41+22=2乙4,根

據(jù)角平分線的性質(zhì)得到N4BC=2N&BC,乙4c8=2乙41CB,進(jìn)而證明N力=2N84C-180。，代入即可得

至此1+Z2=4NB&C-360°.

【解題過程】

解：(1)41=2乙4+42,理由如下：

如圖1,AC與D4交于點M.

由折疊的性質(zhì)可知乙4=乙生,

為A4DM外角，

=4/+Z,AMD,

??,乙4Mo為外角，

/./.AMD=+Z2,

/.41=乙4+乙%+42=2Z-A+42；

(2)由(1)得乙1=2乙4+42,

VZ1=140°,Z2=80°,

A2Zi4+80°=140°,

???乙4=30°,

??,乙4BC的平分線BN,與乙4cB的外角平分線CN交于點N,

:?乙NBC=-/.ABC,乙NCH=-/.ACH,

22

為AN8C的外角，41cH為AABC的外角,

:.乙N=乙NCH-4NBC=-^ACH--/.ABC=，乙4cH-/.ABC}=L=15°；

222',2

(3)解：Z1+Z2=4zBX1C-360°,理由如下；

由折疊的性質(zhì)可知N4ED=^ED.^ADE=AArDE,

."1=180°-乙=180°-2AADE,z2=180°-乙4E&=180°-2/LAED,

Z.zl+Z2=360°-2/.ADE-2/.AED=360°-2(乙4DE+/.AED},

"：^ADE+AAED=180°-Z4,

N1+N2=360°-2(180°-N&)=2zX,

\'Z.ABC,^ACB的平分線交于點4,

/.ABC=2z41SC,Z.ACB=2N&CB,

/.ABC+Z.ACB=2(NA/C+N&C8)=360°-2/B&C,

：.LA=180°-{/.ABC+NHCB)=180°-(360°-2zB^tC)=2乙BA1C-180°,

Z.1+Z2=2zA=2(2NB&C-180°)=4NB&C-360°.

9.(2024上?遼寧阜新.八年級統(tǒng)考期末)我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如

圖1,AD,BC相交于點。,連接力B,CD得到“8”字圖形力BDC.

(1)如圖1,試說明乙4+48=NC+AD的理由；

(2)如圖2,N4BC和N4DC的平分線相交于點E,利用(1)中的結(jié)論探索NE與乙4、NC間的關(guān)系；

(3)如圖3,點E為CD延長線上一點，3(2、￡＞。分別是乙28。、44?！?的四等分線，且乙EDP=

NCBQ=-4AABC,

^ADE,Q8的延長線與DP交于點P,請?zhí)剿鱊P與乙4、NC的關(guān)系.(直接寫結(jié)論)

【思路點撥】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵；

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；

(2)根據(jù)角平分線的定義可得乙4BE=NC8E,/.CDE=/.ADE,結(jié)合(1)的結(jié)論可得24E=乙4+/C；

(3)運用(1)和(2)的結(jié)論即可求得答案.

【解題過程】

(1)解：如圖1,

圖1

???Z-AOB+NA+NB=乙COD+NC+ND=180°,乙AOB=4COD,

Z-A+Z-B=Z.C+Z.D.

(2)解：如圖2,

???NABC和N4DC的平分線相交于點E,

???(ABE=乙CBE,Z.CDE=Z.ADE,

由(1)可得：ZTI+Z.ABE=ZE+Z.ADE,乙C+乙CDE=+乙CBE,

Z-A+Z-ABE+Z.C+Z-CDE=乙E+Z-ADE+Z-E+Z-CBE,

??.2/.E=Z.A+zC.

(3)由(1)得：^LA+/-ABC=AC+Z.CDA,

??~Z-AH—乙ABC——Z-CH—Z.CDA,

4444

11

-ZA+乙CBQ=-zC+45°-乙EDP,

4y4

設(shè)4。與PQ的交點為點。，貝此C8Q+乙BOD="+/.ADC,

cDE

圖3

兩式相減可得：4BOD--Z.A=-ZC+Z.ADC+Z.EDP-45°,

44

1Q

???乙BOD--Z.A=-^C+180°-Z,ADP-45°,

44

17

???45°--z>l=-zC+180°-^LADP-乙BOD,

44

???乙P=180°-乙BOD-Z.ADP,

ia

.-?45°--/.A=-ZC4-Z.P,

44

即N2+3NC+4NP=180°.

10.（2023下?湖北?七年級統(tǒng)考期末）在A/IBC中，8。平分N4BC交4c于點D,點E是線段2C上的動點（不

與點。重合），過點E作EF||BC交射線BD于點F,NCEF的平分線所在直線與射線BD交于點G.

(1)如圖，點E在線段力D上運動.

①若N4BC=40。，ZC=60°,貝吐4的度數(shù)是；NEF8的度數(shù)是,

②探究NBGE與NA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)若點E在線段DC上運動時，請直接寫出NBGE與N4之間的數(shù)量關(guān)系.

【思路點撥】

(1)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)可知NEFB=NFBC,再利用角平分線的定義即可解答；②根

據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到NC=乙DEF,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可解

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得到/EHG=竺咚任，再根據(jù)角平分線的定義及外角的性質(zhì)即可

解答.

【解題過程】

（1）解：/.ABC=40°,NC=60。,

...在△ABC中，42=180°-/.ABC-zC=180°-40°-60°=80°,

vEF||BC,

???乙EFB=Z.FBC,

BD平分

???乙FBC=-^ABC=20°,

2

??.Z.EFB=Z.FBC=20°,

故答案為：80。、20°；

②???乙BGE是公EGF是一個夕卜角，

*'?Z-BGE=Z.EFG+Z-FEG>

???EF||BC,

Z.C=乙DEF,

???448。+乙。=180。一/4,

??.Z,ABC+乙DEF=180°-Z,A,

?「BO平分乙EG平分4CEF,

???乙CBD=-AABC,乙FEG=-A.DEF,

22

ill1

???乙CBD+/.FEG=-^ABC+-/LDEF=-x(180°-Zi4)=9O°--Z>1,

222'72

??.EF||BC,

???Z-EFG=Z.CBD,

?SG+“EG=9°T”

1

?"GE=9*

(2)W：???EF||BC,

Z.FEH=乙EHC,

???GH是乙/EG的平分線,

???乙FEH=乙HEG,

AHEG=乙EHC,

180°-ZC

???乙EHG

2

???BG平分N4BC,

?SC=*BC,

*=?G-GBC=三-1^=仁產(chǎn)T"

11.（2023上?湖北武漢?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在AaBC中N4=60。.

（1）乙ABC,乙4cB的角平分線相交于點P,求ABPC的度數(shù)；

（2）AABC,NACB的三等分線分別相交于點心母，求NBPiC/BP2c的度數(shù)；

⑶N4BC,N2C2的n等分線分別相交于點兒「2，“劣-1，貝I」NBP1C=（結(jié)果用含71的式子表示）,

/.BPkC—（l<fc<n—1,k為整數(shù)，結(jié)果用含幾和k的式子表示）

【思路點撥】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出NABC+NABC,然后根據(jù)角平分線的定義即可求出NPBC+NPCB,

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出/ABC+NABC,然后根據(jù)三等分線的定義即可求出NP2BC+

^P2CB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出NABC+/ABC,然后根據(jù)”等分線的定義即可求出^BC+

乙

Pn-CB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；

【解題過程】

⑴解：???在△ABC中,N力=60。，

.-./.ABC+Z.ABC=180°一乙4=120°,

???N4BC和乙4cB的角平分線交于點P,

???Z.PBC=-乙ABC,Z.PCB=-乙ACB

22

11

???乙PBC+Z.PCB=-乙ABC+-乙ACB

22

=|（4WC+Z.ACB}

=60°,

???乙BPC=180°-(乙PBC+乙PCB)=120°,

故答案為：120°.

(2)???在△ABC中，NA=60°,

???^ABC+4ABC=180°-ZX=120°,

???N4BC和N4CB的三等分線分別對應(yīng)交于點Pi，P2,

11

???%BC=^ABC,乙P1cB=^ACB

11

乙P]BC+乙P\CB=-Z-ABC+—Z-ACB

1

=-^ABC+乙ACB)

=40°,

???乙BP1c=180°一(乙P$C+乙PiCB)=140°

???乙4BC和乙4cB的三等分線分別對應(yīng)交于點A，P2,

27

???乙P?BC=|乙ABC,乙P2cB=|乙ACB

22

??.Z.P2BC+乙P2cB=|乙ABC+|乙ACB

2

=|{Z.ABC+乙ACB)

=80°,

乙乙

???BP2c=180°一(ZP2BC+P2CB)=100°

(3)???在△ABC中，Z.A=60°,

???乙ABC+^ABC=180°一/A=120°

?.?乙4BC和乙4cB的九等分線分另lj對應(yīng)交于點B，B，……，Pn-i

???乙P]BC=:乙ABC,乙PiCB=2

1-1700

乙BP]C=180°-；(/.ABC+UCB)=180°-詈

4

???LPn_iBC=呼/.ABC,乙Pn—CB=?乙cB

???乙Pn—BC+4Pn-CB=?AABC+等AACB

=?("BC+AACB)

n—1

x120°

n

k

**?Z-P^BC+乙Pj^CB=—(^Z-ABC+乙ACB)

n

*

??.乙BP/=180°一((PkBC+乙P/B)=180°一￡X120°

故答案為：180°-—,180°--x120°.

nn

12.(2024上.山東濰坊?八年級統(tǒng)考期末)已知48CD為四邊形，點E為邊48延長線上一點.

【探究】

(1)如圖1,N4DC==120。,2。43和NCBE的平分線交于點F,則N2FB=°；

(2)如圖2,AADC=a,/.BCD=。，且a+￡>180。,NZMB和NCBE的平分線交于點尸，貝UNAFB=；

(用a,0表示)

(3)如圖3,乙ADC=ajBCD=6,當(dāng)和NCBE的平分線4G,B”平行時，a,0應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請證明你的結(jié)論.

【挑戰(zhàn)】

如果將(2)中的條件a+￡>180。改為a+。<180。，再分別作ACMB和NCBE的平分線，若兩平分線所在

的直線交于點尸，貝吐4FB與a,￡有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形并直接寫出結(jié)論.

【思路點撥】

探究：(1)由四邊形內(nèi)角和定理求出NiMB+N4BC,由角平分線的定義得出NF4B=，￡MB,NFBE=

法BE,由三角形外角的性質(zhì)得出NF=NF8E-/F4B,通過等量代換即可求解；

(2)同(1)Pi^^DAB+/.ABC=360°-/.ADC-/.BCD,zF=|(180°-^ABC-^DAB~),通過等量代

換即可求解；

(3)根據(jù)4GIIBH,可得NG4B=乙HBE,結(jié)合角平分線的定義可得AD4B=乙CBE,進(jìn)而證明4D||BC,4WC+

/.BCD=a+￡=180°；

挑戰(zhàn)：畫出圖形，參照“探究”中的方法，即可求解.

【解題過程】

解：(1)vZ.ADC=110°,A.BCD=120°,

???乙DAB+乙ABC=360°-^ADC-乙BCD=360°-110°-120°=130°,

???乙和NCBE的平分線交于點八

11

???乙FAB=士乙DAB,乙FBE=-A.CBE,

22

Z.F+Z.FAB=乙FBE,

1111

???ZF=乙FBE-Z.FAB=*BE-^DAB=j(180°-乙ABC-4DAB)=：x(180°-130°)=25°,

故答案為：25；

-1

(2)由(1)得+NABC=360°—ZJinC—NBC。，ZF=J(18O°-^ABC-ADAB),

ZF=|(180°-360°+/.ADC+/.BCD)=|(180°-360°+a4-/?)=|a+|/?-90°,

故答案為：|a+^S-90。；

(3)若4GIIBH,則a+￡=180°,證明如下:

???AGWBH,

.-./.GAB=乙HBE,

???4G平分NEMB,BH平分乙CBE,

NDAB=2乙GAB,乙CBE=2乙HBE,

???Z-DAB=Z-CBE,

???ADWBC,

Z.ADC+乙BCD=a+/?=180°；

挑戰(zhàn)：如圖4,AAFB=90°-|a-|)5,證明如下：

AMADAB,BN平分乙CBE,

11

??.AMAB=士乙DAB,乙NBE=LCBE,

22

Z.DAB+乙ABC+乙BCD+Z.ADC=360°,Z.ADC=a,Z-BCD=0,

???^DAB+乙ABC=360°-a-p,

???乙DAB+180°-2CBE=360°-a-/?,

???乙DAB-乙CBE=180°-a-p,

???匕ABF=乙NBE,Z.MAB=NF+乙ABF,

??.AMAB=^AFB+乙NBE,

???/.AFB=￡.MAB-乙NBE

11

=—Z-DAB——CBE

22

1

=-{Z,DAB-180°+乙ABC)

1

=-(360°-(r-/?-180°)

=90°--cr--j?.

2

13.(2024上.廣東肇慶?八年級校考期末)【問題】

如圖①，在△ABC中，BE平分Z71BC,CE平分N4C8,若立力=82°,貝!kBEC=

若N4=a°,貝ikBEC=.

【探究】

（1）如圖②，在AABC中，BD、BE三等分/ABC,CD、CE三等分N4CB,若NZ=a°,則N8EC=；

（2）如圖③，。是〃BC與外角的平分線8。和CO的交點，試分析NBOC和N4有怎樣的關(guān)系？請說明理由；

（3）如圖④，。是外角ND8C與外角N8CE的平分線8。和CO的交點，則NB0C與有怎樣的關(guān)系？請說明

理由.

【思路點撥】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)

鍵；

問題：利用三角形內(nèi)角和定理求出NABC+NACB,再根據(jù)角平分線的定義求出NEBC+NECB,即可求出

乙BEC；

探究：（1）禾!|用三角形內(nèi)角和定理求出“BC+NACB,再根據(jù)三等分線的定義求出NEBC+NECB,即可

求出NBEC；

(2)由三角形外角性質(zhì)可得N4CD=N4+N/1BC,Z2=ZS0C+Z1,再根據(jù)角平分線的定義可得乙4BC=

2zl,N2CD=242,代入Na+N4BC=N4CD即可求解；

(3)根據(jù)角平分線的定義可得NOBC=90°—(N4BC,乙OCB=9Q°—乙ACB,進(jìn)而得至IJ/BOC=

I(乙4BC+乙4CB),再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【解題過程】

解:問題：若44=82。，

則N4BC+Z.ACB=180°一/4=180°-82°=98°,

；BE平分乙IBC,CE平分乙4CB,

LEBC=-^ABC,乙ECB=-AACB,

22

11

."EBC+乙ECB=I(ZXBC+NACB)=1x98°=49。，

:.乙BEC=180°-(ZEBC+乙ECB)=180°-49°=131°,

故答案為：131。；

若乙4=a°,

則N4BC+乙4cB=180°-a°,

平分N4BC,CE平分N4CB,

^EBC=-^ABC,AECB=-AACB,

22

，乙EBC+乙ECB=|(zXBC+NACB)=|(180°-a。)=90°-|a°,

:.乙BEC=180°-(ZEBC+乙ECB)=180°-(90。a。)=90°+|a°,

故答案為：90°+|a°；

(1)如圖2,:乙4=a。，

：.AABC+乙4cB=180°-a°,

,:BD、BE三等分乙ABC,CD、CE三等一分N4CB,

22

?"EBC=-AABC,乙ECB=-AACB,

33

:?乙EBC+乙ECB=|(NABC+NZCB)=|(180。-a。)=120°-|a°,

:?乙BEC=180°-(AEBC+^LECB)=180°-(120°-|a°)=60°+|a°,

故答案為：60。+|??；

1

(2)zSOC=-z4.

2

理由：由三角形的外角性質(zhì)得，^ACD=^A+AABC,Z2=zBOC+zl,

?.?。是NABC與外角“CD的平分線BO和CO的交點，

.3280=241,/.ACD=2z2,

.?.NA+乙ABC=^ACD=2［乙BOC+zl)=24BOC+2zl=2乙BOC+/.ABC,

Z.A=2乙BOC；

(3)乙BOC=90。一二"

2

理由：：0是外角NDBC與外角NBCE的平分線B。和CO的交點，

11

/.OBC-j(180°-4ABC)=90。一；/.ABC,

乙OCB=j(180°-乙ACB)=90°-1乙ACB,

在△OBC中，

Z-BOC=180°-乙OBC-Z-OCB

=180°-(90°-*BC)-(90°-2CB),

=*N4BC+N4CB),

\/.ABC+/.ACB=180°-Z.A,

：.乙BOC=|(180°-乙4)=90。-1乙4.

14.(2023下?福建泉州?七年級統(tǒng)考期末)如圖，在A4BC中，乙4BC與乙4cB的平分線相交于點P,△力BC的

外角NM8C與NNCB的平分線交于點Q,延長線段BP,QC交于點E.

(1)若44=30。，求NBPC的度數(shù)；

(2)探究NBPC與NQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)在ABQE中，若存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求N力的度數(shù).

【思路點撥】

(1)根據(jù)乙4=30。，得出乙4BC+N4CB=180°-30°=150。，根據(jù)角平分線定義得出NCBP=

Z.BCP=^ACB,求出NCBP+NBCP=巳"BC+巳乙4c8=75。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可；

(2)根據(jù)角平分線定義得出NCBP=乙CBQ=^ACBM,根據(jù)NCBP+NCBQ=|zCSM+|zXSC=

T(NCBM+NABC)=gxl80o=90。，得出NPBQ=90。，同理得出<PCQ=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出

乙BPC+“=360°-乙PBQ-乙PCQ=180。即可；

(3)先證明N4=2NE,根據(jù)NEBQ=90。，得出NE+NQ=90。，分四種情況：當(dāng)NEBQ=3/E=90。，

AEBQ=3ZQ=90°,乙Q=3乙E,NE=3/Q時，分另U求出結(jié)果即可.

【解題過程】

(1)解：'：/-A=30°,

：.^ABC+乙4cB=180°-30°=150°,

；BP、CP分別平分乙4BC、AACB,

:.乙CBP=-AABC,乙BCP=-A