《基本不等式及其變形》導(dǎo)學(xué)案

第9課時基本不等式及其變形1.熟悉基本不等式的變形;并會用基本不等式及其變形來解題.2了解基本不等式的推廣,并會應(yīng)用.上一課時我們共同學(xué)習(xí)了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值這些過程.基本不等式是一種重要的數(shù)學(xué)工具,是集合、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合交匯點,地位重要,這一講我們將共同探究基本不等式及其變形的應(yīng)用.問題1:常見的基本不等式的變形(1)x+1x≥2(x>0),x+1x≤-2(x<(2)ba+ab≥2(a,b同號),ba+ab≤-2(a(3)a+b≥2ab,(a+b2)2(4)ab≤a2+b22,(a+b2)問題2:基本不等式的推廣已知a,b是正數(shù),則有2aba+b(調(diào)和平均數(shù))≤ab(幾何平均數(shù))≤a+b2(算術(shù)平均數(shù))≤a問題3:基本不等式的推廣的推導(dǎo)∵a,b是正數(shù),∴2aba+b≤而ab≤a+b2,又a2+b2≥∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴a+b2故2aba+b≤ab≤問題4:若a,b,c∈R+,則a+b+c3≥3abc,當且僅當a=b=c時等號成立,則關(guān)于n個正數(shù)a1,a2,a3,…,an的基本不等式為:a1+a2+a3+…+ann≥,當且僅當a1=a2=a31.四個不相等的正數(shù)a,b,c,d成等差數(shù)列,則().A.a+d2>bc B.a+d2<bc C.a2.已知a>1,b>1,且lga+lgb=6,則lga·lgb的最大值為().A.6 B.9 C.12 D.183.已知a,b為正實數(shù),如果ab=36,那么a+b的最小值為;如果a+b=18,那么ab的最大值為.

4.已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.利用基本不等式判斷不等關(guān)系若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是(寫出所有正確命題的編號).

①ab≤1;②a+b≤2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤1a+1b≥基本不等式在證明題中的應(yīng)用已知a,b,c都是正數(shù),求證:a2b+b2c利用基本不等式求最值已知正數(shù)x,y滿足x2+y22=1,求x1+已知正數(shù)0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一個是().A.a2+b2 B.2ab C.2ab D.a+b已知a>0,b>0,c>0,求證:1a+1b+1c≥1ab+下列說法:①對任意x>0,lgx+1lgx≥2;②對任意x∈R,ax+1a③對任意x∈(0,π2),tanx+1tanx≥2;④對任意x∈R,sinx+1其中正確的是().A.①③ B.③④ C.②③ D.①②③④1.已知m,n∈R,m2+n2=100,則mn的最大值是().A.100 B.50 C.20 D.102.若0<a<b且a+b=1,則下列四個數(shù)中最大的是().A.12 B.b C.2ab D.a2+b3.已知x,y都為正數(shù),且x+4y=1,則xy的最大值為.

4.已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.1.(20XX年·福建卷)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是().A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]考題變式(我來改編):2.(20XX年·四川卷)已知函數(shù)f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=考題變式(我來改編):

答案第9課時基本不等式及其變形知識體系梳理問題1:(3)≥問題4:na1a2a基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.A∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d均是正數(shù),且不相等,∴a+d2=b2.B∵a>1,b>1,∴l(xiāng)ga>0,lgb>0,又lga+lgb=6,∴l(xiāng)ga·lgb≤(lga+lgb2)2=(62)3.1281根據(jù)基本不等式a+b≥2ab=236=12,得a+b的最小值為12.根據(jù)ab≤a+b2=9,即ab≤81,得4.解:∵a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.重點難點探究探究一:【解析】令a=b=1,排除命題②④;由2=a+b≥2ab?ab≤1,命題①正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命題③正確;1a+1b=a+bab=2ab≥故填①③⑤.【答案】①③⑤【小結(jié)】基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等.一般地,結(jié)合所給代數(shù)式的特征,將所給條件進行轉(zhuǎn)換(利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化),使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問題.探究二:【解析】∵a>0,b>0,c>0,∴a2b+b≥2a2同理:b2c+c≥2b,c2a+a三式相加得:a2b+b2c【小結(jié)】本題的求解關(guān)鍵是分析出要證不等式左、右兩邊都為和的形式,且左邊為分式形式,聯(lián)想x+1x≥2,需添上相應(yīng)分母形式,即a,b,c三項,這也正是本題的思維障礙點,需要有較強的觀察、分析能力探究三:【解析】∵x2+y22=1,∴2x2+y2=∴x1+y2=2x1+≤22·=2x2+1+y2當且僅當2x=1+y∴x1+y2的最大值是【小結(jié)】本題解題的關(guān)鍵是緊扣已知條件中和為定值展開思路,把代數(shù)式中的積利用不等式轉(zhuǎn)化為和,解題障礙在于利用已知條件湊好系數(shù).當然,本題也可利用函數(shù)思想求解.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:D因為a,b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2ab,a2+b2>2ab,所以最大的只能是a2+b2與a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0,因此,a2+b2<a+b,所以a+b最大.應(yīng)用二:∵1a+1b≥2ab,1b+1c≥2bc,∴2(1a+1b+1c)≥2ab+即1a+1b+1c≥1ab+應(yīng)用三:C任意x>0,無法確定lgx>0,①錯;任意x∈R,ax>0,根據(jù)基本不等式ax+1ax≥2,②對任意x∈(0,π2),有tanx>0,tanx+1tanx≥2tanx×1tan存在x=-π2,sinx+1sinx=-2,④錯基礎(chǔ)智能檢測1.Bmn≤m2+n22=1002=50,當且僅當m=n=2.B取特殊值,令a=14,b=34,2ab=38,a2+b2=58,因此最大的是b.或2ab<(a+b)22=12<a2+b2,又3.116∵x,y都為正數(shù),∴1=x+4y≥2x·4y∴xy≤116,當且僅當x=12,y=14.解:由a,b,c,d都是正數(shù),得:ab+cd2≥abac+bd2≥ac·bd>0,∴即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,當且僅