2025年高考數(shù)學(xué)答題技巧與答題模板：7類平面向量解題技巧（學(xué)生版+解析）

題型027類平面向量解題技巧

（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線、等值線）、極化恒等式、

奔馳定理與三角形四心問(wèn)題、投影法求范圍與最值、向

量矩形大法的應(yīng)用、范圍與最值綜合問(wèn)題）

.._____本節(jié)導(dǎo)航一

技法01爪子定理的應(yīng)用及解題技巧

技法02系數(shù)和（等和線、等值線）的應(yīng)用及解題技巧

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

技法04奔馳定理與三角形四心問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

技法05向量投影法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

技法06向量矩形大法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

技法07范圍與最值綜合問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

技法01爪子定理的應(yīng)用及解題技巧

圖駁型斛裱

“爪子定理”來(lái)源于平面向量三點(diǎn)共線定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速

求解平面向量中兩個(gè)基底的系數(shù)問(wèn)題，需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握.

技巧_點(diǎn)祓

“爪子定理”的圖示及性質(zhì):

已知。在線段3C上，且|加|:|8=加:〃，則AD=-------AB+----AC

m+nm+n

教飯運(yùn)用

（全國(guó)?高考真題）設(shè)。為.ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且3c=3CD，則（）

-1一4一-1——4

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

'支式1.（2024?云南昆明?一模）在丫48（7中，點(diǎn)0滿足4）=403，貝U（）

1331

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4444

1441

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

5555

支式2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在ABC中，點(diǎn)。在邊A3上，BD=2DA.記CA=mXZ>=〃,

貝ICB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

/〃〃〃/〃〃〃〃〃//〃///〃///////〃//〃〃〃〃〃〃,法t?！āāā?〃〃/〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃//〃〃〃〃〃〃〃,

1.（全國(guó)?高考真題）在-ABC中，AB=c，AC=b.若點(diǎn)。滿足3O=2OC，則AO=()

2152]21D-c

A.-b7+-cB.—c——bC.—Zb——c

33333333

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，點(diǎn)M、N在邊5c上,BM=MN=NC,設(shè)AM-m，AN=n,則

AB=（）

A.2m-nB.2n-mC.m—2nD.n-2m

3.在平行四邊形A5CD中，點(diǎn)E滿足50=456，CE=25A+45c（%4￡R）,則丸〃=（）

333

A.B.C.—D.1

16816

；與交于點(diǎn)

4.如圖，在VABC中，￡是A3的中點(diǎn),BD=2DC,FC=AF,EFADM,貝1AM=（）

33332Q34

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

147143977

駁型解裱

近年來(lái)，在高考和模擬考試中，涉及“系數(shù)和(等和線、等值線)定理”的題目頻繁出現(xiàn)。學(xué)生們?cè)?/p>

解答這類問(wèn)題時(shí)，常常需要通過(guò)建立坐標(biāo)系或利用角度與數(shù)量積的方法來(lái)處理。然而，由于解題思路不夠

清晰和解題過(guò)程的復(fù)雜性，得分率往往不高。相比之下，向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算。這種數(shù)形結(jié)合的思想不僅得到了有效體

現(xiàn)，而且為解決相關(guān)問(wèn)題提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用。

?技〉a點(diǎn)祓

如圖，P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過(guò)0作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeK,使得OP=xOA+yOB

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和x+y的值

①若尸w/時(shí)，則射線OP與/無(wú)交點(diǎn)，由///A3知，存在實(shí)數(shù)2,使得=

而=—所以=—于是x+y=2-4=0

②若尸時(shí)，

(i)如圖1,當(dāng)尸在/右側(cè)時(shí)，過(guò)尸作CD//AB,交射線0A,03于兩點(diǎn)，則

AOCD?AOAB,不妨設(shè)NOCD與ACMB的相似比為左

由P,G。三點(diǎn)共線可知：存在XeH使得：

OP=AOC+(1-A)OD=kAOA+左(1—Z)OB

所以尤+y=左/l+Z(1-/I)=左

（ii）當(dāng)P在/左側(cè)時(shí)，射線OP的反向延長(zhǎng)線與A3有交點(diǎn)，如圖1作尸關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)P',由（i）

的分析知：存在存在幾eR使得：

OP'=WC+（1-MOD=kWA+（1-4）OB

所以=-kWA+-（1-^OB

于是x+y=-左2+-左（1-X）=-k

綜合上面的討論可知：圖中。P用。A。3線性表示時(shí)，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。

因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖中，過(guò)。作A3邊的垂線

設(shè)點(diǎn)P在/'上的射影為P,直線/'交直線A3于點(diǎn)則|左|=后/（左的符號(hào)由點(diǎn)P的位置確定），因

此只需求出\OP'\的范圍便知x+y的范圍

裁彼運(yùn)用

（全國(guó)?高考真題）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若

AP=%AB+〃AD，則幾+〃的最大值為

A.3B.272C.75D.2

）支式1.邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCD跖中，動(dòng)圓。的半徑為1,圓心在線段（含短點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，P

是圓。上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量=+則根+〃的取值范圍是（）

A(l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

勿"勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿君t眩彳柒勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿勿""

27r7T

1.如圖，點(diǎn)C在半徑為L(zhǎng)圓心角工的扇形。鉆的弧AB上運(yùn)動(dòng).已知0c=x（M+yOB,貝。當(dāng)/A0C=；

36

時(shí)，x+y=；x+）的最大值為

2.如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別為線段BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)，S.\BE\=2\CF\,^AC=xAE+yAF

（x,yeR）,則x+y的最大值為.

3.如圖，在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB^DC,AB=2,AD^DC=1,圖中圓弧所在圓的圓

心為點(diǎn)G半徑為g,且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng).^AP=xAB+yACf其中％yeR,則4x-y

的取值范圍是（）

P

D幺

a

A、B

.A/17后

2,3+日J(rèn)---------------,J-]---------------

22

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

通過(guò)應(yīng)用向量的極化恒等式，我們可以迅速將共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易處

理的形式。這一方法彰顯了向量的幾何特性，并使得迅速解決（秒殺）向量數(shù)量積問(wèn)題成為現(xiàn)實(shí)。極化恒

等式的巧妙之處在于它構(gòu)建了向量數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度（數(shù)量）之間的聯(lián)系，巧妙地將向量學(xué)、幾何學(xué)和代

數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)。對(duì)于那些不共起點(diǎn)或不共終點(diǎn)的向量問(wèn)題，我們可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化法將其等價(jià)轉(zhuǎn)換為共起

點(diǎn)或共終點(diǎn)的向量數(shù)量積問(wèn)題，進(jìn)而利用極化恒等式來(lái)求解。因此，深入學(xué)習(xí)和掌握這一方法是十分必要

的。

(a+b)2-(a-b)

極化恒等式a-b=

恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”

與“差對(duì)角線”平方差的!恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系

4,

如圖在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b

DC

aB

(AB+AD)2-(AB-AD)

則a-b=

在上述圖形中設(shè)平行四邊形ABCD對(duì)角線交于M點(diǎn)，則對(duì)于三角形來(lái)說(shuō):

,(AB+AD)2-(AB-AD)2

a-b=-------------------------=13等

4

教彼運(yùn)用

>哀帚（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是A3的中點(diǎn)，貝IJEC.E￡>=（）

A.小B.3C.2A/5D.5

）支式1.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在.45C中，AC=3,Z?C=4,NC=90。.尸為ABC所在平面內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則PA.尸2的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.HL6]

，則CM=3

2

1.（2024,廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)尸在圓C:（x-2）2+（y-3）2=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A（-2,0）,則4%尸的取值

范圍為（）

A.[20,30]B.（20,30）C.[20,25]D.（20,25）

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在矩形A5CD中，AB=2AD=4,E為BC中點(diǎn)，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，,尸|=1.

則？￡>./>￡■的取值范圍為（）

A.[-2,8]B.[-2,2]

C.[-4,8]D.H，2]

3.（2024?安徽蕪湖?三模）已知（（7：/+^_10了+9=0與直線/交于A,B兩點(diǎn)，且1C被/截得兩段圓弧的

長(zhǎng)度之比為1:3,若。為C上一點(diǎn)，則DVOB的最大值為（）

A.18&+12B.16近+16C.12返+20D.10日+24

技法04■版理3，^瑪畫(huà)礴的應(yīng)用或蹲技耳

■莖蛆裱

平面向量問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域備受關(guān)注，盡管在高考中所占的比重并不大，通常以選擇題或填空題的

形式出現(xiàn)，難度也大多保持在中等水平。然而，偶爾也會(huì)作為壓軸題目出現(xiàn)。在平面向量領(lǐng)域，有許多重

要的應(yīng)用，例如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式等。此外，我們還將繼續(xù)探討另一個(gè)關(guān)鍵結(jié)論一一奔馳定理。

該定理巧妙地將三角形的四心與向量結(jié)合在一起，為高中生提供了一個(gè)課外拓展知識(shí)的機(jī)會(huì)，有助于加深

對(duì)三角形的理解，并增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。

所謂的“奔馳定理”，因其圖形與奔馳汽車的標(biāo)志相似而得名，它揭示了平面向量與三角形面積之間的

一個(gè)優(yōu)雅關(guān)系。掌握這一定理不僅能夠提高解題效率，而且對(duì)于強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有顯著效果。

技巧_克祓

i.奔馳定理

如圖，已知P為，內(nèi)一點(diǎn)，則有以網(wǎng)T3+5“公。3+5”《—℃=°?

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為"奔馳定理

2.奔馳定理的證明

如圖：延長(zhǎng)。4與邊相交于點(diǎn)。

A

BDqq

則?BODuABDuBOD_uA08

~DCqQ_Qq

QACD°CODACD°tCOD°AOC

OD=^OB+—OC

BCBC

__OB+oc

Q_i_QQQ

uAOC丁uAOB°AOC丁0AOB

°D_SBOD_ScOD_SBOD+SCOD_SBOC

r)AQQQ_i_CQ_|_q

BOA^COA^BOA丁2COA°AOC丁uAOB

q

OD=-------——OA

q_i_v

uAOC丁uAOB

qqq

____二

0AQB+0(=

°AOC丁2AOB°AOC丁QAOB°AOC丁uAOB

??SBOCOA+SAOC-OB+SAOB-OC=0

3.奔馳定理的推論及四心問(wèn)題

推論。是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且％?。4+y?QB+z,OC=0,則SBOC:SCOA:SAOB=x:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距

離之比為2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.

(3)三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)

心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑廠.

(4)三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，

它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著

決定性的基石作用.

已知點(diǎn)。在，ABC內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：

①若。為ABC的重心，則。4+OB+OC=0;

②若。為ABC的外心，則sin2A?OA+sin2B-OB+sin2c-OC=0;或10AH。冏=|。。

③若。為一ABC的內(nèi)心，貝U“.QA+力O3+c.OC=0;備注：若。為_(kāi)ABC的內(nèi)心，貝|

sinAOA+sinBOB+sinCOC=0^iM.

④若。為ABC的垂心，貝hanA-OA+tan8-O8+tanC-OC=0，^OAOB=OBOC=OCOA

教彼運(yùn)用

寧夏,高考真題）已知0,N,P在AABC所在平面內(nèi),且網(wǎng)=函=函，麗+麗+祝=0,且

PA-7B=PB-7C=PC>PA，則點(diǎn)。，N,P依次是AA5C的

（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

,支式1.（江蘇?高考真題）。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足

4n

OP=OA+A--+——,2e[0,+o>),則P的軌跡一定通過(guò)，.MC的()

(|明\AC\J

A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

,支式2.（多選）“奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔

馳定理與二角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是VASC內(nèi)

一點(diǎn)，LBMC,_AMC,的面積分別為%,,5C,且5/人四+金?板+0?同。=0.以下命題

正確的有（）

A

BC

A.若SA：SB：SC=1：1:1,則M為VABC的重心

B.若M為VABC的內(nèi)心，貝UBC-K4+AC-MB+AB-MC=0

C.若M為VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0<則tan/BAC:tan/ABC:tan』BC4=3:4:5

D.若/B4C=45。，ZABC=6Q°,M為VABC的外心，則與：SB:Sc=。：2:1

1.已知。是三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，OA+2OB+3OC=0＞貝/Q4C的面積與△OAB的面積之比是（）

3、2

A.—B.一

23

C.2D.1

2.點(diǎn)O,G,尸為VABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有俐?+叫2=|0B『+|CA閆℃『+網(wǎng)2,GA+GB+GC=0,

（/M+PB）AB=（PB+PC）BC=（PC+PA）C4=O,則點(diǎn)O,G,尸分別為VABC的（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

3.（多選）"奔馳定理'是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與"奔馳"（Mercedesbewz）

的logo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理”.奔馳定理：已知。是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,AAOC,NAOB

的面積分別為梟，SB，Sc，則%。4+58。3+51。。=0.若。是銳角丫河（？?jī)?nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是VABC

的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足OA.02=020C=040C.則（）

B.NBOC+A=?

C.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanAOA+tanB?OB+tanCOC=0

■莖蛆裱

向量數(shù)量積的幾何意義是:一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影和這個(gè)向量模的積。如果能巧妙的找到投影

長(zhǎng)度，數(shù)量積就能快速算出，且不用知道兩個(gè)向量的所成角,所以用投影法能有效解決一類問(wèn)題

PAPB=\p^P^se=PAPH

（2024?安徽安慶?三模）已知線段A5是圓。的一條長(zhǎng)為4的弦，則AOA5=（）

A.4B.6C.8D.16

,支式1.如圖，己知正六邊形A2CDEF邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸是其內(nèi)部一點(diǎn)，（包括邊界），則涔.屁的取

值范圍為

＞麥K2.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓。內(nèi)接邊長(zhǎng)為1的正方形⑷5c，尸是弧3C（包括端點(diǎn)）上

一點(diǎn)，則APAB的取值范圍是（）

UUUUUU1

1.VABC的外接圓的半徑等于3,AB=4,則A2.AC的取值范圍是（）.

A.[-8,12]B.[-4,24]C.HUO]D.[-8,16]

2.（2024?陜西渭南?一模）已知圓。的方程為V+y2=9,直線/過(guò)點(diǎn)尸（1,2）且與圓。交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)弦

長(zhǎng)建V最短時(shí)，OM-MN=（）

A.-4B.-8C.4D.8

3.在梯形ABCD中，AB//CD,AB^3,AD=DC^1,2048=60。,后為BC的中點(diǎn)，則AE.AB=（）

技法06詢量矩形法策范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

-,,____________________________________,_.，.C'、c____________,——.-—',_____________>______________Z~SJ

向量矩形法是數(shù)學(xué)中使用向量來(lái)解決范圍和最值問(wèn)題的方法，特別適用于尋找向量的長(zhǎng)度范圍和最值,

常在小題中使用.

技巧祓

如圖，在矩形ABCD中，若對(duì)角線AC和5。交于點(diǎn)。，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有以下

兩個(gè)重要的向量關(guān)系：@PA2+PC2=PB2+PD2;②PAPC=PBPD.

(<\2/-AY

證明：①連接尸。，根據(jù)極化恒等式/+片=2歲+，

I2JI2J

/

可得融尸。

2+2=2pO2+=PB?+PD。；

7+4r2

②根據(jù)極化恒等式。力=可得B4?尸C=P02--------=PBPD.

IN4

在矩形ABCD中，AB=3,A￡>=4,P為矩形ABC￡)所在平面上一點(diǎn)，滿足上4=2,PC=721，

貝UPB-PD=.

)支式1.已知點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面上一點(diǎn)，若|尸$=1,|尸耳=21Pq=3,則|叫=.

)支式2.己知O為矩形月舄內(nèi)一點(diǎn)，滿足I。邛=4,|。閆=5,田閭=7,則0巳0舄=

1.在四邊形ABCD中，AB=AC=AO=0，ABA.AD,則CHCD的最小值為.

2.已知圓G：/+丁=9,圓G：1+y2=4,定點(diǎn)M(l,0),動(dòng)點(diǎn)A,3分別在圓G和圓C1上，滿足ZAMB=90°,

則線段AB的取值范圍

3.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知兩圓￡:丁+>2=12和C?:x?+y2=14,又點(diǎn)A坐標(biāo)為（3,-、N是G上

的動(dòng)點(diǎn)，。為G上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形4WQN能構(gòu)成矩形的個(gè)數(shù)為

A.0個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

技法07■圍寫最值綜杳問(wèn)題而應(yīng)用及解題技巧

、__,——I1I/____________T1_____________.C__________L_.,

在平面向量的探討中，范圍與最值問(wèn)題構(gòu)成了高考命題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，它們的復(fù)雜性凸顯了高考在知

識(shí)融合點(diǎn)出題的策略。這類題目通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)需要靈活運(yùn)用多種方法，難度

較大?；A(chǔ)題型涉及根據(jù)已知信息推導(dǎo)出某個(gè)變量的范圍或最大最小值，例如涉及向量的模長(zhǎng)、數(shù)量積、

夾角大小以及系數(shù)范圍等。在備考過(guò)程中，重視基礎(chǔ)解題技巧的培養(yǎng)和對(duì)典型題型解法的掌握是至關(guān)重要

的。本講內(nèi)容的難度較高，要求學(xué)生進(jìn)行綜合性的學(xué)習(xí)。

技彼運(yùn)用

（浙江?高考真題）已知。，6是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足-c）=o,

則kI的最大值是

A.1B.2

,衣式1.（四川?高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足網(wǎng)=|網(wǎng)=|。4，04￡>8=02.兀=￡）。

D4=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|4尸|=1,PM=MC，則忸斯的最大值是

43C37+66D37+2庖

A.——

4B-T.4,4

22

）支式2.已知平面向量a=OA，b=OB>c=OC>-AC=1—|(?A|,40BCB=l-|(9C|,則

向量a-48與c-26所成夾角的最大值是（）

71兀2兀_5九

A.-B.一C.—D-T

633

1.已知平面向量瓦c滿足|刈=|加=。/=2,且（b-c>（2b-c）=0,則|a-2cl的最大值為（）

A.b+2B.2A/7+1c.77+1D.2幣+2

2.已知平面向量滿足同=a-b=l,2\c^=b-c,貝一a|i2+|。一引2的最小值是一

3.（2024?湖北黃岡?一模）已知向量同=|/?|=4,（2-Z?=-8,c=。，且3-4=i,則”與c夾角的最大值為（）

7171715兀

A.-B.一c.一D.——

64312

1.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在5c的延長(zhǎng)線上,|BD|=3|DC],如果AD=xA8+yAC,那么()

13

A.x=_,y=_B.x=—一=—

2222

1313

C.x=——,y=——D.%=一,〉=——

2222

2.平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在邊A5上，AM=3MB,記C4=a,CM=b,貝IJA￡>=（）

3.已知的外接圓半徑長(zhǎng)為1,則落.髏的最小值為（）

11

A.—1B.—C.—D.

234

4.在扇形O4B中，ZAOB=60，C為弧A3上的一動(dòng)點(diǎn)，若OC=MM+yOB,則3x+y的取值范圍是

5.（多選）在平行四邊形ABCD中，ABLAC,AB=AC=1,點(diǎn)尸是ABC的三邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)

AP=AAB+juAD,（%則下列結(jié)論正確的是（）

A.2>0,〃20

B.當(dāng)點(diǎn)尸為AC中點(diǎn)時(shí)，2+〃=1

C.的最大值為1

3

D.滿足的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)

6.（2024?湖北?一模）如圖，在—ABC中，/BAC=120,AB=2,AC=1,。是JBC邊上靠近JB點(diǎn)的三等分點(diǎn),

E是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AECD的取值范圍為（）

7.已知A、P、。是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦PQ所對(duì)的圓心角為120,則APAQ的最大值為（）

C.76D.6

8.（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳"轎車，

（Mercedesbewz）的logo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理"，奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，HBOC,

△AOC,AAOB的面積分別為%,SB，SC,且SA-Q4+SB-OB+SC-OC=0.設(shè)。是銳角AABC內(nèi)的一點(diǎn),

MAC,EABC,0AC8分別是的"BC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

若OA+2OB+3OC=0，則SA：%：SC=1：2:3

若|OA|=|OQ=2,ZAOB=y,2OA+3OB+40c=0，則5謝=

兀

若。為AABC的內(nèi)心，30A+40B+50C=0，則NC=/

D.若。為AABC的垂心，30A+408+50C=0，貝1JcosNAO8=-

9.如圖，在VABC中，ZACB=90°,3c=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.設(shè)

DA=a,DB=b,DC=c,則a-c的最大值是；21al+3屹|(zhì)的最小值是.

10.己知|。=后，忖=1,ab=0,\c+a\+\c-a\=4,d2-4b-d+3=0>則卜一4的最大值為（）

題型027類平面向量解題技巧

（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線、等值線）、極化恒等式、

奔馳定理與三角形四心問(wèn)題、投影法求范圍與最值、向

量矩形大法的應(yīng)用、范圍與最值綜合問(wèn)題）

??_____本節(jié)導(dǎo)航_____??

技法01爪子定理的應(yīng)用及解題技巧

技法02系數(shù)和（等和線、等值線）的應(yīng)用及解題技巧

1

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

技法04奔馳定理與三角形四心問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

技法05向量投影法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

1

技法06向量矩形大法求范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

1

技法07范圍與最值綜合問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

技法01爪子定理的應(yīng)用及解題技巧

“爪子定理”來(lái)源于平面向量三點(diǎn)共線定理，是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速

求解平面向量中兩個(gè)基底的系數(shù)問(wèn)題，需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握.

、◎裁巧，被

“爪子定理”的圖示及性質(zhì):

已知D在線段BC上，且忸則AD=—^A8+—二一AC

m+nm+n

＞哀鈉（全國(guó),高考真題）設(shè)。為二ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且3c=3CD，則（)

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

思路點(diǎn)撥：利用爪子定理直接求解即可

思路詳解：解析：由圖可想到“爪字形圖得:

1-4

AD=——AB+-AC答案：A

33.

,支式1.（2024?云南昆明,一模）在VABC中，點(diǎn)。滿足的＞=4。5，貝!?。?

-1331

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4444

1441

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

5555

思路詳解：如下圖所示：

i4

利用爪子定理直接求解即可，W#CD=-G4+-CB.^：C

,變式2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在ABC中，點(diǎn)。在邊A8上，BD=2DA.記C4=m,CD=〃,

則CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

思路點(diǎn)撥：利用爪子定理先表示，再間接求解

21

思路詳解：CD=-CA+-CB^>CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m^-3n.選：B

1.（全國(guó)?高考真題）在,ABC中，AB=cfAC=b.若點(diǎn)。滿足30=2。。，貝UAD=（）

2152]21D.4+2

A.-b7+-cB.—c——bC.—7b——c

33333333

【答案】A

【詳解】試題分析：-3。=c?=c?；(<C-<5)=c?-c)=fbagc,故選A.

33333

2.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))在VABC中，點(diǎn)〃、N在邊BC上,BM=MN=NC,設(shè)AM=機(jī)，AN=n，則

AB=()

A.2m—nB.2n—m

U1

C.m—2nD.n—2m

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】

由BM=MN=NC,可得NM=：CB,

貝|JAB=AN+NB=AN+2NM=AN+2（AM-AN）=2AM-AN,

又AM=m，AN=幾，所以AB=2m-n.

故選：A

3.在平行四邊形A3CD中，點(diǎn)后滿足=CE=2BA+//BC(2,//eR),貝！J"/=()

333

A.-----B.—C.—D.1

16816

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?O=48E，貝UCD-CB=4(CE-C8),

131313

整理得CE=—。。+巳。3=—胡一巳8。，可得;l=—,〃=一^,

444444

故選：A.

4.如圖，在VABC中，E是A3的中點(diǎn)，2。=2。（7,廠。=；4￡斯與4）交于點(diǎn)”,則AM=（）

33339834

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

【答案】A

【分析】根據(jù)向量之間的共線關(guān)系，結(jié)合共線定理的推論，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得

答案.

12

【詳解】在VABC中，設(shè)由30=2。。，可得AO=]A5+§AC,故

19

AM=AAD=-AAB+-AAC.

33

1A2R

又E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)C=-AF,所以AB=2AE,AC=§A尸，所以AM=2AO=§XAE+3/lAF.

由點(diǎn)歹三點(diǎn)共線，可得g+蓑=1,解得％=:,

33

t^AM=-AB+-AC.

147

故選：A.

技法02源脾:■繾前暮他綺〔的應(yīng)用這解瞰氏

■敦幽裱

近年來(lái)，在高考和模擬考試中，涉及“系數(shù)和（等和線、等值線）定理”的題目頻繁出現(xiàn)。學(xué)生們?cè)?/p>

解答這類問(wèn)題時(shí)，常常需要通過(guò)建立坐標(biāo)系或利用角度與數(shù)量積的方法來(lái)處理。然而，由于解題思路不夠

清晰和解題過(guò)程的復(fù)雜性，得分率往往不高。相比之下，向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算。這種數(shù)形結(jié)合的思想不僅得到了有效體

現(xiàn)，而且為解決相關(guān)問(wèn)題提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用。

如圖，P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過(guò)0作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,y^R,使得OP=xOA+yOB

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和無(wú)+y的值

①若尸e/時(shí)，則射線OP與/無(wú)交點(diǎn)，由///AB知，存在實(shí)數(shù)；I,使得=

而AB=03-OA,所以O(shè)P=403-204,于是x+y=2-/l=0

②若尸時(shí)，

(i)如圖1,當(dāng)尸在/右側(cè)時(shí)，過(guò)尸作CD//AB,交射線0A,05于C,。兩點(diǎn)，則

NOCD?NOAB,不妨設(shè)AOCD與A0L4B的相似比為左

由P,G。三點(diǎn)共線可知：存在XeH使得：

0P^WC+(l-A)OD=kWA+k(\-Z)OB

所以尤+y=左/l+Z(1-/I)=左

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時(shí)，射線OP的反向延長(zhǎng)線與AB有交點(diǎn)，如圖1作P關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)P,由(i)

的分析知：存在存在2eH使得:

0P'=WC+（1-MOD=kWA+（1-2）OB

所以O(shè)P；=-kWA+-（1-^OB

于是x+y=-kA+-k（l-2）=-k

綜合上面的討論可知：圖中OP用。A。3線性表示時(shí)，其系數(shù)和％+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。

因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖中，過(guò)。作A3邊的垂線

設(shè)點(diǎn)尸在/'上的射影為P,直線/'交直線A6于點(diǎn);，則1父=IO^P'^\（左的符號(hào)由點(diǎn)P的位置確定），因

此只需求出|的范圍便知x+y的