2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)模擬卷3（新高考地區(qū)專(zhuān)用）含答案

2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷03

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填

寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

?已知集合A={x|0VxV3},fl={x|log3%<l}則AB-（）

A.[0,3]B.[0,3）C.（0,3）D.（0,3]

2.甲同學(xué)自進(jìn)入高三以來(lái)，前四次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)逐次遞增，第一次的分?jǐn)?shù)為116,第四次的分?jǐn)?shù)為132,且

中位數(shù)為120,則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為（）

A.119B.120C.121D.122

3.已知a4是兩個(gè)不重合的平面，直線(xiàn)則“〃/夕”是“打，￡”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量。=（x,2）,b=（l,y）,則下列等式中，有且僅有一組實(shí)數(shù)x,y使其成立的是（）2025

年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷03

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填

寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|OWx?3},fi={x|log3x<l},則AB=()

A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]

【答案】A

【解析】因?yàn)?={x|log3尤<1}={X[0<X<3},

又A={x|0<x<3},所以AB={x10<%<3}=[0,3].

故選：A

2.甲同學(xué)自進(jìn)入高三以來(lái)，前四次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)逐次遞增，第一次的分?jǐn)?shù)為116,第四次的分?jǐn)?shù)為132,且

中位數(shù)為120,則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為()

A.119B.120C.121D.122

【答案】D

【解析】設(shè)甲第二、第三次的分?jǐn)?shù)分別為兌以由中位數(shù)為120,得亨=12。，即x+y=240,

所以甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為U6+x：y+132=I?2.

4

故選：D

3.已知a,/3是兩個(gè)不重合的平面，直線(xiàn)/J_a,則“H/p”是“a，尸”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因?yàn)橐?jiàn)用是兩個(gè)不重合的平面，直線(xiàn)若〃/，則存在直線(xiàn)au用，滿(mǎn)足〃/a,因?yàn)?/p>

所以所以a，/?,故充分性成立；

若a，;?,l±a,則/u用，或〃/夕，故必要性不成立；

所以“////?”是“a”的充分不必要條件；

故選：A

4.已知向量a=(x,2),b=(l,y),則下列等式中，有且僅有一組實(shí)數(shù)x,H吏其成立的是()

A.a〃(a+b)B.aJ.bC.|a|+|Z?|=3D.|a+2Z>|=1

【答案】C

【解析】對(duì)于A,a+b=(x+l,2+y),若“〃(&+b),則2(x+l)=x(2+y),解得u=2,此時(shí)有無(wú)數(shù)組

解，不符合題意，舍去，

對(duì)于B,若&人b，則x+2y=0,此時(shí)有無(wú)數(shù)組解，不符合題意舍去，

對(duì)于C,若|相+|。|=3,則&+4+{1+丁=3,止匕時(shí)x=O,y=O,只有一組解，滿(mǎn)足題意，

對(duì)于D,a+2b=(x+2,2+2y),則1+2可=J(x+2)2+(2+2y『=1,此時(shí)有無(wú)數(shù)組解，不符合題意，

舍去.

故選：C

5.已知角久分的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與無(wú)軸的非負(fù)半軸重合，角a的終邊與圓。交于點(diǎn)A(l,2夜).

3兀

動(dòng)點(diǎn)尸以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)為——，當(dāng)角夕的終邊為射線(xiàn)時(shí),

4

tan。=()

.4A/2-7R7-4A/2「9+4應(yīng)八9+40

7777

【答案】c

【解析】由題得tana=半=28，且圓面半徑為廠(chǎng)=,儼+（2行『=3，

3兀

所以4。3=五=巴,

34

20+1__（2血+1）__9+40

門(mén)（兀、tancr+1

所以tan夕=tana+—=----------=

I4）1-tandf1-20（20—1）（2點(diǎn)+1）7

故選：C

6.已知隨機(jī)變量J~N（2,b）,且P?Ml）=尸修2a）,則+（0<x<a）的最小值為（）

xa-x

]]2>016

A.5B.—C.-—D.—

233

【答案】D

【解析】根據(jù)正態(tài)分布的知識(shí)得a+1=2x2=4=>a=3則Ov<（3,3-%）0,

191/19"、1八八3-x9

+-+（3x+x）-101+

xa-xQ3kxQ3-xJ3v%3--x）

,1C?o13-x9x]16

3（vx3-xJ3

3-YQr3

當(dāng)且僅當(dāng)——=^,即1=一時(shí)取等.

x3-x4

故選：D

22

7.已知雙曲線(xiàn)C：二一六=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，尸2，點(diǎn)”是雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，

直線(xiàn)4M交雙曲線(xiàn)c的左支于N點(diǎn).若|耳N|=2,優(yōu)M=3,|MN|=4,且△加可居的外接圓交雙曲線(xiàn)

C的一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)尸（不，%），則|%|的值為（）

A抬B.￡1C.D.3

22

【答案】D

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)弘人分別在雙曲線(xiàn)渤右支和左支上，

所以|次|-|訝|=|3|-|颼|=2?.

又|4N|=2,優(yōu)M|=3,|2W|=4,所以2a=2+4—3=3,

解得a=],|A^|=2a+|g|=3+2=5,

所以|NB「=|MN「+|/K「，所以耳是直角.

在Rt△岬與中，忻閭2=忻河「+眼閭2,所以（2c）2=62+32,

、45

解得c=：，

4

450

所以/=。2—42=-----=9,即人=3.

44

又AMFH的外接圓交雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)P屈,兀），

*+*=c2

X；=a2

焉￥晨解得＜

b-F=0覺(jué)=/'

|x0=a

所以故尻|=3.

1%=方

故選：D.

8.已知y=/(x)-3x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),〃%)的導(dǎo)函數(shù)。(力滿(mǎn)足/(l+x)=/”-x),則

廣(2026)=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】因?yàn)閂=/(x)—3x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以/(—x)—3(—x)=/(x)—3x,即

/(-x)+3x=/(%)-3x.

/(—x)+3x=/(x)—3x兩邊求導(dǎo)，可得：—x)+3=/'(x)—3,可得/(x)+/'(—x)=6.

因?yàn)槭?l+x)=/'(l—x),所以廣(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，則/7x)=/'(2—x).

用-x代替x可得/'(—X)=f\2+x).

將_f(r)=/'(2+x)代入/(%)+/(—%)=6中,可得尸(x)+/'(2+x)=6①.

用x+2代替尤可得/'(x+2)+/'(x+4)=6②.

由②-①可得：/(x+4)=/'(x).

所以/'(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以「(2026)=1(4x506+2)=八2).

在「(%—)=6中,令x=2,可得尸(2)+/(―2)=6.

又因?yàn)閒'(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，所以尸(2)=尸(0).

在/'(%)+/'(-%)=6中,令尤=0,可得2尸(0)=6,解得＜'(0)=3,

所以42)=3,即1(2026)=3.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z-Z2對(duì)應(yīng)的向量分別為4,%,則()

"+2卜/1司

B.|ZI-Z2H?I-?2|

C.若[4-2卜上+22|,則"2=0

D.若卜]一生卜|%+%|，則qq=o

【答案】BD

【解析】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z]、Z?對(duì)應(yīng)的向量分別為％、出，

設(shè)4=c+di,z2=e+fi(c,d,e,f&R),則q=(0,〃)，%=(e"),

對(duì)于A、當(dāng)4=l+i,Z2=l—i時(shí)，q,

則,1/2|=2,同?％]=(),故A錯(cuò)誤；

22

對(duì)于B,|zx-z2|=|(c-e)+(<7-/)i|=-\/(c-e)+(<7-/),

22

\a{-a21=|(c-e,d-f^=7(c-e)+(<i-7),

.?.卜1一22卜|4一%|，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)Z[=l,z2=iBt,|zj-Z2|=|l-i|=V2,|zt+z2|=|l+i|=A/2,

滿(mǎn)足L—ZzHzi+ZzI,但馬/2=iwO,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,|由q—a2Hq+a?I，得向一％『曰0+2『，得。/生=0，故D正確.

故選：BD

5九

10.把函數(shù)/(x)=J§sin<yx+cos<yx(0<o<3)的圖象向左平移石■個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)的最小正周期為無(wú)

7T

B.y(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)》=一對(duì)稱(chēng)

6

C./(x)在(-上單調(diào)遞增

124

JT2兀

D.若/(x)在區(qū)間[-五,a)上存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(？-,+s)

【答案】ABD

7TSTT57r57r

【解析】/(x)=2sin(G%+—),/(%+——)=2sin[^(xd---兀)+—]=2sin(G%H---兀0+一),

612126126

511Sjr7T12

由/(XH---)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得——①+—=R+kn,kwZ,CD=2-\-----k,keZ,

121265

TT

而0<GV3,則①=2,/(x)=2sin(2x+—),

6

2兀

對(duì)于A,/(x)的最小正周期7=——=兀，A正確；

2

TTTTITKTT7T

對(duì)于BC,由2XH—=—Fku,kETi,得％=—I---，左eZ,直線(xiàn)x=—是/(x)的圖象一■條對(duì)稱(chēng)軸，B正確，C

62626

錯(cuò)誤；

iI

對(duì)于D,由——<%<6Z,得0W2%+：<2〃+：,而/（%）在［——,。）上有極大值點(diǎn)又有極小值點(diǎn)，

126612

兀32

貝（］2aH—>—兀，解得a>—n,D正確

623

故選：ABD

11.如圖，正方體ABCD-ABIGR的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是其側(cè)面AOAA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸是

線(xiàn)段CG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)P,M,使得二面角〃—OC—P大小為——

6

B.存在點(diǎn)P,〃，使得平面與平面平行

C.當(dāng)尸為棱CG的中點(diǎn)且PM=2布時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為行兀

32兀

D.當(dāng)“為4。的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐"-A3co外接球的表面積為亍

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,在正方體A8CD-A8［C［。］中，可得CD,平面ADDA，

因?yàn)镸Du平面ADD^,DDXu平面ADD}\,所以CO，MD,CD±DD],

兀

所以二面角M—OC—P的平面角為/MOA，其中NMDAe0,-,所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,如圖所示，當(dāng)以AA中點(diǎn)，P為CG中點(diǎn)時(shí)，

在正方體ABCD-A4G2中，可得4D1//BD,

因?yàn)?2Z平面5￡>P，且BDu平面3Z>P,所以與D"/平面3Z>P，

又因?yàn)镸g//DP,且加耳^平面由牙，且OPu平面所以“81//平面3￡>p,

因?yàn)?RMB,=Bx,且42，"4u平面所以平面3。尸//平面所以B正確;

對(duì)于C,如圖所示，取。A中點(diǎn)E,連接？E,ME，PM，

在正方體ABCD—A4G2中，CD，平面ADAA，旦CD"PE,

所以PEJ_平面AD2A，因?yàn)殪簎平面ADDA，可得PELME,

則ME=yjPM2-PE2=7（2^）2-42=2V2，

則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心、半徑為2的劣弧，

分別交AD,AQ于〃2，M，如圖所示，則MR=H4=2=0E,

71

結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知,NMg=ZM.ED=-,

則/M1E%=/，劣弧的長(zhǎng)為巴x20=0兀，所以C正確；

22

對(duì)于D,當(dāng)M為4。中點(diǎn)時(shí)，可得.AMD為等腰直角三角形，且平面A3CD1平面

連接AC與BD交于點(diǎn)0,可得OA/=。4=03=OC=OD=2虛，

所以四棱錐"—ABCD外接球的球心即為AC與3Q的交點(diǎn)。，

所以四棱錐"-ABCD外接球的半徑為20，其外接球的體積為4兀、(2e『=32兀，所以D錯(cuò)誤.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1+x)(l-%)8的展開(kāi)式中久2的系數(shù)為.

【答案】20

【解析】解：設(shè)(1—x)8展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)『+1，則Tr+1=(―

(1-尤)8中/項(xiàng)的系數(shù)為C；=28,x項(xiàng)的系數(shù)為一C：=-8,

(1+x)(l-尤)8的展開(kāi)式中/的系數(shù)是28-8=20

故答案為：20

13.已知點(diǎn)廠(chǎng)為拋物線(xiàn)「丁2=2「％(0>0)的焦點(diǎn)，過(guò)歹的直線(xiàn)/(傾斜角為銳角)與「交于A3兩點(diǎn)(點(diǎn)

A在第一象限)，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為。，若AR=4EB，則tanNAFD=

【答案】2

【解析】設(shè)AB所在直線(xiàn)方程為y—

p

y—-5),得222=0.

聯(lián)立《kx-(kp+2p)x+

y2=2Gpx4

設(shè)，準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)"，則用々=?，

又AP=4FB,.(-％=4卜2-/即西=-49+￡,

V2=Y

聯(lián)立《過(guò)/的直線(xiàn)/（傾斜角為銳角），解得（舍）或々=￡,

-2-8

玉=-4X2+^~

則%=2p,yl=2p,即A(2p,2p),

2夕4

設(shè)E4的傾斜角為6,則原'4-------二-=tang

o13

2P—2P

由。(1p2p),嗎,0)，tanZDFM=—=2,

P

2+-

可得tanZAFD=-tan(Z￡)FM+。)=------=2；

l-2x-

3

使得“為Na1且為24+1”成立，（左22,左wN*）則稱(chēng)為為｛%｝的一個(gè)

2

峰值.若an=-3n+11/1,則｛瑪｝的峰值為.；若%=〃n"-72,且｛%｝不存在峰值，則實(shí)數(shù)/的取

值范圍為.

【答案】①.10②.—00.

In2

【解析】由4=-3〃2+11〃,

函數(shù)y=-3%2+11%的對(duì)稱(chēng)軸為％=一,

6

又〃]=8,%=10，

所以q<%>4>4>>an,

所以｛%｝的峰值為。2=10；

^an=tlnn-n,則。]=一1,%=八口2-2,

令/(x)=/lnx-x,(x>l),則/,(x)=--l=-~-,(x>l),

XX

當(dāng)/<1時(shí)，rw<o,所以函數(shù)y(x)[1,+8)上單調(diào)遞減，

則數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，符合題意；

當(dāng).>1時(shí)，令尸(x)>0,則1W,令尸(X)<0,則尤>￡,

所以函數(shù)/'(x)在[1/)上單調(diào)遞增，在?,+8)上單調(diào)遞減，

要使數(shù)列｛4｝不存在峰值，

t>i|7〉11

則1，即<,,cC，解得1</<—，

%〉％[~1>?ln2-2In2

綜上所述，實(shí)數(shù)方的取值范圍為1-8,工].

故答案為：10；

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,面PACL底面

ABCD,PA±AC,PA^BC^2AB=4,ZABC=6Q°.

(1)證明：AB±AP；

(2)求平面ACP與平面CDP夾角的余弦值.

2757

【答案】（1）證明見(jiàn)解析(2)

19

【解析】(1),平面底面ABCD,

平面PAC[平面ABCD=AC

PAu平面PAC,PA±AC,PA±平面ABCD,

又因?yàn)锳Bu平面ABC。,-.PA±AB.

(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形，AD//BC,

AB=2,BC=4,ZABC=60°,

AC=/+16—2x2x4x；=26

AB2+AC2=16=BC2,:.BALAC,

由(1)平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，以AB,AC,AP分別為％y,z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系.

C(O,2AO),D(-I,AO),P(O,O,4),

DC=(1,A/3,0),CP=(0,-2忘4)

設(shè)平面CDP的一個(gè)法向量炳=(x,y,z),

n.■DCx+Gy=0

二<=<l.，

n^CP[-2^y+4z=0

令芯=2有可得4=(2逐,-2,—6)，

而平面AC尸的一個(gè)法向量%=(1,0,0)，

設(shè)平面ACP與平面CDP的夾角為6

273

COS夕=■;--n--r—

?1?2V19xl19

16.已知函數(shù)/(x)=ax+[—21nx,g(x)=x3-f'(x),其中尸(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

x

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)Ne-m恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)|,+，|

【解析】(1)

由題意可知：/(x)的定義域?yàn)?0,+00),且廣⑺二q二二A-享-2

XX%

則g(%)-依3-2x2-2,x>0,可得g\x)=3ax2-4x=x(3cuc-4),x>0,

①當(dāng)〃<0時(shí)，g'Q)4。恒成立，可知g。)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

44

②當(dāng)a〉0時(shí)，令g'(x)>。，解得光,一；令g'(%)<0,解得0<%<—；

3a3a

可知g(x)在上單調(diào)遞減，在［W,+ej上單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)。<0時(shí)，g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。〉0時(shí)，g(x)在(0,(］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)由/(x)Ne可得axH--—21nx2eax,

X

整理得3-21nxNeS-ax,即±+1'"網(wǎng)-ax,

XXX

可得e+In>e~ax+(—tzx)

因?yàn)閥=e'+x在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，可得lnqN-ax,

x

9InY

即一21nx2-ar,可得a2-----，

x

21rlx

令/?(%)=-----,x>Q,則aN/z(x)1mx.

X

L、r7,/、2-21nx

因?yàn)閔(x)=-----7——，

X

令〃(九)>0,解得0<x<e；令〃(冗)<0,解得力>e；

2]x2

可知〃(x)=----n--在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+“)上單調(diào)遞減，則〃(X)<〃(e)=—,

xe

2「21

可得〃2—,所以H的取值范圍為一,十。.

eLe)

17.記銳角VA3c的內(nèi)角4B,煙對(duì)邊分別為a,b,c,已知“跳/+〃一°2)=44。.臺(tái)。.

(1)求她

(2)若sin?A+sin23+sin2C=2+cosAcos3，求VABC的面積.

【答案】(1)2(2)B

2

【解析】(1)由cib^a2+b2—c?)=4AC,可得a42〃Z?cosC=4AC-BC=AbacosC，故

2abeosC=4cosC,

由于VA5C為銳角三角形，所以cosCwO,

故2ab=4,故質(zhì)=2

(2)由〃2+方2一，=2"cosC可得sin?A+sin2B—sin2C=2sinAsinBcosC,

所以sin?A+sin2B+sin2C=2sinAsinBcosC+2sin2C=2sinAsinBcosC+2—2cos2C

=2cosC(sinAsinB—cosC)+2=2cosC(sinAsinB+cos(A+5))+2=2cosCcosAcos3+2,結(jié)合

sin2A+sin2B+sin2C=2+cosAcosB，

故2cosc=1,

7T

由于VA5C為銳角三角形，故C=—

3

所以SABC=~?/?sinC=-x2x

加2222

18.繼2023年電子競(jìng)技首次作為正式競(jìng)賽項(xiàng)目登上杭州亞運(yùn)會(huì)舞臺(tái)后，2024年國(guó)際奧委會(huì)宣布首屆奧林匹

克電子競(jìng)技運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在沙特阿拉伯王國(guó)舉辦.這意味著電子競(jìng)技作為虛擬體育正式成為奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目

的一部分.為迎接電子競(jìng)技行業(yè)這一里程碑式的時(shí)刻，甲、乙兩俱樂(lè)部計(jì)劃按照現(xiàn)今體育比賽中的賽制舉辦

友誼賽.在體育比賽中有兩種常見(jiàn)賽制：一種是(2〃-1)局〃勝制，例如一場(chǎng)比賽有5局，率先勝3局一方獲

勝，本場(chǎng)比賽結(jié)束；另一種是(2"+1)局〃+1勝制，例如一場(chǎng)比賽有7局，率先勝4局一方獲勝，本場(chǎng)比賽結(jié)

束.

（1）若采用5局3勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率

為0.9.已知甲、乙俱樂(lè)部采用這兩種賽制各進(jìn)行了皿祖eN*）場(chǎng)比賽，試自行繪制2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小

概率值?=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來(lái)推斷賽制是否對(duì)甲隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響；

（2）設(shè)甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率均為且每局比賽都能決出勝負(fù)，沒(méi)有平同：①若兩俱

樂(lè)部采用5局3勝制比賽，記事件A：“甲俱樂(lè)部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件8：

“兩俱樂(lè)部賽滿(mǎn)5局，甲俱樂(lè)部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：P（A）=P（B）；

②若甲、乙兩俱樂(lè)部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進(jìn)行2〃局，贏得局?jǐn)?shù)大于?局的俱樂(lè)部獲

3_

勝.若甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率P=z，試判斷進(jìn)行幾局比賽時(shí)，甲俱樂(lè)部獲勝的概率最大，并說(shuō)明理由.

O

a0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

附：八_______〃(ad-bc)2_______,

其中n=a+b+c+d

一(a+/?)(c+<7)(a+c)(/j+<7)

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，答案見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②4局.

【解析】（1）依題意，2x2列聯(lián)表如下:

5局3勝7局4勝合計(jì)

甲勝0.8m0.9m1.7m

乙勝0.2m0.Im0.3m

合計(jì)mm2m

2m(0.08m2-0.18m2)22m一”十，士c八,由"、-24■人

%2=―..........—=——，依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)乂性檢驗(yàn),

mxmxl.7mx0.3m51

當(dāng)加2170時(shí)，力2>6.635,賽制對(duì)甲勝場(chǎng)數(shù)有影響;

當(dāng)根V169時(shí)，力2<6.635,賽制對(duì)甲勝場(chǎng)數(shù)沒(méi)有影響.

(2)@P(A)=T?3+Cfp2(1-p)+C^p2(1-p)2p=p3(6p2-15p+10),

P(8)=C?3(1_p)2+C：p4(1_°)+C?5=03(6/_15°+10),

所以P(A)=P(3).

②設(shè)甲贏得比賽的概率為2,，設(shè)4="進(jìn)行2"局比賽甲最終獲勝”，B="第一局甲贏”，C="第二局

甲贏”，

則有&=P(A)=P(BC)P(A|BC)+P(BQP(A|BC)+P(BC)P(A|BQ+P(BC)P(A|BC),

而B(niǎo)C發(fā)生及BC發(fā)生意味著前2局比賽甲恰好贏一局，則甲在2〃局比賽最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)

甲在后續(xù)的2"—2局比賽中贏的局?jǐn)?shù)要大于〃—1,因此P(A|3心)=P(A\BQ=P2n_2,

在3c發(fā)生的條件下，甲已經(jīng)贏了前2局，

則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的2〃-2局比賽中贏的局?jǐn)?shù)要大于或等于〃-1,

T

則P(A|BC)=P2n_2+C<2P“(1一。尸；

在萬(wàn)心發(fā)生的條件下，甲輸?shù)羟?局，則甲最終獲勝當(dāng)且僅當(dāng)甲在后續(xù)的2”-2局

比賽中贏的局?jǐn)?shù)要大于〃，而這個(gè)事件可視為“甲在后續(xù)的2"-2局比賽中贏的局?jǐn)?shù)大于

與事件“甲在后續(xù)的2〃-2局比賽中恰好贏〃局”的差事件，

故P(A\BQ=&一2y_2P""PL，

因止匕4“=2p(l-+/[鳥(niǎo)“_2+G，P"T(1-。)7]+(1一-C屋2。"(1一

22+11n

=[27?(l-p)+p+(l-p)]^_2+C^2p"(l-pr--q?.2p(l-jpr

=P-+P"(1-P)i[l-p-(l-2p)n]

2n2二:1

11.2

令E”-舄々NO,得“〈白孑，則當(dāng)。=(時(shí)，n<一、:，

—zpo2￡

8

所以當(dāng)〃=2,即2〃=4時(shí)，鳥(niǎo)〃最大

2

19.已知函數(shù)"%)=te\t>0)的圖象廠(chǎng)與橢圓C:1+y2=ua>1)交于4曬個(gè)不同的點(diǎn).P()(0,/(0))是「上

的點(diǎn)，廠(chǎng)在Po處的切線(xiàn)交君由于點(diǎn)(2式旬,0),過(guò)Q1作蚌由的垂線(xiàn)交r于匕，r在P1處的切線(xiàn)交君由于點(diǎn)(22(。2，°)，

過(guò)(22作春由的垂線(xiàn)交廣于尸2,重復(fù)上述操作，依次得到(?3(。3，°)，<2式。4，°)，…，Qn(a?，0)-

(1)求旬，an;

(2)記直線(xiàn)/碘斜率為日

(i)設(shè)△AQnQn+i，△BQn+iQn+2的面積分別為sn,Tn,證明：k<Sn+Tn;

2k

(ii)^a=anan+1,求證：<

【答案】(1)%=-1an=-n(2)(i)證明見(jiàn)解析(ii)證明見(jiàn)解析

【解析】(1)由題意f'(無(wú))=tex,/7(0)=t,

廠(chǎng)在Po處的切線(xiàn)方程為y=tx+t,

令y=0，可得%=—1,

由＜2?（即,0）可知做a-te。"）,

fln

「在4處的切線(xiàn)方程為y=te（x—an+1），

令y=0可得an+i=czn—1,

從而數(shù)列｛an｝是以旬=-1為首項(xiàng)、公差為-1的等差數(shù)列,

所以an=-n.

（2）（i）設(shè)4（%i，為）,B（無(wú)2，為），

由題意與,4不同時(shí)為0，不妨令/片。且/＜%2，

y.y9

Sn=yIQn0n+lb"=萬(wàn)IQn+Mn+21，

a

由(1)可知|Qn+lQn+2l=\QnQn+l\=n~??+1=1，

則Sn=g=ge、i,7n=￡=ge%,

要證kVSn+Tn,

日口、〒^1-y2te"i-te*2teX1+te%2

即證左=----=---x---x--<--------

X1-X2i~22

xi%2

ee1+e2

即證J—<

%1-x22

令叫=e，，m2=e'z

m1-m2m1+m2

即證］n叫一皿嗎＜2

再令4=答。＞1）,即證仁（手，即證hU＞竽°

InA2A+l

構(gòu)造函數(shù)g(x)=Inx-2二(x>1),

則°'（X）=黑/＞0,由9。）單調(diào)性可得9。）＞g（D=。，

從而音＜￥得證，即k＜Sn+7k-

inAz

（ii）由（i）可知，k＜加"產(chǎn)=空,所以為+、2＞2人,

22

因?yàn)锳d=］，*￥=】‘

22

兩式相減可得口+丫2_丫2=0,

V

a2丁七，2

（叼-%2）（%l+%2）

即.+。1一%）（%+丫2）=°，

a2

2

即％i+x2=—ak(y1+y2),

22

兩式相加得曰+丫22=

a2

因?yàn)椋無(wú)2，所以%：+考>2萬(wàn)/2,

2,2

所以M〉小竽產(chǎn)

2,22,:2

所以2=詈+4+4>(x1+x2)+(y1+y2)

2a22

a%汕+獷+空文＞2日4+2人

22

即a2k4+fc2-1<o.

42

當(dāng)小=anan+1=n(n+1)時(shí)，有n(>+l)/c+fc-1<0,

22

即(nN+i)[(n+i)/c—1]<0，所以(ri+l)Zc-1V0,

從而卜<

J九十i

A.〃〃(Q+0)B.a-LbC.|a|+g|=3D.|a+2Z?|=1

5.已知角名用的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角a的終邊與圓。交于點(diǎn)A（l,2&）.動(dòng)

3TT

點(diǎn)尸以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)為三，當(dāng)角力的終邊為射線(xiàn)時(shí)，

tan4=（）

40-7口7-4行「9+40「9+40

AA-------D.---------C.----------U.--------

7777

6.已知隨機(jī)變量J~N（2Q2）,且2分1）=尸（毀4）,則工+旦（0＜X＜“）的最小值為（）

\7xa—x

A.5B.°C.型D.3

233

22

7.已知雙曲線(xiàn)C：三―%=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，尸2,點(diǎn)M是雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn),

直線(xiàn)串/交雙曲線(xiàn)C的左支于N點(diǎn).若|片可=2,區(qū)閭=3,|上網(wǎng)=4,且的外接圓交雙曲線(xiàn)

C的一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)夕（七,%）,則|為|的值為（）

A73B.￡1C.D.3

22

8.已知y=/(%)—3%是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，/(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(x)滿(mǎn)足了'(1+X)=,則

廣(2026)=()

A.3B.4C.5D.6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z-Z2對(duì)應(yīng)的向量分別為％,a2,則()

C.若卜—ZzHz+Z2I,則Z］Z2=0

D.若—gH%+g|，則q-%=0

5兀

10.把函數(shù)/(x)=J§sinox+cosox(0<o<3)的圖象向左平移石■個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.y(x)的最小正周期為九

7T

B./(%)的圖象關(guān)于直線(xiàn)％=—對(duì)稱(chēng)

6

c./(x)在(一￡,四)上單調(diào)遞增

124

jr27r

D.若/(x)在區(qū)間［-五,0上存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為+8)

11.如圖，正方體ABCD-4用GQ的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是其側(cè)面A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，點(diǎn)P是

線(xiàn)段CC］上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.存在點(diǎn)P,M,使得二面角〃—OC—P大小為二

B.存在點(diǎn)P,M,使得平面BRM與平面平行

C.當(dāng)P為棱C。的中點(diǎn)且PM=26時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為血兀

D.當(dāng)“為4。的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐A3