2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測模擬卷5（新高考地區(qū)專用）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷05

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填

寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

已知集合"={也”>4},集合5={1，2,3,4},則/—=（）

1.

A.⑶B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z0+i）=2,貝Jz|=

2.()

V2

A.V2B.1C.D.

~T~2

3.已知S“為等比數(shù)列{%}的前〃項和，若%-4a2,貝I4=（)

~I-

A.5B.9C.-9D.-5

若非零向量B滿足同=2W，且向量加在向量@上的投影向量是-;7

4.，則向量之與B的夾角為（

712715兀

A.-B.—C.D.

636

已知tana=3tan夕，則\R的最大值為（

5.)

cosya-p）

6B2石C2

A.1D.

3

929

6.已知(l+x>+(l+x)3H---F(1+x)=<70++a2x----Fa9x,則外的值為()

A.60B.80C.84D.120

7.如圖，直線）=±加與函數(shù)/（x）=sin（0x+o）（0>O,O<°<7i）交點的橫坐標分別為X[,X],%,若

A.yB.—C.更D,1

222

8.已知橢圓。：￡+《=1,稱點尸（后,%）和直線/：耳+駕1=1是橢圓c的一對極點和極線，每一對

a-ba~b~

極點與極線是一一對應(yīng)關(guān)系當P在圓外時，其極線/是橢圓從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點

弦所在直線）結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知P是直線y=-gx+4上的一個動點，過點?向橢圓

22

C:土+匕=1引兩條切線，切點分別為M,N,直線MM恒過定點T,當訪=而時，直線的方程

164

為（）

A.x+2y-4=0B,x+2y+4=0C.2x-j-4=0D.2x+v-4=0

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.甲，乙兩人在玩擲骰子游戲，各擲一次，設(shè)得到的點數(shù)分別為X,〉，A表示事件“x>4”，8表示事件

“了為奇數(shù)”，C表示事件"x+>>8”，。表示事件“x+>=7"，則下列不是相互獨立事件的有（）

A.A與CB.3與CC.C與DD.5與。

10.已知函數(shù)/'（X）=■）?+3*+為％—3,則（）

A.當機=4時，函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增

B.當加V3時，函數(shù)/（x）有兩個極值

C.過點（0,1）且與曲線y=/（x）相切的直線有且僅有一條

D.當加=1時，直線?+0-26=0與曲線y=/（x）有三個交點尸（%1，乂），0（%2，%）,氏（》3，%），則

X]+/+=-3

11.已知正方體48c。一4司。。1的棱長為1，點尸滿足於=底行+了赤+z而，其中x,y,2e[0,l],貝J

()

A.當x=y=z,2WO時，異面直線/尸與3C所成的角為45°

B.當》=以了wO,zwO時，為8//平面ZCP

C.當x+_y=l,z=0時，D1P±AyCx

D.當x+y+z=l時，線段4P的長度最小值為1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機變量X~N(4,42).若尸(X<3)=0.3,則尸(3<X<5)=,若y=2X+l,則丫

的方差為.

13.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為.

14.已知V4BC中，5C=1,28=2,瓜inO+5]=sin。-：],若的平分線交/C于點。，則AD的長為

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P-48CZ)中，底面4靦是矩形，尸。，底面/靦，且尸。=40=2,跪舛勺中點,

平面/應(yīng)'與線段切咬于點E

P

AB

(1)求證：ABHFE；

(2)若CF=逐，求直線應(yīng)與平面以才所成角的正弦值.

22:

16.設(shè)雙曲線C的方程為二—二=1（。＞。力＞0），直線/過拋物線/=8x的焦點和點（0,9.已知C的焦距

ab

為6且一條漸近線與/平行.

（1）求雙曲線。的方程；

4

（2）已知直線掰過雙曲線。上的右焦點，若加與C交于點45（其中點A在第一象限），與直線x二—交

3

TP

于點7,過丁作平行于。4的直線分別交直線054軸于點尸,0,求）.

17.已知數(shù)軸上有一質(zhì)點，從原點開始每隔1秒向左或向右移動一個單位長度.設(shè)它向左移動的概率為,，向

3

2

右移動的概率為了

（1）已知質(zhì)點2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負數(shù)，求2秒后該質(zhì)點在x=0處的概率；

（2）記質(zhì)點3秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為X,求刪分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.若函數(shù)/(x)=Alnx(2>0)與函數(shù)g(x)=1-￡的圖象在公共點處有相同的切線.

(1)當2=1時，求函數(shù)/(x)與g(x)在公共點處的切線方程；

(2)求。的最小值；

(3)求證：當x>0時，x(l-21nx)<a.

19.在一個整數(shù)數(shù)列：％,a2,L,為中，若對于一個數(shù)對（生，%）。＜，＜/＜〃），

存在另一個數(shù)對（外,q）（14左＜/＜〃），滿足一_0*

=2,則稱數(shù)對（%,%）是一個“有趣數(shù)對”.

（1）寫出整數(shù)數(shù)列：0,1,2,4,8的所有“有趣數(shù)對”；

（2）若〃=9,且｛4｝為等差數(shù)列，求所有“有趣數(shù)對”的個數(shù)；

（3）固定整數(shù)〃23,求一個〃項整數(shù)數(shù)列中“有趣數(shù)對”個數(shù)的最大可能值.

2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷05

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合”={也”>4},集合'={123,4},則小5=（）

A.{3}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【解析】???指數(shù)函數(shù)y=2&在R上單調(diào)遞增，

.,.由2工〉4=2?得了〉2,故A={x|x>2},

???8={1,2,3,4},

.?.An8={3,4}.

故選：B.

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z0+i）=2,則目=（）

A.V2B.1C.'D.41

22

【答案】A

【解析】因為z（l+i）=2,所以z=「=7\

所以忖=+(_])?_^2.

故選：A

§

3.已知S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若%=4%-4%,貝U——=()

Q]+Q?

A.5B.9C.-9D.—5

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%,｝的公比為q,顯然

2

由%=4a3—4a2，即a2q-4a2q-4%，

則q2=4q—4,解得q=2,

%(14)

所以S4_—1^2—

———3

+%+2%

故選：A

B滿足同=2可且向量“向量讓的投影向量是-3

4.若非零向量。，則向量訝與B的夾角為()

712兀571

A.-B.——C.—D.兀

636

【答案】B

d,b一1一

【解析】B在m上投影向量產(chǎn).。=一]〃

a-b]_|2

:.a-b=--lai

441

2

a-b―一同

1

則

2,

由于伍，.二@,B)=等

故選：B.

就sin方(a+的/?最)大值為(

5.已知tana=3tan0,則)

V3R273r1n2

333

【答案】B

sin(cr+^)_sinacosP+cosasin/3_tana+tan,_3tanp+tan/3

［角牟析］7"~———:"-

cos^a-p)cosacos/>+sinsin［31+tana-tanp1+3tanp

4tan(3444_2V3

2W----

1+3tanP：―-+3tan/32—1一.3tan/?2V3-3

tan/?-----------\tan/?

當且僅當」二=3tan/時取等，

tanp

故選：B.

6.已知(1+I)?+(1+1了+,,,+(1+X)9=%+d^X+a2/+…+Q/9,則出的值為()

A.60B.80C.84D.120

【答案】D

【解析】由題知名=C；+C；+Cj+…+C；=1+3+6+10+15+21+28+36=120,

故選：D.

7.如圖，直線y=土機與函數(shù)/(%)=5詁(。%+。)(0>0,0<。<兀)交點的橫坐標分別為為，%2,X3，若

【答案】A

【解析】由圖象知"X)圖象的對稱軸為直線％=與三=2,

即/'[51=1,可得方0+夕=]+2E:keZ,

又/(x)圖象的對稱中心為]“愛,0),即管,0),

所以可得1口+0=。左+i)私左￡z,

3=2

TT

解得《兀C,,又0＜。＜兀，所以。=一，

0=—+2E3

13

所以/(x)=sin(2x+]),則/j=sin12X；+gj=sing=；.

故選：A

22

8.已知橢圓C：[+[=1,稱點2(不，%)和直線/：%；+岑=1是橢圓c的一對極點和極線，每一對極

點與極線是一一對應(yīng)關(guān)系當尸在圓外時，其極線/是橢圓從點尸所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點弦

所在直線)結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知P是直線y=-gx+4上的一個動點，過點p向橢圓

22

C:二+二=1引兩條切線，切點分別為M,N,直線MN恒過定點T,當說=加時，直線"N的方程為

164

()

A.x+2y-4=0B,x+2y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0

【答案】A

【解析】設(shè)P[X°,—；XO+4],則MN的直線方程為，x。x?1_2"°+4]_

、~\64-

整理得，xo(%-2y)+16y-16=O

x-2y=0x=2/、

由＜?解得，二＜1,定點T(2,1)

16y-16=0y=l

MT=TN^則T為MN中點，kMN-k0T=-^:.kMN=-^

MN:y-l=-^(x-2),即x+2y—4=0.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.甲，乙兩人在玩擲骰子游戲，各擲一次，設(shè)得到的點數(shù)分別為x，y,A表示事件“X＞4”，8表示事件

“y為奇數(shù)”，C表示事件“x+y>8”，。表示事件“x+y=7"，則下列不是相互獨立事件的有（

A.A與CB.B與CC.C與。D.B與。

【答案】ABC

【解析】由題意得：事件A:“x>4”的情況有：

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）共12種，

101

所以P（A）=m=外

Jo3

事件3:“y為奇數(shù)”的情況有：（1,1）,（1,3）,（L5）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,1）,（3,3）,（3,5）,

（4,1）,（4,3）,（4,5）,（5,1）,（5,3）,（5,5）,（6,1）,（6,3）,（6,5）共18種,

所以尸（3）=U

362

事件C：“x+y>8”的情況有:（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,情,5）,（5,6）,

（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）共10種,

所以P(C)=2=A

Jolo

事件。：“x+y=7”的情況有：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6種,

所以P（D）=J.

6

7

對于A,因P（4C）=—/P（A）P（C）,則A與C不獨立，故A錯誤；

36

41

對于B,因P（BC）=w=§wP（B）P（C）,則8與C不獨立，故B錯誤；

對于C,因事件修〃不能同時發(fā)生，則P（CD）=0wP（C）尸（。），故C錯誤;

31

對于D,P（BD）=—=—=P（B）P（D）,則B與。相互獨立，故D正確.

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/（%）=/+3d+儂一3,貝I］（）

A.當m=4時，函數(shù)/（%）在R上單調(diào)遞增

B.當相W3時，函數(shù)/（%）有兩個極值

C.過點（0,1）且與曲線y=/（x）相切的直線有且僅有一條

D.當機=1時，直線依一刀+a-26=0與曲線y=/(x)有三個交點「(%；％),%)，尺(%，%)，則

“1+'2+”3=-3

【答案】ACD

【解析】A選項，機=4時，/(x)=x3+3x~+4-x—3,

/'(x)=3x2+6x+4=3(x+l『+l〉0恒成立，故函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，A正確；

B選項，/,(x)=3x2+6x+m,當m=3時，/'(x)=3/+6x+3=3(x+l『20恒成立，

此時在R上單調(diào)遞增，無極值，B錯誤；

C選項，顯然(0,1)不在y=/(x)上，設(shè)切點為A/,,/+3〃2+加〃一3),

因為/'(X)=3/+6x+m,所以/'⑺=3/+6n+m,

故切線方程為>一(“3+3〃2+nwi—3)=(3〃2+,

又切線過點(0,1),故1一(〃3+3n2+，〃〃-3)=-〃(3/+6〃+m),

整理得2/+3/+4=0，

設(shè)〃(“)=2/+3〃2+4,則+6〃

令"(〃)=0得〃=0或一1,

令"(〃)>0得”>0或〃<-1,令〃⑺<0得-1<〃<0,

故〃⑺=2/+3〃2+4在(_g,_l),(O,+s)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減，

其中/?(—1)=—2+3+4=5〉0,九(0)=4〉0,

又2)=0,故2/+3*+4=0只有1個根-2,

故過點(0,1)且與曲線y=/(x)相切的直線有且僅有一條，c正確；

D選項，當加=1時，f(x)=x3+3x2+x-3,

若b=0,直線-2b=0n工=-1,

此時與曲線/(%)=/+3%2+%—3只有1個交點，不合要求，故6w0,

bwO,直線依一刀+。-25=0與曲線/(x)=》3+3x2+x-3聯(lián)立得

x3+3x2+^^-x-l--=Q,

bb

設(shè)丁+-|-----X—1=(%—玉)(%一/，(%一七)，

bb

故+3%2H-----X—1-—(X]+%2+當)*+(%1%2+%2*3+X1%3)%—%工2"3'

bb

所以3=-(石+X2+X3)，則玉+%2+%3=-3，D正確.

故選：ACD

11.已知正方體ABC。—的棱長為1，點尸滿足而=1而+)南+z福，其中x,y,z￡[O/],則

()

A.當元=y=z,zwO時，異面直線AP與5c所成的角為45。

B.當x=y,y。0,2。0時，43//平面A"

C.當％+丁=1,2=0時，￡>]P_LAG

D.當%+y+z=l時，線段AP的長度最小值為1

【答案】BC

【解析】在正方體ABC。-A與G2中，以A為坐標原點，A氏AD,A4]分別為羽，z如圖建立空間直角坐

標系.

A(0,0,0),8(1,0,O),C(LLO),D(O,LO),

4(0Q1)，4(L0,I)，G(LL1)Q(0,L1),

AP=xAB+yAD+zA^,P(x,y,z),

A選項：設(shè)x=y=z=a/0,則AP=(a,a,a),BC=(0,1,0),設(shè)異面直線AP與BC所成的角為a,

\AP-BC\0V3

貝ijcosa=1_1_>［二,顯然aw45°,A選項錯誤;

|AP|.|BC|<3a3

B選項：AP=(x,x,z),CP=(x-1,x-1,z),BD=(-1,1,0),

AP-BD=-x+x=0__

J〈——.，即而是平面ACP的法向量，

CP,BD——x+1+%—1=0

又??,西?麗=0,???5瓦//平面ACP,B選項正確；

C選項：設(shè)X=a,則尸(a,1—/0),即印=(a,—a,—1),福=(1,1,0),則取?而=a—a=0,二

D.PLA.C,,C選項正確；

D選項：=Jr2+9+z?,,/x+y+z=1,則好+/+z?+2.+2%z+2yz=1

x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1<x2+y2+z2+%2+y2+x2+z2+y2+z2=3(%2+y2+z2)gp

x2+y2+z2<-,當且僅當x=y=z時取等號，

3

|AP|=yjx2+y2+z2>A=g,D選項錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機變量X?N(4,42).若P(X<3)=0.3,則P(3<X<5)=,若y=2X+l,則丫

的方差為.

2

【答案】①.0.4##-②.64

【解析】由題意可知：〃=4,。=4,即。(X)=16,所以。(y)=4D(X)=64；

因為3+5=2〃，且P(X<3)=0.3,

所以P(3<X<5)=1—2P(X<3)=0.4.

故答案為:0.4；64.

13.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為.

…328

【答案】—

3

如圖，作出正四棱臺的軸截面，設(shè)上底面邊長為2x,則下底面邊長為4x,，

則CM=CF=x,BM=BE=2x,ZCIM=-ZMIF,ZBIM=-ZMIE,

22

故NCZB=ZCIM+ZBIM=-(NMIE+NMIF)=90°,

2

口

在RtDC/B中，則由射影定理，IM?=CMBM得2x2=1，解得x=注，

2

于是棱臺的上底面面積為(2x)2=2,下底面面積為(4x)2=8,高為2,

故該正四棱臺的體積為：V=1x2x(2+V2^8+8)=y.

生田田二28

故答案為：-

3

14.已知△ABC中，BC=l,Afi=2,V3sin^B+^=sin^B-^,若的平分線交AC于點力,則80

的長為.

【答案】-

3

即$垣8=-68$氏又8?0,兀)，所以(：055/0,

2JT

則tanjB=—又5￡(。,兀)，所以5=?-,

7T

又因為AC為的平分線，所以，==

又因為AB=2,BC=1,在△ABC中,

由余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2xAB-BCcos/ABC=22+12-2x2xlx^j=7.

AHAF)

所以AC=J7,由角平分線定理知：一=—=2,

BCCD

所以AD=邁,。=也.

33

使用斯臺沃特定理求做的長度：

AB2DC+BC2AD^BD2AC+ADDCAC

小、物/吉/I252Pj,{2A/7r-

代入數(shù)值：4-+1?—^―=BRDn-v7+------v7

化簡得到：2s=AD?.6+應(yīng)7

9

c42

解得：BD-=—nBD=—

93

故答案為：-

3

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐尸—A3CD中，底面/比渥矩形，底面/加，且PD=AO=2,娓PC的中點,

平面/座與線段也于點￡

(1)求證：AB//FE；

⑵若CF=#)，求直線應(yīng)與平面比撕成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)叵

30

【解析】(1)在矩形ABC。中，AB//DC,

又AB0平面DCP,DCu平面DCP,

所以A3〃平面DCP,

又因為ABu平面A2E,且平面ABEc平面。CP=FE,

所以

(2)由(1)可知在〃DC,

又因為￡是「。的中點，所以碳PZ>的中點,

因為CF=&，即Jm+￡>>2=6,故cz)=2.

因為，平面ABCD,AD,DCu平面ABCD,

所以PD,AD.PDLOC

又在正方形ABC。中，ADLCD,

所以D4,OC,DP兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標系。-孫z,

則5(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),F(0,0,l).

所以而=(―2,—1,1),而=(―2,—2,1),就=(-2,0,0),

設(shè)平面BCN的一個法向量為五=(X,y,z).

BF-n=0[~2x-2y+z=0

由＜—.，得＜c八，

BCn=Q1-2%=0

令y=l,得力=(0,1,2),

設(shè)直線BE與平面BCF所成角為6,

I-.IBE-n\i730

貝ijsin0=cosBE,n[=--=—f=——產(chǎn)=-----.

11BE\\n\V6xV530

故直線應(yīng)與平面比嘛成角的正弦值為叵.

30

22

16.設(shè)雙曲線C的方程為「—3=1(。〉01＞0),直線/過拋物線y2=8x的焦點和點(01).已知C的焦距

a~b"

為6且一條漸近線與/平行.

(1)求雙曲線C的方程；

4

（2）已知直線機過雙曲線C上的右焦點，若機與C交于點A8（其中點A在第一象限），與直線》=—交

3

TP

于點T,過T作平行于0A的直線分別交直線軸于點P,Q,求而.

22

【答案】（1）匕-匕=1（2）1

45

【解析】（1）因為拋物線產(chǎn)=股的焦點為（2,0）,

b

所以直線/的斜率勺,

2

因為雙曲線C的一條漸近線與/平行，

bb

所以—=—,即。=2.

a2

又因為雙曲線。的焦距為2c=6,即。=3,

22

所以力2=c_a=5,

22

所以雙曲線C的方程為匕-&=1.

45

（2）雙曲線C的右焦點為（3,0）,

由題意知直線機的斜率存在且不為0,

設(shè)直線m的方程為x=畋+3（用w0）,A、％%）,8（々，%），

（22

土—匕=1

聯(lián)立<45，消去x得（5”，一4）丁+30冽y+25=0,5加一4/0,

x=my+3

且△=400（1+m2）>0,

30m25

所以X+%=-，%%=

5m2-45m2-4

45

將x=§代入x=my+3^y

T3m

45

所以T§'一茄

直線加方程為、一:一.'與直線°比尸左x聯(lián)立'

可得y=4Mxy2+5%%=4加%%+5（加乂+3）%=3加%為+5%

小’3m[x2yi-xly2）3m[（my,+3）+3）y2]3m（%一%）

因為X%=一^~（乂+%），

6m

所以/「：5+%）+5%T（Xf）_5.

p3機（%一〉2）3加（X一〉2）6m

因為y°=o,所以％=力；兒,

TP

所以尸為TQ的中點，即「=1.

17.已知數(shù)軸上有一質(zhì)點，從原點開始每隔1秒向左或向右移動一個單位長度.設(shè)它向左移動的概率為:，向

2

右移動的概率為了

（1）已知質(zhì)點2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負數(shù)，求2秒后該質(zhì)點在x=0處的概率；

（2）記質(zhì)點3秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為X,求瓶分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）|（2）分布列見解析，1

【解析】（1）記質(zhì)點2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負數(shù)為事件4記2秒后質(zhì)點在x=0處的概率為事件反

則P（A）=gxg+C；xgxg=：,P（AB）=P（B）=C2X|X|=|,

4

故所求的概率為尸（81A）=勺學(xué)=告=上

「網(wǎng)82

9

（2）X的可能取值為：一3,—1,1,3.

尸(x=T3?x|=|，

p(x=i)U、鴻,

分布列如下:

X-3-113

1248

P

279927

124R

數(shù)學(xué)期望E(X)=(-3)x萬+(_l)xg+lx§+3x方=L

18.若函數(shù)/(x)=21iu(2〉0)與函數(shù)g(x)=1-2的圖象在公共點處有相同的切線.

(1)當2=1時，求函數(shù)/(%)與g(x)在公共點處的切線方程；

(2)求a的最小值；

(3)求證：當x>0時，x(l-21iu)<a.

【答案】⑴y=x-l(2)1(3)證明見解析

【解析】⑴當4=1時，/(力=山，設(shè)優(yōu),為)為“X)與g(x)的一個公共點

1叫=1---r_

/'(x)=±g'(x)=q，°n/o]，二切點(1,0),左=i

xxla[Q=]

、%o%o

A“X)與g(%)在公共點處的切線方程為y=X-1.

(2)設(shè)尸(%,%)為/(X)與g(x)的一個公共點，/(x)=a,g<x)=0

JCJC

Alnx=1--,?

0xa

<°,由②n=a>0,/.X=一代入①，

，②/

[/X。

a..a/.,、1In/+11

=>—InXQ—1-----,..〃(In+1)=.——----------,XQ>一

xQx0aX0e

令Mx)=?;.〃(x)」-(『Y=0nx=l

當!<X<1時,

〃<x)>O,/z(x)在區(qū)間單調(diào)遞增;

e

當x〉l時，〃(x)<O,/i⑺在(1,+8)單調(diào)遞減,當x=l時，〃'(x)=0,

a

當且僅當Xo=l"=l時取"="，?.?amin=L

11

(3)由(2)知，a=---------,x0>—

lnx0+1liu:0+1-------e

1x

o證:x>0時,x\1-----—liu<°

、lnx0+1)lnx0+1

即證：