2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：向量法求空間角（含探索性問題）

第06講向量法求空間角（含探索性問題）

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過............................................6

高頻考點(diǎn)一：異面直線所成的角....................................6

高頻考點(diǎn)二：直線與平面所成的角（求直線與平面所成角（定值問題））....14

高頻考點(diǎn)三：直線與平面所成的角（求直線與平面所成角（最值問題））....19

高頻考點(diǎn)四：直線與平面所成的角（已知線面角求其他參數(shù)（探索性問題））

...................................................................................................................................28

高頻考點(diǎn)五：二面角（求平面與平面所成角（定值問題））..............38

高頻考點(diǎn)六：二面角（求平面與平面所成角（最值問題））..............46

高頻考點(diǎn)七：二面角（已知二面角求其他參數(shù)（探索性問題））........59

第四部分：新定義題.................................................73

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)一：異面直線所成角

設(shè)異面直線乙和4所成角為。，其方向向量分別為M，V；則異面直線所成角向量求法：

U-V

①cos<u,v>=---

\u\\v\

②cos0=|cos<u,v>\

知識(shí)點(diǎn)二：直線和平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為平面a的一個(gè)法向量為〃，直線/與平面a所成的角為。，則①

a-n

cos<a,n>=-----；

\a\\n\

②sin0=|cos<a,n>\.

知識(shí)點(diǎn)三：平面與平面所成角（二面角）

（1）如圖①，AB,CD是二面角a-l-/3的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的直線，則二面角的大小0=<AB,CD>.

（2）如圖②③，%,%分別是二面角。一/一，的兩個(gè)半平面口，，的法向量，則二面角的大小。滿足：

①cos<n,,n2>=巧.

②cosC=±cos<4，%>

若二面角為銳二面角（取正），PI!]COS9=|COS<%,%〉|；

若二面角為頓二面角（取負(fù)），]J}i|cose=—|cos<n1,n2〉l；

（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是

鈍二面角.）

第二部分：高考真題回顧

1.（2024?全國(guó)?高考真題（甲卷理））如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABC。

與四邊形AOE尸均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=26,M

為AD的中點(diǎn).

（1）證明：3加//平面0）公

⑵求二面角尸-BAf-E的正弦值.

【答案】⑴證明見詳解；

⑵迪

13

【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、面面角的向量求法

【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形3coM為平行四邊形，可證R0//CD,進(jìn)而得證；

（2）作30LAD交AD于0,連接0尸，易證08,/三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即

可求解.

【詳解】（1）因?yàn)?。/40,所=2,40=4,/為4。的中點(diǎn)，所以3C//M。3C="￡>,

四邊形BCDM為平行四邊形，所以現(xiàn)"/CD,又因?yàn)榧觙a平面CDE,

CDu平面CDE,所以〃平面0）3

（2）如圖所示，作30,40交4。于0,連接OF,

因?yàn)樗倪呅蜛3。為等腰梯形，BC//AD,AD^4,AB=BC=2,所以CD=2,

結(jié)合（1）為平行四邊形，可得BM=CD=2,又AM=2,

所以—ASM為等邊三角形，。為AM中點(diǎn)，所以08=6，

又因?yàn)樗倪呅蜛ZJEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,EF〃MD,

四邊形￡RWD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF,

所以為等腰三角形，ABM■與Z\AF做底邊上中點(diǎn)。重合，。/工人"，OF=AF2-AO2=3,

因?yàn)?82+0尸2=3尸2,所以Q5,o「，所以。3,0￡?,0尸互相垂直，

以08方向?yàn)閤軸，方向?yàn)?，軸，0P方向?yàn)閦軸，建立。-孫z空間直角坐標(biāo)系，

F（0,0,3）,B（V3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（-73,1,0）,BF=（-73,0,3）,

BE=q-6,2,3,設(shè)平面5EM的法向量為沅=

平面現(xiàn)歷的法向量為元=（%2療2*2），

m-BM=0-yf3x1+弘=0

則即《令玉=后得％=3,Z]=1,即沅=(V3,3,l),

m?BF=0+3Z]=0

n-BM=0+必=。

,令％=有),得以=3*2=-1

YI-BE=+2y2+3Z2=0

//—\m-n1111A

即”（忘3，T），c°sm”麗=標(biāo)卮=廿則sin九〃=若F\,

故二面角尸的正弦值為生8.

13

2.（2024?全國(guó)?高考真題（新高考口））如圖，平面四邊形ABCD^P,AB=8,CD=3,AZ）=5石，ZADC=90°,

2i

ZBAD=30°,點(diǎn)、E,F^SLAE=-AD,AF=-AB,將△AEF沿EF翻折至！PEF,使得PC=46.

P

⑴證明：EFLPD-,

⑵求平面PCD與平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

8A/65^

65

【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法

【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得EF^AD,則EF±PE,EF±DE,

結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PE_L￡D,建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,利用

空間向量法求解面面角即可.

【詳解】(1)由A8=8,AP=5"AE=|AD,AF=；AB,

得AE=2&AF=4,又/BAD=30",在△AEF中，

由余弦定理得EF=VAE2+AF2-1AE-AFcosZBAD=J16+12-2.4-26.咚=2,

所以AE2+￡F2=A尸，則AE_LEF,即所工AD,

所以EF，PE,EF，DE,又PE[DE=E,PE、DEu平面尸￡組，

所以EF_L平面尸￡>E,又PDu平面尸DE,

故EF_LPD-

(2)連接CE,由ZADC=90",ED=36,CD=3,貝I]CE2=ED。+CD?=36,

在/PEC中，PC=45PE=2&EC=6,EC2+PE2=PC2,

所以PEJ_EC,由(1)知PEJLEF,又ECEF=E,EC、EFu平面ABC。,

所以尸E_L平面ABC。，又EDu平面ABCD,

所以PELED,則尸E,￡F,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

貝I]E(0,0,0),P(0,0,26),D(0,3有,0),C(3,36,01,F(2,0,0),A(0,-2月,0),

由尸是AB的中點(diǎn)，得3(4,2瘋0),

所以PC=(3,3e，-2右),PD=(0,36,-26),PB=(4,26,-26),PF=(2,0,-2白)，

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個(gè)法向量分別為〃=Z|),〃2=(x2,y2,z2),

則n-PC=3xt+36y「2y/3zl=0m-PB=4x2+2>j3y2-2A/3Z2=0

n-PD=36y「2百z1=0m-PF=2x2-2A/3Z2=0

7

令J1=2,x,=-/i,得Xj=0,Z|=3,y2=—1,z2=1,

所以"=(0,2,3),m=(A/3,-1,1),

所以k°s私"=抨=—=等，

設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為6,貝l|sin。=Vl-cos26?=如叵，

65

即平面PGD和平面正電所成角的正弦值為空I.

65

>

y

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：異面直線所成的角

典型例題

例題L（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，平行六面體ABC。-ABC2的所有棱長(zhǎng)為2,四邊形

JT

ABCD是正方形，==點(diǎn)。是用C與Bq的交點(diǎn)，則直線40與C。所成角的余弦值為（）

C.近1

A.1B.一D.-

622

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理及其應(yīng)用、異面直線夾角的向量求法

【分析】首先利用基底表示向量A0,再將異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為向量夾角的余弦公式，即可求解.

【詳解】取2c的中點(diǎn)尸，連接AF,FO,因?yàn)樗灾本€AO與所成角即為AO與AB所成的

角，所以40=4尸+歹0=43+34￡>+)9，

01o7rl7T

=2+—x2x2+2x2xcos—+—x2x2xcos—=9,

4323

即卜。卜3,又因?yàn)锳O.AB=AB,+gAD.AB+gAB.AA!=5,

AOSB555

所以cosO=右二，所以直線。與■所成角的余弦值為［

|AO|-|AB|A

故選：B.

例題2.（24-25高二上?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，CA=CB=1,ZBC4=90°,

棱e=2,N為A|A的中點(diǎn).

⑴求3N-gC；

⑵求直線AB與B?所成角的余弦值.

【答案】（1）；

⑵叵

10

【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、異面直線夾角的向量求法

UUD1uun1UUUULU1UUUULULOLL

【分析】（：L）根據(jù)線性運(yùn)算得到BN=-48+1/^,4C=-朋-AB+AC,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)

算即可；

UUUUUU

（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律得到然后求夾角的余弦值即可.

【詳解】（1）因?yàn)椤?=CB=1,ZBCA^90°,所以==應(yīng)，

uuinuuir/uimuum（uuiruun、

BN-B?=f-AB+A2VxI-（―3用+BC\

（uuniuuirA/uuuuuuuum

=\-AB+-A\M-AX-AB+ACx）

iuuii|2uunuumilUuiip

=|AB|-AB-AC--^!

=2-A/2-COS450--X22

2

=—1.

uuuuuir,uunULmx/uuuruunuum

(2)AB^C=I-AAj+ABjl-AAj-AB+AC

|ioi|2|ULK|2umumn

=AA,-AB+ABAC

=4—2+1

=3,

因?yàn)锳BC—A4G為直棱柱，所以BBJBC,

所以48=7^=",gC=5/^TT=VL

設(shè)直線AB與直線BtC所成角為。,

uuiiuuir

I/UUWuuir.|AtBBtC3病

所則cos3=|cos（A?，3|C）|=uuii||Uuir=7-廣=.

1'/IM網(wǎng)c，6X，510

例題3.（23-24高二上?北京延慶?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為正方形，PAL底

面ABCD,AB=AP,E為棱PD的中點(diǎn).

（1）求直線AE與平面尸所成角的正弦值；

⑵若尸為A5中點(diǎn)，棱PC上是否存在一點(diǎn)使得同以，AC,若存在，求出黑的值，若不存在，說明

理由.

【答案】（1）1

3

PM1

⑵存在一點(diǎn)M,使得9,AC,止匕時(shí)/=彳

MC3

【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量、線面角的向量求法

【分析】（1）以A為原點(diǎn)建系，設(shè)AB=2,求出AE和平面尸BD得法向量〃，則所求的線面角正弦值等于

卜；

PM

（2）設(shè)CM=XCP，求出和AC的坐標(biāo)，令H〃.AC=0，解出2即可得出77｝的值.

MC

【詳解】（1）

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)A6=AP=2,

則4（0,0,0）,5（2,0,0）,0（020）,尸（0,0,2）,￡（0,1,1）,

.-.AE=(0,1,1),=(-2,2,0),BP=(-2,0,2),

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

n-BD=0f-2x+2y=0

則《，即《

n-BP=01_2x+2z=0

令z=l,得〃=(1,1,1),

/ri-AEIxO+lxl+lxlV6

\/\n\-AEA/12+12+12.VO2+12+12~T

直線AE與平面尸3D所成角的正弦值為逅;

3

(2)C(2,2,0),0(1,0,0),

CP=(-2.-2,2),AC=(2,2,0),FC=(1,2,0),

設(shè)CA7=4cp=(-22,-22,2A)(O<2<1),

FM=FC+CM=(1-2A,2-2A,2A),

FM±AC,

:.FM-AC=0，

.-.2(1-22)+2(2-22)=0,

解得人，3

4

,PM1

"MC"3'

練透核心考點(diǎn)

1.(24-25高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí))空間四邊形ABC。中，AB=2,3C=a?=l,AD=3,且異面直線

AD與BC成60。，求異面直線A5與C。所成角的余弦值為.

【答案】1/0.5

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法

【分析】先得到4。-8C=A5+a)，兩邊平方后，結(jié)合邊長(zhǎng)和直線AD與所成角得到方程，求出

8$4氏。=：或＜；0$42,。=2,舍去不合要求的解，得到答案.

【詳解】因?yàn)锳O=A8+8C+CD，所以AD-BC=A8+C。，

兩邊平方得AD?-2AD-BC+BC2=AB2+2ABCD+CD1，

AB=2,BC=CD=1,AD=3,且異面直線AD與BC成60°,

1Q

故4￡).20=|叫.園際60。=3、1*；=5,

或?BC=B^cos120°=3x1x3

2

所以9-3+l=4+2x2cosAB,C￡)+l,^9+3+l=4+2x2cosAB.CD+l,

解得cosAB,Cr>=；,或cosAB,C￡>=2(舍去)，

所以異面直線A5與。所成角的余弦值為;.

故答案為：!

2.(23-24高二上?天津?期中)如圖，在三棱錐尸—ABC中，底面ABC,NB4c=90。，點(diǎn)、D,E,N

PA=4,AB=AC-2.

(1)求證：MN"平面BDE；

(2)求直線CE與平面BZ汨所成角的正弦值;

4

⑶已知點(diǎn)”在棱上，且直線N"與直線BE所成角的余弦值為求線段AH的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析

(2)普

【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、已知線線角求其他量、線面角的向量求法

【分析】（1）取中點(diǎn)f，連接根據(jù)條件證明出平面〃平面3DE,由此可證明MN//平

面8OE；

（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，求解出平面的法向量，然后根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角的余

弦值求解出結(jié)果；

（3）設(shè)出點(diǎn)//的坐標(biāo)，分別表示出直線而,BE的方向向量，根據(jù)方向向量夾角的余弦值求解出AH的長(zhǎng)

度.

【詳解】（1）取AB中點(diǎn)尸，連接如下圖所示：

因?yàn)?，/為ARAB中點(diǎn)，所以MF/ABD,

又因?yàn)槠矫嫔鞤E,Mu平面瓦加，所以MF//平面3DE,

因?yàn)镹,尸為AB,C8中點(diǎn)，RE為PAPC中點(diǎn)，

所以N尸〃ACDE//AC,所以NF//OE,

又因?yàn)槠矫鍮DE,DEu平面BDE,所以NF〃平面3DE，

又因?yàn)镹FcMR=P,Nf,MFu平面FMN,所以平面RWN〃平面3DE,

又因?yàn)镸Nu平面FMN,所以MN//平面3DE.

（2）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

N

又8(2,0,0),C(0,2,0),0(0,0,2),磯0,1,2),

所以CE=(0,-l,2),D3=(2,0,-2),DE=(0,l,0),

設(shè)平面一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n?DB=0x-z=0

所以,所以

n?DE=0y=0

令x=l,則y=0,z=l,所以〃=（1,0,1）,

設(shè)直線CE與平面以汨所成角為8,

所以sine4cos=巫，

I'AV5xV25

所以直線CE與平面所成角的正弦值為亞.

5

（3）設(shè)H（0,0，M（0WmW4）,且N（L1,O）,

所以AW=(-1,-1,m),BE=(-2,1,2),

所以上0$（砥,3耳卜|2-l+2m|4

J療+2.J1+4+49

123

化簡(jiǎn)得20m2+36根—23=0,解得m或根=一二（舍）,

210

所以=

2

3.（23-24高二上糊北黃岡?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA_L平面ABC。，且四邊形ABC。

7T

為直角梯形，ZABC=ZBAD=~,PA=AD=2,AB=BC=1.

2

（1）求直線4）與平面PCD所成角的正切值；

⑵點(diǎn)。是線段3P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線C。與OP所成的角最小時(shí)，求線段8。的長(zhǎng).

【答案】（1）日

（2）乎

【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量、線面角的向量求法

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角的正弦值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解正切

值；

（）利用異面直線夾角的向量公式得利用換元法可得尸義,

2cos?結(jié)合函

數(shù)y=co除在（0胃）上的單調(diào)性，計(jì)算即得結(jié)論.

【詳解】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD,AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)-邙，如圖,

由題可知3（1,0,0）,C（l,l,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）.

所以AD=（O,2,O）,設(shè)直線AD與平面尸CD所成角為6,

因?yàn)镻C=（1,1,-2）,9=（0,2,-2）,設(shè)平面尸6的法向量為〃?=（x,y,z）,

m-PC=0x+y-2z=0、

由，得2y-2z=。'取尸1'得八(zI』』),

m-PD=0

AD-m6_______17

所以sin6=|cosA￡>,m|=-----r.~~=—r~,所以cosd=Vl-sin2^=——

AD\\m\33

所以tan0=包@=也

cosff2

(2)因?yàn)?尸=(一1,0,2),設(shè)3Q=ZBP=(-4O,2/l)(O4/l41),

又CB=(0,-1,0),則CQ=CB+BQ=(-A,-1,22),

又8=(。,-2,2),從而CM。。，〃”崗嬴二^^，

2

r[cos/cC,DP\=—-------=---------<-------<—

設(shè)1+2幾=八Ze[l,3],貝ij\*/5廣一lOf+99「_5]+型10,

當(dāng)且僅當(dāng)/即力=|時(shí)，卜os（CQ,D啡勺最大值為零,

因?yàn)閥=co5在上是減函數(shù)，且直線CQ與DP所成角的范圍為0,^

則當(dāng)4=2]時(shí)直線CQ與。尸所成角取得最小值.

又因?yàn)?P=Jf+2?=小,所以3Q=]BP=孚.

高頻考點(diǎn)二：直線與平面所成的角（求直線與平面所成角（定值問題））

典型例題

例題1.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）某中學(xué)組織學(xué)生到一工廠開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，加工制作帳篷.將一塊邊

長(zhǎng)為6m的正方形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形（其中

AA=BB'=CC'=DD'=2m）,然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)四棱錐型的帳篷（如圖②）.該

四棱錐底面ABC。是正方形，從頂點(diǎn)P向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心，則直線P4與平面E5C所

成角的正弦值為.

圖①圖②

【答案】姮

5

【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法

【分析】設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，。408。尸所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，求出平面P8C的法向量以及尸4的坐標(biāo)，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

【詳解】設(shè)AC與的交點(diǎn)為點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，Q4所在直線為x軸，03所在直線為y軸，0P所在直

線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題意可知，AB=2y/2,AO=2,PA=y1]2+32=y/id,:.PO=>JPA1-AO2=76，

故A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,國(guó),PA=(2,0,-娓).

設(shè)平面PBC的法向量為〃二（及y,z）,又PB=（0,2,-遙）,PC=（-2,0,-遙）,

PBn=U,2y-y[6z=0,

則有《即＜

PCn=0,—lx—y/^z=0,

令2=瓜,可得平面尸的一個(gè)法向量為〃=（-3,3,遙）.

設(shè)PA與平面PBC的法向量〃的夾角為夕,

PAn-6-6_715

貝“cos6|=|j4+6.j9+9+6—5

MH

則直線PA與平面PBC所成角的正弦值為姮.

5

故答案為：姮

5

例題2.（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O-.Z中，A（l,l,r）,B（2,2,4）,P（0,0,5）,

若平面ABC的一個(gè)法向量克=（3,1,-1）,直線AP與平面ABC所成角的正弦值為

【答案】叵

11

【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法

【分析】根據(jù)法向量求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用線面角的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果.

【詳解】由A?！?）3（2,2,4）可得？15=（1,1,4-r）,

又平面ABC的一個(gè)法向量加=（3,1,-1）,

uuu「口口

ABm=3+l-4+r=0,艮|3%=0.

又A。,1,0）,P（0,0,5）,則直線AP的一個(gè)方向向量為AP=（-1,-1,5）,

又平面A8C的?個(gè)法向量機(jī)=（3,1,-1）,

因此直線AP與平面A3C所成角的正弦值為卜os仇,AP）=m'AP—9

|m|-|AP|而x莊11

故答案為嚕?

例題3.（2025?黑龍江大慶?一模）如圖，在平面四邊形ABCD中,AB//DC,△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角

形，。。=3,。為"的中點(diǎn)，將△入"沿OD折到，尸C?的位置,PC=V13.

（1）求證：PO工BD；

(2)若E為PC的中點(diǎn)，求直線BE與平面PDC所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵孚

【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、線面角的向量求法、證明線面垂直

【分析】(1)首先證明尸CD,即可得到從而得到03,平面尸OD,即可證明

再證明。尸_L平面BODC,即可得證;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面即C的法向量與直線8E的方向向量，再由空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)依題意△河是邊長(zhǎng)為2的正三角形，。為AB的中點(diǎn)，所以

所以C?_LPO,ODLBO,PD=2,CD=3,PC=V13,

則尸￡>2+cr）2=pc2,所以尸DLCD,又ABIIDC,即O3〃OC,所以O(shè)B_LPD,

又ODcPD=D,0D,P￡>u平面POD,所以O(shè)B_L平面尸OD,

因?yàn)镺Pu平面POD,所以

又OBOD=O,。8,?！?gt;<=平面80℃,所以。尸，平面3ODC,

又3￡>u平面3ODC,所以PO_LBD；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),P(0,0,l),。(0,道,0),C(3,^,0),E33]

、

2Jl1,DC=（3,0,0）,DP=（0,-^,l）

所以BE=，,

2~227

n?DC=3x=0

設(shè)平面PDC的法向量為“=(x,y,z),貝卜,令“=（0,1，⑹,

n?DP=+z=0

BE,川V3715

設(shè)直線BE與平面尸DC所成角為6,貝心皿"=

呻「2x且一5

2

所以直線8E與平面PDC所成角的正弦值為姮

5

練透核心考點(diǎn)

1.(24-25高二上?上海?隨堂練習(xí))在長(zhǎng)方體ABC。-4耳。|，中，已知異面直線4C與AD,與所

成角的大小分別為60。和45。，則直線與。和平面ABC所成的角的余弦值為

【答案】^/1V3

【知識(shí)點(diǎn)】求空間圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)、求平面的法向量、已知線線角求其他量、線面角的向量求法

【分析】設(shè)">=1,由題意求出長(zhǎng)方體的棱A3,的長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的法向

量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】設(shè)">=1,AB=a,AA=c,則AC=J（?+l+c2,

由于AD〃3C,所以異面直線AC與所成角為=60,而3c=4。=1,從而4。=2,

由于AB〃CD,所以異面直線AC與AB所成角為44,。。=45。，從而

所以a=0,c=l.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以D4、DC、DR所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0,0,0）,A。，。」），（l,V2,0）,C（0,V2,0）,耳。，虎,1）,

^0=(-1,-72,-1),48=(0,&,-1),BC=(-1,0,0).

設(shè)平面A3。的法向量為祠=（%y,z）,

,.=忘,一=。，取”便遍

則

%BC=r=0'7

口.B[D」一應(yīng)一閩

所以直線耳。和平面A.BC所成的角的正弦值為

—氐2-3，

從而直線利和平面ABC所成的角的余弦值為*

故答案為：B

3

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD//BC,ABAD,AB=AD^2,BC=1,PD±

平面BIB.

⑴求尸c的長(zhǎng);

（2）若PD=1,求直線與平面PCD所成角的正弦值

【答案】⑴6

【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、線面角的向量求法、證明線面垂直

［分析1（1）首先根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)得OCLPD,OCLAD,再利用線面垂直的判定與性質(zhì)得OCLPO,

PD±AP,最后利用勾股定理求出線段長(zhǎng)；

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的一個(gè)法向量，最后再利用線面角的空間向量法即可得到

答案.

【詳解】（1）取AD中點(diǎn)。，連P。，CO,由BC//AO,8c=40,所以四邊形A6C0為平行四邊形，故OC〃AB.

由尸￡（_L平面ABu平面有PD_LAB,所以O(shè)CJ_P￡>.

y.AB±AD,所以O(shè)C_LAD,又A￡>IPD=D,A￡>,POu平面尸AQ,所以O(shè)C_L平面PAD.

由OPu平面尸AO,所以O(shè)C_LPO.

由尸￡>_L平面上48,APu平面R45,有P￡>_LAP,故。尸=；AO=L

又OC=AB=2,故PC=，O尸+OC?=#）.

（2）以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OCQD為x,V軸的正方向，

以過。且與平面ABCD垂直向上為z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

又A(0,-l,0),C(2,0,0),￡>(0,1,0),

C1.

CD=(-2,l,0),PD=0,-,-^-

設(shè)平面PCD的法向量〃=（X,y,Z）,

—2x+y=0

n-CD=0

n-PD=0

取z=2,得到平面PCD的一個(gè)法向量〃=（瓜2百,2）.

設(shè)直線PA與平面PCD所成角的大小為6,

I/\!\n-PA\464M

則sin6=|cos*=T1—_■

?'71?|.|PA尋曬―19

所以直線叢與平面口所成角的正弦值為警.

高頻考點(diǎn)三：直線與平面所成的角（求直線與平面所成角（最值問題））

典型例題

例題1.（23-24高二上?江蘇無錫?階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)/在正方體ABCZ）-A瓦GR從點(diǎn)耳開始沿表面運(yùn)動(dòng)，且

與平面AOG的距離保持不變，則動(dòng)直線A"與平面所成角正弦值的取值范圍是.

【答案】耳,告］

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角、線面角的向量求法、立體幾何中的軌跡問題

【分析】因?yàn)槠矫鎈DCJI平面B,AC,所以可知M的移動(dòng)軌跡，進(jìn)而可以通過建立空間直角坐標(biāo)系

求解直線AM與平面所成角正弦值的取值范圍.

【詳解】如圖，連接瓦C,用A,AC,易知B.CHA.D^.AHCQ,

所以平面A.DCJ/平面B.AC.

因?yàn)辄c(diǎn)M與平面\DC｛的距離保持不變，

所以點(diǎn)M的移動(dòng)軌跡為三角形B.AC的三條邊，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)正方體ABC。-A與G2的邊長(zhǎng)為2

則4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A(2,0,2),Bt(2,2,2),￡(0,2,2),D,(0,0,2)

所以以=(2,0,2),DQ=(0,2,2),ABt=(0,2,2)

設(shè)平面DAG的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z)

D\?〃=2x+2z=0

則令z=—l,則尤=l,y=l,所以“=(1,1,1)

DCX-n=2x+2z=0

當(dāng)點(diǎn)〃在線段Ag時(shí)，設(shè)AM=XAB]=(0,22,22),[0,1],

所以AAf=3-9=(0,24,24)-(0,0,2)=(0,22,22-2)

設(shè)直線A"與平面A^G所成角為。

I/\n-\M|42-2|

則sin。=cos”,AM=L-=/一上

1'/I阿AM⑸8-2-8—+4

令t=42—2,貝Ve[—2,2]

8

所以s'好

+8

所以當(dāng)好0,即見二時(shí)，（sinO）M="

2'/mdx3

此時(shí)點(diǎn)M為線段A坊的中點(diǎn).

當(dāng)“在線段用c時(shí)，同理可求得（sin。）1nm=：

此時(shí)點(diǎn)聞與點(diǎn)C重合.

綜上所述，直線AM與平面所成角正弦值的取值范圍為4半］

故答案為：4，。］

例題2.（23-24高一下?河南許昌?期末）在三棱錐P—45C中，若AB=3,BC=6,且尸8=6，

PA=C，PC=3瓜,。為底面VABC內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，則尸。與底面A5C所成角的正弦值的取值范

圍為.

【答案】悟,￥

lo2

【知識(shí)點(diǎn)】求線面角、線面角的向量求法、用兩點(diǎn)間的距離公式求函數(shù)最值

【分析】利用空間向量法來確定產(chǎn)坐標(biāo)，再利用空間向量法來求線面角正弦值，最后利用解析幾何思想,

數(shù)形結(jié)合找到最優(yōu)解求值即可.

因?yàn)樗砸?為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

又因?yàn)锳B=3,BC=6,則4(3,0,0),C(0,6,0),設(shè)尸(x,y,z),

BP=^x,y,z),AP=(x-3,y,z),CP=(%,y-6,z)

又由PB=庭，PA=6，PC=3#可得，

222

x+y+z=6x=2

(x-3)2+y2+z2=3,解得y=T,則尸(2,

x2+(y-6)2+z2=54z=1

mn八

—+—<1

36

由。為底面VABC內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)。(根,〃,0),且＜m>0

n>0

則PQ=(租—2/+1,-1),設(shè)尸。與底面A3C所成角為6,

由于平面ABC的法向量可取為"=(0,0,1),

則si“J小|=,1,

|l?|-|Pe||J(--2)2+("+1)2+1

把("7-2)2+5+1)2看成動(dòng)點(diǎn)。到定點(diǎn)M(2,T)的距離的平方,

在底面VABC內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)中，sin底最小值最優(yōu)解是(0,6),代入得si"=/0_2)2+(6+iy+]=

sin。最大值是優(yōu)解是(2,0),代入得,in°=J2_2)2+(0+]:+]=可，

，-Q-1*

故答案為：

1o2.

例題3.(24-25高二上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ABCZ)中，平面ABC。，ADLCD,

ADUBC,PA=AD^CD=2,BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)F在尸C上，且P善F=：1，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的

一點(diǎn).

⑴求證：CD_L平面PAQ；

(2)若幕=1.判斷直線AG是否在平面A所內(nèi)，說明理由.

⑶設(shè)CG與平面所成角為。，求sin。的范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)直線AG在平面AEF內(nèi)，理由見解析

⑶34

【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法、證明線面垂直、空間向量共面求參數(shù)

【分析】(1)由平面ABC?？傻肊4LCD,結(jié)合ADLCD利用線面垂直判定定理可證；

(2)由43=445+〃4歹代入坐標(biāo)建立尢〃方程組，由方程組有解可得直線AG在平面AEF內(nèi);

(3)由點(diǎn)G是線段P8上的一點(diǎn).設(shè)放7=左3尸=(一2匕匕2人)(04左W1),進(jìn)而得AG坐標(biāo)，求平面AEF的

一個(gè)法向量〃，由向量方法表示出sin6=J4+i)2,再利用換元法求函數(shù)值域可得.

\3k2-2k+3

【詳解】(1)因?yàn)?J■平面ABCD,CDu平面ABCD,所以PILCD,

又因?yàn)锳D_LC￡>,PAr>AD=A,平面上4￡>,A￡?u平面PAD,

所以CD_L平面上4￡).

（2）在底面ABCD中，過A作A〃〃OC,交3C于M，

由題意可知A"_LAD,又PA_L平面ABC。，

則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AM,AD,AP所在直線為了，V，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則4(0,0,0),5(2-1,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),

P（0,0,2）、￡（0,1,1）、嗚，河、61，3高.

荏=（0,1,1）,"=與輔,而=與一|部

若AGu平面AE戶，貝且分+〃2*0,使得AG=XAE+〃A尸，

42

-=—4

33

22丸=—2

則有《一§=%+§〃，解得ikAG=-2AE+2AF.

4=2

2。4

—=ZH-LI

33

所以直線AGu平面A￡F.

(3)由(2)可知3戶=(—2,1,2),CB=(0,-3,0).

設(shè)BG=kBP=(~~2k,k,2k)(OWkWl),

則CG=CB+BG=(-2k,k-3,2k](O<k<\),

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),

AE?幾=)y+z=0\(y=-z

則｛224,即:cc'

AF-n=-x-\—yH—z=01x+y+2z=0

I333

令y=l,有z=-l,x=l,故九=(1,1,一1).

/CG-n\\-2k+k-3-2k\

故sin6?=cos(CG,n)\=——=.,11——

?'CG\\n\J/+(03)2+4/,百

_佻+3|_k+“_/(左+i)2

y/9k2-6k+9-A/3d3k2-2k+313/-2%+3

令1=無+1,1且1,2],貝lj

Sm=2===

°^-l)-2(?-l)+3W-8?+8j|.|+3L1_1J+1，

而;TH181m+H1，3]，

故sin<9e[#,l]

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二上?重慶北倍?階段練習(xí))如圖，矩形ABC。中，AB=2AD=20，E為邊A8的中點(diǎn)，將VAOE

沿直線DE翻折成△AOE.在翻折過程中，直線AC與平面ABCD所成角的正弦值最大為.

［分安