2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練及答案40

提能訓(xùn)練練案［40］

6A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

1.（2024弓可南鄭州模擬改編）下列說法中，正確的為（）

A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐

B.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺

C.底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

D.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐

［答案］D

［解析］有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖，所以A

錯誤；有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體的側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，所以B

錯誤；底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐的頂點(diǎn)不一定在底面的射影為底面等

邊三角形的中心，所以C錯誤；若六棱錐的所有棱長都相等，則底面為正六邊形，由過底面

中心和頂點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，則側(cè)棱必然大于底面邊長，所以D正確.故選D.

2.（2024弓可北邯鄲調(diào)研）已知正三棱臺A3C—A'B'C的體積為粵4若A3=2,A'B'

=4,則該正三棱臺的高為（）

述14^6

A.3B.15

14乖4小

C.27D.3

［答案］A

［解析］在正三棱臺中，上、下底面均為正三角形，設(shè)正三棱臺ABC—A'B'C的高為

h,則&ABC=^^X22=S，SAA'B'C=^^X42=4"\/3,又JBC-A,B，O=g（4/+744X小+

小汝=呼，解得力=￥.故選A.

3.（2025?浙江強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考）已知底面半徑為2的圓錐SO,其軸截面是正三角形，它的一

個內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱側(cè)面積與圓錐S。側(cè)面積的比值為（）

A.1B.坐

C近D1

J42

［答案］C

［解析］因?yàn)镾圓柱側(cè)面積=2兀X#=2小兀，S圓錐側(cè)面積=兀X2X4=8兀所以比值為號「.故選C.

4.（2025?江蘇南通調(diào)研）在正三棱臺ABC—All。中，AB=4,AiBi=2,AiA與平面ABC

所成角為小則該三棱臺的體積為（）

5228

A?9B-T

147

C.D.

［答案］C

［解析］由題設(shè)，將棱臺補(bǔ)全為正棱錐產(chǎn)一ABC,如圖，且△All。，△ABC均為正三角

形，其中。為底面ABC中心，連接尸。，則尸。，面ABC,而AOU面ABC,KPPO±AO,所

Tt?

以AiA與平面ABC所成角為N%。=不而AB=4,則AO=IXABsin60。=^-,所以PO=

AO=￥，令尸一ALBIQ的高為小結(jié)合棱臺的結(jié)構(gòu)特征，知磊=煞=力=竿=￥，所以

D1（_zzxJD乙D

棱臺體積V=VP-ABC—Vp-AiBiCiugx坐x，2x/^—2?x斗4=呈.故選C.

5.（2024.廣東汕頭期中調(diào)研）圖1是一個水平放置且高為6的直三棱柱容器ABC—All。,

現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，設(shè)水深為瓦將容器底面的一邊A3固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜

到某一位置時，水面形狀恰好為△431C,如圖2,則/?=（）

A.3B.4

C.472D.6

［答案］B

［解析］在圖1中的幾何體中，水的體積為Vi=SMBC-h,在圖2的幾何體中，水的體積為

4S^ABC,解得/I=4.故選B.

6.（2024.江蘇蘇南名校調(diào)研）已知圓柱的側(cè)面積等于上、下底面積之和，圓柱的體積與表

面積的數(shù)值相同，則該圓柱的高為（）

A.8B.4

C.2D.1

［答案］B

2nrh=2nr2,

［解析］設(shè)底面圓的半徑為廣，高為九則由題意可知，＜br辦=2標(biāo)+2兀泌，解得「二

4.所以該圓柱的高為4.故選B.

7.（2025?山西五校質(zhì)檢）如圖甲，在邊長為2的正方形A3CD中，E,R分別是A3,3C的

中點(diǎn)，將△AED,ABEF,ADCF分別沿DE,EF,DR折起，使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A',

如圖乙，若三棱錐A'—EM）的所有頂點(diǎn)均在球。的球面上，則球。的體積為（）

A.加兀B.6兀

C.8兀D.8加兀

［答案］A

［解析］根據(jù)題意可得A'D±A'E,A'D±A'F,A'ELA'F,且A'E=l,A'F=

1,D=2,所以三棱錐D—A，ER可補(bǔ)成一個長方體，三棱錐D—A，ER的外接球即為長

方體的外接球，如圖所示，設(shè)長方體的外接球的半徑為R,可得2R=/不百9=加，所以

”坐，所以外接球的體積為V=$R3=^|7r］乎）=#兀故選A.

8.（2024?天津卷）一個五面體A3C—DER已知AD〃3E〃CE且兩兩之間距離為1.并已知

AD=1,BE=2,CT=3.則該五面體的體積為（）

A理B^

A.64十2

「立D州」

J2542

［答案］C

［解析］用一個完全相同的五面體HU—LMN（頂點(diǎn)與五面體ABC—DER——對應(yīng)）與該五

面體相嵌，使得。，N；E,M-,F,L重合，因?yàn)锳D〃BE〃CF,且兩兩之間距離為LAD=1,

BE=2,CF=3,則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為

邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為1+3=2+2=3+1=4,VABC-DEF=^VABC-HIJ=|X|

義1X1義坐■X4=坐.故選C.

AC

B

.jr

9.（2025?廣西來賓、玉林質(zhì)檢）圓錐的頂點(diǎn)為S,A3為底面直徑，若AB=2,ZASB=y

則該圓錐的外接球的表面積為（）

4兀1671

A.9B.—

16小n32島

C.3，27

［答案］B

［解析］設(shè)圓錐底面圓心為。1,外接球球心為。，半徑為R,則Rt^SOA在中，AOi=l,

ZASOi=30°,，SOi=V§.由OO?+AO?=AOM（V3-7?）2+l2=7?2,解得尺=辛，，該圓錐

的外接球的表面積為S=4兀穴2=飛-.故選B.

10.（2025?廣東六校聯(lián)考）將半徑為R的鐵球磨制成一個圓柱體零件，則可能制作的圓柱體

零件的側(cè)面積的最大值為（）

A.nR2B.2-nR2

C.24出2D.4?2

［答案］B

［解析］設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接于球,

此時圓柱的軸的中點(diǎn)為球的球心，所以，+圖2=尺2,由基本不等式可得，十||）2巳274=泌，

當(dāng)且僅當(dāng)『取，h=pR時等號成立,所以泌WR2,圓柱的側(cè)面積s=2兀泌，所以SW271R2,

當(dāng)且僅當(dāng)r=%,力=6氏時等號成立，所以可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為211m

故選B.

11.（2024.陜西寶雞三模）ZkABC與△A3。都是邊長為2的正三角形，沿公共邊A3折疊成

60。的二面角，若點(diǎn)A,B,C,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

A1320871

A,9兀,9

52nH2TI

?9兀D.3

［答案］c

［解析］由題，設(shè)正△ABC與△A3。的中心分別為N,M,根據(jù)外接球的性質(zhì)有平

面A3。，ON,平面ABC,又二面角￡>—A3—C的大小為60。，故NDEC=6。。,又正△ABC與

]\3

AABD的邊長均為2,故DE=CE=小,故EM=EN=^ED=^,'：OE=OE,ZOME=Z

ME2

ONE,：故。,故一而=大，又故

.RtAMEO%KANEO,NMEO=NNEO=30OE=COSJU3EB=1,

球0的半徑OB=yJP+停下=^^,故球0的表面積為5=4兀*。展）2=5匹.故選c.

二、多選題

12.（2024.河北邯鄲模擬）“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它

們也都是凸多面體，每個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德

多面體的每個面的形狀不全相同.有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到.如

圖，正八面體E—ABC。一R的棱長為3,取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個角后得到一種阿基米

德多面體，則該阿基米德多面體（）

A.共有18個頂點(diǎn)B.共有36條棱

C.表面積為6+84D.體積為8啦

［答案］BD

［解析］由圖可知該多面體有24個頂點(diǎn)，36條棱，故A錯誤，B正確；該多面體的棱長

為1,且表面由6個正方形和8個正六邊形組成，故該多面體的表面積為6Xl+8X6x1

XIXIXsin60°=6+12^3,故C錯誤；正八面體E—A3CD—R可分為兩個全等的正四面體，

其棱長為3,過E作E。，平面ABCD于。，連接A。，如圖：因?yàn)镋。，平面ABCD,且。4

u平面A3CD,所以O(shè)ELOA,正方形A5CD中，由邊長為3,則對角線長為35則。4=呼,

在RtAAOE中，EO=y）AE2-AO2=^,則ER=2OE=36，正八面體E—A3CD一歹的體積

為“32乂3巾=電切割掉6個棱長均為1的正四棱錐，減少的體積為6x1xi2x乎=也,

所以該阿基米德多面體的體積為人"一也=8/，故D正確.故選BD.

E

;

B

13.（2024.湖南長沙一中月考）如圖，AD與3C分別為圓臺上、下底面直徑，AD//BC,若

AB=3,AD=2,BC=4,則（）

A.圓臺的全面積為14兀

B.圓臺的體積為14限兀

C.圓臺的中截面（過圓臺高的中點(diǎn)且平行底面的截面）面積為藝

D.從點(diǎn)A經(jīng)過圓臺的表面到點(diǎn)C的最短距離為3小

［答案］AD

［解析］對A選項(xiàng)：圓臺的全面積為兀><12+^x22+71X（1+2）X3=1471,故A正確；對

于B選項(xiàng)：圓臺的體積為g（7iX體+兀X2?+兀乂712*22）*2g=14當(dāng)",故B錯誤；對于C選

項(xiàng)：易知圓臺的軸截面A3CD為等腰梯形，其中位線為中截面圓的直徑，所以中截面圓的半

2+43（3、QT?

徑長為丁=宗所以中截面圓的面積為兀x（引2=T，故c錯誤；對于D選項(xiàng)：將圓臺沿著

軸截面ABCD切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開如圖所示，延長B4、CD交于點(diǎn)在圓臺的

軸截面等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=^BC,易知A,D分別為BM,CM的中點(diǎn)，所以

jr

AM=DM=AB=3,設(shè)NAMD=6,則AD=30=n,則。=不，在△ACM中，AM=3,CM=6,

ZAMD=^,由余弦定理可得AC=ylAM2+CM2-2AM-CMcos^=yl32+62-2X3X6X^=

3小，因此，從點(diǎn)A經(jīng)過圓臺的表面到點(diǎn)C的最短距離為3小，故D正確.故選AD.

三、填空題

14.（202年河北唐山摸底）在圓錐P。中，。為底面圓心，PA,尸3為圓錐的母線，且A3=

加，若棱錐。一心3為正三棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

［答案］6兀

［解析］由題意知43=必=依=鏡，又尸。，平面A03,：.PO±OA,又PO=OA,：.

04=1,：.S圓錐側(cè)=7rOAB4=地兀.

15.（2024.全國甲卷）已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為八和n,母線長分別為

V甲

2（9一口）和3（n-n）則兩個圓臺的體積之比工

,V乙

［答案］乎

［解析］由題可得兩個圓臺的高分別為h甲=N［2&1一8）］2—（口一廢）2=4（以一力）,h乙=

%_1S2+S1+同)爽(「2—n)_m

[3(n—r2)]2—(n—n)2=2y[2(n—n),

W界+邑+同)昆生2陋Sf)4'

B組能力提升

L（2024.江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)模擬）一個圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,高為2,以該

圓臺的上底面為底面，挖去一個半球，則剩余部分幾何體的體積為（）

1110

A.yirB.-yn

C.4兀D.3兀

[答案]C

I?-------------------------119jr

［解析］：V圓臺=§X2X（兀XF+q兀xy義兀X2?+兀*22）=下-,V半球=5*弓"*13=弓~,

剩余部分幾何體的體積為V圓臺一V半球=4兀.故選C.

2.（2024.江蘇淮安調(diào)研）球M是圓錐SO的內(nèi)切球，若球M的半徑為1,則圓錐SO體積

的最小值為（）

A44^2

A.3兀B.3兀

8

C?1兀D,4兀

［答案］c

1h--1/77T

［解析］設(shè)圓錐的高SO=h,底面圓的半徑為r,則；=石2：/.?.r2=&.，Vos="%

=養(yǎng)7=以色-2）+患+41聾（當(dāng)且僅當(dāng)力=4時取等號）.??圓錐S。體積的最小值為空故選

-JH,/D_D3

C.

s

3.（2025?廣東莞佛深部分學(xué)校聯(lián)考）一個正四面體邊長為3,則一個與該正四面體體積相

等、高也相等的圓柱的側(cè)面積為（）

A.3A/2^/5JiB.3yl3n

C.D.6/小兀

［答案］A

2

［解析］在正四面體A3CD中，。是正△BCD的中心，則A。，底面BCD,而30=1X3Xsin

60。=小，則正四面體ABCD的高AO=\IAB2-BO2=y［6,體積VABCD=^S^BCD-AO=1X

X32XV6=^,設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,依題意，/乖=乎,解得r所以該圓

柱的側(cè)面積S=2兀四觀=2冊兀,\3答=3yl2d5兀.故選A.

A

4.（2025?貴州遵義適應(yīng)性考試）在矩形A3CD中，AB=2y［2a,BC=4a,E為3C的中點(diǎn)，

將AABE和△CDE分別沿AE,DE折起，使點(diǎn)3與點(diǎn)C重合，記為點(diǎn)P,若三棱錐尸一ADE

的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.36a2兀B.20a2兀

C.9a2兀D.4/兀

［答案］B

［解析］依題意，PELPA,PE±PD,PA^PD=P,PA,PDU平面PAD,則PE,平面PAD,

FA=PD=2y［2a,AD=4a,即有以2+P￡）2=AD2,則以，尸口，由此可將三棱錐p—ADE補(bǔ)成

以PE,PA,PD為相鄰三條棱的長方體，若三棱錐P—ADE的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，

則該長方體的各頂點(diǎn)亦在球。的球面上，設(shè)球。的半徑為R,則該長方體的體對角線長為2R,

22

2R=^PE+J^+PD=2y15a,所以球。的表面積5=4兀尺2=20兀次.故選B

5.（多選題）（2024.山東青島調(diào)研）正四棱錐P—A3CD的底面邊長是4,側(cè)棱長為4陋，則

（）

A.正四棱錐P—A3CD的體積為32加

B.側(cè)棱與底面所成角為g

C.其外接球的半徑為4矛r-

D.其內(nèi)切球的半徑為冊（q―D

［答案］BCD

［解析］解法一：由題意知正四棱錐的高PO=^P^~AO2=2y［6,：.VP-ABCD=^PO-SABCD

=吟但，A錯；側(cè)棱以與底面所成角為/以。，在RtAE4。中cos/Rl。：普=［,二/必。

D