2025年高考數(shù)學(xué)重難題型二輪復(fù)習(xí)：阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓問(wèn)題（3大題型）（學(xué)生版+解析）

i重難題型?解題技巧攻略

J_________________________________________________________

專題14阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓問(wèn)題

檢-----------題型歸納?定方向----------*>

目錄

題型①阿基米德三角形.........................................................................1

題型02橢圓中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓..............................................................5

題型03雙曲線中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓............................................................8

-----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01阿基米德三角形

①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)

②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)

對(duì)于點(diǎn)M

③過(guò)焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)

④過(guò)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)

滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過(guò)焦點(diǎn)的阿基米德三角形

3、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)）

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C（x。，%）,則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn).

4、底邊長(zhǎng)為“的阿基米德三角形的面積的最大值為C.

8P

5、若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2.

6、點(diǎn)P的坐標(biāo)為］上黃,?亍;

7、底邊AB所在的直線方程為（石+元2）%-2刃-斗工2=。；

8、的面積為S皿」為7.

8P

9、若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x0,%）,則底邊的直線方程為無(wú)°x-p（y+%）=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E處的切線與上4,PB分別交于點(diǎn)C,D,則

\AC\_\CE\_\PD\

\CP\~\ED\~\DB\'

11、若石為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)石處的切線與阿基米德三角形△PR的邊B4,PB分別交

q

于點(diǎn)C,D,貝IJ上旦殳=2.

q

".PCD

12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的2.

3

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）A8為拋物線丁=24（0>0）的弦，久久口乃），/冷,火）分別過(guò)作的拋

物線的切線交于點(diǎn)稱一為阿基米德三角形，弦48為阿基米德三角形的底邊.若弦A3過(guò)焦點(diǎn)

尸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.xt+x2=2x0

B.底邊A3的直線方程為XoX-p（y+%）=O；

C.是直角三角形；

D.AMfi面積的最小值為2P2.

2.（2024.陜西西安.二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天

文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線上任意兩點(diǎn)48處的切線交于點(diǎn)

P,稱三角形為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：/二分的焦點(diǎn)為己過(guò)a,8兩點(diǎn)的直線的方程為

屈-3>+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形”△出8,下列結(jié)論不正確的是（）

32

A.|AB|=yB.PA±PB

C.PF±ABD.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（若，-2）

二、多選題

3.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知

拋物線C:/=8y,阿基米德三角形9,弦48過(guò)C的焦點(diǎn)其中點(diǎn)A在第一象限，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-2B.C的準(zhǔn)線方程為》=-2

C.若|A可=8,貝ijA3的斜率為如D.加面積的最小值為16

4.（23-24高三上.江蘇南京?階段練習(xí)）圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米

德三角形.己知三角形&R為拋物線y?=2x的“阿基米德三角形”，線段A3為拋物線的弦，設(shè)線段AB中點(diǎn)

為M,下列命題正確的是（）

A.5〃〃》軸

B.若A3過(guò)點(diǎn)（2,0）,則點(diǎn)S在直線％=-2上

C.若AB=4,則ASAB面積的最大值為4

D.若過(guò)點(diǎn)（go],則SA_LSB

5.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,

阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線

上.設(shè)拋物線9=4尤，弦A5過(guò)焦點(diǎn)為"的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，.鉆。為其阿基米德三角形，則

（）

A.存在點(diǎn)Q,使得Q4QB>0B.任意點(diǎn)Q,都有

C.任意點(diǎn)Q,都有0H〃。/D.面積的最小值為4

6.（24-25高三上?陜西榆林?期末）若過(guò)點(diǎn)C可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別是AB,則稱VABC為“阿

基米德三角形已知拋物線E:y2=8x的焦點(diǎn)為歹，過(guò)下的直線/交E于AB兩點(diǎn)，以AB為頂點(diǎn)的“阿基

米德三角形”為VABC,則（）

JT

A.點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2B.ZACB=-

2

C.\BCf>\AB\-\BF\D.VABC面積的最小值為16

三、填空題

7.（24-25高三上?上海?單元測(cè)試）我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A、B處的兩條切線所圍成的PAB

（尸為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋

物線的焦點(diǎn)尸時(shí)，一上鉆具有以下性質(zhì)：

①尸點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②③尸產(chǎn)_LAB.

己知直線/：）=左（》-1）與拋物線/=4x交于42兩點(diǎn)，若|皿|=8,則拋物線的“阿基米德三角形。R4B

的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

四、解答題

8.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）過(guò)拋物線外一點(diǎn)尸作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,我們稱一R4s

為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“冏邊形”，且已知“冏邊形”的面

積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點(diǎn)P是圓。:尤?+（y+5）2=4上的動(dòng)點(diǎn)，一上4B是拋物線

「無(wú)2=20；5>0）的阿基米德三角形，尸是拋物線「的焦點(diǎn)，且12刊出=6.

⑴求拋物線「的方程；

(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“冏邊形”面積的取值范圍；

⑶設(shè)。是“圓邊形”的拋物線弧AB上的任意一動(dòng)點(diǎn)(異于48兩點(diǎn))，過(guò)。作拋物線的切線/交阿基米德三

角形的兩切線邊外，PB于M,N,證明：

題型02橢圓中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓

【解題規(guī)律?提分快招】

焦點(diǎn)三角形雙內(nèi)切圓模型1

22

點(diǎn),%)為橢圓++2=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為APGK的內(nèi)心，點(diǎn)G為APFR的重心o

性質(zhì)1、假設(shè)焦點(diǎn)公產(chǎn)片工的內(nèi)切圓半徑為廠，則S=(a+c)r.

性質(zhì)2、MA=MB=a-c

性質(zhì)3、MF,-MF,=2x

141

性質(zhì)4、XL%%=六八5入BE

PQ_o

性質(zhì)5、麗

性質(zhì)6、^^?-一近彳

玉）為、

性質(zhì)7、0（于7

性質(zhì)8A/G=彳（"—QC）

22

性質(zhì)9、P的軌跡為，+L=l（yNO）

Cbc2

（a+c）2

焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓模型2

22

點(diǎn)P（XO，為）為橢圓=+多=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I為旁切圓圓心，A,B,C為切點(diǎn)。

ab

y

結(jié)論：x,=±a'J（a°}

I"，（a+c）%o'

焦點(diǎn)三角形雙內(nèi)切圓模型3

4/

........—r+e2-1,左為直線AB的傾斜角

k'=（1—田2

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

22

1.（23-24高三上.吉林?期末）已知橢圓方程為C:土+二=1,尸為橢圓上一點(diǎn)，若/耳尸工=90。，r為FyPF2

82一一

的內(nèi)切圓，貝1）廠=（）

A.A/6-A/2B.2A/2-76C.2拒+#D.76+72

2.（23-24高三上?吉林延邊?期中）點(diǎn)尸是橢圓上+匯=1上一點(diǎn)，可,工是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且.尸KK的

167

內(nèi)切圓半徑為1,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

cc7-59

A.2B.—C.D.

334

/2、,2

3.（24-25高三上?北京?期末）若五一F?是橢圓C：二+2=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓C上一

ab

點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），點(diǎn),為.尸片區(qū)的內(nèi)心，若?產(chǎn)月區(qū)的面積是有且面積的3倍，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.|C.—D.也

3223

22

4.（24-25高三上?福建泉州?期中）己知橢圓C：?+「=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為與區(qū),點(diǎn)尸（國(guó),乂）

ab

是C上的一點(diǎn)，尸耳工的內(nèi)切圓圓心為。（%,%），當(dāng)玉=石時(shí)，2=1,則橢圓C的離心率為（）

A.3B.73-1C.@D.2-73

23

22

5.（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知片，F(xiàn)?分別是橢圓C：\+?=1的左、右焦點(diǎn)，尸為第一象限內(nèi)橢

圓C上一點(diǎn)，P耳鳥的內(nèi)心為點(diǎn)/，則直線/耳與外的斜率之積為（）

AA/50^5「V5-3「V5-3

5842

22

6.（浙江省臺(tái)州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題）已知橢圓E:（■+%=1（0<6〈近）的

左右焦點(diǎn)分別為與月，點(diǎn)M伉,%）是橢圓E上第一象限的一點(diǎn)，△叫乙的內(nèi)心為N（4%）,若毛=百七,

則橢圓E的方程為（）

AJ2[RX—

A.——+y=1D.-----1-----=1

552

D.JJ1

54

22

7.（23-24高三上?四川成都?期中）已知橢圓￡:上+乙=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳,鳥，P是橢圓E在第一象限

43

的任意一點(diǎn)，/為尸片K的內(nèi)心，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，貝IJtanNF。/的最大值為（）

A.邁B.五C.士D.空

12623

22

8.（24-25高三上?浙江杭州?階段練習(xí)）已知橢圓C:=+與=10>。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為4,耳.點(diǎn)尸

ab

在C上且位于第一象限，圓（01與線段耳尸的延長(zhǎng)線，線段PF]以及無(wú)軸均相切，一尸耳旦的內(nèi)切圓為圓。2.若

圓。|與圓。2外切，且圓。|圓。2的面積之比為9,則C的離心率為（）

A?三B-Ic-TD-T

題型03雙曲線中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓

【解題規(guī)律?提分快招】

一、雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的統(tǒng)一性質(zhì)

22

【性質(zhì)1】如圖，已知片，鳥為雙曲線C:1-當(dāng)=1（。>0）>0）的左、右焦點(diǎn)，則△尸片鳥的內(nèi)切圓與X軸

ab

切于雙曲線的頂點(diǎn)；且當(dāng)P點(diǎn)為雙曲線左支時(shí)，切點(diǎn)為左頂點(diǎn)；且當(dāng)尸點(diǎn)為雙曲線右支時(shí)，切點(diǎn)為右頂點(diǎn).

22

【性質(zhì)2】如圖，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1r-方=l（a>0,b>0）,片，鳥為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為雙

曲線C上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，△尸￡區(qū)的內(nèi)切圓圓心為/,且圓/與三邊相切于點(diǎn)設(shè)

尸,%）,/（七,%）,則閨。|=|耳M=a+c,X/=0.

【注】性質(zhì)2的證明邏輯上同樣是利用“算兩次”構(gòu)造方程求解.同理可得，尸為雙曲線C的左支上異于實(shí)

軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，|瑪。|=|月M=a+c,x,=-a.若點(diǎn)尸為雙曲線C的上異于實(shí)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，△尸片入內(nèi)

心/的軌跡為％=G或%=_〃，且yw0.

22

【性質(zhì)3】如圖，已知耳，心為雙曲線。:亍-云二：1,〉。/〉。）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)工作傾斜角為。的

直線/交雙曲線于4,3兩點(diǎn)，若AAE工，的內(nèi)切圓圓心分別為/一八，半徑分別為小馬,貝心1）/,,/2

單內(nèi)切圓模型3：QC=a

單內(nèi)切圓模型5：QC=2a

雙內(nèi)切圓模型6：小馬分別為△AEK45與弱的內(nèi)切圓半徑，。為直線A3的傾斜角，直線A5

與右支交于AB兩點(diǎn)。

①與r,=(c-a)2②彳+弓e2c-2a,—(2c-2a)

-LbJ

(3)-re\-—(2c-2a),—(2c-2a)|=——AfN在x=a上

2IbbJ④4tan?⑤

一、單選題

22

1.(24-25高三上?云南麗江?階段練習(xí))已知點(diǎn)P為雙曲線?-==l(a>0,6>0)右支上一點(diǎn)，片,尸2分別

db

為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且I耳工|=——，/為尸片工的內(nèi)心，若S△尸甲=5-%+掂”也，則力的值為（）

A.也B.—C.yD.—

223

22

2.（23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）雙曲線C:=-^=l的右支上一點(diǎn)尸在第一象限，K，F(xiàn)?分別為雙曲

916

線C的左、右焦點(diǎn)，/為尸耳鳥的內(nèi)心，若內(nèi)切圓/的半徑為1,則尸4歹2的面積等于（）

A.24B.12C.—D.—

33

22

3.（2024.河南鄭州.模擬預(yù)測(cè)）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線C：A—2r=1（。〉0,b>0）上，點(diǎn)尸關(guān)

ab

于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。，可，尸2，是。的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是，尸EK的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），M在％軸上的

射影為“，記直線PMIQAT的斜率分別為左，右，且勺=則。的離心率為（）

上2M

A.2B.8C.2.72D.2質(zhì)

22

4.（23-24高三上.湖北襄陽(yáng).期末）已知耳，6分別為雙曲線C:3暇=1的左、右焦點(diǎn)，E為雙曲線C的右

頂點(diǎn).過(guò)F?的直線與雙曲線C的右支交于A,8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M,N分別為AFXF2,BFXF2

的內(nèi)心，則|ME|+|NE|的取值范圍是（）

22

5.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知雙曲線C:=-2=1（〃>0,。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，根據(jù)雙曲線的

ab

光學(xué)性質(zhì)可知，過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)尸（X。,%）的切線/:警-岑=1（“>0”>0）平分/耳尸馬.直線/1過(guò)戶2

ab

交雙曲線C的右支于A,8兩點(diǎn)，設(shè)AFtF2,BFF2,的內(nèi)心分別為44,/,若〃/與-的面積之

3

比為則雙曲線C的離心率為（）

6.（2024.四川.模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線。:工-5=1（。>0）>0）的左、右焦點(diǎn)分別為4,入，離心率為2,焦

ab

點(diǎn)到漸近線的距離為76.過(guò)F2作直線/交雙曲線C的右支于A3兩點(diǎn)，若",G分別為AAF遙與△朗區(qū)的內(nèi)

心，則|"G|的取值范圍為（）

A.[2^,4]B,["2）。?卜喇D.警、

二、多選題

22

7.（23-24高三上.吉林長(zhǎng)春.期末）設(shè)斗鳥分別是雙曲線土-當(dāng)=1的左右焦點(diǎn)，過(guò)F?的直線與雙曲線的右

4b-

支交于A,8兩點(diǎn)，鳥的內(nèi)心為/,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若ABK為正三角形，則雙曲線的離心率為g

B.若直線Q4交雙曲線的左支于點(diǎn)。，則月D//AB

C.若片為垂足，則|0川=2

D.△A￡鳥的內(nèi)心/一定在直線尤=4上

22

8.（24-25高三上?山東泰安?階段練習(xí)）已知雙曲線C$一彳=l（a>0">0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工.過(guò)

弱的直線/交雙曲線C的右支于A3兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限.居的內(nèi)心為4，A/1與X軸的交點(diǎn)

為P,記心的內(nèi)切圓人的半徑為今,△8月月的內(nèi)切圓八的半徑為則下列說(shuō)法正確的有（）

A.若雙曲線漸近線的夾角為60。，則雙曲線的離心率為冬8

3

B.若且怛耳|-|4耳|=2a,則雙曲線的離心率為羋

C.若a=l,b=6,則1-馬的取值范圍是卜百,6）

D.若直線/的斜率為百，A4=21]P,則雙曲線的離心率為。

三、填空題

22

9.（2024?山西晉中?一模）己知點(diǎn)尸為雙曲線5-e=1（。>0,。>0）右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)與，F(xiàn)?分別為雙曲線

ab

的左、右焦點(diǎn)，若M為力眼的內(nèi)心，且S△啊=以《叫+飆”叱2,則雙曲線的離心率為.

22

10.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，己知雙曲線C:，珠=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別

為6,鳥，過(guò)片且斜率為g的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于43兩點(diǎn)（8在第一象限），入的

重心為G,內(nèi)心為/,且G/〃y軸，則雙曲線C的離心率為

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、單選題

丫2V2,

1.（2024.廣東茂名.二模）若橢圓C:=+多=l（a>6>0）的離心率為J,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（-的0）,

ab乙

F2（G0）（C>0）,M為橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)尸是AMFE的內(nèi)心，連接MP并延長(zhǎng)交「鳥于點(diǎn)Q,

則\PM胃\一

A.2B.1C.4D.；

22

2.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓土+乙=1的左右焦點(diǎn)分別為小F2,P為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),

1612

G,/分別為工尸耳工的重心和內(nèi)心，則P/.PG=（）

416

A.—B.5/3C.2D.—

33

3.（24-25高三上?黑龍江?期中）若橢圓C:上+上=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,點(diǎn)尸是橢圓C上一點(diǎn)，

43~

且P在第一象限，尸的尸2的內(nèi)心為/，直線";與直線生的斜率分別為尤、k2,則心自=（）

134

A」R_c_D_

3443

22

4.（23-24高三上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí)）已知橢圓的方程為=+1=1（。>人>0）,片,凡分別為橢圓的左、右焦

ab

點(diǎn)，”為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，/為久耳的內(nèi)心，直線,與X軸交于點(diǎn)N,若8MI=5MN，貝該

橢圓的離心率為（）

2r3

A.—B.—C.—D.一

5583

22序

5.（2024.陜西.一模）已知%F?分別為雙曲線r二一當(dāng)=1的左、右焦點(diǎn)，且閨居|=幺，點(diǎn)尸為雙曲線右支

abla

上一'點(diǎn),M為.耳尸工的內(nèi)心，若S=S〃尸產(chǎn)2+4S崢%成立，則％的值為（）

A.q+2B.s/5-2C.2D.竽

6.（2024.河北?三模）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)

展的歷史長(zhǎng)河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì).已知拋物線

y2=4x,過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)則下列說(shuō)法正確的是（）

A./點(diǎn)必在直線x=-2上，且以48為直徑的圓過(guò)“點(diǎn)

B.M點(diǎn)必在直線％=-1上，但以AB為直徑的圓不過(guò)M點(diǎn)

C.M點(diǎn)必在直線x=-2上，但以A8為直徑的圓不過(guò)M點(diǎn)

D.〃點(diǎn)必在直線尸-1上，且以為直徑的圓過(guò)“點(diǎn)

二、多選題

7.（23-24高三上.江蘇連云港.期中）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為阿基米德三角

形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)A,8是拋物線C：V=4y上兩個(gè)不同的

點(diǎn)，以A,2為切點(diǎn)的切線交于尸點(diǎn).若弦過(guò)尸（0/），則下列說(shuō)法正確的有（）

A.點(diǎn)P在直線丁=-1上B.AP±BP

C.AB±PFD.△段山面積的最小值為8

8.（2024高三下.江蘇?專題練習(xí)）（多選）如圖，上鉆為阿基米德三角形.拋物線/=2勿（°>0）上有兩個(gè)

不同的點(diǎn)4（孫月）,BO2,%），以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線PAP8相交于點(diǎn)尸.給出如下結(jié)論，其中正確

的為（）

A.若弦43過(guò)焦點(diǎn)，貝為直角三角形且NAP3=90°

B.點(diǎn)尸的坐標(biāo)是竽J

C.B40的邊A3所在的直線方程為（％+々）彳一20;-%彳2=。

D.一R4B的邊上的中線與y軸平行（或重合）

9.（23-24高三上?四川樂(lè)山?期末）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德

三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)拋物線y?=2px（。>0）,弦A3過(guò)

焦點(diǎn)/，AS。為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.點(diǎn)。在拋物線V=2px（p>0）的準(zhǔn)線尤=-點(diǎn)上

B.存在點(diǎn)。，使得。4QB>0

C.\QFf=\AF\-\BF\

D.面積的最小值為"

三、填空題

22

10.（23-24高三上?山西呂梁?階段練習(xí)）已知橢圓C：2+￡=l（a>b>0）,4,F?為其左、右焦點(diǎn)，尸為

橢圓C上任一點(diǎn)，耳尸工的重心為G,/是內(nèi)心，且有/G=X耳耳（其中彳為實(shí)數(shù)），橢圓C的離心率

e=.

22

11.（2024?陜西咸陽(yáng).三模）已知耳，F(xiàn),是雙曲線C：二一匕=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C在第一象限

54

上一點(diǎn)，設(shè)/,G分別為△鶴鳥的內(nèi)心和重心，若/G與y軸平行，貝1］孫?哂=.

22

12.（23-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）焦距為12的雙曲線3-斗=1的左右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,「是

ab

雙曲線右支上一點(diǎn)，/為尸耳瑞的內(nèi)心，P/交X軸于。點(diǎn)，若閨。|=|「閶，且留|:匿|=2:1,則雙曲線的

實(shí)軸長(zhǎng)為____________

13.（23-24高三下.江西.階段練習(xí)）圓錐曲線C的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A,B的兩條切線的交點(diǎn)P所圍成的

三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲線C的方程為Y=4y，弦A8過(guò)C的焦點(diǎn)F,設(shè)A（和另），3伍,為），

「（毛,%）,則有加=七三，％=竽，對(duì)于C的阿基米德三角形E4B給出下列結(jié)論：①點(diǎn)P在直線y=T

上；②kpA.kpB=l；③均+L=0;?\PFf^\FA\\FB\,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

14.（2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的中心為原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在y軸上，與工分別是雙曲線的兩個(gè)焦

點(diǎn)，過(guò)上焦點(diǎn)尸2作斜率％=走的直線/交雙曲線上支于點(diǎn)M,N,若△西月，居的內(nèi)心分別是P,Q,

3一

且|MN|=2G|PQ|,則雙曲線的離心率為.

2

15.（23-24高三上.江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）已知雙曲線C：/一乙=1的左、右焦點(diǎn)分別為居，瑞，右頂點(diǎn)為

3一

E,過(guò)F2的直線交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限內(nèi)），設(shè)N分別為△A￡g,ZXB月月

的內(nèi)心，則當(dāng)耳4J-A2時(shí)，AFl=；4西內(nèi)切圓的半徑為.

22

16.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：'-當(dāng)=1（°>0,6>0）的一條漸近線與直線無(wú)+若y-右=0垂

cib

直，記雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為可,工，且閨馬=46，過(guò)尸2的直線與雙曲線c的右支交于A,2兩點(diǎn).記

△A《月和△瓦記的內(nèi)心分別為M,N,則M,N的最短距離為

:重難題型?解題技巧攻略

J_________________________________________________________

專題14阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓問(wèn)題

O--------------題型歸納?定方向----------?>

目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）

題型01阿基米德三角形........................................................................18

題型02橢圓中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓.............................................................32

題型03雙曲線中焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓...........................................................40

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

題型01阿基米德三角形

18/75

對(duì)于點(diǎn)A,B:

①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)

②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)

對(duì)于點(diǎn)M

③過(guò)焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)

④過(guò)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)

滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過(guò)焦點(diǎn)的阿基米德三角形”

3、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)）

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦回過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C（x0,%）,則另一頂點(diǎn)尸的軌跡為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn).

4、底邊長(zhǎng)為。的阿基米德三角形的面積的最大值為Q.

8P

5、若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2.

7、底邊AB所在的直線方程為（石+兀2）%-22y-九1%=。；

8、的面積為5咖="'一到.

PAB8P

9、若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x。,%）,則底邊AB的直線方程為無(wú)°x-p（y+%）=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E處的切線與Q4,依分別交于點(diǎn)C,D,則

|AC|\CE\\PD\

\CP\~\ED\~\DB\'

19/75

11、若石為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)石處的切線與阿基米德三角形△PR的邊B4,PB分別交

q

于點(diǎn)C,D,貝IJ上旦殳=2.

q

Q.PCD

12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的2.

3

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）A8為拋物線丁=24（0>0）的弦，久久口乃），B（久2,%）分別過(guò)人臺(tái)作的拋

物線的切線交于點(diǎn)稱一為阿基米德三角形，弦48為阿基米德三角形的底邊.若弦A3過(guò)焦點(diǎn)

尸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.xt+x2=2x0

B.底邊A3的直線方程為x（）x—p（y+%）=0；

C.是直角三角形；

D.AMfi面積的最小值為2P2.

【答案】D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線的方程為y=立尤-?和

P2P

片工-在，得到人國(guó)7加=在-蕓，進(jìn)而可判定A正確；

p2Pp2P2p

點(diǎn)加（七,%）在直線聞/創(chuàng)/上，進(jìn)而得到底邊AB的直線方程，可判定B正確；

設(shè)直線48：丫=履+5,聯(lián)立方程組，根據(jù)3A%M8=T，可判定C正確；

3

取AB的中點(diǎn)化簡(jiǎn)得到_4沖的面積為s=p[l+左2）5,可判定D不正確.

【詳解】如圖：

20/75

r21

依題意設(shè)4（元1/1）,3（尤2，力），由方程％2=2〃y，可得y=丁,則曠=一工,

2Pp

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線AM的斜率為上期=,%1，同理直線的斜率為般〃=工

PP

1丫21

可得A處的切線方程為：y—%=一再（入一吃），即丁―2=一%"—玉），

P2Pp

22

化簡(jiǎn)可得y=2x-在，所以直線A"的方程為丫=五苫-},

P2PP2P

222

同理可得：直線BM的方程為丫=三尤-在，所以匕尤-2=±%-等，

p2pp2Pp2P

1丫2丫2

則—（占一3）無(wú);彳3_一尸，

p2P2P

因?yàn)?解得x=號(hào)三，即玉+%=2%，所以A正確；

因點(diǎn)M（無(wú)。，%）在直線AM,上，

可得飛-%一2（%+乂）=0,xo-x2-p（yo+y2）=O,

即A（xi，yi）在鵬彳-。（、+%）=0上，B（x2,y2）^xox-/?（y+yo）=O±,

所以底邊48的直線方程為ax-p（y+%）=。，所以B正確；

_,p_

設(shè)直線A8：y=h+f,聯(lián)立方程組,='+5,整理得尤2-2pH-p2=0,

~[x2=2py

2

貝!]A=（_2p）2+4p2=8p2>0且X]+%=2pk,xxx2=-p,

因?yàn)?=W=T，所以腸l-M2=0，

PPP

所以AMF是直角三角形，所以C正確；

取A3的中點(diǎn)H,連接MX,根據(jù)拋物線的定義，可得平行，軸，

21/75

、

---1---

2P2P?p

乙乙\乙乙J乙22

因?yàn)橛?%2=2p攵，再々=一夕2，所以d+君=（玉+W）2-2須%2=422左？+2p2,

|石一工2〔二J（玉+兀2『一4石，％2=2夕Jl+Z"，

代入可得5=1廣丁2P2+2pg?=嗎口2Pb=p2（1+再，

2

當(dāng)左=0時(shí)，5min=p,所以D不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩種解法：

（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；

（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求

最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）.

2.（2024.陜西西安.二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理