2025年高考數(shù)學(xué)重難題型二輪復(fù)習(xí)：立體幾何中的截面與軌跡問題（6大題型）（學(xué)生版+解析）

重難題型?解題技巧攻略

?_Ji_______________________________

專題11立體幾何中的截面與軌跡問題

o-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01截面形狀問題...........................................................................1

題型02截面面積、周長問題.....................................................................5

題型03截面切割幾何體體積問題................................................................6

題型04平行、垂直相關(guān)的軌跡問題..............................................................7

題型05距離、角度相關(guān)的軌跡問題..............................................................9

題型06翻折相關(guān)的軌跡問題....................................................................11

o-----------題型探析?明規(guī)律-----------*

題型01截面形狀問題

【解題規(guī)律?提分快招】

一、截面問題的理論依據(jù)——

(1)確定平面的條件

①不在同一平面的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩條平行線確定一個(gè)平面

(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)

(4)如果一條直線平行于一個(gè)平面，且經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行

(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行

二、截面問題的基本思路

1.定義相關(guān)要素

①用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面.

②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.

③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點(diǎn))叫做實(shí)截點(diǎn).

④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點(diǎn)叫做虛截點(diǎn).

⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的基本邏輯：找截點(diǎn)一連截線一圍截面

3.作截面的具體步驟

(1)找截點(diǎn)：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點(diǎn)即截點(diǎn)

方式2：過一截點(diǎn)作另外兩截點(diǎn)連線的平行線，交幾何體的棱于截點(diǎn)

(2)連截線：連接同一平面內(nèi)的兩個(gè)截點(diǎn)，成截線

(3)圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面

三、作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交

線的過程。

(2)延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)。

(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線

的平行線找到幾何體的截面的交線。

模型演練：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)

方法：兩點(diǎn)成線相交法或者平行法

特征：1.三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上.本題如下圖是EF(這類型的關(guān)鍵)；

2.“第三點(diǎn)”是在外棱上，如Ci，注意：此時(shí)合格Ci點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處,

方法二：平行線法，做法如下圖.

四、正方體中的基本截面類型

銳角三角形等腰三角形等邊三角形梯形平行四邊形

令平面與軸線的夾角為。(0<0<90°),圓雉的母線與軸的夾角為a(o<a<90)，如圖②.

(1)當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；

(2)當(dāng)a=6時(shí)，截口曲線為拋物線；

(3)當(dāng)a>3時(shí)，截口曲線為雙曲線.

圖②

圖②我們再從幾何角度來證明.

⑴如圖③，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與截面切于點(diǎn)耳,B.在截口曲線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)尸

作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)2,Q?由球的性質(zhì)可知|P01=|正片|,|PQ|=|尸閭，于是

歸耳|+|P閶=|PQj+|P2|=|Q2|為定值，這樣截口曲線上的任一點(diǎn)。到兩個(gè)定點(diǎn)。1，2的距離之和為

常數(shù)，由橢圓的定義知，截口曲線是橢圓.

圖③

(2)如圖④，在互相倒置的兩個(gè)圓雉內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與圓雉的側(cè)面、截面相切，兩個(gè)球分別

與截面切于點(diǎn)耳，巴.在截口曲線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)?由球的性質(zhì)

可知|尸0=|尸身IJPQJT尸閶，于是|尸耳|—|尸閭=歸0卜歸。2|=|0。2|為定值，這樣截口曲線上的任一

點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)Q1，Q的距離之差的絕對值為常數(shù)，由雙曲線的定義知，截口曲線是雙曲線.

(3)如圖⑤，用平行于母線0M且垂直于軸截面OMN的平面P去截圓雉.在圓雉內(nèi)放一個(gè)球，使它和圓雉的側(cè)

面與截面/3相切，球與截面切于點(diǎn)E.設(shè)a為球與圓雉相切時(shí)切點(diǎn)構(gòu)成的圓所在的平面，記。c,=/.在截口

曲線上任取一點(diǎn)P，作直線與球相切于點(diǎn)T,連結(jié)PT,W|PF|=|尸刀.在母線0M上取點(diǎn)A,8(3為與

球的切點(diǎn))，使得=|尸］.過點(diǎn)尸作PQ//AB，有點(diǎn)Q在/上，且戶=|P耳.另一方面，因?yàn)槠矫?/p>

與a垂直，那么/，平面OMN,有/，AB斯以/，PQ.于是截口曲線是以點(diǎn)E為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的拋

物線.

0

圖⑤

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三下?浙江杭州?期末）在正方體ABCD-ABCQ中，P,。分別是棱明和C。上的點(diǎn)，PA=1A41,

CQ=jCCt,那么正方體中過點(diǎn)O,P,Q的截面形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

2.（2024高三.全國?專題練習(xí)）過正方體ABCZM/BGG的棱AB,BC的中點(diǎn)E,尸作一個(gè)截面，使得截面

與底面所成的角為45。，則此截面的形狀為（）

A.三角形或五邊形

B.三角形或六邊形

C.六邊形

D.三角形

二、解答題

3.（2024高三.全國?專題練習(xí)）如圖所示，一塊正方體木料券的棱長為3米，點(diǎn)M在棱用3

上，且四〃：八四=1:2,過點(diǎn)M把木料據(jù)開且鋸面與平行，問木料表面上的鋸痕是什么形狀？

題型02截面面積、周長問題

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三上?北京東城?期末）如圖,在正方體ABCD-4耳6口中，A8=2,瓦P分別是DR,的中點(diǎn).用

過點(diǎn)下且平行于平面4汨的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.屈B.275C.V5D.好

2

UUUUU1U

2.（2025?廣東茂名?一模）在棱長為6的正方體ABC。-ABG2中，AE=2EAl,CF=2FQ,過點(diǎn)民區(qū)尸

的平面截該正方體所得截面的周長為（）

A.4^/13+35/2B.6g+3&

C.4岳+8&D.6713+8A/2

3.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知正四棱錐尸-MCD,其中AB=4,PA=4五,平面a過點(diǎn)A,且

平面aJLPC,則平面a截正四棱錐尸—ABCD的截面面積為（）

A.B.正C.12拒D.必^

333

4.（2024.遼寧?模擬預(yù)測）在正四棱柱A8C。-ABGR中，A8=AO=2，AA=3,尸為線段GA的中點(diǎn)，一

質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面運(yùn)動(dòng)到達(dá)尸點(diǎn)處，若沿質(zhì)點(diǎn)A的最短運(yùn)動(dòng)路線截該正四棱柱，則所得截面

的面積為（）

「1576

D.3網(wǎng)

4

二、填空題

5.（24-25高三上?上海靜安?階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABC。-A瓦GR中，E,尸分別為棱AB,CR

的中點(diǎn)，G為棱CG靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，用過點(diǎn)E,F,G的平面截正方體，則截面圖形的周長為.

題型03截面切割幾何體體積問題

【典例訓(xùn)練】

一、填空題

1.（24-25高三?上海?課堂例題）平行于圓錐底面的截面將圓錐分為體積相等的兩部分，則圓錐側(cè)面被截面

分成上、下兩部分的面積之比為.

2.（24-25高三上?江蘇南京?開學(xué)考試）與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的

點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為4,最小值為2,則該幾何體的體積為

3.（23-24高三下?吉林?期末）我國古代數(shù)學(xué)家祖唯于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：夾在兩個(gè)平行

平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這

兩個(gè)幾何體的體積相等.在正四棱柱中，248=441=2,￡是4。上一點(diǎn)，EF上AD于點(diǎn)、F,

沒EF=d,0<d<2,則點(diǎn)E繞CG旋轉(zhuǎn)一周所得的圓的面積為（用d表示）；將空間四邊形

D\C,C繞CG旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為.

題型04平行、垂直相關(guān)的軌跡問題

【解題規(guī)律?提分快招】

①平行有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；

2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.

②垂直有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；

2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；

3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.內(nèi),進(jìn)而探究平面內(nèi)的軌跡問題，使問題更易解決.空間問題平面化也

是解決立體幾何題目的一般性思路.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱ABC-AB。1的底面邊長是2,側(cè)棱長是2道，M為AG的

中點(diǎn)，N是側(cè)面BCC]片內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且〃平面ABQ,則點(diǎn)N的軌跡的長度為（）

A.A/6B.2C.&D.4

2.（23-24高三下?甘肅武威?階段練習(xí)）如圖所示，在正方體ABC。-A用中，E,尸分別為44，AB上

的中點(diǎn)，且=p點(diǎn)是正方形48片A內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若GP〃平面C2跖，則尸點(diǎn)的軌跡長度為（）

A.B.3兀C.百D.%

3.（23-24高三上?福建福州?期末）已知長方體ABCD—A8|C|R,AB=AD=2,AAl=4,M是8月的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸滿足=〃網(wǎng)，其中4e[0,l],且MP//平面則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成的軌跡

長度是（）

A.3B.y/5C.272D.2

4.（24-25高三上?北京西城?期末）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A瓦G2中，E為棱AA的中點(diǎn)，P為

正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且2P_LCE.設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線W,則（）

A.W是平行四邊形，且周長為2行+2如

B.W是平行四邊形，且周長為30+26

C.W是等腰梯形，且周長為2應(yīng)+2百

D.W是等腰梯形，且周長為30+2石

5.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知正三棱錐A-BCD的底面△BCD的邊長為4,直線AC與平面BC。所成

角的余弦值為也，動(dòng)點(diǎn)M在以BC為直徑的球面上，且直線CD,平面則點(diǎn)〃的軌跡長為（）

3

A.扃B.2氐C.3扃D.4不%

6.（23-24高三下?江蘇南京?期末）已知正方體ABCD-ABCR的棱長是2,點(diǎn)尸是棱AD的中點(diǎn)，。是正方

體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，PQ-LAC,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長度是（）

A.3B.5C.D.6^/^

7.（2024?山東?模擬預(yù)測）在直四棱柱ABCD-A耳GR中，NBAD=gAB=AD=AAl=2,點(diǎn)。在側(cè)面

0cq2內(nèi)，且AQ=J7,則點(diǎn)。軌跡的長度為（）

,兀c兀-2兀一4兀

A.—B.-C.—D.—

6333

題型05距離、角度相關(guān)的軌跡問題

【解題規(guī)律?提分快招】

①距離有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；

2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.

②角度有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；

3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2024?云南保山二模）已知正方體ABCD-AAGA，。為上底面4班典所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線DQ

與的所成角為45。時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

2.（24-25高三上?天津?期中）在棱長為2的正方體48C。-ABCQI中，點(diǎn)尸是側(cè)面正方形儀＞。&內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)。是正方形ABBIA的中心，且尸。與平面CDDC所成角的正弦值是好彳，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡圖形的面積

為（）

A.-B.兀C.2V2D.y/2

3.（2024?四川宜賓?三模）在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB=BC=BB[,A5J_BC,點(diǎn)尸在四邊形4414g內(nèi)

（含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)=時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡長度為兀，則該三棱柱的表面積為（）

A.4B.10+4亞C.12+40D.16+40

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體ABCD-ABC，的棱長為4,點(diǎn)Me平面ABC2,且絲=:,則點(diǎn)

MA3

M的軌跡的長度為（）

A.V347TB.gC.D.

22

5.（2024?全國.模擬預(yù)測）如圖，正方體ABCD-ABCR的棱長為3,點(diǎn)P是平面AC4內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，M,N分

別為GA，8。的中點(diǎn)，若直線BP與MN所成的角為凡且sin9=半，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所圍成的圖形的

面積為（）

6.（23-24高三上.廣東東莞?期中）在棱長為1的正方體A8C￡>-中，M是耳〃的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在側(cè)面

BCC{B{所在的平面上運(yùn)動(dòng).現(xiàn)有下列命題:

①若點(diǎn)尸總保持PA±BD,,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線；

②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為正,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓;

3

③若點(diǎn)P到點(diǎn)8與點(diǎn)C的距離比為2：1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是圓;

④若點(diǎn)P到直線BC與直線CQ的距離比為2：1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

7.（2024.四川南充?二模）三棱錐A—BCD中，AB=AC=AD=4,BC=CD=DB=6,尸為△BCD內(nèi)部及

邊界上的動(dòng)點(diǎn)，A尸=2攻，則點(diǎn)尸的軌跡長度為（）

A.兀B.2兀C.3兀D.47t

8.（23-24高三下.吉林通化.期末）在三棱柱ABC—ABIG中，9，平面ABC,AB=AC=2,/BAC=120

是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，直線4。與平面ABC所成角的最大值是45,點(diǎn)尸在底面ABC內(nèi)，且42=血，則點(diǎn)P

的軌跡長是（）

71e2兀八4兀_

A.—B.—C.—D.2兀

333

題型06翻折相關(guān)的軌跡問題

【解題規(guī)律?提分快招】

翻折有關(guān)的軌跡問題的解題策略

1.翻折過程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡

2.翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，已知在VABC中，AB=\,BC=?>,ABYBC,D是BC邊上一

點(diǎn)，且3。=1,將沿AD進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)3與點(diǎn)P重合，若點(diǎn)尸在平面ADC上的射影在△ADC內(nèi)

部及邊界上，則在翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為（）

A.正兀B.1兀C.變兀D.立兀

12864

二、填空題

2.（23-24高三上.重慶?期中）如圖，已知菱形ABCD中，9=2,/54。=120。,￡為邊8（?的中點(diǎn)，將一ABE

沿AE翻折成（點(diǎn)與位于平面ABCD上方），連接用C和片。，尸為瓦D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，AE

與瓦C的夾角為，點(diǎn)尸的軌跡的長度為.

*>----------題型通關(guān)?沖高考-----------<>

一、單選題

1.（2024高三上?北京?學(xué)業(yè)考試）小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型.他先將正方體交

于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別記為AB,C,如圖1所示，然后截去以VABC為底面的正三棱錐，截后幾

何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型.若原正方體的

棱長為6,則此半正多面體模型的體積為（）

D.189

2.（24-25高三上?河南南陽?階段練習(xí)）已知正方體-aqCQi棱長為2,E為棱8月的中點(diǎn)，則經(jīng)過

A，2E三點(diǎn)的正方體的截面面積為（）

A.2B.3上C.正D.日

222

3.（23-24高三下.河南三門峽.期末）在正四棱柱43。-A4GR中，AB=4,AAl=6,","分別是4氏45

的中點(diǎn)，則平面截該四棱柱所得截面的周長為（）

A.14A/2B.1872C.10+6應(yīng)D.10+1（）忘

4.（24-25高三上?福建漳州?階段練習(xí)）在正四棱錐尸-A4G2中，PB}1PD}.用一個(gè)平行于底面的平面

去截該正四棱錐，得到幾何體438-44。。1，42=1，4瓦=2,則幾何體qCR的體積為（）

AV2R4收「70n170

6369

5.（23-24高三上.上海普陀.階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體A8C。-中，￡、尸分別是棱AB,

BC的中點(diǎn)，M為底面ABC。上的動(dòng)點(diǎn)，若直線〃平面￡〃G，則線段DM的長度的最小值為（）

6.（24-25高三上?重慶?期末）已知正方體4BCD-A3|G2，E,F,G分別為棱AB,CC{,G%的中點(diǎn)，

若平面EFG截該正方體的截面面積為紀(jì)1,點(diǎn)尸為平面跖G上動(dòng)點(diǎn)，則使尸D=的點(diǎn)P軌跡的長度為

2

（）

A.兀B.2nC.缶D.20兀

7.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABC。是邊長為3的正方形，尸

平面A5CD,點(diǎn)”為底面上的動(dòng)點(diǎn)，M到尸。的距離記為d,若MC=2d,則點(diǎn)M在底面正方形內(nèi)的軌

cC2兀CL-4兀

A.2B.—C.-JsD.—

33

8.（24-25高三上?北京?期末）在正方體ABCD-A瓦CQ中，點(diǎn)Q為底面ABC。（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，滿足

平面AQCL平面AQC,則點(diǎn)。的軌跡為（）

A.一段圓弧B.一段拋物線

C.一段橢圓D.一條線段

9.（24-25高三上?湖北?階段練習(xí)）點(diǎn)P是正方體ABCD-A與G2的表面及其圍成的空間內(nèi)一點(diǎn)，已知正方

體的棱長為2,若A8.AP=2，AP與平面ABC。所成的角為30。，則點(diǎn)P的軌跡的形狀是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

10.（24-25高三上?福建廈門?階段練習(xí)）在棱長為。的正方體ABC。-A耳GR中，M,N分別為的中

點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足A/P_LCW,點(diǎn)P軌跡的長度是（）.

A.（2+"\Z^）aB.^3+\/3j<7C.（3+0D.4a

二、多選題

11.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）如圖，若正方體ABCD-A4G2的棱長為2,點(diǎn)M是正方體

4GR在側(cè)面BCG4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸是棱AA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面PCD截該正方體的截面面積為2g

B.若PM=后,則點(diǎn)M的軌跡是以g為半徑的半圓弧

C.若M為與G的中點(diǎn)，則三棱錐P-OCM的體積為1

D.若2/，。尸，則A"的最大值為20

12.（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，正方體A8C。-A瓦G2的棱長為2,瓦廠分別是棱BC,OR

上的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為平面ABC￡）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有（）

A.若2尸與4A所成的角為三，則點(diǎn)尸的軌跡是橢圓

B.若點(diǎn)P到直線B片與到直線。C的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線

C.若。/與A3所成的角為；，則點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線

D.以B為球心，也為半徑的球面與平面皿相交所得曲線的面積為自

37

13.（24-25高三上?吉林松原?階段練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體ABC。-A與G2中，河為。。的中點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)N在平面ABC。內(nèi)的軌跡為曲線「下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)MN_L耳N時(shí)，「是一個(gè)點(diǎn)

B.當(dāng)“N〃平面ABG時(shí)，r是一條線段

C.當(dāng)直線與平面ABCD所成的角為60。時(shí)，：T是圓

D.當(dāng)直線與平面ADRA所成的角為60。時(shí)，「是雙曲線

14.（23-24高三下?山東日照?期末）已知正方體AfiCD-AB'C'D'的棱長為1,M,尸分別為A4',AB的中點(diǎn)，

UULUULIUU

點(diǎn)N滿足。兇=九℃'（/1€[0,1]）,設(shè)平面“尸N截正方體所得截面為r,其面積為S,設(shè)該截面將正方體分

成兩部分的體積分別為匕，匕，則下列判斷正確的是（）

A.截面「可能為五邊形B.當(dāng)2=1時(shí)，$=正

22

c.存在汨使得乂=%D.忖-囚的最大值為卷

15.（23-24高三下.浙江.開學(xué)考試）如圖，己知棱長為2的正方體ABCD-ABCQI，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn),

過點(diǎn)尸作正方體ABC。-aqGR的截面，關(guān)于下列判斷正確的是（）

A.截面的形狀可能是正三角形

B.截面的形狀可能是直角梯形

C.此截面可以將正方體體積分成1：3

D.若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值

16.（23-24高三上?四川成都.階段練習(xí)）如圖，已知矩形488,45=4,短＞=2,“為.中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EB

（端點(diǎn)除外）上某一點(diǎn).沿直線D尸沿△A/加翻折成△夫/）p，則下列結(jié)論正確的是（）

A.翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)尸在圓弧上運(yùn)動(dòng)

B.翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)尸在平面BCD尸的射影的軌跡為一段圓弧

C.翻折過程中，二面角P-DP-3的平面角記為a,直線叢與平面8CDF所成角記為￡,則">2b.

D.當(dāng)平面尸DCJL平面BCD尸時(shí)，在平面即C內(nèi)過點(diǎn)尸作PKLDCK為垂足，則DK的范圍為（1,2）

三、填空題

17.（23-24高三下.安徽.期末）在正方體ABC。-AAGA中，瓦尸分別是A。，的中點(diǎn)，AB=4,則過

點(diǎn)B,E,F的平面截該正方體所得的截面周長為.

18.（24-25高三上?天津河北?階段練習(xí)）已知棱長為1的正方體A8CDA1&gD1,若點(diǎn)P在正方體內(nèi)部

312

且滿足AP=745+54）+]則點(diǎn)尸到A3的距離為;正方體A8CD-A1BiC±,Q

jr

是平面ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若4Q與4。所成角為則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（寫曲線名稱）

19.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知在直三棱柱ABC-A瓦G中，ABYBC,BC=AAl=6,A5=8,M,

A.MCN1

N分別是AA，CG上的點(diǎn)，且去7==現(xiàn)沿平面BMN將該三棱柱截成兩部分，則幾何體

MBN-ABG的體積為.

A

20.（23-24高三下?河南?期末）如圖所示，在直三棱柱A3C-A瓦G中，C=CCX=BtCt=2,AC±BC,平

面a過棱8瓦的中點(diǎn)尸且與AC平行，若a截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為.

21.（24-25高三上?上海?期末）已知正方體A8CD-ABC，的棱長為有，M,N為體對角線8R的三等分

點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在三角形AC用內(nèi)，且三角形麗的面積S「乂產(chǎn)顯,則點(diǎn)尸的軌跡長度為.

6

22.（24-25高三上?陜西西安?階段練習(xí)）正方體ABCD-A瓦GR的棱長為5,點(diǎn)”在棱AB上，且40=2,

點(diǎn)尸是正方體下底面A2CD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)尸到直線AA的距離與點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離的平方

差為25,則動(dòng)點(diǎn)尸到B點(diǎn)的最小值是.

23.（23-24高三上.四川內(nèi)江?期中）如圖，已知菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=nO°,E為邊BC的中點(diǎn)，

將..母沿AE翻折成△人與后（點(diǎn)用位于平面ABCD上方），連接8（和瓦，尸為與。的中點(diǎn)，則在翻折

過程中，點(diǎn)尸的軌跡的長度為.

:重難題型?解題技巧攻略

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專題11立體幾何中的截面與軌跡問題

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄(Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接)

題型01截面形狀問題...........................................................................1

題型02截面面積、周長問題.....................................................................5

題型03截面切割幾何體體積問題................................................................6

題型04平行、垂直相關(guān)的軌跡問題..............................................................7

題型05距離、角度相關(guān)的軌跡問題..............................................................9

題型06翻折相關(guān)的軌跡問題....................................................................11

O----------------題型探析?明規(guī)律----------O

題型01截面形狀問題

【解題規(guī)律?提分快招】

一、截面問題的理論依據(jù)

(1)確定平面的條件

①不在同一平面的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩條平行線確定一個(gè)平面

(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)

(4)如果一條直線平行于一個(gè)平面，且經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行

(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行

二、截面問題的基本思路

1.定義相關(guān)要素

①用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面.

②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.

③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點(diǎn))叫做實(shí)截點(diǎn).

④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點(diǎn)叫做虛截點(diǎn).

⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.

18/75

2.作截面的基本邏輯：找截點(diǎn)一連截線一圍截面

3.作截面的具體步驟

(1)找截點(diǎn)：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點(diǎn)即截點(diǎn)

方式2：過一截點(diǎn)作另外兩截點(diǎn)連線的平行線，交幾何體的棱于截點(diǎn)

(2)連截線：連接同一平面內(nèi)的兩個(gè)截點(diǎn)，成截線

(3)圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面

三、作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交

線的過程。

(2)延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)。

(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線

的平行線找到幾何體的截面的交線。

模型演練：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)

方法：兩點(diǎn)成線相交法或者平行法

特征：1.三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上.本題如下圖是EF(這類型的關(guān)鍵)；

2.“第三點(diǎn)”是在外棱上，如Ci，注意：此時(shí)合格Ci點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處,

方法二：平行線法，做法如下圖.

19/75

四、正方體中的基本截面類型

銳角三角形等腰三角形等邊三角形梯形平行四邊形

令平面與軸線的夾角為6(0<6<90°),圓雉的母線與軸的夾角為a(o<a<90)，如圖②.

(2)當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；

(2)當(dāng)a=6時(shí)，截口曲線為拋物線；

(3)當(dāng)a>3時(shí)，截口曲線為雙曲線.

圖②

圖②我們再從幾何角度來證明.

⑴如圖③，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與截面切于點(diǎn)耳,B.在截口曲線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)尸

作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)Q1,。2?由球的性質(zhì)可知IP01=I尸片I,IPQI=I尸閭，于是

歸耳1+1尸閶=|PQj+|P2|=|Q2|為定值，這樣截口曲線上的任一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)。1，。2的距離之和為

常數(shù)，由橢圓的定義知，截口曲線是橢圓.

20/75

圖③

⑵如圖④，在互相倒置的兩個(gè)圓雉內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使它們分別與圓雉的側(cè)面、截面相切，兩個(gè)球分別

與截面切于點(diǎn)耳,F2.在截口曲線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓雉的母線，分別與兩球切于點(diǎn)Qi,。2.由球的性質(zhì)

可知|尸0=|尸身IJPQJT尸閶，于是|尸耳|—|尸閭=歸0卜歸。2|=|0。2|為定值，這樣截口曲線上的任一

點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)Q1，Q的距離之差的絕對值為常數(shù)，由雙曲線的定義知，截口曲線是雙曲線.

(3)如圖⑤，用平行于母線0M且垂直于軸截面OMN的平面/3去截圓雉.在圓雉內(nèi)放一個(gè)球，使它和圓雉的側(cè)

面與截面/3相切，球與截面切于點(diǎn)E.設(shè)a為球與圓雉相切時(shí)切點(diǎn)構(gòu)成的圓所在的平面，記。c,=/.在截口

曲線上任取一點(diǎn)P，作直線與球相切于點(diǎn)T,連結(jié)PT,W|PF|=|尸刀.在母線0M上取點(diǎn)A,8(3為與

球的切點(diǎn))，使得=|尸］.過點(diǎn)尸作PQ//AB，有點(diǎn)Q在/上，且戶=|P耳.另一方面，因?yàn)槠矫?/p>

與a垂直，那么/，平面OMN,有/，AB斯以/，PQ.于是截口曲線是以點(diǎn)E為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的拋

物線.

0

圖⑤

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

21/75

1.（23-24高三下?浙江杭州?期末）在正方體ABCD-ABCQ中，P,。分別是棱明和C。上的點(diǎn)，PA=1A41,

CQ=^CCi,那么正方體中過點(diǎn)O,P,Q的截面形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】畫出圖形，然后判斷即可.

【詳解】在正方體ABCZ）-中，取用耳，BN：*、,

連接￡>尸，DQ,PN,CN,MQ,PM,如下圖所示：

因?yàn)樵谡襟wABC。-中，P,。分別是棱AA和CG上的點(diǎn)，PA=^AAltCQ=^CC1,

所以MN//CQ,且MN=C0,則四邊形NCQW為平行四邊形，則NC〃河。，NC=MQ,

又因?yàn)镻N〃CD,且PN=CD,所以四邊形PNC。為平行四邊形，

則PD//CN,PD=CN,

所以。尸//M。，DP=MQ,所以。尸“。為平行四邊形，

則正方體中過點(diǎn)。，P,。的截面形狀為四邊形。尸MQ.

故選：B

2.（2024高三.全國?專題練習(xí)）過正方體ABCD4/8/C/D/的棱AB,8C的中點(diǎn)E,尸作一個(gè)截面，使得截面

與底面所成的角為45。，則此截面的形狀為（）

A.三角形或五邊形

B.三角形或六邊形

C.六邊形

D.三角形

【答案】B

【詳解】

解析：如圖，連接3。交EF于點(diǎn)G,設(shè)上、下底面中心分別為。，O,設(shè)過點(diǎn)功與EF的截面與底面的

所成角為a,易得tana=tanNZ）/GO=￥<1,故aV45。；設(shè)過Az,G與EF的截面與底面的所成角為

22/75

P，易得tan/?=tanN0GO=26>1,故a>45。，故所求截面應(yīng)與40,C/0都相交（不過其端點(diǎn)），為

六邊形，點(diǎn)H在3a上，且BG=BH,當(dāng)截面為EFH時(shí)也滿足題意，此時(shí)為三角形.

二、解答題

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，一塊正方體木料44GA-AB。的棱長為3米，點(diǎn)M在棱用8

上，且與=過點(diǎn)M把木料據(jù)開且鋸面與BQ平行，問木料表面上的鋸痕是什么形狀？

【答案】鋸痕的形狀是五邊形或四邊形

【分析】先利用線面平行的判定定理推得鋸面為過MN在正方體上的截面，再分類討論與上底面的交點(diǎn)位

置，從而得解.

【詳解】取且DN:NB=1:2,連接肱V,

則。N:M3=4":M8=1:2,所以MN//BQ,

此時(shí)，由線面平行的判定定理可知，過MN的鋸面就是滿足題意的鋸面；

當(dāng)鋸面分別與AO,8交于￡E時(shí)，

延長FE交BC延長線于尸，連接MP交GC于

延長所交54延長線于Q,連接交4A于G,

23/75

由公理2可知直線EF與MH的交點(diǎn)P一定在直線BC上,

直線EF與MG的交點(diǎn)。一定在直線BA1.,

此時(shí)鋸痕為五邊形MHEFG；

當(dāng)鋸面與48（含端點(diǎn)A,不含端點(diǎn)B）交于/或與（含端點(diǎn)C,不含端點(diǎn)B）交于E時(shí),

由上分析可知此時(shí)鋸痕為四邊形MFEH（或四邊形MEFG）；

綜上，鋸痕的形狀是五邊形或四邊形.

題型02截面面積、周長問題

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（23-24高三上?北京東城?期末）如圖,在正方體ABCD-4用CQ中，A5=2,E,尸分別是,8瓦的中點(diǎn).用

過點(diǎn)尸且平行于平面ABE的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）

A.屈B.2岔C.V5D.也

2

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形2GFM為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形

2GFM為矩形，即可求解.

【詳解】取A4的中點(diǎn)連接

則A"http://AB//G2,故四邊形BGFM為平行四邊形，即為過點(diǎn)F且平行于平面4狙的截面，

RM=布，MF=2,且CQi，平面ADRG,'"u平面ADRG,則CQ_LRM,

24/75

故四邊形2C/M為矩形，

故四邊形的面積為。陽=275，

故選：B

2.（2025?廣東茂名?一模）在棱長為6的正方體ABC。-中，瑟=2/，CF=2FQ,過點(diǎn)民區(qū)尸

的平面截該正方體所得截面的周長為（）

A.4A/13+3A/2B.6履+3點(diǎn)

C.45/13+85/2D.6A/13+8V2

【答案】B

【分析】取2cl的中點(diǎn)N,2a的中點(diǎn)連接MN、NF、ME,則五邊形為過點(diǎn)瓦耳尸的截

面，再計(jì)算截面周長即可.

【詳解】如圖取2G的中點(diǎn)N,94的中點(diǎn)連接MN、NF、ME,

則五邊形BEAM為過點(diǎn)瓦瓦廠的截面，取6的中點(diǎn)J,靠近Q的三等分點(diǎn)左，連接CK、EK,

則NF//DJ,又CJ//D,K且07=DtK,所以四邊形CJDtK為平行四邊形，

所以CK//D",則N/7/CK,

又EK//BC且EK=BC,所以MCB為平行四邊形，所以EB//CK,則NF//BE,

所以N,￡B,E四點(diǎn)共面；

取B與、A4靠近8、A的三等分點(diǎn)G、H,連接GG、GH、DtH,

同理可證B/〃GG,D.HUCfi,D.H//EM,所以BF//EM,

所以四點(diǎn)共面；

所以N,尸，氏五點(diǎn)共面；

又NF=ME=d^+^=&，BE=BF=y/42+62=2y/l3>MN=d寸+寸=30，

所以截面周長為6屈+30.

故選：B

25/75

3.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知正四棱錐尸-ASCD,其中AB=4,PA=4后，平面a過點(diǎn)A,且

平面a_LPC,則平面a截正四棱錐尸—ABCD的截面面積為（）

A.B.隨C.12如D.必^

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