導學案-推理與證明

【課題】：2．1．1合情推理1【學習目標】：1.結(jié)合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義；2.能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.【重點】：歸納推理【難點】：歸納推理【合作探究】：歸納推理問題1:哥德巴赫猜想：觀察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜想：.問題2：由銅、鐵、鋁、金等金屬能導電，歸納出.【新知】：歸納推理就是由某類事物的,推出該類事物的的推理，或者由的推理.簡言之，歸納推理是由的推理.【自主學習】：導練1.觀察下列等式：1+3=4=，1+3+5=9=，1+3+5+7=16=，1+3+5+7+9=25=，……你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？變式：觀察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一個怎樣的結(jié)論？導練2.已知數(shù)列的第一項，且，試歸納出這個數(shù)列的通項公式.變式：在數(shù)列{}中，,（），試猜想這個數(shù)列的通項公式.【動手試試】：練1.應(yīng)用歸納推理猜測的結(jié)果.練2.在數(shù)列{}中，，（）,試猜想這個數(shù)列的通項公式.【學習小結(jié)】：1．歸納推理的定義.2.歸納推理的一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題（猜想）.※知識拓展1.費馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學家之王—費馬（1601-1665）在1640年通過對，，，，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素數(shù)，提出猜想：對所有的自然數(shù)，任何形如的數(shù)都是素數(shù).后來瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)不是素數(shù)，推翻費馬猜想.2.四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題.1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明.【當堂檢測】：1.下列關(guān)于歸納推理的說法錯誤的是（）.A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程C.歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確D.歸納推理具有由具體到抽象的認識功能2.若，下列說法中正確的是（）.A.可以為偶數(shù)B.一定為奇數(shù)C.一定為質(zhì)數(shù)D.必為合數(shù)3.已知，猜想的表達式為（）.A.B.C.D.，經(jīng)計算得猜測當時，有.從中得出的一般性結(jié)論是.【課題】：2．1．1合情推理2【學習目標】：1.結(jié)合已學過的數(shù)學實例，了解歸納推理的含義；2.能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.【重點】：歸納推理【難點】：歸納推理【復習】：1.已知，考察下列式子：；；.我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為.2.猜想數(shù)列的通項公式是.【自主探究】：魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點，如都是繞太陽運行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學家猜測：火星上有生命存在.以上都是類比思維，即類比推理.【新知】：類比推理就是由兩類對象具有和其中，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由到的推理.導練1.類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì).類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運算結(jié)果運算律逆運算單位元變式：找出圓與球的相似之處，并用圓的性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì).圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長圓的面積圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦與圓心距離相等的弦長相等，與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長以點為圓心，r為半徑的圓的方程為導練2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.變式：用三角形的下列性質(zhì)類比出四面體的有關(guān)性質(zhì).三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線平行且等于第三邊的一半三角形的面積為（r為三角形內(nèi)切圓的半徑）新知：和都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行，然后提出的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.一般說合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠.動手試試：1.如圖，若射線OM，ON上分別存在點與點，則三角形面積之比.若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ上分別存在點，點和點，則類似的結(jié)論是什么？2.在中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n邊形中，有怎樣的不等式成立？學習小結(jié)1．類比推理是由特殊到特殊的推理.2.類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)得出一個命題（猜想）.3.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真，但合情推理常常幫我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法.當堂檢測1.下列說法中正確的是（）.A.合情推理是正確的推理B.合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理D.類比推理是從特殊到特殊的推理2.下面使用類比推理正確的是（）.A.“若,則”類推出“若,則”B.“若”類推出“”C.“若”類推出“（c≠0）”D.“”類推出“3.設(shè)，，n∈N，則（）.A.B.－ C.D.－4.一同學在電腦中打出如下若干個圓若將此若干個圓按此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么在前2006個圓中有個黑圓.在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.6.在等差數(shù)列中，若，則有成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則存在怎樣的等式？7.在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項和滿足（1）求；（2）由（1）猜想數(shù)列的通項公式；（3）求【課題】：2．1．2演繹推理【學習目標】：結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性；掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理.【重點】：歸納推理【難點】：歸納推理【復習】：1：歸納推理是由到的推理.類比推理是由到的推理.2：合情推理的結(jié)論.【合作探究】：探究任務(wù)一：演繹推理的概念問題：觀察下列例子有什么特點？（1）所有的金屬都能夠?qū)щ姡~是金屬，所以；（2）太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，冥王星是太陽系的大行星，因此；（3）在一個標準大氣壓下，水的沸點是，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到時，；（4）一切奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以；（5）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，是三角函數(shù)，所以；（6）兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么.【新知1】：演繹推理是從出發(fā)，推出情況下的結(jié)論的推理.簡言之，演繹推理是由到的推理.探究任務(wù)二：觀察上述例子，它們都由幾部分組成，各部分有什么特點？所有的金屬都導電銅是金屬銅能導電已知的一般原理特殊情況根據(jù)原理，對特殊情況做出的判斷大前提小前提結(jié)論【新知1】：“三段論”是演繹推理的一般模式：大前提—；小前提—；結(jié)論—.試試：請把探究任務(wù)一中的演繹推理（2）至（6）寫成“三段論”的形式.導練1在銳角三角形ABC中，，D，E是垂足.求證：AB的中點M到D，E的距離相等.新知：用集合知識說明“三段論”：大前提：小前提：結(jié)論：導練2證明函數(shù)在上是增函數(shù).小結(jié)：應(yīng)用“三段論”解決問題時，首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提，但為了敘述簡潔，如果大前提是顯然的，則可以省略.導練3下面的推理形式正確嗎？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？所有邊長相等的凸多邊形是正多邊形，（大前提）菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，（小前提）菱形是正多邊形.（結(jié)論）小結(jié)：在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定正確.動手試試1.用三段論證明：通項公式為的數(shù)列是等比數(shù)列.2.在中，，CD是AB邊上的高，求證.證明：在中，，所以，于是.指出上面證明過程中的錯誤.學習小結(jié)1.合情推理；結(jié)論不一定正確.2.演繹推理：由一般到特殊.前提和推理形式正確結(jié)論一定正確.當堂檢測1.因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，則是增函數(shù).這個結(jié)論是錯誤的，這是因為A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤2.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤3.用三段論證明：為奇函數(shù).【課題】：2．2．1綜合法和分析法1【學習目標】：1.結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.【重點】：綜合法和分析法【難點】：結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法【復習】：1：兩類基本的證明方法:和.2：直接證明的兩中方法:和.【合作探究】：探究任務(wù)一：綜合法的應(yīng)用問題：已知,求證:.新知：一般地,利用,經(jīng)過一系列的推理論證,最后導出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫.框圖表示：要點：順推證法；由因?qū)Ч?導練1已知，，求證：變式：已知，，求證：.小結(jié)：用綜合法證明不等式時要注意應(yīng)用重要不等式和不等式性質(zhì),要注意公式應(yīng)用的條件和等號成立的條件,這是一種由因索果的證明.導練2在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.變式：設(shè)在四面體中,D是AC的中點.求證:PD垂直于所在的平面.小結(jié)：解決數(shù)學問題時,往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言,或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等,還要通過細致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來.動手試試1.求證：對于任意角θ，為銳角，且，求證：.（提示：算）學習小結(jié)綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論，直到最后的結(jié)論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題.當堂檢測1.已知的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.如果為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則（）A．B．C．D．3.設(shè)，則（）A．B．C．D．4.若關(guān)于的不等式的解集為，則的范圍是____.5.已知是不相等的正數(shù)，，則的大小關(guān)系是_________.【課題】：2．2．1綜合法和分析法2【學習目標】：1.結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法.【重點】：綜合法和分析法【難點】：結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法【復習】：1：綜合法是由導;2：基本不等式:【合作探究：探究任務(wù)一：分析法問題：如何證明基本不等式新知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因?qū)Ь?求證:變式：求證小結(jié)：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.導練2已知,且求證:.新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則上述過程可用框圖表示為：變式：已知都是銳角，且，，求證：.動手試試1.要證明可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法2.不等式①;②,其中恒成立的是A.①B.②C.①②D.都不正確3.已知,且,那么A.B.C.D.4.若,則.5.設(shè)a,b,c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：已知，求證：.學習小結(jié)1.直接證明包括綜合法和分析法.2.比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.【課題】：2.2.2反證法【學習目標】：1.結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；2.了解反證法的思考過程、特點;3.會用反證法證明問題.【重點】：會用反證法證明問題.【難點】：會用反證法證明問題.【合作探究】：探究任務(wù)：反證法問題(1)：將9個球分別染成紅色或白色,那么無論怎樣染,至少有5個球是同色的,你能證明這個結(jié)論嗎?問題(2):三十六口缸,九條船來裝,只準裝單,不準裝雙,你說怎么裝?新知：一般地，假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)，從而證明了原命題.這種證明方法叫.試試：證明：不可能成等差數(shù)列.總結(jié)：證明基本步驟：→→，從而原命題的結(jié)論成立方法實質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.導練1已知,證明的方程有且只有一個根.變式：證明在中,若是直角,那么一定是銳角.小結(jié)：應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.導練2求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.變式：求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不少于.小結(jié)：反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一個，至多有一個”等字樣的一些數(shù)學問題.動手試試1.如果,那么.2.的三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:.學習小結(jié)1.反證法的步驟：①否定結(jié)論；②推理論證；③導出矛盾；④肯定結(jié)論.2.反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一個，至多有一個”等字樣的一些數(shù)學問題.當堂檢測1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個不大于”時，反設(shè)正確的是（）.A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于B．假設(shè)三內(nèi)角都大于C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于2.實數(shù)不全為0等價于為（）.A．均不為0B．中至多有一個為0C．中至少有一個為0D．中至少有一個不為03.設(shè)都是正數(shù)，則三個數(shù)（）.A．都大于2B.至少有一個大于2C.至少有一個不小于2D.至少有一個不大于24.用反證法證明命題“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的反設(shè)為.5.“”是“”的條件.6.已知,且.試證:中至少有一個小于2.7.證明不是有理數(shù).【課題】：2.3數(shù)學歸納法【學習目標】：理解數(shù)學歸納法的概念，掌握數(shù)學歸納法的步驟【重點】：理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)意義，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟【難點】：會用反證法證明問題.運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系【合作探究】：情景一：多米諾骨牌游戲情景二：對于數(shù)列,已知,通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為。這個猜想是否正確，如何證明？探索新知1、了解多米諾骨牌游戲，思考只要滿足哪兩個條件，所有多米諾骨牌就都能一一倒下。2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學問題。思考：你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？3、數(shù)學歸納法的原理一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（歸納奠基）（歸納遞推）上述證明方法叫做。導練1用數(shù)學歸納法證明變式1：用數(shù)學歸納法證明：變式2：用數(shù)學歸納法證明： 變式3：試判斷下列用數(shù)學歸納法證明過程是否正確，若不正確，請改正。證明：（1）當時，左邊=1，右邊=，左邊=右邊，等式成立。（2）假設(shè)當時，等式成立，即那么當時，這表明，當時，等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可以斷定，等式對任何正整數(shù)都成立。課堂小結(jié)1、數(shù)學歸納法適用范圍:某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題.2、用數(shù)學歸納法證明命題的步驟：(1)證明：當n取第一個值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。3、兩個注意：（1）、“二步一結(jié)論”缺一不可。（2）、第2步證明“假設(shè)n=k成立則n=k+1也成立”時一定要用到歸納假設(shè)?？偨Y(jié)：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉求證：2、求證：求證：4.用數(shù)學歸納法證明時，第一步應(yīng)驗證不等式（）A. B.C.D.用數(shù)學歸納法證明：的過程中，從＂到＂左端需增加的代數(shù)式為

（）

6.設(shè)，那么等于（）A.B.C.D.第二章推理與證明(練習)一、選擇題：1．下列命題中的真命題是()A．若a＞b，c＞d，則ac＞bdB．若|a|＞b，則a2＞b2C．若a＞b，則a2＞b2D．若a＞|b|，則a2＞b22.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A．289B．1024C．1225D．13783．在R上定義運算若不等式對任意實數(shù)成立，則（）A． B． C． D．4.已知數(shù)列滿足，則=（） A．0B．C．D．5．觀察式子：，…，則可歸納出式子為（）A.B.C.D.6．用三段論推理命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為是實數(shù)，所以，你認為這個推理（）A．大前題錯誤 B．小前題錯誤