2024-2025學年江蘇省南京市第二十九中高一下學期期中數(shù)學試題及答案

高一下)期中試卷數(shù)學2025.4注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．305毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第I卷選擇題共58分)85)1．復數(shù)＋3i對應(yīng)的點在A．第一象限B．第二象限．第三象限D(zhuǎn)．第四象限ππ2．在△中，角AB的對邊分別為，，＝，＝，b＝，則＝64A4B．42C．43D463．cos75°cos45°＋cos15°sin45°＝32121232A．－C．D．4．在用二分法求方程ln＋2x40在，2]上的近似解時，先構(gòu)造函數(shù)(x)＝lnx＋2－4，再依次計算得(1)＜(2)＞0，(1.5)0，(1.75)＞0，(1.625)＜，則該近似解所在的區(qū)間可以是A．，1.5)B．(1.5，1.625)C．(1.625，1.75)D．，2)5．已知，b是單位向量，滿足b⊥(a－b，則a與b的夾角為π6π32π35π6A．．．D．π66．已知a＝1，b＝2，其中ab的夾角為，則a在b上的投影向量為123414A．bB．bC．bD．b137．已知sin(αβ)＝3sin(－β)，β＝，則tan(＋)＝9791191197AB．D．1/4{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}→→128．在△中，角A，C所對的邊分別是，，c，＝，AB?BC＝C的最大值為343332A．．．D．33660)9．下列關(guān)于向量的說法中正確的是A．AB＝|AB|B．AB＋BA＝0C．在邊長為1的正方形ABCD中，|BA＋2BC＝2Da＝，－，b＝，－2)能作為平面內(nèi)的一組基底10．某藥物在人體內(nèi)的血藥濃度與時間有關(guān)，血藥濃度C(單位：與時間(小時的變化規(guī)律可近似表述為：C(C0e－kt，其中C0為初始血藥濃度，k為代謝速率常數(shù)，C()如圖所示，則A．=ln2B．每小時血藥濃度降低的數(shù)值相等164C．服藥后6小時，血藥濃度降至初始值的D．服藥后，人體內(nèi)的血藥濃度隨著時間的增加而降低．在銳角三角形ABC中，角ABC所對的邊分別是，，c，C－＝2sinA，則AB2AB．b2＝a＋ac＋122234sin2A4sinA－CC．＜sin＋A＜D．＜＜12/4{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}第II卷非選擇題共92分)35)12．已知向量＝(12)b＝(x，，2＋b與b平行，則x的值為．π2α2135sin2＝－8sin，∈(，π)cos的值是．14n以內(nèi)的區(qū)域．如圖，A，B是海岸線上相距10n的兩個觀PBAP＝45°ABP＝P120，則此時P離海岸線的距離為nmile．AB5)15．(13分)52－i已知復數(shù)＝－1＋．－(1)求z和||；(2)若復數(shù)z是關(guān)于xx＋＋＝0(pqR的一個根，求，q的值．16．(15分)已知向量＝(2，－23)，|b|＝2a與b的夾角為．π3(1)求a·b的值；(2)若m－3b|213，求實數(shù)m的值．17．(15分)已知函數(shù)(x)＝2cos2x＋23sinxcosx1，R．(1)求函數(shù)(x)的最小正周期和最大值；α21655π6(2)若()＝sin(2α＋)的值．3/4{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}18．(17分)如圖，已知在平面四邊形ABCD中，AB＝BC＝，CDDA4．(1)若平分∠ABC，求BD的長；(2)設(shè)∠BAD＝，∠BCDβ．①若＝120°，求四邊形ABCD的面積；②當四邊形ABCD面積最大時，求證：＋β18．DABC19．(17分)如圖，已知四邊形ABCD為菱形，AB43，∠ABC＝60°，O為△ABC的外心．ADAMDB1POOBCBC圖1(備用圖)(1)求OC?OD的值；(2)點P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，①已知點BBO的對稱點，求|PB＋|PB的取值范圍；11②已知點M為邊的中點，且存在實數(shù)x，，z，使得x＋yPB＋zPM＝，求出xyz當最大時的的值．x＋y4/4{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}高一下)期中試卷數(shù)學2025.485)1．A2B3D4C．B6C7DB3660)9．ACDABD35)12101012．．．＋53或23.665)52－i15．因為復數(shù)＝－1＋，5(2＋(2－i)(2＋所以＝－1＋i＝2＋1＋i＝1＋，..........................................................................................................................2分－(1)所以z＝1－，..........................................................................................................4分所以||＝12＋(－2)＝5；..........................................................................................6分(2)因為z是關(guān)于x的方程2＋＋＝0(，qR的一個根，所以＋2i)＋p(12i)＋＝0，.....................................................................................7分所以＋4i4i2＋p2pq＝0，所以(3＋＋q)＋p4)i＝0，...................................................................................9分－3＋＋＝0，所以2p＋＝0，....................................................................................................11分所以＝－2，＝．.....................................................................................................13分1/7{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}16．(1)＝(2，－23)，所以a＝4，..............................................................................2分π3因為|b|＝，a與b的夾角為，12所以a·b＝4××，............................................................................................................4分＝4；....................................................................................................................................6分(2)|m－3b|2＝m－3b)2..................................................................................................................................................8分＝m2－ma·b36m2－m36.............................................................................10分因為ma3b＝213，所以m2－24m＋＝，.....................................................12分所以m2m－＝，12所以m2，或者m＝－．.............................................................................................15分17．(1)(x)＝2cos2x23sinxcosx1，所以(x)＝3sin2x＋cos2x＋2.........................................................................................4分π6＝2sin(2x＋)＋2，..........................................................................................................6分2π所以函數(shù)(x)的最小正周期為＝π；2π6π2當且僅當x＋＝2kπ＋(k，π6即x＝k＋(k∈時函數(shù)()的最大值為4，...............................................................8分α2165(2)因為()＝，π6165所以2sin(＋)＋2＝，π3所以sin(α＋)＝，.......................................................................................................10分655π6π6π2又sin(2α＋)＝sin[2(α＋)＋]，...............................................................................12分5π6π6所以sin(2＋)＝cos2(α＋)π635725＝1－2sin2(＋)＝1－2()2＝．...............................................................................15分18．(1)平分ABC，所以ABDcosDBC，AB2BD2AD2BC＋BD2CD2所以＝，2××2××所以22＋BD2－4＝62＋BD2－422×6×2×2×解得BD＝27；..............................................................................................................4分(2)①在△ABD中，BD2AB2＋AD－2×ADcosα，2/7{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}所以BD＝2242－2×2×4cos120°＝28，所以BD＝27，..............................................................................................................6分在△CBD中cosBC＋CD2BD2，2××62＋42－(22所以β＝12＝，2×6×4因為＜＜，所以β＝，...................................................................................................................8分因為四邊形ABCD面積＝S△＋S△CD，1212所以＝AB×ADsinα＋CBCDβ1212＝×2×4sin120°＋×6×4sin60°＝83；...........................................................................................................................10分②在△中，BD2AB＋AD2－ABADcosα＝2＋42－2×2×4cosα，在△CBD中，BD＝CB2CD－CB×CD＝62＋2－2×6×4cos，所以2＋42－2×2×4cosα62＋42－2×6×4cosβ，所以cosα－3cos＝－，..............................................................................................12分設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則SS△＋S△C1212＝ABADsinα＋CBCDβ＝4sinα12sin，S所以＋3sin＝，4又cosα－3cosβ＝－2，S4所以(sinα3sinβ)2＋(cosα－3cosβ)2＝4＋()2，S4所以－6cos(αβ)＝＋()2，S4所以()2＝6－6cos(α＋β............................................................................................15分3/7{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}因為＜α180°，＜＜18，所以＜αβ360°，所以－1≤cos(α＋β＜，S4當且僅當＋＝18時，cos(α＋β)＝－1，()2取最大值12，此時S有最大值83，所以當四邊形ABCDαβ＝．.........................................................17分19．(1)方法一OC?OD＝(OA＋AD)?(OE＋EC)＝－824；......................................................3分或者OC?OD＝OC?(OC＋CD)＝16＋＝16；yADxOBEC方法二以O(shè)為原點，OA為y軸建立平面直角坐標系如圖所示．易得△ABC為正三角形，則A，4)B(23，－2，C(23，－2D(43，4)．所以O(shè)C?OD＝(23，－2)?3，4)＝－816；....................................................3分(2)①方法一建系如的方法二，易得B1(23，2，因為點P在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)P(cos，sinα)，...................4分則PB＝(23－cosα，－2－α)，PB＝(23－cosα2－sinα，1π3π3所以|PB＋PB＝17＋8sin(＋)＋17－8sin(＋).......................................6分14/7{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}π3令8sin(α＋)＝，則－8≤≤8，所以|PB＋PB＝17＋＋17－，1(|PB＋PB|)2＝34＋2172－2，1所以≤|PB＋PB≤217；........................................................................................8分1方法二當，，B共線時，|PB＋PB取得最小值8，.......................................................5分11在△PBO中，BP2BO2PO－2×POBOP，在△PBO中，BP2BO＋PO2－BOPOcosBOP，11111所以BP＋B1P＝BO＋PO＝，APDB1所以|PB2＋PB2＝34，1O|PB＋|PB||PB2＋PB211因為≤＝17，22BC所以|PB＋PB≤217(當且僅當|PB＝|PB＝17時等號成立)...........................8分11所以≤|PB＋PB≤217；1②方法一y建系如的方法二，易得M(2，4)，方法一APMDB1xO＝(－cos，4－sinα，BCPM＝(23－cosα，－sinα)，由上PB＝(－23－cosα，－－α)，所以x＋yPB＋zPM＝x(－cos，－sinα)＋y－23－cosα，－2－sinα＋z(23－cos，4－sinα).......10分＝(－xcos，4－xsinα)＋－23y－ycosα，－2－ysinα＋(23z－zcosα，4－zsinα)5/7{#{QQABJQyk5giQkgTACB6qF0FUCAgQsIIgLYoMxRCYKAYCQBFIBCA=}#}＝(－xcos－ycos－zcos－23y＋23z，－xsinα－ysin－zsinα＋4－2＋4z)，因為x＋yPB＋zPM＝，所以(xy＋z)cos＝－23y＋23z，且(x＋＋z)sinα＝4－24z，2z－y)x＋y＋zcosα＝，所以，2(2x－＋2z)x＋y＋zsinα＝代入2α＋sin2α＝，得(x＋＋z)2＝12(－z)2＋x－y2z)2，..................................................................12分整理得5x25y2＋9z－6－14＋10＝0，顯然y，兩邊同時除以2，xyzyxyzyxz得5()2＋5＋9()2－6－1410＝，yyxyzy令m，＝，得m2＋＋9n－m－＋mn＝0，即9n22(75m)＋m26m＋50，(☆)所以△＝－m)2－m2－m＋5)0，...............................................................14分即m2＋m－10，15xy15解得－1m≤，所以(即m)的最大值為.............................................................16分23此時△＝，式子(☆)有兩個相等的根，所以＝，zn59所以＝＝．...............................................................................................17分x＋ym1方法二xyxy要求的最大值，則?。?，連接