專題15 三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題15三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.知識(shí)儲(chǔ)備：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．例2．（2023秋·山東日照·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4例3．（2023·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對(duì)角線的長為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．例5．（2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為______．例6．（2023·山東·九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．例7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

例8．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．例9．（2023.重慶九年級(jí)一診）如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．（1）求直線BD的解析式；（2）如圖②，點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG﹣GE的最小值；課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．2．（2023·廣東中山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的對(duì)角線，點(diǎn)E為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．3．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．4．（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．5．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．6．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎诘妊校?，，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，連接，在的右側(cè)做等腰，其中，，連接，則的最小值為（用含的代數(shù)式表示）．

7．（2023·四川成都·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，，E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作的垂線l，過點(diǎn)D作交l于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，，點(diǎn)H是中點(diǎn)，連接，則的最小值為．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.9．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．10．（2023·四川眉山·一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．11．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，菱形中，，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，．(1)求的長；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．

12．（2023·山東濟(jì)寧·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．13．（2021·資陽市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長．14．（2020·湖南·中考真題）已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k，b，c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r(shí)，求b的值．15．（2022·四川成都·中考模擬）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？16．（2023上·重慶渝北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為等邊三角形，D是直線上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段上，以為邊向上作等邊，連接．當(dāng)時(shí)，求的大小；(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段的延長線上，以為邊向上作，使得且，連接交線段于點(diǎn)F．求證：；(3)如圖3，若點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，射線上有一點(diǎn)E，且，為的角平分線，P為上一動(dòng)點(diǎn)，為上動(dòng)點(diǎn)，連接，．已知，．直接寫出的最小值．17．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）【定義】斜率，表示一條直線相對(duì)于橫軸的傾斜程度．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，對(duì)于一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0），k即為該函數(shù)圖象（直線）的斜率．當(dāng)直線過點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）時(shí)，斜率k＝，特別的，若兩條直線l1⊥l2，則它們的斜率之積k1?k2＝﹣1，反過來，若兩條直線的斜率之積k1?k2＝﹣1，則直線l1⊥l2【運(yùn)用】請(qǐng)根據(jù)以上材料解答下列問題