2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之橢圓（2025年4月）

第39頁（共39頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之橢圓（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?遼寧二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直線l：x+2y﹣6＝0與C交于M，N兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，BA．x220+y2C．x29+y2．（2025?河北模擬）已知橢圓C：x24+y2=1，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短軸長為直徑作圓C1，以橢圓C右頂點(diǎn)為圓心，以長軸長為直徑作圓C2，過動(dòng)點(diǎn)P（m，n）作直線PA與圓C1切于點(diǎn)A，作直線PB與圓C2切于點(diǎn)B，若|PBA．[-2，14) B．[-23．（2025春?烏魯木齊月考）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓E：x2a2+y2=1(a＞1)的右焦點(diǎn)，M是E上位于x軸上方的一點(diǎn)，MO，MF的延長線分別交E于點(diǎn)N，T，且|FNA．8 B．4 C．2 D．24．（2025?固始縣校級模擬）蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”．已知橢圓C：x2m+y23=1的焦點(diǎn)在x軸上，A、B為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)PA．(0，33) B．(0，63)5．（2025?無錫模擬）如圖，在高為16的圓柱形筒中，放置兩個(gè)半徑均為3的小球，兩個(gè)小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面α與兩個(gè)小球也相切，平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A．13 B．12 C．34 6．（2025?邵陽模擬）經(jīng)過橢圓x22+y2＝1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為π3的直線l，直線l與橢圓相交于A，A．227 B．427 C．67．（2024秋?邵陽期末）已知直線l：y=12x+1與橢圓C：x2a2+y2A．33 B．32 C．22 8．（2024秋?鼓樓區(qū)校級期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的蒙日圓為①橢圓Γ的離心率為2②M到Γ的左焦點(diǎn)的距離的最小值為6③△MPQ面積的最大值為3④若動(dòng)點(diǎn)D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則kA．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?臨汾二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，AA．AF1⊥AF2 B．四邊形AF1BF2的周長為4a C．四邊形AF1BF2的面積為b2 D．橢圓C的離心率的取值范圍為[（多選）10．（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）橢圓C：x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，圓O是以橢圓C的短軸為直徑的圓，MN為圓OA．若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為23B．若∠F1PF2＝90°，則直線PF2被橢圓C截得的弦長為23C．若△F1PF2是以F1F2為其中一腰的等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有6個(gè) D．若P為C與x軸正半軸的交點(diǎn)，NR→=3RP→（多選）11．（2025?玉溪二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A．△BFO B．△PAO C．△PBO D．△PAF（多選）12．（2025?湖北模擬）已知橢圓E：x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1和l2分別與E交于A、A．E的離心率為22B．存在直線l1，使得|ACC．1|ACD．若E上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，則E變?yōu)閳A三．填空題（共4小題）13．（2025?閔行區(qū)校級開學(xué)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)（c，0）（其中c＞0）為其右焦點(diǎn)，設(shè)14．（2025?貴州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1和F2，下頂點(diǎn)為點(diǎn)A，直線AF2交橢圓C于點(diǎn)B，△ABF1的內(nèi)切圓與15．（2025?湖南模擬）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過16．（2025?廣東模擬）已知雙曲線C：x2m-y2=1(m＞0)四．解答題（共4小題）17．（2025?嘉定區(qū)模擬）已知橢圓C：x29+y2=1，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)P（3，0）的直線l1交橢圓于另一點(diǎn)（1）求|MF|的最小值；（2）當(dāng)直線l1的斜率為1時(shí)，求△PQM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若直線PQ與直線l2：x＝﹣3交于點(diǎn)D，點(diǎn)D不在x軸上，Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)R，直線PR與l2交于點(diǎn)E，求線段|DE|的取值范圍．18．（2025?江西模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)只經(jīng)過A1（﹣2，2），A2（0，1），A3（2，1），（1）求C的方程；（2）已知P是C上一動(dòng)點(diǎn)，Q（q，0），當(dāng)P為C的右頂點(diǎn)時(shí)，|PQ|取得最小值，求q的取值范圍；（3）若動(dòng)直線x＝my+1與C交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)E是x軸正半軸上異于點(diǎn)（1，0）的一定點(diǎn)，若直線EM，EN的傾斜角分別為α，β（α+β≠π），且存在實(shí)數(shù)k使得tan（α+β）﹣k（tanα+tanβ）＝0恒成立，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及k的值．19．（2025?浦東新區(qū)模擬）已知橢圓C1的方程為x23+y2=1，右頂點(diǎn)為A（1）若橢圓C2的方程是x2a2+y（2）設(shè)橢圓C2的焦點(diǎn)在x軸上，直線AB與C2相交于點(diǎn)C、D，若|CD|＝3|AB|，求C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上．若存在△APQ是等腰直角三角形，且|AP|＝|AQ|，求C2的長軸的取值范圍．20．（2025?海南模擬）已知上下頂點(diǎn)分別為A，B的橢圓E：x2m+y24=1經(jīng)過點(diǎn)(32，1)，P為直線l：y=12上的動(dòng)點(diǎn)，且P不在橢圓（1）求橢圓E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)；（3）設(shè)（2）問中定點(diǎn)為Q，過點(diǎn)C，D分別作直線l：y=12的垂線，垂足分別為M，N，記△CMQ，△MNQ，△DNQ的面積分別為S1，S2，S3，試問：是否存在常數(shù)t，使得S1，S2，

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之橢圓（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案AADBDDBD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABDADABCABC一．選擇題（共8小題）1．（2025?遼寧二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直線l：x+2y﹣6＝0與C交于M，N兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，BA．x220+y2C．x29+y【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示結(jié)合題意先求出M（2，2），N（4，1），再代入橢圓方程求解即可．【解答】解：由直線l：x+2y﹣6＝0，不妨設(shè)A（0，3），B（6，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則AM→=(x1，如圖，因?yàn)镸，N是線段AB的三等分點(diǎn)，則AM→=1則x1解得x1＝2，y1＝2，x2＝4，y2＝1，則M（2，2），N（4，1），又M，N兩點(diǎn)在橢圓C上，所以4a解得a2＝20，b2＝5，所以橢圓C的方程為x2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2025?河北模擬）已知橢圓C：x24+y2=1，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短軸長為直徑作圓C1，以橢圓C右頂點(diǎn)為圓心，以長軸長為直徑作圓C2，過動(dòng)點(diǎn)P（m，n）作直線PA與圓C1切于點(diǎn)A，作直線PB與圓C2切于點(diǎn)B，若|PBA．[-2，14) B．[-2【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由橢圓方程得到圓C1，C2方程，作圖，由切線得到直角三角形，由切線長的倍數(shù)關(guān)系以及半徑的倍數(shù)關(guān)系得到|PC1|與|PC2|的關(guān)系，從而建立方程，整理后得到點(diǎn)P的軌跡方程．又由過點(diǎn)P作圓的切線得到點(diǎn)P在圓C1，C2外面，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：橢圓C：x24+y2=1的短軸長為所以圓C1：x設(shè)圓C1，C2的圓心分別為C1，C2．直線PA與圓C1切于點(diǎn)A，作直線PB與圓C2切于點(diǎn)B，在Rt△PAC1和Rt△PBC2中，|PB|＝2|PA|，|BC2|＝2|AC1|，則得|PC2|＝2|PC1|，即(m-2)所以P（m，n）的軌跡是以(-23，0)為圓心，43為半徑的圓落在圓利用(x+2故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．3．（2025春?烏魯木齊月考）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓E：x2a2+y2=1(a＞1)的右焦點(diǎn)，M是E上位于x軸上方的一點(diǎn)，MO，MF的延長線分別交E于點(diǎn)N，T，且|FNA．8 B．4 C．2 D．2【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】D【分析】根據(jù)M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱及FN⊥FT得到四邊形MFNF′是矩形，設(shè)|MF|＝m，利用橢圓定義表示出各邊，在Rt△F′MT中，由勾股定理解出m，從而M是E的上頂點(diǎn)，從而解出a的值．【解答】解：設(shè)E的半焦距為c，左焦點(diǎn)為F′，連接MF′，NF′，TF′．由于點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對稱，且FN⊥FT，因此四邊形MFNF′是矩形．設(shè)|MF|＝m，那么|FN|＝|MF′|＝2a﹣m．又因?yàn)閨FN|＝3|FT|，因此|FT|=2a-在直角三角形F′MT中，根據(jù)勾股定理可得|MF′|2+|MT|2＝|TF′|2，所以(2a化簡得m2﹣3am+2a2＝0，解得m＝a或m＝2a（舍去），因此M是E的上頂點(diǎn)．根據(jù)F′M⊥FM，得a2+a2＝（2c）2＝4（a2﹣1），所以a=故選：D．【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2025?固始縣校級模擬）蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”．已知橢圓C：x2m+y23=1的焦點(diǎn)在x軸上，A、B為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)PA．(0，33) B．(0，63)【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；求橢圓的離心率．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由題意，可得直線x=±m(xù)，y=±3所圍成矩形的外接圓x2+y2＝3+m即為橢圓x2m+y23=1的蒙日圓，結(jié)合∠【解答】解：易知m＞3，因?yàn)橹本€x=±m(xù)，y所以直線x=±m(xù)，y=±3所圍成矩形的外接圓x2+y2因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在橢圓x2若∠APB恒為銳角，此時(shí)點(diǎn)P在圓x2+y2＝3+m外，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x-所以直線x-2y-6=0與圓x2+y即|-6|1解得m＜9，則e2解得0＜所以橢圓C的離心率的取值范圍為(0，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查求橢圓的離心率，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2025?無錫模擬）如圖，在高為16的圓柱形筒中，放置兩個(gè)半徑均為3的小球，兩個(gè)小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面α與兩個(gè)小球也相切，平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A．13 B．12 C．34 【考點(diǎn)】求橢圓的離心率．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】作出截面圖，由圓柱高和球的半徑求出O1O2，O1F1，CD的長，由勾股定理求得CF1，CF2的長，再由三角形全等，求得長半軸長a，由圓柱得到短半軸長b，從而求得半焦距長c，然后由離心率公式求得離心率的值．【解答】解：設(shè)平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓Γ，作出圓柱過橢圓Γ的長軸的截面圖，如圖，設(shè)長軸A，B與兩圓的切點(diǎn)是F1，F(xiàn)2．連接O1O2，記橢圓長軸與O1O2交于點(diǎn)C，過C作CD⊥O1O2，且CD交圓柱的母線于點(diǎn)D，連接O1F1，O2F2，則O1F1⊥AB，O2F2⊥AB．∵圓柱的高為16，球的半徑是3，∴圓柱的底面半徑為3，|O1O2|＝16﹣2×3＝10，|O1F1|＝3，|CD|＝3．根據(jù)對稱性可知C是O1O2，AB的中點(diǎn)，故|CO1|＝5，則|CF1|＝|CF2|＝4．易得Rt△F1CO1≌Rt△DBC，故|BC|＝|CO1|＝5，則橢圓的長半軸長a＝5．可知橢圓的短半軸長b＝3，∴半焦距長c＝4，e=c故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2025?邵陽模擬）經(jīng)過橢圓x22+y2＝1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為π3的直線l，直線l與橢圓相交于A，A．227 B．427 C．6【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】D【分析】由題意可知直線方程為y=3（x+1），將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知x1+x2=-127，x1x2【解答】解：∵橢圓方程：x22+y∴焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），∵直線AB過左焦點(diǎn)F1傾斜角為60°，∴直線AB的方程為y=3（x+1∴由y=3(x+1)x22+設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-127，x1x由現(xiàn)場公式丨AB丨=1+k2?(故選：D．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及弦長公式等知識，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．7．（2024秋?邵陽期末）已知直線l：y=12x+1與橢圓C：x2a2+y2A．33 B．32 C．22 【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求得a，b關(guān)系，再利用橢圓的離心率公式可得答案．【解答】解：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M(所以x1+x因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓C上，所以x12x22①﹣②得x1根據(jù)x1+x上式可化簡為-2(整理得y1又y1所以2b即b2所以e=故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了點(diǎn)差法，屬中檔題．8．（2024秋?鼓樓區(qū)校級期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的蒙日圓為①橢圓Γ的離心率為2②M到Γ的左焦點(diǎn)的距離的最小值為6③△MPQ面積的最大值為3④若動(dòng)點(diǎn)D在Γ上，將直線DA，DB的斜率分別記為k1，k2，則kA．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；求橢圓的離心率．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)定義，確定蒙日圓的點(diǎn)結(jié)合橢圓離心率計(jì)算判斷①；設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)并求出其橫坐標(biāo)范圍計(jì)算判斷②；根據(jù)定義求得∠PMQ=90°，再求出最大面積判斷③；根據(jù)定義確定點(diǎn)A，B【解答】解：對于①，直線x＝a，y＝b與橢圓都相切，且這兩條直線垂直，因此其交點(diǎn)（a，b）在圓C上，即有a2+b橢圓Γ的離心率e=a2對于②，令M（x0，y0），有x0令橢圓Γ的左焦點(diǎn)F（﹣c，0），有c2則|MF而-6因此|MF|2所以M到橢圓Γ的左焦點(diǎn)的距離的最小值為6-22對于③，依題意，如圖，點(diǎn)M、P、Q均在圓C上，且∠PMQ=90°，因此線段PQ即有|PQ|=6a，顯然圓C上的點(diǎn)到直線PQ距離最大值為圓即點(diǎn)M到直線PQ距離最大值為62因此△MPQ面積的最大值為12|PQ|?對于④，依題意，直線PQ過原點(diǎn)O，即點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1），于是得k1=y又由①知，x22+2y2所以k1k2所以說法正確的有①②③④．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?臨汾二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，AA．AF1⊥AF2 B．四邊形AF1BF2的周長為4a C．四邊形AF1BF2的面積為b2 D．橢圓C的離心率的取值范圍為[【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；求橢圓的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的對稱性確定四邊形AF1BF2的形狀，再逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：因?yàn)闄E圓C：x2a2+y又A，B為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且|AB|＝|F1F2|，作出示意圖如下：所以AB，F(xiàn)1F2互相平分，且|AB|＝|F1F2|，所以四邊形AF1BF2是矩形，對于A，AF1⊥AF2，A正確；對于B，四邊形AF1BF2的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a，B正確；對于C，四邊形AF1BF2的面積為2S△F對于D，由以原點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，得c≥b，即c2≥b2＝a2﹣c2，解得c2a2≥1故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬中檔題．（多選）10．（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）橢圓C：x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，圓O是以橢圓C的短軸為直徑的圓，MN為圓OA．若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為23B．若∠F1PF2＝90°，則直線PF2被橢圓C截得的弦長為23C．若△F1PF2是以F1F2為其中一腰的等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有6個(gè) D．若P為C與x軸正半軸的交點(diǎn)，NR→=3RP→【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的焦點(diǎn)三角形；橢圓的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】對于A，根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可得|PF1||PF2|=83，故求出焦點(diǎn)三角形的面積后可判斷正誤，對于B，根據(jù)∠F1PF2＝90°可求得|PF1|＝|PF2|＝2，從而可得直線PF2及方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后求出交點(diǎn)坐標(biāo)得弦長后可判斷其正誤，對于C，由題設(shè)條件求出P的坐標(biāo)后可判斷其正誤，對于D，由題設(shè)條件可求O到直線NR的距離，求出【解答】解：因?yàn)闄E圓C：x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F圓O是以橢圓C的短軸為直徑的圓，MN為圓O的一條直徑（M在第一象限），直線PN與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為R，所以a＝2，b=2，c=2，所以F1（-2，0），F(xiàn)2（2對于A，因?yàn)镻在橢圓上，所以|PF1|+|PF2|＝4，而|PF1則(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||P所以S△F1對于B，若∠F1PF2＝90°，則|P又|PF1|+|PF2|＝4，故|PF1|＝|PF2|＝2，故∠F1F2P=π故直線F2P的方程為y=由y=-x+2x2+2y故直線F2P被橢圓截得的弦長為1+(-1)2×|對于C，設(shè)P（m，n），則m24+n22=1，即n因?yàn)椤鱂1PF2是以F1F2為其中一腰的等腰三角形，|F故|PF1當(dāng)|PF1解得m=4-22或可知滿足條件的P有2個(gè)，即(4-由橢圓的對稱性可知|PF2|=22所以滿足條件的P共有4個(gè)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意P（2，0），圓O的半徑為2，設(shè)|RP|＝s，則|RN|＝3s，設(shè)RN的中點(diǎn)為G，連接OG，OR，因?yàn)閨ON又OG⊥NR，所以|OG|2＝|ON|2﹣|NG|2＝|OP|2﹣|GP|2，所以2-(3所以|OG因?yàn)镸在第一象限，所以N在第三象限，設(shè)直線PN的斜率為k，k＞0，則直線PN：y＝k（x﹣2），則|OG|=|2則直線PN：y=75(x-2)，又圓O聯(lián)立x2+y2=2y故xN=-12，則故M(12，7故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬難題．（多選）11．（2025?玉溪二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A．△BFO B．△PAO C．△PBO D．△PAF【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】假設(shè)三角形為等腰三角形，在此基礎(chǔ)上能夠求出橢圓的離心率即滿足題意．【解答】解：橢圓方程為x2設(shè)左焦點(diǎn)為F（﹣c，0），左頂點(diǎn)為A（﹣a，0），上頂點(diǎn)為B（0，b），點(diǎn)P在橢圓上且滿足PF⊥OA，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-對于選項(xiàng)A，△BFO頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，b），F(xiàn)（﹣c，0），O（0，0），三邊長度：|BO|＝b，|FO|＝c，|BF當(dāng)b＝c時(shí)，即離心率e=此時(shí)b＝c，解得e=此時(shí)|BO|＝|FO|，故△BFO為等腰三角形，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，△PAO頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(-c，±b2a)，A（a，三邊長度：|PA當(dāng)|PA|＝|PO|時(shí)，即(a即(a解得a＝2c，即離心率e=ca=1對于選項(xiàng)C，△PBO頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(三邊長度：|PB|=c當(dāng)|PB|＝|PO|時(shí)，即c2即c2解得a＝2b，即離心率e=32時(shí)成立，故△PBO對于選項(xiàng)D，△PAF頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(-c，±b2a)，A（﹣a，三邊長度：|PA|=(因?yàn)镻F⊥OA，若△PAF為等腰三角形，只能|PF|＝|AF|，即b2a=a-c，即b2＝a2﹣ac，又b2＝所以a2﹣c2＝a2﹣ac，因?yàn)閍＞b＞0，故該等式無解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于難題．（多選）12．（2025?湖北模擬）已知橢圓E：x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1和l2分別與E交于A、A．E的離心率為22B．存在直線l1，使得|ACC．1|ACD．若E上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，則E變?yōu)閳A【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；求橢圓的離心率．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維．【答案】ABC【分析】求得橢圓的離心率可判斷A；設(shè)直線AC的方程為x＝ty+1，A（x1，y1），C（x2，y2），聯(lián)立方程組，利用弦長公式求得|AC|，|BD|，進(jìn)而可求AC的最大值，最小值，可判斷B；求得1|AC|求得變換后的軌跡方程判斷D．【解答】解：由橢圓E：x22+y2=1，可得a2＝2，b2＝所以橢圓E的離心率為ca=1可得橢圓E的右焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)直線AC的斜率為0時(shí)，直線AC的方程為y＝0，此時(shí)，|AC當(dāng)直線AC的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AC的方程為x＝ty+1，A（x1，y1），C（x2，y2），聯(lián)立x22+y2=1x=ty+1，消去x，可得（ty+1）2+2y2＝2，整理得（t2+2所以y1+y所以|=(1+同理可得|BD|AC|=22(1+t2)t所以|AC|的最小值為2，最大值為22，故B當(dāng)直線AC的斜率為0時(shí)，直線BC斜率不存在，此時(shí)|AC|=22當(dāng)直線BC的斜率為0時(shí)，直線AC斜率不存在，同理可得1|當(dāng)直線AC，BC的斜率不為0時(shí)，1|AC|若E上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，則方程為x22+故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?閔行區(qū)校級開學(xué)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)（c，0）（其中c＞0）為其右焦點(diǎn)，設(shè)【考點(diǎn)】求橢圓的離心率；橢圓的幾何特征．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】[2【分析】根據(jù)橢圓的對稱性和性質(zhì)得到四邊形AFBF'矩形，再結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系得到ca與α的關(guān)系，最后根據(jù)α的取值范圍求出c【解答】解：已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)（設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′（﹣c，0），因?yàn)锳，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且AF⊥BF，根據(jù)橢圓的對稱性可知四邊形AFBF'為矩形，則|AB|＝|FF′|＝2c，在Rt△ABF中，∠ABF＝α，則|AF|＝2csinα，|BF|＝2ccosα，由橢圓的定義可知|AF|+|AF'|＝2a，又因?yàn)閨AF′|＝|BF|，所以|AF|+|BF|＝2a，即2csinα+2ccosα＝2a，將2csinα+2ccosα＝2a變形可得：ca(sinα+cosα)=1，則2csinα+2ccosα化簡可得：sinα+cosα=已知α∈[π當(dāng)α+π4=π3時(shí)，所以sin(α+那么12sin(故答案為：[2【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．14．（2025?貴州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1和F2，下頂點(diǎn)為點(diǎn)A，直線AF2交橢圓C于點(diǎn)B，△ABF1的內(nèi)切圓與【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形；求橢圓的離心率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】12【分析】根據(jù)題意，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可得|BP|＝a，再結(jié)合條件可得|F1P|，|BF2|，然后在△ABF1與△F1F2B中，結(jié)合余弦定理列出方程，再由離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．【解答】解：橢圓C：x2a2+y2b2=1(設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓與F1A，BA相切于點(diǎn)M，N，由切線長定理可得|F1M|＝|F1P|，|AM|＝|AN|，|BP|＝|BN|，又|AF1|＝|AF2|＝a，則|F1M|＝|F2N|，即|F1P|＝|F2N|，由橢圓的定義可得|BF1|+|BF2|＝2a，即|BP|+|F1P|+|BF2|＝|BP|+|NF2|+|BF2|＝2|BP|＝2a，所以|BP|＝a，又7F1P→=2所以|BF2在△ABF1中，由余弦定理得cos∠在△F1F2B中，由余弦定理得cos∠F1BF2==(化簡得29a2-50c221a2=11所以e=故答案為：12【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．15．（2025?湖南模擬）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為y＝k（x+a），分別令x＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x＝﹣c，代入橢圓方程可得y＝±b2a，可得P（﹣c，±設(shè)直線AE的方程為y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，ka2由B，H，M三點(diǎn)共線，可得kBH＝kBM，即a-ca+c=可得e=c故答案為：13【點(diǎn)評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運(yùn)用和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（2025?廣東模擬）已知雙曲線C：x2m-y2=1(m＞0)的焦距為25，則雙曲線C【考點(diǎn)】由橢圓的焦點(diǎn)焦距求解橢圓方程或參數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】x±2y＝0．【分析】先根據(jù)題意求a，進(jìn)而可得漸近線方程．【解答】解：由題意可得：b=1，c=5故雙曲線C的漸近線方程為y=±bax=±12故答案為：x±2y＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025?嘉定區(qū)模擬）已知橢圓C：x29+y2=1，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)P（3，0）的直線l1交橢圓于另一點(diǎn)（1）求|MF|的最小值；（2）當(dāng)直線l1的斜率為1時(shí)，求△PQM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若直線PQ與直線l2：x＝﹣3交于點(diǎn)D，點(diǎn)D不在x軸上，Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)R，直線PR與l2交于點(diǎn)E，求線段|DE|的取值范圍．【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）3-（2）最大值為9+31010，（3）[4，+∞）．【分析】（1）由題意，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的方程以及弦長公式求解即可；（2）設(shè)出直線l1的方程，將直線l1的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式求解即可；（3）設(shè)出過點(diǎn)P（3，0）的直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及D，E的坐標(biāo)，代入公式求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的方程為x2所以a2＝9，b2＝1，c2＝8，則橢圓的右焦點(diǎn)F(2設(shè)M（m，n），此時(shí)|MF因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以m2即n2可得|=8因?yàn)閙∈[﹣3，3]，對稱軸m=所以|MF則|MF|的最小值為3-此時(shí)點(diǎn)M為橢圓的右頂點(diǎn)；（2）若直線l1的斜率為1且經(jīng)過P（3，0），此時(shí)直線l1的方程為y＝x﹣3，聯(lián)立y=x-3x29+y2=1，消去y解得x＝3或x=當(dāng)x=可得y=即Q(此時(shí)|PQ設(shè)平行于直線l1的直線方程為y＝x+t，聯(lián)立y=x+tx29+y2=1，消去y并整理得10x當(dāng)此直線與橢圓相切時(shí)，即Δ＝182t2﹣4×10×（9t2﹣9）＝0，解得t=此時(shí)t=則當(dāng)t=10時(shí)滿足切點(diǎn)M取到△解得x=當(dāng)x=解得y=即M(因?yàn)辄c(diǎn)M(-910，110)到直線則△PQM面積的最大值S=此時(shí)點(diǎn)M(（3）設(shè)過點(diǎn)P（3，0）直線為y＝k（x﹣3），聯(lián)立y=k(x-3)x29+y2=1，消去y并整理得（1+9k2）x2此時(shí)Δ＝（﹣54k2）2﹣4（1+9k2）（81k2﹣9）＝36＞0，因?yàn)榻稽c(diǎn)D不在x軸上，所以k≠0，設(shè)交點(diǎn)Q（x1，y1），由韋達(dá)定理得x1解得x1當(dāng)x1解得y1因?yàn)辄c(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)R，所以R(此時(shí)直線PR方程為y=因?yàn)橹本€PR與直線x＝﹣3相交，所以點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為y=因?yàn)橹本€y＝k（x﹣3）與直線x＝﹣3相交，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y＝﹣6k，此時(shí)|DE當(dāng)且僅當(dāng)|23k|=|6k|，即k=故|DE|的取值范圍為[4，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（2025?江西模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)只經(jīng)過A1（﹣2，2），A2（0，1），A3（2，1），（1）求C的方程；（2）已知P是C上一動(dòng)點(diǎn)，Q（q，0），當(dāng)P為C的右頂點(diǎn)時(shí)，|PQ|取得最小值，求q的取值范圍；（3）若動(dòng)直線x＝my+1與C交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)E是x軸正半軸上異于點(diǎn)（1，0）的一定點(diǎn)，若直線EM，EN的傾斜角分別為α，β（α+β≠π），且存在實(shí)數(shù)k使得tan（α+β）﹣k（tanα+tanβ）＝0恒成立，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及k的值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；根據(jù)橢圓上的點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】（1）x29+y2=1；（2）[83，+∞)；（【分析】（1）根據(jù)橢圓的對稱性，即可判斷A2，A5在C上，即可代入橢圓方程求解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次式的性質(zhì)即可求解；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)正切和差角公式以及斜率公式化簡求解．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)只經(jīng)過A1（﹣2，2），A2（0，1），A3（2，1），根據(jù)橢圓的對稱性可知：A3（2，1），A4（﹣2，﹣1），A6（2，﹣1）要么都在C上，要么都不在C上，因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)點(diǎn)在C上，所以A3，A4，A6都不在C上，若A1在C上，則A2，A5不在C上，與題意矛盾，所以A1不在C上，A2，A5在C上，所以b=1，4a2+59b所以C的方程為x2（2）設(shè)P（s，t）（﹣3≤s≤3），則t2|PQ因?yàn)楫?dāng)P為C的右頂點(diǎn)時(shí)，|PQ|取得最小值，即s＝3時(shí)，|PQ|取得最小值，所以98q≥3所以q的取值范圍是[8（3）設(shè)E（x0，0），（x0＞0且x0≠1），M（x1，y1），N（x2，y2），則x=得（m2+9）y2+2my﹣8＝0，則y1+y因?yàn)閠an(所以k=因?yàn)閠anαtanβ=8當(dāng)x0＝3時(shí)，tanαtanβ=k=所以E（3，0），k=【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的應(yīng)用，屬于難題．19．（2025?浦東新區(qū)模擬）已知橢圓C1的方程為x23+y2=1，右頂點(diǎn)為A（1）若橢圓C2的方程是x2a2+y（2）設(shè)橢圓C2的焦點(diǎn)在x軸上，直線AB與C2相交于點(diǎn)C、D，若|CD|＝3|AB|，求C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）設(shè)橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上．若存在△APQ是等腰直角三角形，且|AP|＝|AQ|，求C2的長軸的取值范圍．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運(yùn)算求解．【答案】（1）a＝6；（2）x215+y2【分析】（1）運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可；（2）先求出AB|＝2，得到直線AB的方程，設(shè)C2的方程為x2+3y2＝λ（λ＞0），C（x1，y1）D（x2，y2），直曲聯(lián)立，運(yùn)用弦長公式得到|CD|，求出λ＝15即可；（3）先設(shè)出C2的方程，因?yàn)橛蠥P⊥AQ，且|AP|2＝|AQ|2的條件，所以任取C1上一點(diǎn)P（x0，y0）（不與點(diǎn)A重合），算出|AP|2和直線的斜率kAP，接著設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，算出|AQ|2，由于AP⊥AQ，得出直線AQ方程，進(jìn)而得到xQ-3與kAP、y2的關(guān)系，結(jié)合|AP|2＝|AQ|2【解答】解：（1）由題，橢圓C1的離心率為63，橢圓C2的離心率為a所以63解得a＝6；（2）由題意，A(3，0)，B（0，1），所以|AB直線AB的方程為y=設(shè)C2的方程為x2+3y2＝λ（λ＞0），C（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立直線AB與橢圓C2的方程y=代入整理得2xΔ＝12﹣8（3﹣λ）＝8λ﹣12＞0，可得λ＞12，由韋達(dá)定理可得x1+x故|=2解得λ＝15，所以C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（3）由題，設(shè)C2的方程為3x2+y2＝λ（λ＞0），由題意，AP⊥AQ，且|AP|2＝|AQ|2，任取C1上一點(diǎn)P（x0，y0）（不與點(diǎn)A重合），則|AP|2設(shè)Q（xQ，yQ），則|AQ直線AQ的方程為x=1k代入得|AQ因?yàn)閨AP|2＝|AQ|2，解得yQ由對稱性，不妨設(shè)yQ代回直線AQ方程可解得Q(而點(diǎn)Q位于C2上，所以λ=(xP（x0，y0）為C1上任一點(diǎn)，所以x0化簡得λ=15設(shè)x0+3y0＝b，P（x0，y0）為C1上任一點(diǎn)，即x0整理得12y02-6by0+b2-3=0，Δ＝36b2﹣48（b解得b∈所以λ=15故C2的長軸長2λ【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的綜合應(yīng)用，屬于難題．20．（2025?海南模擬）已知上下頂點(diǎn)分別為A，B的橢圓E：x2m+y24=1經(jīng)過點(diǎn)(32，1)，P為直線l：y=12上的動(dòng)點(diǎn)，且P不在橢圓（1）求橢圓E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)；（3）設(shè)（2）問中定點(diǎn)為Q，過點(diǎn)C，D分別作直線l：y=12的垂線，垂足分別為M，N，記△CMQ，△MNQ，△DNQ的面積分別為S1，S2，S3，試問：是否存在常數(shù)t，使得S1，S2，【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）x2（2）證明見解析；（3）存在，t=【分析】（1）將點(diǎn)(32，（2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），直線CD的方程為y＝kx+m，聯(lián)立橢圓和直線CD的方程得到兩根之和與之積，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y=12上，代入化簡可求得m（3）先表示出為S1，S2，S3由等比中項(xiàng)知t2S22=S1【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓E：x2m+y24=1經(jīng)過點(diǎn)(所以橢圓E的方程為x2（2）證明：由題意，直線CD的斜率一定存在，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），直線CD的方程為y＝kx+m，聯(lián)立橢圓和直線CD的方程得（3k2+4）x2+6kmx+3（m2﹣4）＝0，由韋達(dá)定理可得x1+x由點(diǎn)斜式可知直線AC的方程為y=y1-2兩式相比得y-2y+2=y1又點(diǎn)D在橢圓上，所以x223+y將直線CD方程代入得(kx1將韋達(dá)定理結(jié)果代入得m2﹣10m+16＝0，解得m＝2或8，因?yàn)镃，D均不與橢圓E上下頂點(diǎn)重合，所以m＝2舍去，即m＝8，直線CD的方程為y＝kx+8，過定點(diǎn)（0，8）．（3）由題意可知M(x1，12)，N(x則S△CMQ=12設(shè)存在常數(shù)t，使得S1，tS2，S3為等比數(shù)列，則t2即225t由（2）可知y1+y代入化簡可得225t由（2）知聯(lián)立后的方程Δ＝（48k）2﹣4×180×（3k2+4）＞0?k2＞20，所以t2=45(所以存在t=±12，使得S1，tS2【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓的幾何特征包括長軸2a、短軸2b、焦點(diǎn)(±【解題方法點(diǎn)撥】1．提取幾何特征：從題目中得到長軸、短軸或焦距．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：使用幾何特征計(jì)算a和b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程：x2【命題方向】﹣由橢圓的幾何特征（如長軸、短軸）求標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣根據(jù)焦點(diǎn)位置和長短軸所在位置推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程．2．根據(jù)橢圓上的點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】橢圓上的點(diǎn)（x1，y1）可以用來求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．代入標(biāo)準(zhǔn)方程可以形成方程組來求解a和b．【解題方法點(diǎn)撥】1．代入點(diǎn)坐標(biāo)：將點(diǎn)（x1，y1）代入標(biāo)準(zhǔn)方程：x12．求解a和b：利用代入的方程解得a和b，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定橢圓上的點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．﹣從點(diǎn)的坐標(biāo)推導(dǎo)出橢圓的方程．3．由橢