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文檔簡介
9.1.1正弦定理1.了解正弦定理的推導(dǎo)過程.2.掌握正弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))4.在直角三角形ABC中,C=900,則
.
復(fù)習(xí)回顧1.角的關(guān)系:2.邊的關(guān)系:3.邊角關(guān)系:ACBCBA你還記得三角形的哪些邊、角關(guān)系?兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角;小角對(duì)小邊,小邊對(duì)小角;等邊對(duì)等角5.三角形的分類:6.三角形外接圓:與三角形各頂點(diǎn)都相交的圓。三角形外接圓圓心是
三邊垂直平分線交點(diǎn)復(fù)習(xí)回顧7.三角形全等條件(1)邊角邊:兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相百等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成(S.A.S)(2)角邊角:兩角及其度夾邊對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成(A.S.A)(3)角角邊:兩角及其一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成:(A.A.S)(4)邊邊邊:三條邊分別對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形答全等.簡寫成:(S.S.S)(5)直角邊斜邊:斜邊和其中的一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成:(H.L)復(fù)習(xí)回顧情境與問題
在現(xiàn)代生活中,得益于科技的發(fā)展.距離的測(cè)量能借助紅外測(cè)距儀、激光測(cè)距儀等工具直接完成.不過,在這些工具沒有出現(xiàn)以前.你知道人們是怎樣間接獲得兩點(diǎn)間的距離的嗎?為了方便,將△ABC3個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別記為a,b,c.如圖所示.若想知道河對(duì)岸的一點(diǎn)A與岸邊—點(diǎn)H之間的距離,而且已經(jīng)測(cè)量出了BC的長,也想辦法得到了∠ABC與∠ACB的大小,你能借助這3個(gè)量,求出AB的長嗎?b
c在這樣的約定下,情境中的問題可以轉(zhuǎn)化為:已知a,B,C,如何求c.(1)如圖所示,已知△ABC中,“a=5,b=3,C=,你能求出這個(gè)三角形的面積嗎?(2)一般地,在△ABC中,如何根據(jù)a,b與C的值,求出這個(gè)三角形的面積?解:(1)如圖所示,在中△ABC中,過點(diǎn)A作BC邊上的高AD,
在Rt△ADC中,由正弦的定義可知AD=bsinC,ABCb
D想一想:
因此所求三角形的面積為(2)一般地,在△ABC中,如何根據(jù)a,b與C的值,求出這個(gè)三角形的面積?解:當(dāng)C為銳角時(shí),在Rt△ADC中,由正弦的定義可知AD=bsinC,則
當(dāng)C為鈍角時(shí),如圖,仍設(shè)△ABC的BC邊上的為AD,則當(dāng)C為直角時(shí),sinC=sin900=1,仍有ABCb
DABCabD1.三角形面積公式在△ABC中,用上述方法,可以推導(dǎo)出以下公式:①已知b,c與A的值,則②已知a,c與B的值,則一般地,記△ABC的面積為S,則知識(shí)歸納2.正弦定理由此三角形面積公式可得這就是正弦定理:在三角形中,各邊的長和它所對(duì)角的正弦的比相等??芍鐖D作△ABC外接圓,R為△ABC外接圓半徑CD為外接圓O的直徑,連接BD,則∠A=∠DABCabcOD用三角形外接圓法推導(dǎo)正弦定理(R為△ABC外接圓半徑)從而證得直徑所對(duì)的圓周角是直角,即∠CBD為直角正弦定理及其變形在?ABC中,角A,B,C,所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,三角形外接圓半徑為R,正弦定理:變形:CAaBbc左右分別相加做比值適用于任何三角形例1已知△ABC中,B=75°,C=60°,a=10,求c.解:由已知可得A=180°BC=180°75°60°=45°.由正向定理可知所以注意:在一個(gè)三角形中,已知兩個(gè)角與一條邊,就可求這個(gè)三角形的另外一個(gè)角,然后由正弦定理可求出該三角形其他的兩條邊.這與初中所學(xué)的三角形全等的判定定理AAS(或ASA)一致.把三角形3個(gè)角與3條邊都稱為三角形的元素。已知三角形的若干元素求其他元素稱為解三角形。題型1:已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角.例2:解:注意:根據(jù)以上解答可知.右圖中的(1)(2)都滿足例2的條件.事實(shí)上,這與我們初屮所學(xué)的SSA不能作為:角形全等的判定定理一致.題型2:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊和其余兩角.BACCBA(1)(2)例3:解:題型3:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊和其余兩角.例4:解:題型4:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊和其余兩角.
例2、例3、例4都是兩邊及一邊的對(duì)角,此時(shí)三角形形狀不確定,所以解的個(gè)數(shù)不確定.題中最終有幾個(gè)解是由已知條件所確定的,明確所求角的范圍是解題的關(guān)鍵.方法歸納探究三角形解的個(gè)數(shù)的確定因素1.畫圖法:以已知角的對(duì)邊為半徑畫弧,通過與鄰邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷解的個(gè)數(shù)。①若無交點(diǎn),則無解;②若有一個(gè)交點(diǎn),則有一個(gè)解;③若有兩個(gè)交點(diǎn),則有兩個(gè)解;④若交點(diǎn)重合,雖然有兩個(gè)交點(diǎn),但只能算作一個(gè)解。2.公式法:運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解。①a=bsinA,△=0,則一個(gè)解;②a>bsinA,△>0,則兩個(gè)解;③a<bsinA,△<0,則無解。A為銳角圖形關(guān)系解的個(gè)數(shù)0121A為鈍角或直角圖形關(guān)系解的個(gè)數(shù)0011練一練:1.下列關(guān)于△ABC的說法正確的是()A.若a=7,b=14,A=30°,則B有兩解
B.若a=30,b=25,A=150°,則B只有一解C.若a=6,b=9,A=45°,則B有兩解
D.若b=9,c=10,B=60°,則C無解B
解析:例5:證明:代入角化邊解:由正弦定理可知因此因此,?ABC為等腰三角形或直角三角形。邊化角代入練一練:2.1.利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀;2.利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論.
注意:在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解.知識(shí)歸納利用正弦定理判斷三角形形狀的兩種方法:例6:如圖所示,在?ABC中,已知的角分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D,求證:證明:如圖,設(shè)則由題意可知在?ABD和?ADC中,分別應(yīng)用正弦定理,可得兩式相除即可得內(nèi)角平分線定
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