2025年人教版七年級數(shù)學(xué)下冊期中復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算（五大題型總結(jié)）原卷版+解析

專題06期中復(fù)習(xí)一一實(shí)數(shù)的運(yùn)算(五大題型總結(jié))

【題型一：利用平方根與立方根解方程】

1.(24-25八年級上?甘肅張掖?期中)解方程:

(1)爪2—49=0；

(2)—(x—2)之一8=0.

2.(24-25八年級上?江蘇南京?期中)求下列各式中的龍.

(1)16x2-25=0；

(2)3Q+5)3=-81.

3.(24-25八年級上?陜西西安?期中)解方程：

(1)(2%-3尸=9

(2)0+1尸+:=0

4.(23-24七年級下?甘肅武威?期中)求下列各式中實(shí)數(shù)x的值:

(1)3(x-I)2-75=0

(2)|(x+3)3=4

5.(24-25九年級上?江蘇淮安?期中)求x的值：

(1)(2久一1/=V16；

(2)8(r+1)+56=0.

【題型二：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】

6.(23-24七年級下.河南許昌?期中)計(jì)算:

⑴V4+V^27-V9；

(2)V5-|2-V5|-不F+J(—2)2.

7.(23-24七年級下?新疆烏魯木齊?期中)計(jì)算下列各題.

(1)V9-V=27-(V5)2；

⑵，(-4/一去一明一四

8.(23-24七年級下.重慶?期中)計(jì)算:

⑴(—1)2024—+同；

(2)V3(2-V3)-|V2-2V3|-V2.

9.(23-24七年級下.重慶?期中)計(jì)算：

__7

(1)V=8-V9+(-1)2023+(-V2)；

(2)V81+|V3-2|+7=27+64-(-1)；

10.(23-24七年級下.內(nèi)蒙古呼和浩特?期中)計(jì)算:

⑴2V2+(-l)2017-|l-V2|；

(2)^^27-VO-Ji+V0.125.

11.（24-25七年級下?全國?期中）計(jì)算:

(1)V4+VC=2P+7^125;

(2)|V6—V2|+|V2-1|—|3—V6|.

12.（24-25八年級上?河南洛陽?期中）計(jì)算:

⑴|V3-2|-V3；

（2）下+必可兀一再一后.

13.(23-24七年級下?湖南長沙?期中)計(jì)算:

(1)(一1)2°21+7(-2)2-V27+|2-V3|

(2)-I2+(-2)3x|-V27X|-||+(V2)2

14.(23-24八年級上?重慶榮昌?期中)計(jì)算:

(1)|-1|+V27-VC-4)2

(2)-I2023+J(—+『-|V3-2|

15.（23-24七年級下?全國?期中）計(jì)算:

(1)A/T6—yJ—8—

(2)J(-2)2+|V3—2|—(―2)2+|—V3|.

【題型三：平方根與立方根的綜合運(yùn)用】

16.(24-25八年級上?全國?期中)若加了=2,正數(shù)6的兩個平方根分別是2c-3和3c-7,求2a-3b+c

的平方根.

17.(24-25八年級上?陜西西安?期中)已知3a-21的立方根是-3,的算術(shù)平方根是2,c的平方

根是它本身.

(1)求a,b,c的值.

(2)求3a-b+9c的平方根.

18.(23-24八年級上?陜西西安?期中)已知正數(shù)x的兩個平方根分別是爪+6和2機(jī)-n

(1)求代數(shù)式m-+6的值；

(2)當(dāng)幾=12時，求刀機(jī)的算術(shù)平方根.

19.(23-24七年級下?北京?期中)已知正實(shí)數(shù)a的兩個平方根分別是久和x+y.

(1)若％=2,求y的值；

(2)若a/-2a(久+y)?=-4,求a的值.

20.(23-24七年級下.河南商丘?期中)已知一個正數(shù)小的兩個不相等的平方根是a+6與2a-9.

(1)求這個正數(shù)m；

(2)若b和c滿足廠+(c+3)2=0,求2a+b-2c的平方根.

【題型四：無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】

21.（23-24七年級下?四川瀘州?期中）已知[5a+2=3,V3a+b=4,c是，II的整數(shù)部分，求a+b+c的

平方根.

22.（23-24七年級下?福建福州?期中）己知4a—11的平方根是±3,3a+6-9的立方根是2,c是傷的整

數(shù)部分，求a+6+c的平方根.

23.（23-24七年級下?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中）閱讀下面的文字，解答問題：

我們規(guī)定：用團(tuán)表示實(shí)數(shù)”的整數(shù)部分，用〈什表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，

例如：[3,14]=3,〈3.14）=0.14,[&]=1.大家知道魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此魚的

小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用a-1來表示或的小數(shù)部分，即〈或〉=a-1.事實(shí)上，小

明的表示方法是有道理的，因?yàn)轸~的整數(shù)部分是1,所以這個數(shù)減去其整數(shù)部分就是其小數(shù)部分，又例如:

???22<（V7）2<32,.-.2<V7<3,[V7]=2,附=V7-2.

請解答下列問題：

（1）[V14]=,（V14）=；

（2）如果〈有〉=a,[V41]=b,求a+b-有的值；

（3）[V1]+[V2]+[V3]+[V4]+…+[網(wǎng)的值為.

24.（23-24七年級下.山東臨沂?期中）閱讀下列信息材料:

信息1：因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，比如：71,/等,

而常用的“......”或者的表示方法都不夠準(zhǔn)確；

信息2：2.5的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是0.5,小數(shù)部分可以看成2.5-2得來的;

信息3：任何一個無理數(shù)，都可以夾在兩個相鄰的整數(shù)之間，如1〈百<2.

根據(jù)上述信息，回答下列問題：

(1)底的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

(2)若10+遮是夾在相鄰兩個整數(shù)a和6之間的數(shù)，貝Ua+b=；

(3)若-3=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求x-y的相反數(shù).

25.(23-24七年級下.湖北荊州?期中)閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道，夜是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是

小明用來表示或的小數(shù)部分.你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因

為魚的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.又例如：「〃<夕<⑺，即2<夕<3,

??.V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7-2,根據(jù)以上知識解答下列各題：

(1)如果西的小數(shù)部分為a,的整數(shù)部分為6,求a+6+5的值；

(2)已知10+遮=尤+丫，其中x是整數(shù)，且0<y<l,求x—y+g的相反數(shù)；

(3)已知5+VIT的小數(shù)部分為a,5-舊的小數(shù)部分為b,求a+6的平方根.

【題型五：與實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律問題】

26.(23-24八年級上?遼寧沈陽?期中)請觀察下列式子：

71=1;

V1+3=V4=2；

V1+3+5=V9=3；

V1+3+5+7=V16=4.

根據(jù)閱讀解決下列問題：

(1)計(jì)算：“+3+5+7+9=；“+3+5+7+9+11=；

(2)猜想規(guī)律：71+3+5+7+9+11+...+(2n-1)=("為正整數(shù))；

(3)利用規(guī)律計(jì)算V3+9+15+21+27+33+…+603的值.

27.(23-24八年級上.陜西咸陽?期中)觀察下列一組算式的特征，并探索規(guī)律:

①=1；

②713+23=1+2=3；

③孤3+23+33=1+2+3=6；

④V13+23+33+43=1+2+3+4=10；

(§)-13+23+33+43+53=1+2+3+44-5=15.

根據(jù)以上算式的規(guī)律，解答下列問題：

(1)V13+23+33+43+53+63=vry=;

(2)簡便計(jì)算：83+93+103+-+163+173.

28.（23-24七年級下.河南濮陽?期中）觀察下列算式的特征及運(yùn)算結(jié)果，探索規(guī)律:

V1X3+1=V4=2,

V2x4+1=V9=3,

V3x5+1=V16=4,

V4x6+1=V25=5.

(1)觀察算式規(guī)律，計(jì)算刊5X7+1=,V26X28+1=,

(2)用含正整數(shù)w的代數(shù)式表示上述算式的規(guī)律,

(3)計(jì)算：V3X5+1-V5x7+1+V7X9+1-V9X11+1+??--V2021X2023+1.

29.（23-24七年級下?山東日照?期中）閱讀理解題：

閱讀下列解題過程：第1個等式為：&/-1；第2個等式為：石匕=皆-四；第3個等式為：金=

2-百；…根據(jù)等式所反映的規(guī)律，解答下列問題：

（1）第4個等式為；

（2）猜想：第〃個等式為"為正整數(shù)）；

（3）利用上面的解法，請化簡：++?--+=^=-72024.

1+vzVZ0Z3+VZUZ4

30.（23-24七年級下.廣東東莞?期中）先觀察下列等式，再回答問題:

1-1

①J1+3+京=1+.12.

11'=1g

.23.6

1_1'

③J1+蠢+?1+,34.=啟

（1）請根據(jù)上面三個等式提供的信息，則Ji7J+l=_____________=_____________；

Y4252

（2）請利用上述規(guī)律，猜想（+,+』=_________=_________；

7n2（九+1）2

（3）計(jì)算：11+1+白+11+白+白+J1+：+右+…+J1+的值?

7I222q2232y3242q2024220252

專題06期中復(fù)習(xí)一一實(shí)數(shù)的運(yùn)算(五大題型總結(jié))

【題型一：利用平方根與立方根解方程】

1.(24-25八年級上?甘肅張掖?期中)解方程：

(1)m2-49=0；

(2)沁-2/-8=0.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

(1)先將爪2—49=0變形為爪2=49,然后利用直接開平方法解一元二次方程即可；

(2)先將其x-2￥-8=0變形為0-2尸=64,然后利用直接開平方法解一元二次方程即可.

【解題過程】

(1)解：m2-49=0,

???m2=49,

解得：m=±7；

(2)解：i(%-2)2-8=0,

8

(x-2)2—64,

???%—2=+8,

解得：X1=-6,x2=10.

2.(24-25八年級上?江蘇南京?期中)求下列各式中的x.

(1)16%2-25=0；

(2)3(x+5)3=-81.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查平方根和立方根的性質(zhì)；

(1)先求出/=工，再根據(jù)平方根的性質(zhì)解方程即可；

16

(2)先求出(x+5>=-27,再根據(jù)立方根的性質(zhì)解方程即可.

【解題過程】

(1)解：16x2-25=0,

16x2=25,

25

X7=——，

16

,5

x=±Z；

(2)解：3(久+5)3=-81,

0+5)3=-27,

%+5=-3,

x=—8.

3.(24-25八年級上?陜西西安?期中)解方程：

(1)(2%-3)2=9

(2)0+1)3+:=0

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了平方根和立方根的應(yīng)用，掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方根的定義即可解答；

(2)移項(xiàng)，化簡，根據(jù)立方根的定義即可解答；

【解題過程】

⑴解：(2x-3)2=%

化簡得，2刀一3=±3,

.,.%=3或%=0.

(2)解：(x+I)3+-=0,

8

移項(xiàng)得，(X+1)3=-j

O

化簡得，x+l=~l，

?

??X----3.

2

4.(23-24七年級下?甘肅武威?期中)求下列各式中實(shí)數(shù)x的值：

(1)3(x-I)2-75=0

(2)|(x+3)3=4

【思路點(diǎn)撥】

本題考查利用平方根和立方根解方程：

(1)利用平方根解方程即可；

(2)利用立方根解方程即可.

【解題過程】

⑴解:V3(x-I)2-75=0,

A(%-l)2=25,

%—1=±5,

=1+5=6或%=1—5=—4,

."?x=6或一4；

(2)|(%+3)3=4,

(%+3)3=8,

%+3=2,

.".x——1.

5.(24-25九年級上?江蘇淮安?期中)求x的值：

(1)(2%-I)2=V16；

(2)8(/+1)+56=0.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查平方根和立方根的應(yīng)用，熟練掌握平方根和立方根的意義是解答本題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算同=4,方程兩邊再開方，得兩個一元一次方程，最后解一元一次方程，可得解;

(2)方程移項(xiàng)后除以8,得久3+1=7,再移項(xiàng)后開立方即可得到方程的解.

【解題過程】

(1)解：(2%-I)2=V16,

(2%-1尸=4

2x-1=±2

2x—1=2,2久—1=—2,

解得，x=|或％=-

(2)解：8(X3+1)+56=0,

8(x3+1)=-56,

%3+1=-7,

%3=—7—1,

x3=—8,

解得，%=-2.

【題型二：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】

6.(23-24七年級下?河南許昌?期中)計(jì)算：

(1)V4+A/—27-V9；

(2)V5-|2-V5|-V=64+V(-2)2.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用開平方、開立方進(jìn)行計(jì)算后，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

(2)利用開平方、開立方、取絕對值進(jìn)行化簡后，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【解題過程】

⑴解:=2+(-3)-3

=—4.

(2)解：V5-|2-V5|-V^64+7(-2)2

=V5—(V5—2)—(—4)+2

=V5-V5+2+4+2

=8.

7.(23-24七年級下?新疆烏魯木齊?期中)計(jì)算下列各題.

2

(1)V9--(Vs)；

⑵7(-4)2-^-|V5-||.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

(1)先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解題過程】

(1)解：原式=3—(—3)—5

=3+3-5

二1；

(2)解：原式=4—1—(g—

177-

=4————+V5

=V5.

8.(23-24七年級下?重慶?期中)計(jì)算：

(1)(-1)2024-^4)+716；

(2)V3(2-V3)-|V2-2何-V2.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算：

(1)先計(jì)算立方根和算術(shù)平方根，再計(jì)算乘方，最后計(jì)算加減法即可;

(2)根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.

【解題過程】

(1)解；(-1)2024-^(4)+V16

=1-(-|)+4

1

=1+-+4

=5--

(2)解：V3(2-V3)-|V2-2V3|-A/2

=2A/3-3-(2V3-V2)-V2

=2V3-3-2V3+V2-V2

=—3.

9.(23-24七年級下?重慶?期中)計(jì)算：

__7

(1)7^8-V9+(-1)2023+(-V2)；

(2)至+|百-2|+V^+6+(-1)；

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、乘方進(jìn)行計(jì)算，最后加減即可；

(2)根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、絕對值、有理數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算，最后加減即可.

【解題過程】

7

(1)解：7^8-V9+(-1)2023+(-V2)

=-2-3-1+2

=—4；

(2)解：V81+|V3-2|+\R27+6-(-；)

=9+2-舊一3-8

=—\/3-

10.(23-24七年級下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中)計(jì)算：

(1)2V2+(-l)2017-|l-V2|；

(2)7^27-VO-^+A/0.125.

【思路點(diǎn)撥】

(1)先計(jì)算乘方和去絕對值符號，再計(jì)算加減即可.

(2)先進(jìn)行開方運(yùn)算，再計(jì)算加減即可.

本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

(1)2V2+(-l)2017-|l-V2|

=2V2+(-1)-(V2-1)

=2V2—1—V2+1

=V2；

(2)V^27-VO-^+V0.125

1

=—3—0——+0.5

2

=—3.

11.(24-25七年級下?全國?期中)計(jì)算：

(1)V4+個(-2)2+電-(6)+--125；

(2)|V6-V2|+|V2-1|—|3—V6|.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、立方根與算術(shù)平方根，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算算術(shù)平方根與立方根，再計(jì)算加減法即可得；

（2）先化簡絕對值，再計(jì)算實(shí)數(shù)的加減法即可得.

【解題過程】

（1）解：原式=2+2+|-[+（-5）

=4+1—5

=0.

（2）解：原式=V6—V2+V2—1—（3—V6）

=V6—1—3+V6

=2A/6—4.

12.（24-25八年級上?河南洛陽?期中）計(jì)算：

（1）—|V3—21—V3；

（2））得+而并一|兀一回一曲.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

（1）先根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)化簡，再計(jì)算，即可求解；

（2）先根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的概念及實(shí)數(shù)的性質(zhì)化簡，再計(jì)算，即可求解.

【解題過程】

（1）解：—|V3—2|—V3

3_

=--（2-V3）-V3

3LL

=--2+V3-V3

_1

2,

（2）解：+正尋一,一遍圖一位

2

=——+5-|TT-4|一7T

_1

-3,

13.(23-24七年級下?湖南長沙?期中)計(jì)算：

(1)(-1)2021+J(-2/-V27+|2-V3|

(2)-I2+(-2)3xi-V27x|-||+(V2)2

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算乘方、算術(shù)平方根、立方根、化簡絕對值，再運(yùn)算加減即可；

(2)先計(jì)算乘方、立方根、化簡絕對值，再運(yùn)算乘法，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【解題過程】

(1)解：原式=-1+2―3+2-V3

=-V3

(2)解：原式=-1—8x--3x-+2

83

=-1-1-1+2

=-1

14.(23-24八年級上?重慶榮昌?期中)計(jì)算：

(1)|-1|+V27-

(2)—12023+1)2+7=8-|V3-2|

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算絕對值、立方根、算術(shù)平方根，再計(jì)算加減即可；

(2)先計(jì)算乘方、絕對值、立方根、算術(shù)平方根，再計(jì)算加減即可.

【解題過程】

(1)解：|-1|+V27-7C-4)2

=1+3-4

=0；

(2)解：-I2023+V(-l)2+-|V3-2|

=-1+1+(-2)-(2-V3)

=-l+l-2-2+V3

=V3—4.

15.(23-24七年級下?全國?期中)計(jì)算：

(1)V16-7=8-認(rèn)-1)2+小+*

(2)y/(―2)2+|V3—2|—(―2)2+|—V3|.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義化簡，再求值是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)平方、立方根、算術(shù)平方根進(jìn)行化簡，再計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)平方、絕對值、算術(shù)平方根進(jìn)行化簡，再計(jì)算即可.

【解題過程】

(1)解：Vi6--7(-i)2+Ji+,

25

-4—(—2)—V1+—

也6

5

=4-(-2)-1+-

4

25

=彳

(2)y/(―2)2+|V3-2|—(―2)2+|-V3|

=V4+2-V3-4+V3

=2+2-4

=0

【題型三：平方根與立方根的綜合運(yùn)用】

16.(24-25八年級上?全國?期中)若=2,正數(shù)b的兩個平方根分別是2c-3和3c-7,求2a-3b+c

的平方根.

【思路點(diǎn)撥】

此題主要考查了算術(shù)平方根、平方根的定義，還要注意正數(shù)的兩個平方根之間的關(guān)系.

由于一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，得：2c-3+3c-7=0.解方程即可求出c,然后即可求6,根

據(jù)算術(shù)平方根的定義可求a,再代入計(jì)算可求2a-3b+c平方根.

【解題過程】

解：：正數(shù)b的兩個平方根分別是2c-3和3c-7,

...2c-3+3c—7=0,解得c=2,

b=(2*2—3)2=1,

由Va-1=2,得a=5,

?*.2u—3b+c=10—3+2=9,

?.,(±3)2=9,

：.2a-3b+c的平方根是±3.

17.(24-25八年級上?陜西西安?期中)已知3a-21的立方根是一3,4a-6-1的算術(shù)平方根是2,c的平方

根是它本身.

(1)求a,b,c的值.

(2)求3a-b+9c的平方根.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根及代數(shù)式的求值，熟練掌握相關(guān)概念進(jìn)行求解是解決本題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)立方根，算術(shù)平方根，平方根的概念即可求出答案；

(2)根據(jù)(1)中所求a=-2,b=-13,c=0的值代入代數(shù)式中求出答案再求平方根即可求出答案.

【解題過程】

(1)解：：［3a-21=-3,14a-6—1=2,c的平方根是它本身,

***3(2—21=-27,4a—b-1=4,c=0,

a=—2,

/.b=—13.

(2)解：由(1)知：a=-2,b=-13,c=0,

3d—b+9c=3x(—2)—(—13)+9x0=7,

/.3a-b+9c的平方根是±V7.

18.(23-24八年級上?陜西西安?期中)己知正數(shù)比的兩個平方根分別是爪+6和2m-幾

(1)求代數(shù)式m-(幾+6的值；

(2)當(dāng)=12時，求X771的算術(shù)平方根.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了平方根和相反數(shù)的應(yīng)用，注意：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

(1)根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)得出3爪-幾=-6,再整體代入即可求解；

(2)把幾=12代入3m—n=-6,求得m=2,進(jìn)而可求出x的值，進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

【解題過程】

(1)解：?正數(shù)x的兩個平方根是m+6和2爪一九，

m+6+2m—n=0,

3m—n=-6,

?*.m—|n+6=j(3m—n)+6=|X(—6)+6=4；

(2)解：-：n=12,

A3m-12=-6,解得m=2,

m+6=8,

二正數(shù)X的值為82=64,

=642,

.?.x"1的算術(shù)平方根是64.

19.(23-24七年級下.北京?期中)己知正實(shí)數(shù)a的兩個平方根分別是％和尤+y.

(1)若x=2,求y的值；

(2)若a久2—2a(久+y)2=-4,求a的值.

【思路點(diǎn)撥】

此題主要考查了平方根的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個正數(shù)有兩個平方根，

這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

(1)先根據(jù)平方根的定義，得x+x+y=O,再化簡即可；

(2)根據(jù)平方根的定義，得/=a,(久+y)2=a,代入ax?-2a(x+y)2=-4,再利用平方根的定義解方

程即可.

【解題過程】

(1)解：正實(shí)數(shù)a的兩個平方根分別是x和尤+y,

?,?%+%+y=0,

y=-2%，

若久=2,則y=-4；

(2)解：???正實(shí)數(shù)a的兩個平方根分別是％和％+y,

???x2=a,(%+y)2=a,

???ax2—2a(x+y)2=a-a—2a-a=—4,

???—a2=-4,BPa2=4,

???a=±2,

??,a是正實(shí)數(shù)，即a>0,

?*,ci—2.

20.(23-24七年級下?河南商丘?期中)已知一個正數(shù)小的兩個不相等的平方根是a+6與2a-9.

(1)求這個正數(shù)m；

(2)若b和c滿足廠+(c+3)2=0,求2a+b-2c的平方根.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查的是平方根和立方根，掌握一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)解答；

(2)根據(jù)絕對值的非負(fù)性可得6,根據(jù)平方的非負(fù)性可得c,再根據(jù)平方根的定義求解即可.

【解題過程】

(1)解：?一?個正數(shù)m的兩個不相等的平方根是a+6與2a-9.

a+6+2a—9=0,

???a=1,

7n=(l+6)2=49.

(2)v\y/b-1|+(c+3)2=0,

|VK^1|=0；(c+3)2=o,

???b=1,c=—3,

2a+b-2c=2+1—(-6)=9,

???2a+b-2c的平方根是±A/2Q+b-2c=±3.

【題型四：無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】

21.(23-24七年級下?四川瀘州?期中)已知"5a+2=3,V3a+b=4,c是的整數(shù)部分，求a+b+c的

平方根.

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了立方根、算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算等知識，根據(jù)立方根的定義求出a=5,再根據(jù)算術(shù)平方根

定義求出3a+b=16,求出b=l,根據(jù)無理數(shù)估算求出c=3,進(jìn)一步求出答案即可.

【解題過程】

解：VV5a+2=3,

；?5a+2=27,

?Q=5,

?：N3a+b=4,

3a+b=16,

:?3x5+b=16,

/.b=lf

V3<Vil<4,c是VIT的整數(shù)部分，

??c~~3,

.?.a+b+c=5+l+3=9,

；.a+b+c的平方根是±3.

22.（23-24七年級下?福建福州?期中）己知4a—11的平方根是±3,3a+6-9的立方根是2,c是傷的整

數(shù)部分，求a+6+c的平方根.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了平方根，立方根，估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意可得4a-11=9,15+b-9=8,從而求出a、b

的值，再估算出%的值即可求解，熟練掌握平方根和立方根的意義是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：；4a-11的平方根是±3,

???4a-11=32=9,

??CL—5,

,.?3a+b-9的立方根是2,

??.3a+b—9=23=8,

.?.15+6-9=8,

:?b=2,

V4<8<9,

2<V8<3,

c=2,

?'?a+b+c—5+2+2=9,

??,9的平方根是±3,

???a+b+c的平方根是±3.

23.（23-24七年級下.內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中）閱讀下面的文字，解答問題：

我們規(guī)定：用區(qū)表示實(shí)數(shù)X的整數(shù)部分，用〈X)表示實(shí)數(shù)X的小數(shù)部分，

例如：[314]=3,〈3.14)=0.14,[&]=1.大家知道魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此魚的

小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用VI-1來表示近的小數(shù)部分，BP(V2)=V2-1.事實(shí)上，小

明的表示方法是有道理的，因?yàn)轸~的整數(shù)部分是1,所以這個數(shù)減去其整數(shù)部分就是其小數(shù)部分，又例如:

22<(V7)2<32,.-.2<V7<3,[V7]=2,(⑺=巾—2.

請解答下列問題：

(1)[V14]=,(V14)=；

(2)如果〈通〉=a,[V41]=b,求a+b-遮的值；

⑶[VI]+[V2]+[封+[碼+…+[網(wǎng)的值為.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了估算無理數(shù)的大小和平方根的意義

(1)先估算出m的范圍，再根據(jù)題目規(guī)定的表示方法寫出答案即可；

(2)先估算出遮，WT的范圍，得出a和6的值.

(3)計(jì)算出整數(shù)部分為1、2、3……的算術(shù)平方根的個數(shù)即可求解.

【解題過程】

2

(1)解：:32<(V14)<4

Z.3<V14<4

?.[V14]=3,(V14)=V14-3

⑵解：,?,(V5)=a,[V41]=

2<A/5<3,6<V41<7

(V5)=V5-2,[V41]=6

.".a+b—yjs=A/5—2+6—V5=4

(3):32—22=5,42—32=7,52-42=9,62—52=11,72-62=13,

.”VI],[&],[何，[梃],…，[倔]中，[n]為2的有5個，為3的有7個……

[VT]+[V2]+[V3]+[V4]+…+[V49]

=1x3+2x5+3x7+4x9+5x11+6義13+7

=210

24.(23-24七年級下?山東臨沂?期中)閱讀下列信息材料：

信息1：因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，比如：71,企等,

而常用的“……”或者心”的表示方法都不夠準(zhǔn)確；

信息2：2.5的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是0.5,小數(shù)部分可以看成2.5-2得來的；

信息3：任何一個無理數(shù)，都可以夾在兩個相鄰的整數(shù)之間，如1〈百<2.

根據(jù)上述信息，回答下列問題：

(1)底的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

(2)若10+b是夾在相鄰兩個整數(shù)a和6之間的數(shù)，貝b+b=；

(3)若-3=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求x—y的相反數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了無理數(shù)的估值方法，理解題意，按照題目所給的表示方法去解答是解題的關(guān)鍵.

(1)先估算屈在哪兩個整數(shù)之間，即可確定小的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

(2)先估算出花的整數(shù)部分，再利用不等式的性質(zhì)即可確定答案；

(3)先求出同的整數(shù)部分，得到聞-3的整數(shù)部分即為％的值，從而表示出y的結(jié)果，再求％-y的相反

數(shù)即可；

【解題過程】

(1)V9<15<16,

.*.3<V15<4,

...后的整數(shù)部分為3,小數(shù)部分為同-4,

故答案為：3,V15-3；

(2)V4<5<9,

2<V5<3,

.,.10+2<10+V5<10+3

即12<10+4<13,

:?a=12,b=13,

?*.a+b=12+13=25,

故答案為：25；

(3)V25<30<36,

/.5<V30<6,

Z.5-3<V30-3<6-3

即2<V30-3<3,

，聞-3的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為聞-3-2=聞-5,

'.x—2,y—V30—5,

：.x-y=2-(V30-5)=7-同

—y的相反數(shù)為聞—7.

25.(23-24七年級下.湖北荊州?期中)閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道，魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此魚的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是

小明用來表示虛的小數(shù)部分.你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因

為近的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.又例如：「四<夕<g,即2<夕<3,

???夕的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為b-2,根據(jù)以上知識解答下列各題：

(1)如果病的小數(shù)部分為a,同的整數(shù)部分為6,求a+b+5的值；

(2)已知10+V^=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<L求x-y+百的相反數(shù)；

(3)已知5+VIT的小數(shù)部分為a,5-VTT的小數(shù)部分為6,求a+6的平方根.

【思路點(diǎn)撥】

(1)首先得出痛，尺的取值范圍，求得a,b,進(jìn)而得出答案；

(2)首先估算出g的大小，然后求得尤，y的值，從而可求得答案；

(3)首先得出“L-g的取值范圍，求得a,b,進(jìn)而得出答案.

【解題過程】

(1)解：VV4<V5<V9,即2<遍<3

/.a=V5—2

VV9<V13<V16,即3<g<4

/.b=3,

?\a+b+5=V5—2+3+5=V5+6；

(2)解：VI<V3<2,

次的小數(shù)部分為：V3-1,遮的整數(shù)部分為：1,

10+g的整數(shù)部分為：10+1=11,小數(shù)部分為：V3-1,

'.x=11,y=V3—1,

Ax-y+V3=11-(V3-1)+V3=12,

...%-y+g的相反數(shù)為：一12；

(3)解：V3<V1T<4,

???VIT的小數(shù)部分為：VT1-3,整數(shù)部分為：3；

...5+VTT的小數(shù)部分為：V11-3；

V-16<-11<-9,

**?—4<-V11<—3,

二5-m的小數(shù)部分為：4-vii,

/.a=V11—3,6=4—VT1,

a+6V11—3+4—V11—1?

.?.a+b的平方根為：±1.

【題型五：與實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律問題】

26.(23-24八年級上.遼寧沈陽?期中)請觀察下列式子：

VI=1;

V1+3=V4=2；

Ml+3+5=A/9=3；

“+3+5+7=V16=4.

根據(jù)閱讀解決下列問題：

(1)計(jì)算：71+3+5+7+9=；71+3+5+7+9+11=；

(2)猜想規(guī)律：V1+3+5+7+9+ll+...+(2n-1)=(〃為正整數(shù))；

(3)利用規(guī)律計(jì)算J3+9+15+21+27+33+…+603的值.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是：

(1)根據(jù)題中所給等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

(2)根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

(3)提取3之后，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

【解題過程】

(1)解：由題知，

VI+3+54-7+9=V25=5,

VI+3+5+7+9+11=V36=6,

故答案為：5,6.

(2)由(1)知,

從1開始連續(xù)幾個奇數(shù)的和等于九的平方，

T72?1-1+1

乂-2-=n，

所以+3+5+7+9+11+…+(2?1-1)=Vn2=n.

故答案為：n.

(3)原式=J3x(1+3+5+7+…+201)

=V3xV1+3+5+--+201

=V3x101

=101V3.

27.(23-24八年級上?陜西咸陽?期中)觀察下列一組算式的特征，并探索規(guī)律：

①舊=1；

②"3+23=1+2=3；

③股1？+23+33=1+2+3=6；

④，I?+23+33+43=1+2+34-4=10；

⑤A/13+23+33+43+53=14-2+3+4+5=15.

根據(jù)以上算式的規(guī)律，解答下列問題：

(1)V13+23+33+43+53+63=yry=;

(2)簡便計(jì)算：83+93+103+???+163+173.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查算術(shù)平方根，數(shù)字變化類，理解算術(shù)平方根的意義，發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化類所呈現(xiàn)的規(guī)律是解決問題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)代數(shù)式所呈現(xiàn)的規(guī)律可得答案；

(2)將原式化為題目規(guī)律中的形式，利用簡便方法求出結(jié)果即可.

【解題過程】

⑴解：V13+23+33+43+53+63=,(1+2+3+4+5+63=21,

故答案為：1+2+3+4+5+6,21；

(2)解：83+93+103+…+163+173

=13+23+33+…+163+173-(I3+23+33++63+73)

=(1+2+3+??-+16+17)2—(1+2+3+…+6+7產(chǎn)

/17x18\2/7x8\2

=(2~~\27

=23409-784

=22625.

28.(23-24七年級下?河南濮陽?期中)觀察下列算式的特征及運(yùn)算結(jié)果，探索規(guī)律：

V1x3+1=V4=2,

V2X4+1=V9=3,

V3x5+1=V16=4,

V4X6+1=V25=5.

(1)觀察算式規(guī)律，計(jì)算“5義7+1=,-26x28+1=,

(2)用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示上述算式的規(guī)律,

(3)計(jì)算：V3x5+1-V5x7+1+V7X9+1-V9X11+1+??--V2021x2023+1.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用二次根式的運(yùn)算法則和算式規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)原題的算式寫出規(guī)律即可；

(3)利用(2)中找到的規(guī)律化簡每個算式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【解題過程】

(1)解：-5x7+1=V36=6,V26X28+1=V729=27,

故答案為：6,27；

(2)由題意得到+2)+1=n+l(n>1)或J(九一1)(n+1)+1=n(n>2)；

(3)V3X5+1--5x7+1+V7X9+1-V9X11+1+-?--V2021X2023+1

=4-6+8-10+——2022

=(4-6)4-(8-10)+…+(2020-2022)

=-2x505

=-1010.

29.(23-24七年級下?山東日照.期中)閱讀理解題：

閱讀下列解題過程：第1個等式