高2024級高一下期中期考試數(shù)學(xué)試題

高2024級高一下期中期考試數(shù)學(xué)試題命題人：程遠(yuǎn)見一、單項選擇題(本題共8個小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1．若復(fù)數(shù)，則＝A．2 B． C．10 D．2．已知平面向量＝（1，3），＝（2，﹣1），若⊥（+λ），則實數(shù)λ的值為A．10 B．8 C．5． D．33．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形，已知點是斜邊的中點，且=2，則的面積為A． B． C． D．4.下列說法正確的是A.若空間四點共面，則其中必有三點共線B.若空間四點中任意三點不共線，則此四點共面C.若空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面D.若空間四點不共面，則任意三點不共線5．在梯形ABCD中，，，，.若點P在線段BC上，則的最小值是A． B．4 C．8 D．6．如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），杯口的半徑為4，杯底的半徑為3，高為6.5，當(dāng)杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個半徑為r的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則r＝A．1.5 B．2 C．3 D．3.257.已知正方體的棱長為2，點P在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動，且滿足平面，則的最小值為A. B. C. D.8.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為A． B． C． D．二、多項選擇題(本題共3個小題,每小題6分,共18分;在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對得6分,部分選對得部分分,有錯選得0分)9．已知z1，z2均為復(fù)數(shù)，且z2≠0，則下列結(jié)論正確的是A．若z1z2＝0，則z1＝0 B．若，則z1+z2是實數(shù) C．若，則z1是純虛數(shù) D．若，則z1＝z210.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，其外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為，滿足，△ABC的面積，則A． B．C． D．11．如圖1，扇形ABC的弧長為24π，半徑為，線段AB上有一動點M，弧AB上一點N是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以A為頂點的圓錐，使得AB和AC重合，則在圖2的圓錐中（）A．圓錐的表面積為 B．當(dāng)M為AB中點時，線段MN的長為C．存在M，使得MN⊥AB D．三、填空題(本題共3個小題,每小題5分,共15分)12.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為13．18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家辛卜森推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統(tǒng)一體積公式)(其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積),我們也稱為“萬能求積公式”.例如,已知球的半徑為,可得該球的體積為;已知正四棱錐的底面邊長為,高為,可得該正四棱錐的體積為.類似地,運(yùn)用該公式求解下列問題:如圖,已知球的表面積為,若用距離球心都為的兩個平行平面去截球,則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為.14.銳角的內(nèi)角所對邊分別是且,若變化時,存在最大值,則正數(shù)的取值范圍四、解答題(本題共5個小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)15.(本小題13分)已知向量，，.(1)求向量與的夾角的大?。?2)若向量，（），當(dāng)取得最小值時，求.16.(本小題15分)如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，點E在棱AA1上，點F在棱CC1上，點G在棱BB1上，且AE＝C1F＝B1G＝1，點H是棱B1C1中點．（1）求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F．17.(本小題15分)已知分別是對邊，且．點為三角形內(nèi)部一點，且滿足．(1)求角；(2)若，求的值；18.(本小題17分)現(xiàn)有一幾何體由上、下兩部分組成，上部是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），且正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB＝6，PO1＝2，求該幾何體的體積．（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6，PO1＝2．（i）求正四棱錐P﹣A1B1C1D1的側(cè)面積．（ii）若Q，N分別是線段A1B1，PB1上的動點，求AQ+QN+NC1的最小值．19.(本小題17分)在中，，，對應(yīng)的邊分別為，，，.(1)求；(2)若為邊中點，，求的最大值；(3)奧古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），.法國著名數(shù)學(xué)家，柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式