2023-2024學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省安陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前5項依次為，按照此規(guī)律，可知（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】A【解析】數(shù)列的前5項依次為，則，所以.故選：A2.已知拋物線經(jīng)過點，則的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，解得，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選：B3.某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加,若本次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,已知數(shù)學(xué)成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A.2400 B.1200 C.1000 D.800【答案】B【解析】依題意，，，因此，所以此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：B4.若隨機(jī)變量服從二項分布，且，則（）A.39 B.50 C.63 D.68【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從二項分布，且，，，，．故選：C．5.已知的展開式中不含常數(shù)項，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】二項式展開式的通項公式，由，得，由，得，因此展開式中的常數(shù)項為，所以.故選：A6.已知橢圓，點關(guān)于直線的對稱點在上，且點與不重合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè),，由題意可得，即：，又的中點在直線上，所以，解得y0=t，故，而在橢圓上．故，解得或，由于時與坐標(biāo)相同，故．故選：C．7.為促進(jìn)消費，某商場推出抽獎游戲：甲、乙兩袋中裝有大小、材質(zhì)均相同的球，其中甲袋中為4個黑球和6個白球，乙袋中為3個黑球和5個白球.顧客要從甲袋中隨機(jī)取出1個球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出1個球，若從乙袋中取出的球是黑球，則獲得100元消費券，否則獲得50元消費券.則顧客獲得100元消費券的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記顧客獲得100元消費券的事件為，從甲袋中取出黑球的事件為，則，，，所以.故選：B8.若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不等式恒成立，當(dāng)時，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，，不等式，即，于是，因此，恒成立，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若隨機(jī)變量，且，則D.若隨機(jī)變量的分布列為，則【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，所以，解得，所以，所以，故C正確；對于D，因為隨機(jī)變量的分布列為，所以，，，所以，故D錯誤．故選：ABC．10.已知等差數(shù)列an滿足，等比數(shù)列bn滿足，則下列說法中正確的是（）A.數(shù)列前3項和為86B.數(shù)列的前50項和為50C.若數(shù)列的前項和為，則D.若，則是公差為的等差數(shù)列【答案】BC【解析】因為所以，因為，所以，對于A：的前3項和為，A選項錯誤；對于B：的前50項和為，B選項正確；對于C：，，C選項正確；對于D：，，所以是公差為的等差數(shù)列，D選項錯誤.故選：BC.11.已知直線過定點，且與圓相交于兩點，則（）A.點的坐標(biāo)為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．對于A，直線，可化，所以直線經(jīng)過點，斜率為，因此直線過定點，A項正確；對于B，當(dāng)時，直線到圓心的距離達(dá)到最大值，此時，可知的最小值是，故B項不正確；對于C，，由于的最小值是，此時取最大值，故最大值為0，故C項正確；對于D，設(shè)的中點為，連接，則，可得，故D項正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某快餐廳推出一種雙人組合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯材料，主食有5種可供選擇，飲料有4種可供選擇，且每份套餐中主食和飲料均不能重復(fù)，則這種雙人套餐的不同搭配有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】先從5種主食選2種，有種選法，再從4中飲料中選2種，有種選法，所以共有種不同的搭配.故答案為：6013.設(shè)，則____.【答案】728【解析】因為，所以，令x=1,可得，令x=0,可得，所以.故答案為：728.14.已知函數(shù)，過點且與曲線相切的直線有3條，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)過點與曲線相切的切點坐標(biāo)為，函數(shù)，求導(dǎo)得，則切線方程為，于是，整理得，令，過點且與曲線相切的直線有3條，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)有3個零點，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，函數(shù)有三個零點，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，.（1）求通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前12項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.解：（1）當(dāng)時，，①，所以當(dāng)時，②，①②得，即也滿足該式，所以.（2）由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，依次類推，可知.所以數(shù)列bn的前12項和為.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若為棱的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，在矩形中，為邊的中點，，則，，即有，而平面，所以平面.（2）顯然直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以平面與平面的夾角的余弦值.17.某校組織全校學(xué)生參加“防范校園欺凌”知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的得分（滿分：100分）分成如下6組：，繪制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值，并估計這100名學(xué)生的平均得分.（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）若該校決定獎勵競賽得分排名前的學(xué)生，小明本次競賽獲得78分，估計他能否獲得獎勵.（3）從樣本中競賽得分不低于80的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，再從參加學(xué)習(xí)交流的學(xué)生中任選3人，記這3人中得分在90,100內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，，解得，成績在區(qū)間的頻率依次為：，所以這100名學(xué)生的平均得分為.（2）由（1）知，成績在區(qū)間的頻率為，成績在區(qū)間的頻率為，則競賽得分排名前的最低成績，于是，解得，而，所以估計小明能獲得獎勵.（3）參加學(xué)習(xí)交流的10人中，得分在的人數(shù)為，在內(nèi)的人數(shù)為4，的可能值為0，1，2，3，，所以的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為.18.已知雙曲線的左焦點為，左頂點為，虛軸的上端點為，且.（1）求的方程；（2）若直線的斜率是的斜率為正的漸近線的斜率的2倍，且與交于兩點，直線的斜率之和為，求的方程.解：（1）設(shè)半焦距為.因為，所以，解得，所以，所以的方程為.（2）易知，因為的斜率為正的漸近線的斜率為，所以的斜率為1，故設(shè).設(shè)Ax1,y1,Bx2則，得，即或，.又，所以.整理得，解得(舍去)或，所以直線的方程為，即.19.已知函數(shù)存在兩個零點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，當(dāng)時，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增，不可能存在兩個零點，不符合題意；當(dāng)時，令，則，解得，當(dāng)時，f'x當(dāng)時，f'x故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因為存在兩個零點，所以，解得，此時，又，當(dāng)時，，所以有兩個零點，符合題意，所以的取值范圍為1,+∞.（2）當(dāng)時，恒成立，即恒成立，設(shè)，由題意知當(dāng)時，gx>0恒成立，則，即，解得，若，則當(dāng)且時，，所以，不符合題意，若，則恒成立，符合題意，下面證明：當(dāng)時，對任意恒成立（*），要證，即證，因為，所以，只需證明即可，，令，則當(dāng)時，，所以φx在0,+又，所以當(dāng)時，，h'x<0，hx在當(dāng)時，，h'x>0，hx在所以，即命題（*）得證，綜上所述，的取值范圍是．河南省安陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前5項依次為，按照此規(guī)律，可知（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】A【解析】數(shù)列的前5項依次為，則，所以.故選：A2.已知拋物線經(jīng)過點，則的焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，解得，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選：B3.某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加,若本次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,已知數(shù)學(xué)成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A.2400 B.1200 C.1000 D.800【答案】B【解析】依題意，，，因此，所以此次考試中數(shù)學(xué)成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：B4.若隨機(jī)變量服從二項分布，且，則（）A.39 B.50 C.63 D.68【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從二項分布，且，，，，．故選：C．5.已知的展開式中不含常數(shù)項，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】二項式展開式的通項公式，由，得，由，得，因此展開式中的常數(shù)項為，所以.故選：A6.已知橢圓，點關(guān)于直線的對稱點在上，且點與不重合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè),，由題意可得，即：，又的中點在直線上，所以，解得y0=t，故，而在橢圓上．故，解得或，由于時與坐標(biāo)相同，故．故選：C．7.為促進(jìn)消費，某商場推出抽獎游戲：甲、乙兩袋中裝有大小、材質(zhì)均相同的球，其中甲袋中為4個黑球和6個白球，乙袋中為3個黑球和5個白球.顧客要從甲袋中隨機(jī)取出1個球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出1個球，若從乙袋中取出的球是黑球，則獲得100元消費券，否則獲得50元消費券.則顧客獲得100元消費券的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記顧客獲得100元消費券的事件為，從甲袋中取出黑球的事件為，則，，，所以.故選：B8.若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不等式恒成立，當(dāng)時，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，，不等式，即，于是，因此，恒成立，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若隨機(jī)變量，且，則D.若隨機(jī)變量的分布列為，則【答案】ABC【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，所以，解得，所以，所以，故C正確；對于D，因為隨機(jī)變量的分布列為，所以，，，所以，故D錯誤．故選：ABC．10.已知等差數(shù)列an滿足，等比數(shù)列bn滿足，則下列說法中正確的是（）A.數(shù)列前3項和為86B.數(shù)列的前50項和為50C.若數(shù)列的前項和為，則D.若，則是公差為的等差數(shù)列【答案】BC【解析】因為所以，因為，所以，對于A：的前3項和為，A選項錯誤；對于B：的前50項和為，B選項正確；對于C：，，C選項正確；對于D：，，所以是公差為的等差數(shù)列，D選項錯誤.故選：BC.11.已知直線過定點，且與圓相交于兩點，則（）A.點的坐標(biāo)為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．對于A，直線，可化，所以直線經(jīng)過點，斜率為，因此直線過定點，A項正確；對于B，當(dāng)時，直線到圓心的距離達(dá)到最大值，此時，可知的最小值是，故B項不正確；對于C，，由于的最小值是，此時取最大值，故最大值為0，故C項正確；對于D，設(shè)的中點為，連接，則，可得，故D項正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某快餐廳推出一種雙人組合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯材料，主食有5種可供選擇，飲料有4種可供選擇，且每份套餐中主食和飲料均不能重復(fù)，則這種雙人套餐的不同搭配有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】先從5種主食選2種，有種選法，再從4中飲料中選2種，有種選法，所以共有種不同的搭配.故答案為：6013.設(shè)，則____.【答案】728【解析】因為，所以，令x=1,可得，令x=0,可得，所以.故答案為：728.14.已知函數(shù)，過點且與曲線相切的直線有3條，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)過點與曲線相切的切點坐標(biāo)為，函數(shù)，求導(dǎo)得，則切線方程為，于是，整理得，令，過點且與曲線相切的直線有3條，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)有3個零點，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，函數(shù)有三個零點，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，.（1）求通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前12項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.解：（1）當(dāng)時，，①，所以當(dāng)時，②，①②得，即也滿足該式，所以.（2）由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，依次類推，可知.所以數(shù)列bn的前12項和為.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若為棱的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，在矩形中，為邊的中點，，則，，即有，而平面，所以平面.（2）顯然直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以平面與平面的夾角的余弦值.17.某校組織全校學(xué)生參加“防范校園欺凌”知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的得分（滿分：100分）分成如下6組：，繪制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值，并估計這100名學(xué)生的平均得分.（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）若該校決定獎勵競賽得分排名前的學(xué)生，小明本次競賽獲得78分，估計他能否獲得獎勵.（3）從樣本中競賽得分不低于80的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，再從參加學(xué)習(xí)交流的學(xué)生中任選3人，記這3人中得分在90,100內(nèi)的