2025年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：平行四邊形的判定（2個知識點+5類熱點題型+習(xí)題鞏固）解析版

第02講平行四邊形的判定

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握平行四邊形的判定方法并能夠通過題目已知條件選擇合

①平行四邊形的判定適的判定方法判定平行四邊形。

②三角形的中位線2,掌握三角形的中位線性質(zhì)與判定，能夠熟練的對三角形的中位

線進行判斷與對性質(zhì)的熟練應(yīng)用。

02思維導(dǎo)圖

平行四邊形的判定

03知識清單

知識點01平行四邊形的判定

1.平行四邊形的判定:

元素判定方法與文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

一組對邊平行且相等的"：AB_幺_CD或AD_^_BC

A2

四邊形是平行四邊形

，四邊形48CD是平行四邊形

邊

兩組對邊分別平行的四TAB〃CD,AD//BC

BC

邊形是平行四邊形二四邊形是平行四邊形

兩組對邊分別相等的四VAB=CD,AD=BC

邊形是平行四邊形...四邊形/8CD是平行四邊形

*.*/ABC=/ADC,

兩組對角相等的四邊

角/BAD=/BCD

形是平行四邊形

/.四邊形/BCD是平行四邊形

對角線相互平分的四邊9：OA=PC,OB=OP

對角線

形是平行四邊形/.四邊形/BCD是平行四邊形

【即學(xué)即練1】

1.如圖，四邊形/BCD中，對角線NC、3。相交于點。，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

【分析】利用平行四邊形的判定方法：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）兩組對邊

分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（4）兩組對角分

別相等的四邊形是平行四邊形.（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行分析即可.

【解答】解：A、AB//DC,可利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是

平行四邊形，故此選項不合題意；

B、AB//DC,ND=8C不能判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；

C、AO=CO,80=0?？衫脤蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，故

此選項不合題意；

D、AB=DC,NO=3C可利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形,

故此選項不合題意；

故選：B.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，在四邊形/BCD中，若AB〃CD,在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件AB=CD

（答案不唯一），使四邊形/BCD是平行四邊形.

AD

【分析】由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加條件48=8,可得四邊形ZBCD為平行四邊形，理由如下：

?:AB=CD,AB//CD,

四邊形N3CD為平行四邊形，

故答案為：AB=CD(答案不唯一).

【即學(xué)即練31

3.已知：如圖，在四邊形48CZ(中，AD//BC,DELAC,BFLAC,垂足分別為￡、F,DE=BF,求證:

四邊形/BCD是平行四邊形.

【分析】先證△4ED咨△CF2G4/S),得4D=BC,又由4D〃8C,即可得出四邊形/BCD是平行四邊

形.

【解答】證明：

/DAE=ZBCF,

'：DE±AC,BFL4C,

：.ZAED=ZCFB=90°,

在△/￡￡)和△C7喏中，

(Z.AED=Z.CFB

\^DAE=ABCF,

VDE=BF

.,.△AEDm4CFB(W4S),

:.AD=BC,

又?：AD〃BC,

...四邊形/BCD是平行四邊形.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，四邊形N8CD的對角線NC,BD交于點、O,OA=OC,ZBAC=ZDCA,求證：四邊形/BCD是

平行四邊形.

【分析】證絲△COD(ASA),得OB=OD,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】證明：在△/O8與△CO。中，

(Z.AOB=乙COD

\OA=OC,

=LDCO

：.AAOB^/\COD(ASA),

：.OB=OD,

又?.?。4=。。，

四邊形ABCD是平行四邊形.

知識點02三角形的中位線

1.三角形中位線的定義:

連接三角形任意兩邊的中點得到的線段叫做三角形的中位線。

2.三角形的中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.

幾何語言：?.?點。、E分別是48、/C的中點

1

J.DE//BC,DE=-BC

2

【即學(xué)即練1】

5.如圖，OE是的中位線，若8c=10,則的長為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】已知。E是△ZBC的中位線，BC=10,根據(jù)中位線定理即可求得DE的長.

【解答】解：是△4SC的中位線，

1

：.DE=~BC,

：BC=10,

:.DE=5.

故選：B.

題型精講

題型01熟悉平行四邊形的判定條件

【典例1】下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

A.對角線互相平分

B.兩組對邊分別相等

C.對角線互相垂直

D.一組對邊平行，一組對角相等

【分析】利用平行四邊形的判定可求解.

【解答】解：/、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；

8、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；

C、對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，故該選項符合題意；

。、一組對邊平行，一組對角相等，可得另一組對角相等，由兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，故

該選項不符合題意；

故選：C.

【變式1】具備下列條件的四邊形中，不能確定是平行四邊形的為（）

A.相鄰的角互補

B.兩組對角分別相等

C.一組對邊平行，另一組對邊相等

D.對角線交點是兩對角線中點

【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩

組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組

對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的

判定方法可知，只有選項。不能確定為平行四邊形.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定，/、。均能確定為是平行四邊形，而C則無法確定為平行四邊

形，故選C

【變式2】能判定四邊形為平行四邊形的條件是（）

A.AB=AD,CB=CDB.ZA=ZB,ZC=ZD

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩

組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組

對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的

判定方法，采用排除法，逐項分析判斷.

【解答】解：/、若4B=4D,CB=CD,無法判定，四邊形/8CD為平行四邊形，故此選項錯誤；

B、ZA=ZB,ZC=ZD,無法判定，四邊形/BCD為平行四邊形，故此選項錯誤；

C、AB=CD,AD=BC,可判定是平行四邊形的條件，故此選項正確；

。、此條件下無法判定四邊形的形狀，還可能是等腰梯形，故此選項錯誤.

故選：c.

，B

DC

【變式3】下列條件中，能判斷四邊形/BCD是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB./4=/B,ZC=ZD

C.AB=AD,CB=CDD.AB//CD,AB=CD

【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩

組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組

對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的

判定，逐一驗證即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖示，根據(jù)平行四邊形的判定方法，只有。正確.

故選：D.

題型02添加平行四邊形的判定條件

【典例1】（多選）如圖，在四邊形/BCD中，若42〃CD,添加一個條件，使四邊形/BCD為平行四邊

形，則下列正確的是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.ZADB=ZDBCD.ZA=ZC

【分析】由4B〃CD,AB=CD,證明四邊形48co為平行四邊形，可判斷/正確；因為AD=

BC,所以四邊形488為平行四邊形或等腰梯形，可判斷3不正確；由乙1DB=/DBC,得AD〃BC,

可證明四邊形/BCD為平行四邊形，可判斷C正確；由4B〃CD,得NABD=NCDB,而/4=NC,BD

=DB,可根據(jù)“44S”證明絲△CD8,得AB=CD,則四邊形48CD為平行四邊形，可判斷。正

確，于是得到問題的答案.

【解答】解：'：AB//CD,AB=CD,

四邊形/BCD為平行四邊形，

故N正確；

'：AB//CD,AD=BC,

四邊形/BCD為平行四邊形或等腰梯形，

二四邊形/BCD不一定為平行四邊形，

故2不正確；

"?/ADB=ZDBC,

J.AD//BC,

'：AB//CD,AD//BC,

...四邊形ABCD為平行四邊形，

故C正確；

".'AB//CD,

：.ZABD=ZCDB,

在△N8O和△CO3中，

（Z.ABD=Z-CDB

，Z-A—Z.C,

（BD=DB

：.AABD^ACDB（AAS）,

:?AB=CD,

四邊形/8CD為平行四邊形，

故。正確，

故選：ACD.

【變式1】在四邊形N2CD中，3。是對角線，ZABC^ZCDA,添加一個條件，下列條件不能判定四邊形

48co是平行四邊形的是（）

A./4=/CB.AB=CDC.AD//BCD.ZABD^ZCDB

【分析】根據(jù)題意利用平行四邊形的判定定理逐一對選項分析，即可得到答案.

【解答】解：/、已知//8C=NCZM,若N/=NC,即可證明四邊形/BCD為平行四邊形（兩組對角

分別相等的四邊形是平行四邊形），所以/選項能判定四邊形為平行四邊形；

B、根據(jù)題意若/5=CD,不能進一步得到所以8選項不能判定四邊形/8CO為平行四邊形.

C、已知若AD〃BC,即ZCBD=ZADB,所以/8〃CD,CB//AD,

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，所以C選項能判定四邊形/BCD為平行四邊形.

D、已知若/ABD=NCDB,即所以/8〃CO,CB//AD,兩組對邊

分別平行的四邊形是平行四邊形，所以。選項能判定四邊形ABCD為平行四邊形.

故選：B.

【變式2】在四邊形/BCD中,/O=2C,添加下列條件后仍不能判定四邊形/BCD為平行四邊形的是（）

A.AB=CDB.AB//CD

C.AD//BCD.ZA+ZB=180°

【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A,U：AD=CD,AD=BC,

???四邊形4BCD是平行四邊形，故選項4不符合題意;

B、由45〃。。，AD=BC,可能是等腰梯形，不能判定四邊形ZBGD是平行四邊形，故選項5符合題意;

C、?:AD=BC,AD//BC,

???四邊形4BCZ）是平行四邊形，故選項C不符合題意;

。、VZA+ZB=1SO°,

:?AD〃BC,

?；AD=BC

???四邊形是平行四邊形，故選項。不符合題意;

故選：B.

A

【變式3】如圖，在四邊形/BCD中，已知N1=N2,添加下列條件不能判定四邊形Z5CD是平行四邊形

的是（

B.N3=N4C.AD=BCD.Z1=Z3

【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A,VZ1=Z2,

C.AD//BC,

FAB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形,故選項/不符合題意;

B、VZ1=Z2,

：.AD//BC,

VZ3=Z4,

J.AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形,故選項5不符合題意;

C、VZ1=Z2,

：.AD//BC,

*：AD=BC,

???四邊形是平行四邊形,故選項。不符合題意;

D、Z1=Z3,無法判斷四邊形48co是平行四邊形.故選項。符合題意.

故選：D.

題型03平行四邊形的判定證明

【典例1】如圖，點/、F、C、。在一條直線上，AB//DES.AB=DE,AF=DC,求證：四邊形8CE戶是

平行四邊形.

【分析】先證△4PS也DCE(S4S),得FB=CE,/AFB=NDCE,則N8/C=NEC凡得FB〃CE,即

可得出結(jié)論.

【解答】證明：

NBAF=ZEDC,

在尸8和△￡>(7￡中，

(AB=DE

\^BAF=^EDC,

UF=DC

:.△AFB咨ADCE(SAS),

:.FB=CE,ZAFB^ZDCE,

：.ZBFC=ZECF,

：.FB//CE,

又,：FB=CE,

二四邊形BC斯是平行四邊形.

【變式1】如圖，B,E,C,尸在一條直線上，已知AC//DF,BE=CF,連接ND.求證：四邊

【分析】證出△/8C絲△OEP(4S4),得出再結(jié)合48〃DE,即可證出四邊形是平行

四邊形.

【解答】證明：'：AB//DE,AC//DF,

：.ZB=ZDEF,ZACB=ZF.

?:BE=CF,

：.BE+CE=CF+CE,

:?BC=EF.

在△ZBC和尸中，

(Z-B=乙DEF

\BC=EF,

Vz.ACB=乙F

:.LABC?LDEF(ASA),

：.AB=DE.

5L9：AB//DE,

四邊形/BED是平行四邊形.

【變式2】如圖，四邊形的對角線NC,BD交于點、O,已知。是/C的中點，AE=CF,DF//BE.

(1)求證：OD=OB.

(2)求證：四邊形48co是平行四邊形.#ZZ01

DC

【分析】(1)由點。是/C中點，得出O/=OC,因為NE=C/，貝|JOE=O尸，因為DE〃BE,貝！

=ZOFD,

利用44s證明△3OE和△DO廠全等即可，

(2)利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可.

【解答】(1)證明：?.,點。是/C中點，

：.OA=OC,

,:AE=CF,

：.OE=OF,

'JDF//BE,

：./OEB=/OFD,

在△20E和△DO尸中，

(Z.OEB=/-OFD

，乙BOE=^DOF,

WE=OF

:.ABOEqADOF(AAS),

：.OD=OB,

(2)證明：'：OA=OC,OD=OB,

四邊形48CD是平行四邊形.

【變式3】已知：如圖，E、尸是四邊形48co的對角線NC上的兩點，AE=CF,DF=BE,DF//BE.

(1)求證：LAFD94CEB.

(2)求證：四邊形/BCD是平行四邊形.

【分析】(1)利用。尸〃8E證得NOE4=N8EC,再由NE=CF證得/尸=CE,即可證明△/￡＞尸注ZXCBE

(SAS)；

(2)由(1)得到/O=C2,NDAF=/BCE,證出4D〃C5,即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)'：AE=CF,

：.AE+EF^CF+EF,

即AF=CE,

\'DF//BE,

：.NDFA=NBEC,

在△/￡)尸和△C8E中，

(AF=CE

\^DFA=^BEC,

VDF=BE

：.AADF^/\CBE(SAS)；

(2)VAADF^/\CBE,

；.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

J.AD//CB,

四邊形/BCD是平行四邊形.

【變式4】如圖，分別以RtZ\/8C的直角邊NC及斜邊N3向外作等邊△NCZ)、等邊△N8E,已知/A4C=

30°,EFLAB,垂足為R連接。尸.

(1)求證：BC=AF；

(2)求證：四邊形NDFE是平行四邊形.

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

(2)證明RtZ\/EE絲Rt42C4(HL),由全等三角形的性質(zhì)得出/C=EF,證出即〃由平行四邊

形的判定可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.?孔△/2C中，ZBAC=30°,

:.AB=2BC,

又,二△ZBE是等邊三角形，EFLAB,

:?AB=2AF,

：.AF=BC；

(2)證明：在和RtA8C4中,

(AF=BC

\AE=BAf

：.RtAAFE^RtABCA(HL),

：.AC=EF,

???△4CD是等邊三角形，

/.ZDAC=60°,AC=AD,

：.ZDAB=ZDAC+ZBAC=90°,

又?：EF2AB,

:.EF〃AD,

?；AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

???四邊形ADFE是平行四邊形.

題型04三角形的中位線的性質(zhì)應(yīng)用

【典例1】如圖，DABCD中,對角線4C、5。交于點。點￡是5。的中點.若OE=3cm,則45的長為

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【分析】由四邊形N8CD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得O/=OC,又由點E

是8c的中點，易得OE是a/BC的中位線，繼而求得答案.

【解答】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.OA=OC,

?.?點E是8c的中點，OE=3cm,

.'.AB=2OC=6cm.

故選：B.

【變式1】如圖，在口4BC。中，對角線NC與區(qū)0相交于點。，E是邊CD的中點，連接若N4BC=

50°,NA4c=80°,則N1的度數(shù)為()

?D

XI/E

BC

A.60°B.50°C.40°D.25°

【分析】直接利用三角形內(nèi)角和定理得出N5C4的度數(shù)，再利用三角形中位線定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得

出答案.

【解答】解：VZ^C=50°,ZBAC=S0°,

ZBCA=1SO°-50°-80°=50°,

???對角線4。與5。相交于點O,E是邊CQ的中點，

???EO是△O5C的中位線，

：.EO//BC,

：.Zl=ZACB=50°.

故選：B.

【變式2】如圖所示，在四邊形/BCD中，AD=BC,E、F、G分別是45、CD、4。的中點，若ND4C=

20°,ZACB=66°.則NFEG的度數(shù)為（）

A.18°B.23°C.31°D.33°

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到四=網(wǎng)?，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到//GC=ND4C=20°,ZEGC=

180°-ZACB=114°,求出NEGR根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案.

【解答】解：???瓜F、G分別是48、CD、4C的中點，

:?EG、FG分別是△45。和△4DC兩個三角形的中位線，

11

：.EG//BC,FG//AD,EG=《BC,FG=^AD,

*：AD=BC,

:?EG=FG,

■:EG//BC,FG//AD,

：.ZFGC=ZDAC=20°,N￡GC=180°-乙4cB=114°,

:?NEGF=/FGC+/EGC=134°,

?:EG=FG,

1

：.ZFEG=-x(180°-134°)=23°.

故選：B.

【變式3】如圖，在四邊形/BCD中，AB=6,2C=10,N/=130°,ZD=100°,AD=CD.若點E,F

分別是邊ND,CD的中點，則EF的長是()

【分析】連接/C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出/。4C,結(jié)合圖形求出NA4C=

90°,根據(jù)勾股定理求出NC,根據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案.

【解答】解：連接NC,

\"DA=DC,Z￡>=100°,

AZDAC=ZDCA=40°,

:.NBAC=/BAD-/DAC=130°-40°=90°,

"-AC=>JBC2-AB2=V102-62=8，

■:點、E,尸分別是邊40,CD的中點，

1

：.EF=~AC=4,

題型03平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1］如圖，在口4BCD中，點G,X分別是48,的中點，點E,斤在對角線/C上，且NE=CF.

(1)求證：四邊形EGEff是平行四邊形；

(2)連接8D交/C于點O,若AD=10,AE+CF=EF,求EG的長.

AD

E

BC

【分析】(l)先由平行四邊形的性質(zhì)及點G,H分別是48,。。的中點，得出△4G￡和△CHF全等的

條件，從而判定△ZGE0ZXCHF(S/S),然后由全等三角形的性質(zhì)和角的互補關(guān)系得出GE="F,GE

//HF,則可得出結(jié)論.

(2)先由平行四邊形的性質(zhì)及50=10,得出05=8=5,再根據(jù)AE+CF=EF及OA=OC

得出4E=OE,從而可得EG是△45。的中位線，利用中位線定理可得￡G的長度.

【解答】解：(1)證明：???四邊形458是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZGAE=ZHCF,

??,點G,〃分別是CD的中點，

：.AG=CH,

\9AE=CF,

:?AAGEmACHF(SAS),

：.GE=HF,/AEG=/CFH,

：./GEF=/HFE,

：.GE//HF,

又?：GE=HF,

???四邊形是平行四邊形；

(2)連接5。交4C于點。，如圖：

???四邊形4BCZ）是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD,

???瓦）=10,

：?OB=OD=5,

'：AE=CF,OA=OC,

：.OE=OF,

■:AE+CF=EF,

：?2AE=EF=2OE,

：.AE=OE,

又；點G是4B的中點，

:.EG是AABO的中位線,

1

：.EG=~OB=2.5.

：.EG的長為2.5.

【變式1】如圖，已知平行四邊形/BCD中，2D是它的一條對角線，過/、C兩點作CFLBD,

垂足分別為￡、F,延長/￡、C戶分別交CD、AB于點、M、N.

(1)求證：四邊形CWN是平行四邊形；

(2)已知￡>M=2,AN=3,求48的長.

【分析】(1)欲證明四邊形NMCN是平行四邊形，只要證明。/〃/N,/M〃CN即可;

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可.

【解答】(1)證明：?.ZELBD,CFLBD,

J.AM//CN,

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

/.CM//AN

二四邊形CM4N是平行四邊形；

(2)解：：四邊形/BCD是平行四邊形，

：.DC=AB,

?.?四邊形C九〃N是平行四邊形，

CM=AN,

:.DM=BN,

：.AB=AN+DM=2+3=5.

【變式2】如圖，點。是△NBC內(nèi)一點，連接。2,0C,并將OB,OC,NC的中點。，E,F,G依

次連接，得到四邊形DEFG.

(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

(2)若加r為E尸的中點，OM=2,N08C和/OC8互余，求DG,8c的長度.

A

【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得斯〃2C且DG=52C,DG

1一

〃夕C且。G=yc,從而得到Z)K=￡F,DG//EF,再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

證明即可；

(2)先判斷出N8OC=90°,再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出E尸即可.

【解答】(1)證明：：。、G分別是/8、NC的中點，

1

J.DG//BC,DG=-^BC,

,:E、尸分別是。3、OC的中點，

1

C.EF//BC,EF=~BC,

：.DG=EF,DG//EF,

...四邊形DEFG是平行四邊形；

(2)解：?.?/。8。和/。。8互余，

AZOBC+ZOCB=90°,

：.ZBOC=90°,

為E尸的中點，OM=2,

：.EF=2OM=4.

由(1)知四邊形。斯G是平行四邊形，

：.DG=EF=4,BC=2EF=8.

【變式3】如圖，在四邊形/8CD中，AD//BC,對角線NC、BD交于點、O,且NO=OC,過點。作E尸_L

BD,交AD于點、E,交于點足

(1)求證：四邊形N8C。為平行四邊形；

(2)連接8E,若4840=100°,ZDBF=2ZABE,求/48E的度數(shù).

【分析】(1)證△40。烏△C02CASA),得AD=CB,再由4D〃2C,即可得出結(jié)論;

(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得則NEBD=NEDB,再證NEBD=NEDB=NDBF=2x,

然后由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可.

【解答】(1)證明：

；./OAD=NOCB,

在△40D和△C05中，

(Z.OAD=乙OCB

\A0=CO,

JAOD=乙COB

：./\AOD^/\COB(ASA),

：.AD=CB,

又,：AD〃BC,

???四邊形ABCD為平行四邊形；

(2)解：設(shè)則

由(1)得：四邊形45CZ)為平行四邊形，

：?OB=OD,

?：EF2BD,

:?BE=DE,

：./EBD=/EDB,

,:AD〃BC,

：./EDB=/DBF,

：.4EBD=/EDB=ZDBF=2x,

?：NBAD+NABE+NEBD+/EDB=\80°,

.*.100°+x+2x+2x=180°,

解得：x=16°,

即N45￡=16°.

05強化訓(xùn)練

1.如圖，四邊形4BCZ）的對角線相交于點O,下列條件能判定四邊形/BCD是平行四邊形的是（）

A.AD=BC,OB=ODB.AB=CD,AC=BD

C.AB//CD,OA=OCD.AB=CD,BC//AD

【分析】由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：4、AB//CD,OB=OD,不能判定四邊形48CD是平行四邊形，不符合題意;

B、AB=CD,AC=BD,不能判定四邊形45CD是平行四邊形，不符合題意;

C、?:AB〃CD,

:./BAO=/DCO,NABO=/CDO,

在△450和△SO中，

（Z.BAO=Z.DCO

、乙ABO=^CDO,

WA=0C

：.AB=CD,

，四邊形是平行四邊形，

故本選項符合題意；

D、AB=CD,BC//AD,不能判定四邊形/BCD是平行四邊形，不符合題意;

故選：C.

2.根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，不能判斷下列四邊形是平行四邊形的是（）

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)平行四邊形的判定定理逐個進行分析可以判斷得解.

【解答】解：A,,：AO=CO,BO=DO,

...四邊形/BCD是平行四邊形，故不符合題意；

B、,:AB=CD,AD=BC,

，四邊形/5CZ）是平行四邊形，故不符合題意；

C、VZACB=ZDAC=40°,

J.AD//BC,

\"AB=CD,

...不能判定四邊形/BCD是平行四邊形，故符合題意；

D、N4CB=/C4D=40°,

C.AD//BC,

VZABD=ZBDC=35°,

：.AB//CD,

四邊形是平行四邊形，故不符合題意；

故選：C.

3.已知四邊形/BCD的對角線NC,BD交于點、O,從下列四個條件中選擇兩個，則選項中的組合能使四邊

形/BCD是平行四邊形的是（）

①/8=處②/C=20C；（3）ZBAD=ZBCD；④BO=DO.

A.①②B.②④C.①③D.①④

【分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可.

【解答】解：①②不能證明不能證明43〃CD,故不能判定四邊形/BCD是平行四

邊形，故/不符合題意；

②④組合可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故8符合

題意；

①③不能證明△48。絲△C08,進而得到故不能判定四邊形/BCD是平行四邊形，故C不

符合題意；

①④不能證明△/。8之△COD,不能證明/8〃CD,故不能判定四邊形/BCD是平行四邊形，故。不

符合題意.

故選：B.

【分析】直接利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或者兩組對邊分別相等的四邊形是平行四

邊形判定即可.

【解答】解：：在四邊形/8CO中，AB=CD,要使四邊形N8CZ）是平行四邊形，

還需添加一個條件是：AC=BD或AB〃CD.

故選C.

5.如圖，已知△N5D,用尺規(guī)進行如下操作：①以點8為圓心，長為半徑畫弧；②以點。為圓心，

長為半徑畫??；③兩弧在2。上方交于點C,連接8C,DC.可直接判定四邊形為平行四邊形

的條件是（）

A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等

C.對角線互相平分D.一組對邊平行且相等

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：由作圖知，BC=AD,CD=AB,

四邊形/BCD為平行四邊形，

故判定四邊形/BCD為平行四邊形的條件是兩組對邊分別相等，

故選：B.

6.如圖，小華注意到蹺蹺板靜止?fàn)顟B(tài)時，可以與地面構(gòu)成一個△N8C,蹺蹺板中間的支撐桿￡尸垂直于地

面（￡、尸分別為/8、NC的中點），若EF=35cm,則點8距離地面的高度為（）

【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題.

【解答】解：W、歹分別為/2、4C的中點，EF=35cm,

:.BC=2EF=70（cm）,

.?.點B距離地面的高度為70cm.

故選：B.

7.如圖，ZUBC中，ZACB=9Q°,點、D,E分別在8C,NC邊上，且/￡=4,BD=6,分別連接

BE,點、M,N分別是8E的中點，連接MN,則線段九W的長（）

A.V5B.3C.3V2D.V13

【分析】取A8的中點尸，連接而、兒田，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/C/5+NC8/=90°,根據(jù)三角

形中位線定理分別求出MR、NF,以及NMFN=90°,根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：取48的中點R連接NF、MF,

△/5C中，VZACB^90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

\'AM^MD,AF=FB,

:.MF是AABD的中位線，

1

：.MF=~BD^3,MF//BC,

：.AAFM=ZCBA,

1

同理，NF=--AE=2,NF//CC,

/./BFN=/CAB,

：.ZAFM+ZBFN=ZCAB+ZCBA=90°,

:?/MFN=90°,

：.MN=VMF2+NF2=V13，

8.現(xiàn)有一張平行四邊形48cZ）紙片，AD>AB,要求用尺規(guī)作圖的方法在邊5C,40上分別找點M,

使得四邊形4MCN為平行四邊形，甲、乙兩位同學(xué)的作法如圖所示，下列判斷正確的是（）

C.甲、乙都對D.甲、乙都不對

【分析】根據(jù)作圖以及平行四邊形的性質(zhì)與判定分別分析甲，乙證明是平行四邊形即可.

【解答】解：乙：由作圖可知，4M平分CN平分/BCD,

：.ZBAM=ZDAM,ZBCN=ZDCN,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：?AD=BC,AD//BC,

：.ZDAM=ZBMA,ZDNC=ZBCN,

:?/BAM=/BMA,ZDNC=ZDCN,

:?AB=BM,CD=DN,

:?BM=DN,

:?AN=CM,AN//CM,

???四邊形ANCM是平行四邊形；

甲：由作圖可知，BM=BA,DN=DC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.BM=DN,

：.CM=AN,CM//AN,

???四邊形ANCM是平行四邊形;

故選：c.

9.如圖，在平行四邊形48co中，NC=135°,AB=2,AD=3,點、H,G分別是CD,BC上的動點，連

接NH,GH.E,F分別為4H,G8的中點，則斯的最小值是（）

A.2B.V2C孝D.2五

【分析】過點Z作/N,8c于點N,證△N3N是等腰直角三角形，得BN=AN=尬,再由三角形中位線

1

定理可得斯=pG,當(dāng)NGLBC時，NG有最小值，即所有最小值，即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點N作NN_L8C于點M

??,四邊形/BCD是平行四邊形，ZC=135°,

：.AB//BC,

：.Z5+ZC=180",

；./2=180°-ZC=180°-135°=45°,

?：ANLBC,

:.NBAN=9Q°-/B=45°,

/./\ABN是等腰直角三角形，

V2V2r-

：.BN=AN=—AB=—x2=VI-

,:E、尸分別為/8、GHr的中點，

：.EF是△/GH的中位線，

1

：.EF^~AG,

當(dāng)NG,3c時，NG有最小值，即所有最小值,

當(dāng)點G與點N重合時，AG的最小值為五，

：.EF的最小值為

故選：C.

10.如圖，在口47CD中，E,尸分別是4D,8c的中點，G,〃是對角線2。上的兩點，MBG=DH.對

1

于結(jié)論：@GF1BD；②/DEH=/BFG；③四邊形EGEH■是平行四邊形；@EG^-BD.正確的個數(shù)

為()

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】證△GBFg/kHDE(￡45),得GF=EH,ZBGF=ZDHE,則NFGH=NEHG,得GF〃EH,

再證出四邊形EGF"是平行四邊形，得EG=FH,故②③正確，/尸G”不一定等于90°,故①不正確，

1

EG=58。不一定成立，故④不正確，即可得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形45co是平行四邊形，

：.BC//AD,BC=AD,

：.ZGBF=/HDE,

又E、/分別是的中點，

11

.\DE=-AD,BF=]BC,

:?BF=DE,

在aGB/和汨中，

(BF=DE

\z-GBF=Z.HDE,

VBG=DH

:?AGBF空AHDE(SAS),

:,GF=EH,ZBGF=ZDHE,ZBFG=ZDEH,故②正確

/.ZFGH=NEHG,

：.GF//EH,

???四邊形EGFa是平行四邊形，故③正確

:?EG=FH,

1

而￡6=尹￡)不一定成立，故④不正確.

???NFG〃不一定等于90°,

???G/_L5O不正確，故①不正確，

故選：B.

11.四邊形48CZ)中，N/+N5=180°,添加一個條件AD=BC或AB〃CD,則使四邊形/BCD成為

平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法即可解決問題.

【解答】解：?.?N4+N5=180°,

：.AD//BC,

二只要添加40=2C或48〃CD,四邊形ABCD是平行四邊形,

故答案為：4D=BC或4B〃CD.

12.如圖，在△/5C中，CD平分N/C3,且CD_L4B于點。，DE〃BC交AC于點、E,BC=3cm,AB

2cm.那么的周長為4cm.

【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)得/。=1。怙再證CE=AE=DE,然后由三角形中位線定理得

3

~cm,即可解決問題.

【解答】解：平分//C8,

ZACD=ZBCD,

?.S_L48于。，

:.NADC=NBDC=90°,

ZA=ZB,

:?AC=BC=3cm,

?：CD_L4B,

1

：?AD=BD=]AB=lcm,ZADC=90°,

,:DE〃BC,

:?NEDC=NBCD,ZADE=ZB,

:?/EDC=NACD,NA=/ADE,

：.DE=CE,DE=AE,

：.CE=AE=DE,

???OE是△力8C的中位線，

13

:?AE=DE=~BC=~cm,

33

，△力。￡的周長=ZZ)+DE+4E=1+5+5=4(cm),

故答案為：4.

A

B

13.如圖，△4BC的頂點坐標(biāo)分別為/(2,3)、2(-2,0)、C(0,-1)，點。在坐標(biāo)軸上，若以“、

【分析】根據(jù)題意，點。在坐標(biāo)軸上，則只能在y軸的正半軸上，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：依題意，點。在坐標(biāo)軸上，若以/、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，則點。在y

軸的正半軸上，

設(shè)。(0,加)，

.3+0—1+m

：,~27^-2-'

解得：m=4,

故答案為：(0,4).

14.如圖，四邊形/3CD中，ZA=60°,AD=2,AB=3,點、M,N分別為線段8C,上的動點(含端

點，但點M不與點2重合)，點、E,尸分別為DM