2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練：因式分解（含答案）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練因式分解專題訓(xùn)練

一、選擇題

1.若〃+b=0,ab=-11,貝!J/+廿的值是()

A.-11B.11C.-22D.22

2.若多形式〃有因式(x-1)和(x+2),則相，〃的值分別為()

A.1,-2B.-1,2C.-1,-2D.1,2

3.已知a-b=5,b-c=-6,則代數(shù)式a2-ac-b(a-c)的值為()

A.-30B.30C.-5D.-6

4.若。+/=2021,W=2022,c+?=2023,則〃2+層+/一"一反一版的值為()

A.0B.1C.2D.3

5.我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式.例

如由圖1可以得至！J/+3而+2■=(〃+2/?)(〃+").若已知42+層+°2=69,ab+bc+ac=50,

由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式，則a+b+c的值為()

圖1圖2圖3

A.1B.12C.13D.14

6.已知(m+2n)2+2m+4n+l=0,貝?。?m+2n)2024的值為()

A.-1B.-2C.1D.2

7.已知9/+以孫+16y2能運用完全平方公式因式分解，則根的值為()

A.12B.±12C.24D.±2

二、解答題

8.在學(xué)習(xí)完“因式分解”后，為了開拓學(xué)生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：

因式分解：?-xy+6x-6y.下面是甜甜的解法：

解：J?-xy+6x-6y

=(x2-xy)+(6x-6y)(分組)

=x(x-y)+6(x-y)(提公因式)

=(x-y)(x+6).

請利用上述方法，解答下列各題：

(1)因式分解：m2-2m+2rl-mn；

(2)已知△ABC的三邊a,b,c滿足/-后_或+歷=0,判斷△ABC的形狀，并說明理

由.

9.閱讀材料后，回答下列問題.

材料一：我們可以將任意三位數(shù)記為赤，(其中a,b,c分別表示該數(shù)的百位數(shù)字，十

位數(shù)字和個位數(shù)字，且aWO),顯然赤=100a+106+c.

材料二：一個三位數(shù)如若它各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0.我們則稱相為美妙數(shù)，例如

123就是一個美妙數(shù).將美妙數(shù)三個數(shù)位上的數(shù)字兩兩組合，可產(chǎn)生6個新的兩位數(shù)，例

如由123可以產(chǎn)生出12,13,21,23,31,32這6個新數(shù).我們規(guī)定尸(優(yōu))等于機產(chǎn)

生的6個新數(shù)之和，例如尸(123)=12+13+21+23+31+32=132.

(1)求F(236)的值；

(2)證明：任意一個美妙數(shù)也其尸(m)的值一定是11的倍數(shù)；

(3)若一個三位數(shù)而是美妙數(shù)，且F(赤)=264,求出所有符合題意的三位數(shù)赤.

10.常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多項式只用上述方法無法分

解，如/-49-2x+4y,細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項

可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成

整個式子的分解因式了.過程如下：

x2-4y-2x+4y=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式：x2-2xy+y2-16；

(2)已知△ABC的三邊長a、b、c滿足條件：a4-Z74+Z?2c2-a2c2=0,判斷△ABC的形

狀，并說明理由.

11.仔細閱讀下面的例題，并解答問題：

例題：己知二次三項式7-4尤+加分解因式的結(jié)果中有一個因式是x+3,求另一個因式以

及m的值.

解法一：設(shè)另一個因式為x+幾，得/-4%+m=(x+3)(兀+九)，

BP-4x+m=x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3〃，

:.{n+3=-\解得『=一".

=3n=-21

另一個因式為x-7,機的值為-21.

解法二：設(shè)另一個因式為x+幾，得/-4%+加=(X+3)(x+〃)，

???當x=-3時，x1-4x+m=(x+3)(x+n)=0,

即(-3)2-4義(-3)+m=0,解得m—-21,

.'.x2-4%+m=x2-4x-21=(x+3)(x-7),

另一個因式為x-7,根的值為-21.

問題：請你仿照以上一種方法解答下面問題.

(1)已知二次三項式/-p%-6分解因式的結(jié)果中有一個因式是I-3,則實數(shù)p

(2)已知二次三項式2?+3x-左分解因式的結(jié)果中有一個因式是2x-5,求另一個因式

及上的值.

12.在“探究性學(xué)習(xí)“小組的甲、乙兩名同學(xué)所進行的因式分解:

甲：x2-孫+4%-4y

=(x2-xy)+(4x-4y)(分成兩組)

=x(孫)+4(x-y)(直接提公因式)

=(x-y)(x+4),

乙：a2-b2-(T+lbc

=a2-(&2+c2-2bc)(分成兩組)

=/-(6-C)2(直接運用公式)

=(a+b-c)(a-b+c)

請你在他們的解法的啟發(fā)下，解答下面各題：

(1)因式分解：a2+b2-1-2ab；

(2)己知a-b=3,b-c—-4,求式子/-女-ab+bc的值；

(3)已知△ABC的三邊長分別是a,b,c,且滿足/+必+2。2=2碇+2兒，試判斷aABC

的形狀，并說明理由.

13.(教材中這樣寫道：“我們把/+2"+d和/-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式”)

如果關(guān)于某一字母的二次多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當

的項，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做

配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多

項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等.

例如:分解因式/+2x-3.

原式=(X2+2X+1)-4—(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)Cx-1).

例如：求代數(shù)式/+4x+6的最小值.

原式=/+4x+4+2=(x+2)~+2.

?；(x+2)22。，

當尤=-2時，?+4x+6有最小值，最小值是2.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：-5=求代數(shù)式x2-6x+12的最小值

為;

(2)若y=-f+2x-3,當x=時，y有最值(填“大”或“小”)，

這個值是;

(3)m2+2m/2+2/i2-6)/+9—0,貝I］用=,n—,若/+29-2孫-

4y+4=0,則爐的值為；

(4)當a,b,c分別為△ABC的三邊長，且滿足a2+b2+c2-6a-Wb-6c-+43=0時，判

斷△ABC的形狀并說明理由；

(5)已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足/+廬=104+8匕-41,且c是△ABC中最長

的邊，求c的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.【解答】解：由條件可知(a+b)2—cr+b2+2ab—Q,

Vab=-11,

.\a2+Z>2+2X(-11)=0,

：.a1+b2=22,

故選：D.

2.【解答】解：(x-1)(尤+2)=x2+x-2,

故m,n的值分別為1,-2.

故選：A.

3.【解答】解：6=5,b-c=-6,

??a-c=-1,

a2-ac-b(a-c)

=a(a-c)-b(a-c)

=(a-c)(a-b)

=5X(-1)

=-5；

故選：C,

4.【解答】解：由題意知，a-b=-1,a-c—-2,b-c--1,

6Z2+Z?2+C2-ab-be-ca

1

=2(a2+b2+c2—ab—be—ca)x)

i

=[2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ca]x

i

=[(a—b)2+(a—c)2+(Z?-c)2]xq

=(1+4+1)X1

=3.

故選：D.

5.【解答]解：由圖2可得(q+/?+c)=a^+b^+c^+2ab+2bc+2ac9

：.(o+b+c)2=?2+/?2+C2+2(ab+bc+ac)=69+2X50=169,

又<Q+Z?+C>0,

a+b+c=13,

故選：C.

6.【解答】解：原方程整理得：(加+2〃)2+2(m+2n)+1=0,

(m+2n+l)2=0,

Z/Z+2H--1,

(m+2n)2024=(7)2024=].

故選：c.

7.【解答】解:7(3尤±4y)2=9/±24孫+16」,

在9x2+/nry+16y2中，加=±24.

故選：D.

二、解答題

8.【解答】解：(1)原式=(m2-2m)+(2n-mn)

=m(m-2)+〃(2-m)

=(m-2)Qm-〃)；

(2)ZXABC是等腰三角形，理由如下：

Va2-b2-ac+bc=0,

(a-b)(a+b-c)=0,

*.*a+b-c>0,

??a-Z?=0,

??a=:b,

???△ABC是等腰三角形.

9.【解答】(1)解：根據(jù)新定義直接計算得尸(236)=23+26+32+36+62+63=242；

(2)證明：設(shè)一個美妙數(shù)機的百位數(shù)為。，十位數(shù)為。，個位數(shù)為c,

則/(加)=F(abc)=10?+Z?+10?+c4-10/7+?+10/?+c+10c+?+1Oc+b=22(〃+b+c),

AF(m)的值一定是11的倍數(shù)；

(3)解：根據(jù)新定義直接計算可得F(赤)=10。+b+10。+7+10b+a+10b+7+

70+a+70+b=264,

??〃+Z?5,

.9.a=l,Z?=4或。=2,6=3或4=3,b=2或。=4,b=l,

???符合題意的數(shù)有147,237,327,417.

10.【解答】解：(1)/-2孫+：/-16

=(x2-2孫+/)-16

=Cx-y)2-42

=(x-y+4)(x-y-4)；

(2)ZXABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：

“4-/?4+Z?2c2-〃2。2=0,

(/-/?4)+(Z?2C2-42c2)=0,

(fl2+Z?2)(/-廿)-c2(〃2-廬)=0,

(]2-廿)(^2+Z?2-c2)=0,

22

a-廿=0或/+.,c=o,

???〃、b、c是△ABC的三邊長,

?'.a>0,b>0,c>0,

:?a=b或a2+b2=c2,

???AABC是等腰三角形或直角三角形.

11.【解答】解：(1)設(shè)另一個因式為x+幾，得/-〃氏-6=(x-3)(x+九),

???當冗=3時,-px-6=0,

即：32-3;?-6=0,

解得：p=l,

故答案為：1；

(2)設(shè)另一個因式為1+小得2f+3x-％=(2x-5)(x+幾)，

當X=趣時，2x(1)2+3x|-fc=0,

解得:左=20,

2^+3^-fc=2x2+3x-20=(2x-5)(x+4),

??.另一個因式為x+4,%的值為20.

12.【解答】解：(1)a2+b2-l-2ab

=c^+b1-lab-1

=(tz-Z?)2-1

=(a-/?+l)Ca-b-1)；

(2)?:a-b=3,b-c=-4,

兩式相加得，a-c=-1,

a-ac-ab+bc

=(a2-ab)-(ac-be)

=a(a-b)-c(a-b)

(.a-Z?)(a-c)

=3X(-1)

=-3；

(3)???△ABC是等邊三角形，理由如下：

d+.+Zc2—2ac+2bc,

(22+Z?24-2C2-lac-2bc=0,

(〃2-2〃。+。2)+(/?2-2/?c+c2)=0,

Ca-c)2+(/?-c)2=0,

???(。-C)220,0-c)220,

??a-c=0,b~c=0,

ct~~Cfb~~Cf

BPa=b=c,

：.AABC是等邊三角形.

13.【解答】解：(1)m2-4m-5—m2-4m+4-9=(m-2)2-32=(m-2+3)(m-2

-3)=(m+1)(m-5)；

x2-6x+12=f-6x+9+3=(x-3)2+3,

??,(x-3)22o,

???當x=3時，f-6x+12有最小值，最小值為3,

故答案為：(m+1)(m-5),3；

(2)y=~J?+2x-3=-(/-2x+l)-2=-(x-1)-2,

???(X-1)22。,

-(X-1)2?0,

???當兀=1時，-7+21-3有最大值，最大值為-2,

故答案為：1,大，-2；

(3)