2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：最值問題之費(fèi)馬點(diǎn)（含答案）

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練

最值問題之費(fèi)馬點(diǎn)

(}巧Y

1.在邊長(zhǎng)為4的正VABC中有一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC,求—AP+8P+JPC的最小

(22J

值.

2.在ABC。中，ZABC=45°,連接AC,已知AB=AC=后，點(diǎn)￡在線段AC上，將線

圖1圖2圖3

(1)如圖1,線段AC與線段BD的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接E尸，求線段E歹的長(zhǎng)度；

⑵如圖2,點(diǎn)G為。C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，4更得GC=EC,連接FG交A。于點(diǎn)〃，求證：

亞AH=CD;

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P,當(dāng)"P+CP+&3P最小時(shí)，求△田刃的面積.

3.VA3c中，4=60°.

。

C

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若AC>3C,CD平分NACB交AB于點(diǎn)。，且=證明：NA=30。；

(2)如圖2,若AC<BC,取AC中點(diǎn)E,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至CP,連接■并延

長(zhǎng)至G,使BF=FG,猜想線段AB、BC、CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(3)如圖3,若AC=3C,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，將沿直線AB翻折至ABQ,當(dāng)

Bp

3AQ+2BQ+岳CQ取得最小值時(shí),直接寫出訪的值.

4.如圖，正方形438的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+若PC的最小值.

AD

P

BC

5.【問題提出】

D

圖1圖2

（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，A3E是等邊三角形，〃■為對(duì)角線8。（不含3點(diǎn)）

上任意一點(diǎn)，將3M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM,CM.若連接MN,

則8MN的形狀是.

（2）如圖2,在皿ABC中，ABAC=9Q°,AB+AC=1O,求BC的最小值.

【問題解決】

（3）如圖3,某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園ABC。，A8+BC=6千米，

ZABC=60°,公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂場(chǎng)E,分別從48、C向游樂場(chǎng)E修三條AE,BE,CE,

求三條路的長(zhǎng)度和（即AE+3E+CE）最小時(shí)，平行四邊形公園A2CZ）的面積.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)。在x軸的正半軸上，ZODB=30°,

0E為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線>=加+走x+c與x軸相交于A、P兩點(diǎn)（A

6

在P的左側(cè)）.

(1)求拋物線的解析式；

(2)等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)P為△AB。內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，^m=PA+PB+PO,請(qǐng)直接寫出相的最小值，以及加取

得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng).

7.【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：

求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為"費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖，點(diǎn)尸是VA3c內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到APC1,則可以構(gòu)造出等

邊APP,,得=CP=CP',所以PA+P3+PC的值轉(zhuǎn)化為尸P+P3+P'C'的值，當(dāng)

B,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，線段8c的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為VABC的"費(fèi)馬點(diǎn)”.

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖1,點(diǎn)P是等邊VABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,將PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到APC,.

A

①若PA=3,則點(diǎn)尸與點(diǎn)P之間的距離是:

②當(dāng)PA=3,PB=5,PC=4時(shí)，求NAP'C'的大?。?/p>

(2)如圖2,點(diǎn)尸是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，且ZBAC=90。，AB=6,AC=20^PA+PB+PC

的最小值.

8.背景資料：在已知VABC所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最

小.這個(gè)問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被

人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖1,當(dāng)V"C二個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=Z.CPB=120°時(shí)，貝!JPA+尸3+PC取得最小值.

A

(1)如圖2,等邊VA3C內(nèi)有一點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求ZAP3

的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將48尸繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時(shí)ACP'^ABP

這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段尸4、尸8、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出ZAPB=

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊

在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與VA8C的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部

的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題.

(2)如圖3,VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在VA8C外側(cè)作等邊三角形ABB',連接CB',求

證：CB'過VA3c的費(fèi)馬點(diǎn).

⑶如圖4,在RTABC中，ZC=90°,AC=1,/A5C=30。，點(diǎn)P為VA8C的費(fèi)馬點(diǎn)，連

接"、BP、CP,求PA+P3+PC的值.

⑷如圖5,在正方形ABCO中，點(diǎn)￡為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE,且邊長(zhǎng)AB=2；

求AE+BE+CE的最小值.

9.如圖，△48C中，/8/C=45°,48=6,/C=4,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，求26BP+百AP+3PC

最小值

10.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC(不含點(diǎn)A)上任意一點(diǎn)，AB=2板;

(1)如圖1,將AADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCF,連接EF；

①把圖形補(bǔ)充完整(無需寫畫法)；②求E尸的取值范圍;

(2)如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

圖1圖2

參考答案

1.解：如圖所示，△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A'P'C,取P'CAC的中點(diǎn)M,N,

連接PM,MN,

CP=CP',AP=A'P',AC=AC=4,ZPCM=90°,CM=P'M=-P'C,

2

在RtPCM中，CM=^PC,PM7PC?+CM?，

/.PM=/C2+&PC)=曰PC,

在APC中，點(diǎn)M,N是P'C,AC的中點(diǎn)，

：.MN=-A'P',且AP=A'P,

2

：.MN=-AP,

2

：.-AP+BP+—PC=BP+PM+MN<BN,

22

當(dāng)點(diǎn)民P,M,N共線時(shí)，3尸+PM+MN取得最小，最小為3N的值，

如圖所示，過點(diǎn)N作NG1.3c延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???點(diǎn)N是4C的中點(diǎn)，

CN」AC=LAC=2,

22

?；VABC是等邊三角形，△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A'P'C,

ZACB=60°,ZACA'=90°,

ZNCG=180°-ZACB-ZACA'=30°,

二NG=2CN=i，CG=JcM-NG?=也2_12=g,

/.BG=BC+CG=4+6,

在RtZ^BNG中，BN2=BG2+NG2=(4+可+F=20+,

，i-\2

-AP+BP+—PC的最小值為20+8石.

122J

2.(1)解：過點(diǎn)。作DGLBC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

ZACB=ZABC=45°,ABAC=90°,

BC=V2AB=A/2XV2=2，

ABCD,

/￡>CG=ZABC=45。，CD=AB=C，ED=-BD,

2

DG1BC,

DG=CG=~CD=~1V21,

22

在RtZ^BGO中，BG=BC+CD=2+1=3,BD=^BG2+DG2=732+12=V10>

；.ED=LBD=LM

222

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ED=FD,EDLFD,

；?瓦>尸是等腰直角三角形，

AEF=y[2ED=V2?—V5,

2

故答案為：EF=4S,

（2）解：連接AG,AF,

G

VABAC=90°,AB//CD,

：.AC±GD,?GCA?ECD90?,

又?；GC=EC,AC=DC,

：.GCA^ECD(SAS),

GA=ED,2GAe?EDC,

'：ED=FD,ED1FD,

：.GA=FD,?AGC?GDF90??GAC?EDC90?180?,

GA//FD,

/.四邊形AG￡>/是平行四邊形，

：.AH=-AD=~?21,

22

:.垃AH=6x1=CD，

尬AH=CD，

(3)解：將BPC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△BP。，連接C'H,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，OP=CP,BP'=BP,NPBP=90。,

P汨=4^BP，

HP+CP+-JlBP=HP+CP'+P'P<C'H，當(dāng)PP在線段C'H上時(shí)取得最小值,

延長(zhǎng)C'B與DA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I,過點(diǎn)B作即人「加于點(diǎn)J,連接BH,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=BC=2,ZPBP,=90°,

-：AD//BC,

：.ZAffi=90°,?IAB?ABC45?,

AIB=IA=—AB=—?V21,

22

在Rt/C以中，/Cii=/B+8C=1+2=3,IH=IA+AH=1+1=2,

Cijf=y]lC2+IH2=打+2?=V13，

SBC值=gc電？BJ,即：SBC*=g醋歷=；倉(cāng)必2,解得:or_4V13

DJ---------，

13

在RtIBH中,BH=yjlB2+IH2=Vl2+22=A/5，

■1倉(cāng)網(wǎng)1里9

:?SHPB=；PH?BJ

2131313

故答案為：SHPB

3.(1)證明：過點(diǎn)。分別作3C,AC的垂線，垂足為E,F,

A

DEIBC,DF1AC,

：.DE=DF,

又?.?ZB=60°,

ADE=BD^n60°=—BD,刻DE=DF="BD,

22

又?:AD=y/3BD,

叵RD

：...DE丁口1

sinA=-----=—j==—

ADV3BD2

：.ZA=30°；

(2)BC=AB+CG,理由如下:

延長(zhǎng)B4,使得BH=BC,連接EH,CH,

H

ZABC=60°,BH=BC,

;.VH〃為等邊三角形,

CB=CH,ZBCH=60°,

?；CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至CF,

CE=CF,ZECF=60°,則ZBC”—ZACB=/EC/一ZAGB,

???NECH=/FCB,

.?.ABCF^AHCE(SAS),

BF=HE,NBFC=/HEC,則ZAEH=/CFG,

,:BF=FG,

：.BF=HE=FG,

又YE為AC中點(diǎn)，

AE=CE=CF,

：.AA￡H^ACFG(SAS),

/.AH=CG,

BC=BH=AB+AH=AB+CG；

(3)VZABC=60°,AC^BC,

???VA3C是等邊三角形，

33

如圖，作CMLC4,且CM=]C4,作CNLCQ,且CN=]CQ,

CMCN3i-----------Jo

則司=司=5，QN="0+CN2=%CQ,

則ZACM=ZQCN=90°,

；.ZACM-ZACN=ZQCN-ZACN,則ZACQ=ZMCN

.?.AACQsAMCN,

MNCM3an3

通=育=5,即：MN—AQ,

3AQ+2BQ+V13Ce=2^AQ+BQ+半CQ\=2(MN+BQ+QN)>IBM

即：點(diǎn)。，N都在線段上時(shí)，34。+23。+后（7。有最小值，如下圖,

過點(diǎn)C作CRL瀏/,過點(diǎn)M作MTL3C交BC延長(zhǎng)線于T,

則/BRC=/B770=9O。，

32

CR=CQ,sinZCQN=~r=CQ,QR=CQcosZCQN=-~r=CQ,

J13V13

又?:/CBR=NMBT,

：.叢CBRs4MBT,

.BRBT

??赤一而‘

???VABC是等邊三角形，設(shè)3C=Q

3

???ZACB=60°,AC=BC=a,則CM=—a,

2

*.?ZACM=90°,

ZMCT=30°,則CT=CM-cos30°=空a,MT=CM-sin30°=-a,

44

BQ+^=CQa+^a

J13_4

則由一=——可得:

33

CRMT^CQ-a

V134

整理得：平器+BQ=2岳+3區(qū)

~CQ~13

由翻折可知，BP=BQ,

.BPBQ2如+3庖

''~CQ~~CQ~13

4.解：延長(zhǎng)。C到"，使得C"=23C=8,則BH=4右，在/或汨的內(nèi)部作射線B7,使

得NPBJ=NCBH,使得BJ*BP，連接尸J，JH,AH.

BCBH

JBPsHBC,

..ZBPJ=ZBCH=90°,

PJ=y/BJ2-PB2=7(V5PB)2-PB2=2PB,

PBBC

ZPBC=ZJBH,——=——,

BJBH

,PBCsJBH,

...PC=PB=—y[5,

JHBJ5

:.HJ=45PC

:.PA+2PB+后PC=PA+PJ+HJ，

PA+PJ+JH>AH,

PA+2PB+45PC>742+122=4710，

:.PA+2PB+用C的值最小，最小值為4M.

5.(1)證明：8MN的形狀是等邊三角形，理由如下;

由旋轉(zhuǎn)知，BN=BM,NMBN=60。

45跖V為等邊三角形

故答案為：等邊三角形；

圖1

(2)解：設(shè)4B=a,

■：AB+AC=W,

*.AC=1Q-AB=\Q—a,

在RtA42c中，根據(jù)勾股定理得,

BC2=AB2+AC2=a2+(10-a)2

=2a2-20a+100

=2(a-5)2+50,

A2(a-5)2+50>50,BPBC2>50,

BC>5y/2,

即2c的最小值為5a;

(3)解:如圖3,

將)5月繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

:.NAFB=/AEB,AB=A'B,A'E'=AE,BE'=BE,ZEBE'=60°,

:.AEBE為等邊三角形,

：.ZBE'E=ZBEE'=60°,EE'=BE,

：.AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE,

要/E+2E+CE最小，即點(diǎn)E',E,C在同一條線上，即最小值為"C,

過點(diǎn)/,作NELC8,交的延長(zhǎng)線于尸，

在RtAJ尸8中，/A5尸=180°-ZABAZABC=60°,

設(shè)BF=x,則/'B=2x,

根據(jù)勾股定理得，A'F=y/3x,

?：AB=A'B,

.\AB=2x,

?：AB+BC=6,

.\BC=6-AB=6-2x,

CF=BF+BC=6-x,

3

在RtA4尸C中，根據(jù)勾股定理得，A'C2=A'F2+CF2=3x2+(6-x)2=4(x--)2+27,

3

當(dāng)7,即AB=2x=3時(shí)，A，最小，

2

此時(shí)，8c=6-3=3,A'F=y/3x=—,

2

平行四邊形公園ABCD的面積為3x述=地(平方千米).

22

6.(1)過E作EGXOD于G

VZBOD=ZEGD=90°,ZD=ZD,

AABOD^AEGD,

,點(diǎn)B(0,2),ZODB=30",

可得0B=2,0D=2怎

為BD中點(diǎn)，

.EGDE_GD\

BO~DB~OD~2

：.EG=1,GD=V3

：.OG=y/3

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(VL1)

..?拋物線安爾+^^+恪過劣。？、E(后1)兩點(diǎn)，

=可+gx用2.

可得a=-g.

拋物線的解析式為＞=-1/+迫彳+2.

-26

(2)..?拋物線與無軸相交于A、F,A在歹的左側(cè)，

二A點(diǎn)的坐標(biāo)為卜君,0).

過E作EGLx軸于G

AG=2A/3,EG=1,

在AAGE中，AAGE=90°,

AE=J(2@2+F=屈.

過點(diǎn)。作OKLAE于K,

可得^AOKs△AEG.

OKEG

~AO~^E

OK1

石一g

/.AK=JAO"-OK?=.

13

?.?△o兒W是等邊三角形，

ZNMO=60°.

（3）如圖;

以AB為邊做等邊三角形AO-B,以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB-；

易證OE=OB=2,ZOBE=60°,則△OBE是等邊三角形；

連接00，、BB\AE,它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）;

VOA=OB',ZB,OB=ZAOE=150°,OB=OE,

.?.△AOE0ZXB'OB；

.,.ZB,BO=ZAEO；

VZBOP=ZEOP,,而NBOE=60°,

.*.ZPOR'=60o,

???△PO,為等邊三角形，

.*.OP=PP/,

PA+PB+PO=AP+OP'+P'E=AE；

即rn最小二AE二JiW

如圖；作正AOBE的外接圓。Q,

根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知NBPO=120。，則NPBO+NBOP=60°,而NEBO=NEOB=60。；

.??ZPBE+ZPOE=180°,ZBPO+ZBEO=180°；

即B、P、0、E四點(diǎn)共圓；

易求得Q(―,1),則H(冬區(qū),0)；

33

..加=也；

3

由割線定理得：AP?AE=OA?AH,

即：AP=OA?AH+AE=gx/i+m=XIl

313

故：相可以取到的最小值為而

當(dāng)相取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為豆1

13

7.(1)①如圖，將PAC繞4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

貝1JAP=AT,ZPAP'=60°,

APP為等邊三角形，

PP'=PA=3；

②?.?△N8C為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAP+ZR4C=60a,

又???APP是等邊三角形，

，ZB4C+ZCAP'=60°,

：.ZBAP=ZCAP',

AB=AC

在ZVLB尸與△人(79中，＜ZBAP=ZCAP',

AP=AP'

：.AABP咨LACP，CSAS),

BP=CP'=5,PP'=3,PC=4,

/?PP'-+PC2=CP'2,/CPP'=90°,

ZAPC=ZAPP'+ZCPP'=60O+90o=150°,

又：旋轉(zhuǎn)，ZAP'C=ZAPC==150°；

(2)如圖，將ZUPC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到旋P'C,

在RtABC中，BC=y/AB2+AC2=J62+(2喻=473,

AC=-BC,:.NABC=30°,ZACB=60°,

2

:.ZACP+ZBCP=60°,

又ZACP=ZACP',ZACP+ZACP=60°,

AACP+AACP=60°,BCP+ZACP+ZACP+ZACP=120°,

過A'作A'DLBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

則ZACD=ZBCD-NBCA=180。-120。=60°,

:.ZCAD=30°,

AC=AC=2區(qū):.CD=^3(30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半),

AD=YIAC2-CD2=3>

■ZPCP'=60°,PC=CP',CPP'為等邊三角形，

當(dāng)B、P、。、H四點(diǎn)共線時(shí)，PA+P3+PC和最小，

在R/7XBOA中，BD=BC+CD=4舟道=5區(qū)DN=3,

BA'=ylBD2+DA'2='卜可+32=25/21,

24+尸8+/3(7的最小值為2萬'.

8.(1)解：連結(jié)PP,

,/ABP△ACP,,

ZBAP=ZCAP',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

???△/BC為等邊三角形，

ZBAC=60°

：.ZPAP'^ZR4C+ZCAP'^ZR4C+ZBAP=60°,

.?.△/PP為等邊三角形，

,：.PP'=AP=3,ZAP'P=60°,

在△PPC中，尸C=5,

PP'-+P'C2=32+42=25=PC2,

...△PPC是直角三角形，ZPP'C=90°,

：.ZAP'C^ZAPP+ZPPC=60°+90o=150",

ZAPB=ZAP'C=150°,

故答案為150°；

A

(2)證明：將△/LP8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△/夕P,連結(jié)PP,

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

?：NR4P'=/BAB'=60°,

△NPP和夕均為等邊三角形，

：.PP'=AP,

??PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

???點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)尸'，點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^=CB',

.?.點(diǎn)P在C9上，

C9過VA8C的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)解：將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△NP夕，連結(jié)89,PP',

：.4APB咨AAPE,

：.AP'=AP,AB'=AB,

,：ZPAP'=ZBAB'=60°,

：.ZUPP和△NB夕均為等邊三角形，

：.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=G0°,

'：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

；?點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)P,點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小=CB',

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

：.AB=2AC=2,根據(jù)勾股定理BC=^JAB2-AC2=亞二F=G

：.BB'=AB=2,

?.?/C2B'=//BC+/ABB'=30°+60°=90°,

在RtAC88'中，B'C=VfiC2+BB'2=J(用+2?=J7

PA+PB+PC最上=CB'=不；

(4)解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連結(jié)EE。BB',過點(diǎn)"作3戶，48,交AB

延長(zhǎng)線于尸，

ABCE^ACE'B',

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

?：/ECE?/BCB=6。。,

：.與△BC夕均為等邊三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,ZB'BC=60°,

'：AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

...點(diǎn)C,HE,點(diǎn)點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^AB

,/四邊形ABCD為正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

：.ZFBB'=180°-ZABC-ZCBB'=180°-90°-60°=30°,

\'B'F±AF,

2222

：.BF=^BB'=^x