2025年山東淄博高三一模數(shù)學(xué)試卷（含答案詳解）

淄博市2024-2025學(xué)年度高三模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2、回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)

號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合人二,產(chǎn)＜x},2={y|y=2x,x＞。},則Alj3=().

A.RB.[O,-H?)C.(0,1)D.[0,1]

2.若復(fù)數(shù)z滿足.=|3-4i|,則同=()

A.572B.5石C.10V2D.125

3.已知向量Z===則向量々在向量工上的投影向量為()

叵V2V2應(yīng)

4.已知圓錐的母線長為6,其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為半的扇形，則該圓錐的表面積為

A.8兀B.12TIC.16TID.24兀

5.某學(xué)校有A,8兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天

去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去8餐廳，那么第2天去A餐廳

的概率為0.4.則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為()

A.0.24D.0.52

6.已知函數(shù)〃無)滿足〃x)=2〃x-l),當(dāng)0Wx<l時(shí)，f{x)=T,則川(^18)=()

A.2B.4C.8D.18

7.已知函數(shù)〃x）=<22sin2,0~X~2,若存在實(shí)數(shù)4、彳2、鼻且使得

-x+1,x<0

/。）=〃々）=/（凡）,則占/（，）+切'（"）+%/色）的取值范圍為（）

（91,1「99]「9一

A-[~^2]B.（-8,2]C,[2q

8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線.例如曲線：,1"+卜1"=1（〃>0）,當(dāng)〃=2時(shí)，是我們熟知

922

的圓；當(dāng)”=（時(shí)，曲線E：|x「+|y「=l是形狀如"四角星''的曲線，稱為星形線，常用于超

輕材料的設(shè)計(jì).則下列關(guān)于曲線E說法錯(cuò)誤的是（）

A.曲線E關(guān)于X軸對稱

B.曲線E上的點(diǎn)到x軸，y軸的距離之積不超過:

O

C.曲線E與k|+H=l有8個(gè)交點(diǎn)

D.曲線E所圍成圖形的面積小于2

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選

對但選不全的得部分分，有選借的得0分.

9.隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布令函數(shù)“x）=P（X2x）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.f（l）=1B./⑺是增函數(shù)

C.“X）是偶函數(shù)D.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱

10.如圖，棱長為2的正方體ABC。-A瓦GR中，P，。分別是棱CG，棱BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

M滿足碗=4次+〃西，其中則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

B.若4=〃，則三棱錐耳-AMC的體積為定值

C.若〃=[O4/IW1,則直線PM與直線BC所成角的最小值為60°

D.若動(dòng)點(diǎn)〃在三棱錐。-。尸。外接球的表面上，則點(diǎn)M的軌跡長度為血兀

11.過點(diǎn)P（TO）向曲線?！埃?-2加+2y2=O（〃eN*）引斜率為心小“>0）的切線/“，切點(diǎn)為

月（乙，%），則下列結(jié)論正確的是（）

2025

Ak=n

A-'A/4^2B.ZIn%=-In2026

z=i

C.數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S"="+"2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)為正數(shù)，首〃項(xiàng)和為S“，若S3=13R=9,則公比好.

13.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為q,b,c,sin28=gbcosB,且角8為銳角，

fe=8,sinA=1,貝|sin（23+C）的值為.

14.如圖，在3x3的方格中，每一行隨機(jī)設(shè)置1個(gè)陷阱（起點(diǎn)和終點(diǎn)處無陷阱）.玩家從起

點(diǎn)方格出發(fā)，每次可以向右或向下移動(dòng)一格到達(dá)下一格.若遇到含有設(shè)置陷阱的方格，則被

重置回起點(diǎn)，然后該玩家會尋找未走過的路線繼續(xù)挑戰(zhàn)，直至到達(dá)終點(diǎn).若重置若干次以后

始終未能到達(dá)終點(diǎn)，則挑戰(zhàn)失敗.該玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況，設(shè)置若干站點(diǎn)檢測水質(zhì)指數(shù)（“M指數(shù)”.），以這些站

點(diǎn)所測指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報(bào)此大型水域的水質(zhì)情況.下圖是2024年11月份30

天內(nèi)該大型水域指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：[12,20）,[20,28）,

[28,36),[36,44),[44,52),[52,60),[60,68),[68,76].

U122028364452606876”指數(shù)

⑴規(guī)定：指數(shù)”不超過50為“優(yōu)質(zhì)水源日”，否則稱為“非優(yōu)質(zhì)水源日”.對該地區(qū)50名

外出郊游的市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表:

男市女市合

民民計(jì)

優(yōu)質(zhì)水源日出游1230

非優(yōu)質(zhì)水源日出

6

游

合計(jì)50

請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)。=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān)?

⑵從指數(shù)”在第一組［12,20)和第二組［20,28)的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進(jìn)行評價(jià)，記

這3天的數(shù)據(jù)來自第一組的數(shù)據(jù)有X天，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：______如-bcf_______

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知雙曲線=離心率6=半，點(diǎn)君,，在雙曲線上

(1)求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)號B分別是雙曲線C的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F?的直線/與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若

試卷第4頁，共6頁

△A3月的周長為12,求直線/的方程.

17.如圖，在四棱錐S-ABCD中，BC//AD,AB=3C=1,點(diǎn)E在&￡＞上，且

SE±AD,AE=1,DE=2.

BC

(1)點(diǎn)尸在線段S￡上，且3尸〃平面SCD,證明：尸為線段SE的中點(diǎn)；

⑵若，平面SAD,SD與平面SAB所成的角的余弦值為叵,求SD的長度.

10

18.已知函數(shù)/(x)=ln(l+X)-X.

⑴求了(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：xZO時(shí)，；

/1、n+a

⑶若不等式1+訝We對任意的“eN*都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，求整數(shù)。的最

大值.

19.一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)羽丁都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

自①并且對'的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)A(xy)都在這條曲線上，那

么方程①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)％y的變數(shù)/叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對

于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程，例如圓，+22=產(chǎn)的參數(shù)

2

方程Ix為=rco為sc?,參數(shù)),橢%X+*v2心。＞。)的參數(shù),方程為：1\x=小acos0。,一

754

為參數(shù)).動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)方(4,0)的距離和點(diǎn)M到定直線/：x=—的距離的比是常數(shù)二,

點(diǎn)M的軌跡方程為C.

⑴求曲線C的普通方程，寫出。的參數(shù)方程(不證明);

ccBoc—B

(2)求證:sincr+sin/7=2sin------cos......-

22

(3)定點(diǎn)4在。上；左為常數(shù)且左＞0,按如下規(guī)則依次構(gòu)造點(diǎn)以522),過點(diǎn)做斜率%的

直線與C交于點(diǎn)Q1，令匕為QT關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，記匕的坐標(biāo)為(七,%),證明:

6+16+2〃匕匕+3.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】根據(jù)集合的交集計(jì)算和二次不等式以及指數(shù)函數(shù)的不等式解法即可求解.

【詳解】4=?<尤}={#2-x<()}={尤<0}={尤|04尤<1},

2={y|y=2，,x>o}={小>1},

Alj3=[0,+CO),

故選：B.

2.B

【分析】據(jù)復(fù)數(shù)的模長結(jié)合乘法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)，再由共輾復(fù)數(shù)的概念和模長公式即可求解.

【詳解】^r=|3-4i|=5,貝|z=5(2+i)=10+5i,貝陵=10-5i,貝U同=J100+25=56.

故選：B.

3.A

【分析】設(shè)出工的坐標(biāo)，利用給定條件得到入再利用投影向量公式求解即可.

【詳解】設(shè)c=(x,y),因?yàn)椤?(1,0)石=(0,1),分。=尻。=1,

Ixx+Oxy=1x=l

所以,解得

Oxx+lxy=1y=i

即向量Z在向量工上的投影向量為(g,g).

故選：A.

4.C

【分析】根據(jù)扇形弧長求底面半徑，再代入圓錐的表面積公式，即可求解.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/=6,底面半徑為「，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,

則二|￡=2"，解得廠=2,所以該圓錐的表面積為nx22+：x三x6?=16兀.

故選：C

5.C

【分析】根據(jù)全概率公式，分別計(jì)算出第一天去A餐廳且第二天去A餐廳的概率，以及第一

天去3餐廳且第二天去A餐廳的概率，然后將這兩個(gè)概率相加，即可得到王同學(xué)第二天去A

餐廳用餐的概率.

答案第1頁，共17頁

【詳解】已知王同學(xué)第一天隨機(jī)選擇一家餐廳用餐，那么去A餐廳的概率為P（AJ=；

（因?yàn)橹挥蠥、3兩家餐廳，隨機(jī)選擇一家，去每家的概率都是g）.

又已知如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為尸（&IA）=0.6

（尸（41A）表示在第一天去A餐廳的條件下，第二天去A餐廳的概率）.

根據(jù)條件概率公式P（MN）=P（N）P（M|N）

（其中M、N為事件，P（MV）表示河與N同時(shí)發(fā)生的概率），

可得第一天去A餐廳且第二天去A餐廳的概率為：

P（A4）=P（A）P（4IA）=；xo.6=o.3

同理，第一天去B餐廳的概率為尸（4）=g.

已知如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為尸（4I月）=0.4

（P（4］耳）表示在第一天去8餐廳的條件下，第二天去A餐廳的概率）.

根據(jù)條件概率公式，可得第一天去3餐廳且第二天去A餐廳的概率為：

P（44）=P（2］）P（4l4）=；x0.4=0.2

因?yàn)椤暗谝惶烊餐廳且第二天去A餐廳”與“第一天去B餐廳且第二天去A餐廳”

這兩個(gè)事件是互斥的（即這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生），

所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式P（MDN）=P（M）+P（N）

（其中M、N為互斥事件，尸（”uN）表示V或N發(fā)生的概率），

可得王同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為：

p（4）=尸（44）+=0.3+0.2=0.5

故選：C

6.C

【分析】根據(jù)/（x）=2/（x-1）,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，將〃1隰18）轉(zhuǎn)化到0Vx<l里面計(jì)算

即可.

【詳解】因?yàn)?=log39<log318<log327=3,所以O(shè)vlogslS-2<1.

22Io&Ifc2

因?yàn)?⑺=2/（x—1）,所以/（log318）=2/（log318-2）=2x3=8.

故選：C.

答案第2頁，共17頁

7.D

【分析】作出圖形，利用正弦型函數(shù)的對稱性得出無2+W=2,可得出

%/(%)+%/(%)+工3/(忍)=-X；-%+2,求出占的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可

求得所求代數(shù)式的取值范圍.

【詳解】如下圖所示：

令=]+E(左eZ),解得x=2%+l(左eZ),

故當(dāng)xe[0,2]時(shí)，對稱軸為直線尤=1,則%+忍=2,

因?yàn)?(%)=/(%2)=/(W)，所以,%/&)+&/(%)+W/(忍)=/(刈(芭+2),

又因?yàn)?(%)=-%+1，

V(%)+%/(動(dòng)+演/(電)=/(石)(％+2)=(-%+1)(%+2)=-%2-%+2

1

由/&)=一玉+1?1,2]可得不可一1,0),則貝J°4[x]+g)

(1y99

所以,xAf(x()+x2/(x2)+x3/(xj)=-I%]+—I+—e2,—.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性以及函數(shù)解析式將所求代

數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)量的函數(shù)，求出變量范圍后，轉(zhuǎn)化為值域問題求解.

8.C

22

【分析】對A,在方程國8+?口=1中，以x，-y替代蒼y方程不變，可判斷；對B,由基本

不等式求解判斷；對C,易得曲線E在W+|y|=l的內(nèi)部，作出圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；對D,

答案第3頁，共17頁

易求W+|y|=l圍成的正方形面積為2,又曲線E在W+|y|=l的內(nèi)部，得解.

22

【詳解】對于A,在方程即+即=1中，以羽-y替代羽y方程不變，所以曲線E關(guān)于x軸

對稱，

同理，以-x，y；-蒼-y替代％y方程均不變，所以曲線￡關(guān)于y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，如圖,

故A正確；

對于B,曲線E上點(diǎn)(x,y)到x軸的距離為,到y(tǒng)軸的距離為國，

由"+|y|i=l>2，|忘丁=2^(國而，當(dāng)且僅當(dāng)國=3時(shí)取等號，

.,.國卜歸:，故B正確；

O

2222

對于C,在第一象限內(nèi)，|市+|或=聲+,=1〈尤+y,所以曲線E在直線x+y=i的下方,

所以兩者有4個(gè)交點(diǎn),分別為(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1),故C錯(cuò)誤;

對于D,如圖，|M+|y|=l圍成的正方形面積為&X0=2，

所以曲線E圍成圖形的面積小于2,故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程分析曲線E在第一象限的性質(zhì).

9.AD

【分析】由正態(tài)分布可求得7(1)=P(X21)=g,判斷A；易得/(X)在(1,+8)上是減函數(shù),

答案第4頁，共17頁

可判斷B；計(jì)算可判斷C；證明/（力+〃2-x）=l可判斷D.

【詳解】對于A,因?yàn)樗?（1）=P（XN1）=；,故A正確；

對于B,x>l,當(dāng)x增大時(shí)，/（無）=P（X2x）減少，

所以/（x）在（1,+8）上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對于C,7（1）=P（X>1）==P（X>-1）>1,故C錯(cuò)誤；

對于D,若/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則/（x）+/（2—x）=l,

因?yàn)閄服從正態(tài)分布N,；；所以/（尤）關(guān)于x=l對稱，

所以P（X2x）=P（XW2f）,

則f（x）+/（2-x）=P（XNx）+P（XN2-x）=P（XV2-x）+P（XN2-x）=l,故D正確.

故選：AD.

10.ABD

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法可證明CM，。片判斷A,若幾=〃，點(diǎn)M在直線可得體積為定值判斷B；上求得

直線PM與直線BC所成角的最小值判斷C；確定外接球的球心，進(jìn)而軌跡的周長判斷D.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,DC,D2所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),42,0,0),2(0,0,2),4(2,2,2),C(0,2,0),

所以次=(2,0,0),9'=((),0,2),

所以兩=4次+〃困=2(2,0,0)+〃(0,0,2)=(240,2〃)，即M(22,0,2//),

答案第5頁，共17頁

所以函=(22,-2,2〃)，又鬲=(2,2,2),

所以國?函=24?2+(—2>2+2〃?2=42—4+4〃=4(；1+〃)-4=0,

所以力瓦，所以CM，。片，故A正確；

因?yàn)獒?〃，力訪=2次+〃西，所以點(diǎn)Af在直線上，

又因?yàn)锳5〃A2〃OC,AiBl=AB=DC,所以四邊形片是平行四邊形，

所心AOIIAC,又4。0平面耳AC,BQu平面耳AC,所以4。//平面耳AC,

所以“到平面片AC的距離為定值，又△與AC的面積為定值，

所以三棱錐用-AMC的體積為定值，故B正確;

點(diǎn)尸為CG的中點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,2,1),點(diǎn)河的坐標(biāo)為(22,0,1),

向量兩=(24-2,0),向量而=(-2,0,0),

設(shè)直線尸河與直線8c所成的角為

[PM-BC\

|-4214

COS0=

■BCV4A2+4-2VA2+1

又因?yàn)?W/W1,當(dāng)4=1時(shí)，

即直線PM與直線BC所成角的最小值為45。，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)槿忮FC-OP。即為三棱錐尸-CDQ,又底面ACDQ是直角三角形,

過DQ的中點(diǎn)N作。N，平面CDQ,0是三棱錐C-DPQ外接球的球心,

因?yàn)镻C,平面CDQ,所以O(shè)N=：PC=；,又DQ3+f=小，

所以三棱錐JOPQ外接球的半徑r=曰］+g：=手，

因?yàn)辄c(diǎn)M在平面ADR4內(nèi)，又在三棱錐C-。尸。外接球的表面上,

所以M的軌跡是平面ADD^截三棱錐C-。尸。外接球的截面圓,

又易得。到平面ADRA的距離為1,所以截面圓的半徑為

答案第6頁，共17頁

所以M的軌跡的周長為2TIXY^=J%，故D正確.

2

故選：ABD.

11.ABD

【分析】設(shè)直線/〃：y=幺(x+l),方程聯(lián)立由A=o判斷A；可得％=—、，%=挈匕

n+1Y2(〃+l)

y21

從而結(jié)合累加法求和可判斷B；由與=〃+彳，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可判斷C；令

X"2

f(x)=x+COsx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得/(元)在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而可判斷D.

【詳解】設(shè)直線4：y=K,(x+l),聯(lián)立/一2依+2;/=0,

得(1+2k；卜？+(4朽一2”卜+2k；=0,

則由△=0,即△=(4B-2n)2-8%(1+2片)=0,

fl

解得.而花(負(fù)值舍去),故A正確;

一n—2k^n,公\nsjln+X

可得笫=%"(I+X")=

&(n+1)，

202520251「=1/+1/+…+ln型空=」

所以￡1叫=￡=-ln2026,故B正確;

Z=1Z=1i+\2320262026

n2，故C錯(cuò)誤;

=-------1-n

2

所以T—+COS1

V2y?J2"+1，

設(shè)/(x)=x+cos無，貝!!/'(x)=l-sinxNO,

可得/(x)在R上單調(diào)遞增,

貝!]xe(0,+co)時(shí)，/(x)=x+cosx>〃0)=l,

故D正確.

故選：ABD

答案第7頁，共17頁

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出切線方程，方程聯(lián)立由△=(),得出%=—

n+1

%=喘:1'進(jìn)而判斷各選項(xiàng).

12.3

【分析】根據(jù)S3的定義以及等比數(shù)列的定義，建立方程，可得答案.

【詳解】由邑=4+。2+。3，則邑一。3=。1+%=4,

由a3=a2q,則與+幺=4,

QQ

整理可得4才_%—9=0,分解因式可得(W+3)(4—3)=。，

3

解得x=3或一:(舍去).

4

故答案為：3.

133-80

,15

【分析】先根據(jù)二倍角公式求出cos3的值，進(jìn)而求出sing的值，再利用正弦定理求出。的

值，判斷A的范圍并求出cosA的值，最后根據(jù)三角函數(shù)的兩角和公式求出sin(2B+C)的值.

【詳解】已知5皿25=^^853,根據(jù)二倍角公式sin25=2sinBcos15,則有

2sinBcosB=LeosB.

5

因?yàn)?為銳角，即cos3w。，等式兩邊同時(shí)除以cos5可得：2sin5=-b.

5

已知6=8,將其代入2sin2=g6可得：2sinB=1x8,解得sinB=4

5,

因?yàn)?為銳角，根據(jù)sin?3+cos?3=1,可得cos8=Jl-sin?B=J-(i)2=^=r

8xi

z7h14bsinA_3_10

由正弦定理——=——，已知》=8,sinA=—,sinB=-,則“=

sinAsmB35sinB-4-3

5

因?yàn)椤?g<6=8,根據(jù)大邊對大角可知A<8,又因?yàn)?為銳角，

所以A也為銳角.

根據(jù)sin?A+cos2A=1,可得cosA=Vl-sin2A=-(j)2=*32

因A+6+C=兀，以2B+C=7i+B—A-9

則sin(2B+C)=sin(兀+B-A)=-sin(B-A)

答案第8頁，共17頁

42A/231]3-8^2

=-(sinBcosA-cosBsinA)=一—X------------------X—

5353J15

故答案為：士*亞

15

14.2

3

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】由題知，玩家從起點(diǎn)方格出發(fā)，每次向右或向下移動(dòng)一格，可以順利到達(dá)終點(diǎn)，即

為挑戰(zhàn)成功，反之挑戰(zhàn)失敗.

用表示第加行第〃列含有陷阱的方格,

則第1行含有陷阱的方格為，?=2,3）,

第2行含有陷阱的方格為45/=1,2,3）,

第3行含有陷阱的方格為4（r=L2）,

所以每一行隨機(jī)設(shè)置1個(gè)陷阱（起點(diǎn)和終點(diǎn)處無陷阱）共有C；C；C；=12個(gè)基本事件,

具體如下:

(Az'4,Ai),(、’41,A2)，(42,42,41),('‘Az'A2),

(Az,&pAi)?(''As'A2)，(A3,4I,Ai)，(43,41,A2)，

(A3，&2,41)，(A3,42,42)，(43，&3,Al),(A3,43,42)，

玩家挑戰(zhàn)失敗的基本事件有（4,4i，Ai），（4Hi，/），（42，42,41），

(42,42’42),(A2?-^23，-^32)f(43,42,41)'(',Az'Az),(43'&3'人2)共8個(gè),

Q9

所以玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為

,2

故答案為：—■

15.（1）答案見詳解

（2）答案見詳解

【分析】（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算出卡方，即可得解；

（2）由題知X的可能取值為01,2,3,然后計(jì)算相對應(yīng)的概率，畫出分布列，最后求出期望.

【詳解】（1）

答案第9頁，共17頁

男市民女市民合計(jì)

優(yōu)質(zhì)水源日出游121830

非優(yōu)質(zhì)水源日出游14620

24

合計(jì)2650

，%=50X(12X6-18X14)：4327>3.841，

30x20x26x24

所以有95%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān).

(2)根據(jù)題意，第一組有30x8x3=3天，第二組有30x8xJ；=4天,

8060

所以X的可能取值為0』,2,3,

P(x=o)=|pi

尸(x=i)=甘18

35

「201

尸(X=2)=*12

35

3

Ci

5吟總

「.X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

廠/sc4118cl2。19

E(X)=OxF1x---F2x--F3x—=一.

,J353535357

丫2

16.⑴上_/=1

4

(2)3x±V6j-35/5=0

【分析】(i)由題意可得：￡=*，_1_Z解方程求出。\即可得出答案;

a1b2

答案第10頁，共17頁

(2)由題意可得|AB|=2,設(shè)/：x=my+指，與雙曲線聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，利用弦長公

式即可求解.

【詳解】⑴由題意可得￡=、［?=必，則與」，即6=4火

又因?yàn)辄c(diǎn)尸(百,在雙曲線上，所以=

解得：b2=l,a2=4,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—-/-I.

4?

(2)因?yàn)锳AB居的周長為12,所以|的+|前|+忸周=12①,

由雙曲線的定義可得：|/囪—|隹|=2。=4,怛耳|—怛叫=2。=4,

所以|A￡|+忸周一(|4用+忸用)=|/閻+忸娟一|45|=8②，

所以由①②可得：M=2,

由(1)知，/=/+/=5,所以工,0),

因?yàn)橹本€/的斜率不為0,所以設(shè)/:x=my+君，

2I

則聯(lián)立直線與雙曲線4.可得(m?—4)y2+2扃少+1=0,

x=my+>/5

當(dāng)加2一4=0，即根=9，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以根2一4W0,

2^5/711

~病一4'??一病一“

舟卜…］-7一「，

同=J1+療J(%+-例％=

所以E-萬/2?！?…匚4]1+”匚2

4{(m2-4)2療-4'

1(蘇一4)m一

2所以加=±Y5,

解得：］=—6(舍去)或“

3

直線/的方程為：x=土逅y+

非,即3x±y/6y-36=0.

答案第11頁，共17頁

17.(1)見解析

(2)SD的長度為行或2點(diǎn)

【分析】(1)過點(diǎn)/作FU〃/⑦交SD于點(diǎn)G,連接CG,由線面平行的性質(zhì)定理證明

BF//CG,即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)5(0,0,//),求出直線SO的方向向量和平面&4B的法向量,

由線面角的向量公式即可得出答案.

【詳解】(1)連接防，過點(diǎn)產(chǎn)作PG〃AT)交必于點(diǎn)G,連接CG,

又因?yàn)?C//AD,所以FG//3C,所以民C,G,尸四點(diǎn)共面，

因?yàn)椤ㄆ矫鍿CO,BFu平面3CG5,平面SCDpI平面3CGF=CG,

所以班V/CG,所以四邊形3CGP是平行四邊形，

所以FG=8C=1,所以尸G=：E￡>=1,所以歹為線段跖的中點(diǎn)；

(2)連接EC,因?yàn)锳?/ABC,AE=8C=1,所以四邊形ABCE是平行四邊形,

所以AB〃CE,因?yàn)锳B_1_平面S42所以CE_1_平面S4￡),

又因?yàn)镾ELAD,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)S(0,0,/?),4(0,TO),D(0,2,0),3(l，T，0)，C。，。，。)，

麗=(0,2,叫,設(shè)平面的法向量為五=(x,y,z),

AB=(1,0,0),SA=(0,-1,-h),

答案第12頁，共17頁

n-AB=x=0/、

所以一，令y=/z,z=-l,x=0,所以元=（0,/z,—l）,

n-SA=-y-hz=0

所以SD與平面所成的角的余弦值為巫,

10

所以S。與平面&出所成的角的正弦值為嚕,

即罌=Icosn,西=、叫=__=,

h21

所以(4+〃2)(l+〃2)=丘化簡可得:/-5外+4=0,

解得：/?=1或。2=4,即。=1或。=2,

所以SO=^SE2+ED2=712+22=舊或SD=ylSE2+ED2=722+22=2夜?

18.⑴/(無)的增區(qū)間為(TO),減區(qū)間為(0,+8).

(2)見解析

(3)整數(shù)。的最大值為0.

【分析】(1)直接利用導(dǎo)數(shù)判斷了(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)要證/(x)W=-x,即證ln(l+x)4/,令"(x)=ln(l+x)-^j—,對求

導(dǎo)，得到H(x)W”(0)=0即可證明.

(3)分離常數(shù)，得""777^一”，為此求出函數(shù)g(x)=「K」在(°刀上的最小值?這

ln(l+—)ln(l+x)x

n

可利用導(dǎo)數(shù)知識求解.

【詳解】(1)函數(shù)/(X)的定義域是(-1,舟)，r(x)=-^-i=^,

1+X1+X

當(dāng)一i<x<o時(shí)，ra)>o；當(dāng)x>o時(shí)，ra)<。.

所以，f(x)的增區(qū)間為(T,0),減區(qū)間為(0,+⑹.

答案第13頁，共17頁

(2)要證兀之0時(shí)，f(x)-^Tr^=~xf即證1n(l+x)4-^^=在[0,+8)恒成立,

，l+x71+x

X

令H(x)=ln(l+x)—,,xG[0,+oo),

■yl+X

A---_1x2+x____

+_27171_27^-(2+丁),

小”占一1+x1+x2(1+x)Jl+x

i____^i-Ti+x

令=2Jl+%-(2+x),mr(x)=

Jl+xJl+x

當(dāng)工之0時(shí)，1-Jl+xWO,mr(^)<0,

所以機(jī)(x)在［。,+動(dòng)上單調(diào)遞減，所以m(x)<m(0)=0,

則7T(x)W0,所以“(%)在［0,+8)上單調(diào)遞減,

所以“(x)<H(0)=0,所以ln(l+x)4言=，

綜上，XN0時(shí)，f(x)~~r^=~x；

A/1+x

11

(3)不等式(1+-Y+aWe等價(jià)于不等式(九+a)ln(l+-)<1,

nn

a<---^―：---n

由1H—>1可得:

nln(l+-)

n

11

設(shè)G(x)=XG(0,1],

ln(l+x)x

11(l+x)ln12(l+x)-x2

貝UG'(元)=-

(l+x)ln2(1+A：)x2x2(l+x)ln2(1+x)

設(shè)左(切="(1+B-出，函數(shù)左(x)的定義域是(-1,+co),

?,/、2ln(l+x)x2+2x2(1+x)ln(l+x)—x2—2x

k(%)=----------------y=-------------z--------,

1+x(1+x)2(1+x)

2

設(shè)g(%)-2(1+x)ln(l+x)-x-2xf貝！Jg'(%)=2In(l+x)—2x,

2

令h(x)=2ln(l+x)-2x,貝Ijh'(x)=—-—2=—士,

1+x1+x

—Iv尤<0時(shí)，hr(x)>0,"(x)在(T,o)上為增函數(shù)，

%>0時(shí)，hXx)<0,力(%)在(0,+8)上為減函數(shù)，

???力(九)在尤=0處取得極大值,而飄。)=0,

g'(%)<O(%w。),函數(shù)g(%)在(T+co)上為減函數(shù).

答案第14頁，共17頁

于是當(dāng)T<x<0時(shí)，g(無)>g(0)=。，當(dāng)尤>0時(shí)，g(x)<g(0)=。，

當(dāng)-4<x<0時(shí),k\x)>0,左(x)為增函數(shù),

當(dāng)x>0時(shí)，k'(x)<0,左(x)為減函數(shù)，

故函數(shù)?X)的增區(qū)間為(-1,0),減區(qū)間為(0,+8),

所以％0)(々(0)=0,所以Inp+x)--—<0,gp(l+x)ln2(l+x)-x2<0

1+x

.,.G，(x”0,xe(0,l],于是G(x)在(0,1]上為減函數(shù)，

故函數(shù)G(無)在(0,1]上的最小值為G⑴=工-1,

m2

所以-1,所以整數(shù)。的最大值為0.

In2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式“X)>g⑺(或/⑺<g⑺)轉(zhuǎn)化為證明/⑺-g⑺>0

(或“無)-g(x)<。)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)Mx)=/(x)-g(x);

(