2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓中相似三角形和銳角三角函數(shù)綜合問題（含答案）

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)圓中相似三角形和銳角三角函數(shù)綜合問題

1.如圖，已知等腰△A8C的底邊BC長為8,O。是等腰△ABC的外接圓，弦與BC交

于點(diǎn)、E,M為反元上的動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)，AM交BC于點(diǎn)N.

(1)若力E=5W，ED=母,求AB的長；

(2)在(1)的條件下，求A7VNM的最大值；

(3)在(1)的條件下，若尸是CB延長線上一點(diǎn)，剛交。。于點(diǎn)G,當(dāng)AG=8時(shí)，求

tanZAFB的值.

2.如圖，在半徑為3的。。作內(nèi)接矩形ABC。，點(diǎn)E是弦BC的中點(diǎn)，BC=4,連結(jié)AE并

延長交。。于點(diǎn)R點(diǎn)G是油的中點(diǎn)，連結(jié)CG分別交A3、AF于點(diǎn)H、點(diǎn)P.

rAHGH

(1)證明：—

CHBH

(2)求28的長；

(3)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)相，使得tan/A/W=mBH,試求出機(jī)的值.

3.如圖，已知是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，CD是。。的切線，且AD，C￡＞于點(diǎn)D,

延長ZM交O。于點(diǎn)連結(jié)CM交48于點(diǎn)?

(1)如圖1,作CELAB于點(diǎn)E,

①求證：△C/M絲△<?￡>!；

②若AE=EF,CF=3,求的長.

“CP13?

(2)右=一，求tan/AMC.

FM10

4.如圖，點(diǎn)。，E在以AC為直徑的O。上，NAOC的平分線交。。于點(diǎn)2,連接54,EC,

EA,過點(diǎn)E作E8LAC,垂足為H,交于點(diǎn)?

(1)求證：AE2=AF'AD；

2年-----

⑵若sin"BD=譽(yù)，AB=5,求S^BOG.》

Ho/G

5.如圖，PB是O。的切線，切點(diǎn)、為B,點(diǎn)A在。。上，且勿=PB.連接4?并延長交。。

于點(diǎn)C,交直線PB于點(diǎn)D,連接OP.

Cl)證明：出是。。的切線;

(2)證明：DB1=DC-DA^

Q

(3)若80=4,sinZADP=|,求線段OP的長.

6.如圖，已知。。是△ABC的外接圓，AB=AC.點(diǎn)。，￡分別是BC,AC的中點(diǎn)，連接

OE并延長至點(diǎn)P,使DE=EF,連接AF.

(1)求證：四邊形A3。尸是平行四邊形；

(2)求證：A尸與。。相切；

(3)若tan/A4C=],BC=12,求。。的半徑.

q

7.如圖，在△ABC中，ZBCA=90°,以2C為直徑的。。交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段AC

的中點(diǎn)，連接并延長交CB的延長線于點(diǎn)?

(1)求證：直線。E是O。的切線；

⑵若O。的半徑為2后tanA=1,求。下的長.

8.如圖，AB為。。的直徑，C為O。上一點(diǎn)，。是弧BC的中點(diǎn)，BC與A。、。。分別交

于點(diǎn)E、F.

(1)求證：DO//AC；

(2)求證：DE?DA=DC2；

(3)若tan/CA￡)=J,求sinNCZM的值.4

9.如圖，在O。中，弦AB與弦C。相交于點(diǎn)G,OALC。于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的直線與CD的

延長線交于點(diǎn)RAC//BF.

(1)若/FGB=/FBG,求證：是。。的切線；

(2)若tan/仁梳，8=24,求。。的半徑；

4

(3)請問的值為定值嗎?若是，請寫出計(jì)算過程，若不是，請說明理由.

10.已知四邊形ABCD內(nèi)接于。。(/ABCVNAOC),對角線8￡＞，AC于點(diǎn)點(diǎn)N為線

段AB上一點(diǎn)，且ONLAB.(1)如圖1,若2。恰好經(jīng)過圓心0,證明：0N=*CD；

(2)如圖2,若BD不經(jīng)過圓心0,0N=*CD是否成立，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，如圖3所示，線段0N與8。交于點(diǎn)G,延長G。交AC于點(diǎn)

連結(jié)。C,若4穴+￡)〃2=8,MC=6F,設(shè)sinNPCO=尤，tan/AC￡)=y,請直接寫出

PC的長(用無，y表示).

11.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,。是4B邊上一點(diǎn)，以為直徑作O。交AC于

點(diǎn)、E,連接。E并延長交8C的延長線于點(diǎn)R且BD=BF.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若CF=2,tan乙CEF=求的長.

zA

12.如圖，OO上有A,8,C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)。是油的中點(diǎn)，連接C￡)交A8于點(diǎn)E,

點(diǎn)/在A8延長線上且FC=FE.

(1)證明：/BCE=/ACE；

(2)求證：CP是。。的切線；

(3)若sinP=2，BE=6,求。E的值.

13.如圖，尸B為OO的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交。于點(diǎn)E,尸，過點(diǎn)8作PO的垂線A4,

垂足為點(diǎn)。，交O。于點(diǎn)A,延長AO與。。交于點(diǎn)C,連接2C,AF.

(1)求證：直線B4為。。的切線；

(2)若BC=6,tan乙F=焉求cos/ACB的值和線段PE的長.

14.如圖，AB是。。的直徑，弦CQ_LA8,垂足為H,連接AC,過皿上一點(diǎn)E作EG〃AC

交CD的延長線于點(diǎn)G,連接AE交CD于點(diǎn)況且EG=BG,連接CE.

(1)求證：△ECFS^GCE；

(2)求證：EG是。。的切線；

(3)延長AB交GE的延長線于點(diǎn)若tanNG=),AH=3,求EM的值.

住

15.如圖，四邊形ABC。是OO的內(nèi)接四邊形，ACLBD.

(1)ZBCO+ZBAC^；

(2)如圖2,若半徑OC〃AD

①求證：AB=AC；

②若OC：CD=5：6,求tan/ACD的值.

(3)如圖3,過￡>作DFLBC于點(diǎn)X,交AC于點(diǎn)R3。的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)R若

A￡>=5,CD=3V10,求OB的長.

16.如圖，在△ABC中，NC=90°,。為邊A3上的一點(diǎn)，以。為圓心，。2為半徑的圓

與AC切于點(diǎn)E,與A8交于另一點(diǎn)D

(1)求證：BE平分/A8C；

(2)若20=4,BE=6,求CE的長；

(3)在(2)的條件下，直接寫出cosA的值.A\

17.如圖，在△ABC的邊BC上取一點(diǎn)0,以。為圓心，0C為半徑畫O。與邊42相切于

點(diǎn)。，AC=AD,連接。4交。。于點(diǎn)E,連接CE,并延長交線段AB于點(diǎn)尸.

(1)求證：AC是切線；

(2)若AC=8,sinZCAB=|,求。0半徑；c,

(3)若尸是A3中點(diǎn)，求證：CE?CF=0E?BC.7/1\

E

DB

參考答案

1.【解答】解：（1）連接BD,

\'AB=AC,

：.ZABC=ZADB.

又；NBAE=/DAB,

：.AABE^AADB.

.ABAD

AEAB

：.AB2=AE-AD=543x（5V3+爭=80；

(2)連接同(1)可證△ABAfs/XANB,

r/BAN

則---=---，

AMAB

：.AN'AM=AB2.

：.AN'AM^AE'AD=80,

即為定值，

設(shè)BN=x,則CN=(8-x),

由相交弦定理看得：AN'NM=BN-CN=x(8-x)=-/+8尤=-(x-4)2+16,

故當(dāng)BN=x=4時(shí)，有最大值為16.

(3)過點(diǎn)A作直徑A8交8C于K,連接G/I,

'：AB=AC,

：.AH±BC,且BK=KC=4.

：.AK1=AB2-8K2=80-16=64.

；.AK=8.

,4x4

又由AK?KH=BK?KC得:KH=f=2,

o

.,.AH=10.

又,.?NAGH=N5必=90°,且/GAH=NKAF,

ZF=ZH.

??zr-Tj4G84

?"sinF=sinH=477=10=5-

2.【解答】(1)證明：連接3G,

???ZACG=ZABG,

???NAHC=NBHG,

：.△AHCs^GHB,

.AH_CH

??—,

GHBH

.AHGH

""CH~BH：圖1

(2)解：連接。G,分別交ARAB于點(diǎn)M、N,

：G是屈的中點(diǎn)，

C.ONLAB,

:.AN=BN=%B,

:矩形ABC。內(nèi)接于。。，

.\ZB=90°,AC為O。的直徑，

是弦3c的中點(diǎn),BC=4,

1

???BE=CE=^BC=2,

：.ON//BC,

：.AAMN^AAEB,AAOM^AACE,

.MNAN1OMAO1

"BE~AB~2CE~AC~2

圖2

；?MN=T,OM=1.

??,半徑為3,

：?OM=MN=NG=1,

?:GN〃BC,

:.AGHNS^CHB,

BHBC

----=—=4,

NHGN

:?BH=4NH,

'：AB=<AC2-BC2=2V5,

:.BN=V5,

(3)解：,:AB=2?BE=2,

：.AE=7AB2+BE2=2V6,

AAOM^AACE,

,AMAO1

"AE~AC~2'

C.AM^ME^1AE=V6,

,JGM//EC,

:.叢GMPs叢CEP,

PMGM

...______________1

V6

：.PM=PE=

:.AP=網(wǎng)瀉=坐,

連接AG,

為O。的直徑，

ZAGP=90°,

：.AN=V5AG=y/AN2+GN2=V6,

又?.."=￥，

：.PG=7Ap2一AG2=挈

./4rtrr"G2.yfS

??tanNAFW=尹不二一5-,

1

tanZAPH=子H,

m=7T.

3.【解答】(1)①證明：??,CD是切線,

???OC.LCD,

：.ZOCD=90°,

???NOC4+NACO=90°,

9：0A=0C,

：.ZOCA=ZOACf

9：CELAB,CDLDM,

：.ZD=ZAEC=9Q°,

AZACE+ZOAC=90°,

???ZACD=NACE,

VAC=AC,

：.ACDA^ACEA(A4S)；

②解：如圖1中，連接OM.

9：ZD+ZDCO=180°,

OC//DM,

：.ZOCM=ZDMC,

'：AE=EF,CELAF,

：.CA=CF,

：.NACE=NFCE,

.：DC是切線，

：.ZDCA=ZDMC.

'：NACD=NACE,

：.ZACD=ZACE=ZECF=ZOCM=22.5°,

OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC=ZDMC=22.5°,

ZAMO=45°,

：.AM=V2OA=V2OC,

?.?OC//AM,

AMFM

??.一=—="2r,

COCF

VCF=3,

:?FM=3近;

(2)解：如圖2中，過點(diǎn)。作于點(diǎn)從

CO//DM,

.COCF13

"AM~FM~10'

設(shè)。4=OC=13左，則AM=10Z,

TAB是直徑，AB=26k

：.ZAMB=90°,

：.BM=7AB2-AM2=J(26k)2-(10fc)2=24左，

OHLAM,

：.ZAHO=ZAMB=90J

：.OH//BM,

,.?AO=OB,

:.AH=HM=5k,

圖1圖2

1

???0H=^BM=12。

VZD=ZDCO=ZOHD=90°,

???四邊形是矩形，

:?C0=DH=\3k,CD=0H=12k,

；?DM=DH+HM=\3k+5k=18左，

?，CD12k2

?-tanZAMC=DM=18fc=3-

4.【解答】(1)證明：點(diǎn)、D,E在以AC為直徑的。。上，EHLAC,垂足為7/,如圖1,

連接瓦）,

ZEAH+ZAEH=90°,ZAEC=90°,

ZEAH+ZACE=90°,

ZACE=/AEH,

：.ZADE=ZAEH,

又,.?NEA尸=NZME,

???AEAF^ADAE,

.AEAFffli

??=,

ADAE

：.AE1=AF'AD；

(2)解：點(diǎn)。，E在以AC為直徑的O。上，/AOC的平分線交。。于點(diǎn)8,如圖2,

連接。8,過點(diǎn)G作GKLA。，垂足為K,過點(diǎn)G作GM，。，垂足為M,

ZADC=90°,ZAOB=2ZADB=90°,GK=GM,

在等腰直角△AOB中，AB=5,

：.0A=OB=0C=等，

：.AC=20A=5V2,

o[e

9：sin^ABD=ZABD=ZACD,

AD_AD_275

.\sinZ.ACD=

~AC-572—-5-圖2

：.AD=2V10,貝IJCD=V10,

11

VS^AGD=-^AG?CD?sinZ-ACD,SADCC=^CG-CD-sinZ-ACD,

.S-GD_竺

SABCGGC'

"z>GKAG廣A。AG

------=---,即---=---

-CD-GMGCCDGC

2

：.GC=^AC=

：.OG=OC-GC=*-乎=平,

Z3o

???SHBOG=^G-OB另x警x竽=裳

5.【解答】（1）證明：如圖1,連接02,

:PB是。。的切線，

ZPB0=90°,

在△AOP和△BOP中，

PA=PA

0A=0B,

0P=0P

：.AAOP^ABOPCSSS),圖1

：.ZRiO=ZPBO=9Q°,

C.OALPA,

又；點(diǎn)A在O。上，

；.B4是O。的切線；

(2)證明：如圖2,連接A4、BC,

：尸8是。。的切線，

:./DBC=/DAB,

又

:.ADBCSADAB,

.DCDB

??二,

DBDA圖2

：.DB2=DC'DA；

(3)解:在RtZkOBD中,sinZADP=設(shè)O3=3x,0D=5x,

.*.BZ)=4x,

VBZ)=4,

??x=1f

.9.OB=3x=3fOD=5x=5,

在RtABAD中，sinNA0P=而=陪前=兩隹=寧

:?PB=6,

在RtAPOB中,OP=y/OB2+PB2=V32+62=3V5.

6.【解答】(1)證明：??,點(diǎn)。，E分別是5C,AC的中點(diǎn),

:?BD=DC,AE=EC,

在△EDC和△EE4中，

EC=AE

乙DEC=4FEA,

DE=FE

:?△EDCQXEEN(SAS),

：.DC=AF,NEDC=NF,

:?BC〃AF,BD=AF,

???四邊形ABDF是平行四邊形;

(2)證明：連接AD如圖，

'：AB=AC,BD=DC

0

：.AD±BC,

???AO垂直平分BC,

BC

：.AD經(jīng)過圓心O,

由(1)知：AF//BC,

：.DA±AF,

??,。4為。。半徑，

???A尸與。0相切；

(3)解：連接05,03OD,如圖，

1

?：OB=OC,BD=CD=^BC=6,

1

：.OD±BCfZBOD=^ZBOC.

1

,?ZBAC=^ZBOC,

：.ZBOD=ZBAC.

3

VtanZBAC=7，

q

3

.,.tanZBOZ)=

4

9：tmZBOD=器，

.BD3

??—―,

OD4

，。。=8,

Z.OB=>JBD2+OD2=10,

，O。的半徑為10.

7.【解答】(1)證明：連接。。、CD,則。C=OD

J.ZOCD^ZODC,

是。。的直徑，

：.ZBDC^ZADC^9Q°,

:點(diǎn)Q是線段AC的中點(diǎn)，

，OE=A￡=CE=%C,

：.ZECD=ZEDC,

VZBCA=90°,

；.NODC+/EDC=/OCD+/ECD=90°,

；./ODE=90°,

是O的半徑，S.DELOD,

直線DE是O。的切線；

(2)解：連接OE,

在RtZ\ABC中，BC=4瓜tanA=AC2+BC2=AB2,

.,.AC=2BC=8V5,

：.AB=y/AC2+BC2=20,

\'AE^CE,BO=CO,

：.OE是△ABC的中位線,

F

；.OE=%B=10,OE//AB,

：AFBDS4F0E,

DFBD

??一，

EFOE

VZBCA=ZBDC=90°,

???ZBCD=ZA=90°-ZABC,

在Rtz\BCD中，BC=45tanNBC￡)=黑=tanA=JBET+CET^BC1,

設(shè)5Z)=x,則5￡)=2x,X2+34X2=(4A/5)2,

???x=4(舍去負(fù)值)，

.*.CZ)=8,

在RtAACD中，tanA==1,A￡)2+CD2=AC2,

.,.A￡)=2Cr)=16,

：.BD=AB-AD=20-16=4,AC=VCO2+XD2=V82+162=8同

-1

.1.D￡=jAC=4V5,

.DF4

"DF+4V5-10'

8.【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)。是弧8C的中點(diǎn),

所以NCAr）=N3A。，即NCA8=2NBAD,

而NBOD=2/BAD,

所以/CAB=N20Z),

所以。O〃AC；

(2)VCD=BD,

：.ZCAD^ZDCB,

:.叢DCEs^DAC,

：.CD1=DE-DA；

1

(3)VtanZCAD=i,連接B。，則BZ)=Cr),

NDBC=/CAD,在RtZkBOE中，tan/￡)BE=第=黑=

設(shè)：DE=a,則CD=2a,

而CD1=DE-DA,則AD=4a,

.\AE=3af

而△AECS^DEF,

即△AEC和△OEF的相似比為3,

設(shè)：EF=k,則CE=3k,BC=8k,

1

tanZCAD=

'.AC—6k,AB=\Qk,

sinXCDA=耳.

9.【解答】(1)證明：,??04=03,

：.Z0AB=Z0BAf

V0A±CD,

：.ZOAB+ZAGC=90°,

又ZFGB=NFBG,ZFGB=ZAGC,

：.ZFBG+ZOBA=90°,即NOB尸=90°,

；,OB_LFB,

VAB是O。的弦，

...點(diǎn)B在O。上，

尸是O。的切線；

(2)解:-：AC//BF,

：.ZACF^ZF

VCD=24,OALCD,

1

：.CE=^CD=n.

3

VtanZF=彳，

4

AJ7Q

tanZACF=兩=

解得AE=9,

連接OC,如圖1所示：

設(shè)圓的半徑為r,則。E=r-9,

在RtZXOCE中，CE2+O￡2=OC2,

即122+(r-9)2=/，

解得：r=12.5；

V2

(3)解：是定值一；理由如下：

2

連接BZ),如圖2所示：

■:/DBG=/ACF,ZACF^ZF,

:.NDBG=/F,

；NDGB=/FGB,

：.ABDG^/\FBG,

.DGGB

??=~，

GBGF

即GB2=DG'GF,

.GF2-GB2GF2-DG-GFGF(GF-DG)GFDF1V2

"V2DF-GFV2DF-GF—y/2DF-GF~42DF-GF~~2

F

圖1

10.【解答】（1）證明：2。是直徑,

：.AD=CD,

C.AD^CD,

'：ON±AB,

:.WN是AB中點(diǎn)，

:點(diǎn)、。是BD中點(diǎn)，

：.ON是LABD的中位線，

：.ON=^AD,

,：AD^CD,

1

ON=^CD；

（2）ON=*C￡）仍成立，理由如下：

連接2。并延長，交。。于點(diǎn)E,連接AE,

：BE是直徑，

：.ZBAE^90°,

'：BD.LAC,

：.ZABD+ZBAC^90°,ZCAE+ZBAC^90°,

：./ABD=/CAE,

：.AD=CE,

C.AD+DE^CE+DE,

即屈=CD,

C.AE^CD,

,：ON1AB,

：.點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，

:點(diǎn)。是BE的中點(diǎn)，

ON是△ABE的中位線，

ON=

VAE=CZ),

1

：.ON=^CD；

(3)過點(diǎn)。作OQLAC,垂足為點(diǎn)。，連接。4,

'：AD=AD,

：.ZABM=ZDCM,

'：ON.LAB,BD_LAC,

：.ZABM+ZBAC=90°,ZAFN+ZBAC=90°,

ZABM=/AFN,

：.ZDCM=ZAFN,

VZDMC=ZANF=9Q°,

ADCMsAAFN,

.CMMDCD

,*FN-NA-AFf

'：MC=0NF,

：.MD=V2NA,CD=V2AF,

由⑵得ON=^CZ),

：.AF=V2ON,

\'AF2+DM2^S,DM=&NA,

：.(V2OW)2+(/M4)2=8,

整理得C)a+N岸=4,

：.OA2=4,

.?.OA=OC=2,

在RtZ\OCQ中，

VsinZFCO=x,

,OQ

.?----=x,

OC

OQ=2x,

CQ=70c2-0G2=，4—4%2,

,?ZAFN=ZACD,

tanZAFN=tanZACD=y,

在Rt2\O尸Q中，

TtanNA尸N=y,

.0Q_

??一y9

QF

：.CF=CQ-QF=V4-4x2-y.

11.【解答】(1)證明：連接05

,：0D=0E,

：.ZODE=ZOED,

?；BD=BF,

FCB

：.ZBDF=ZF,

：.ZOED=ZF,

：?OE〃BF,

：.ZAEO=ZACB=90°,

???AC是。。的切線；

(2)解：如圖，連接BE,

VZACB=90°,

ZECF=180°-ZACB=90°,

在Rt2\EC尸中，

cp

VCF=2,tanZCEF=

???CE=4.

???5O是直徑，

：.ZDEB=90°=NFEB,

：.ZCEF+ZCEB=9Q0,

VZACB=90°,

：.ZFBE+ZCEB=90°,

NFBE=NCEF,

FCi

tanZ-FBE=tan乙CEF=阮=2，

：.BC=S.

：.BF=BC-^-CF=10.

：.BD=BF=10.

：?0E=5.

在RtaAE。中，si九4=第=就記，

在RtZXACB中，s譏/=器=懸而，

?58

"AD+5~AD+10'

：.AD=半

12.【解答】(1)證明：???點(diǎn)。是踮的中點(diǎn),

：.AD=BD,

：?NBCE=NACE；

(2)證明：:AC是。0的直徑，

ZABC=90°,

：.ZBEC+ZBCE=9Q0,

■:FC=FE,

；?/FCE=/FEC,

由(1)可知N5CE=NACE,

：.ZFCE+ZACE=9Q°,

：.ZOCF=90°,

：。。是0。的半徑，

.?.b是O。的切線；

,.4

(3)解：在Rt△尸5C中，BE=6,sinF=

.BC_4

??~——二,

CF5

設(shè)5C=4x,CF=5xf

t：BC1+BF1=CF1,

(4x)2+(5x-6)2=(5x)2,

Q

??.x=3或％=五(舍去)，

.\BC=12,CF=15,BF=9,

'：ZCBF=ZACF=90°,ZF=ZF,

:?△FBCSAFCA,

?FBBC

FC~CA

.312

..二=,

5AC

.\CA=20,

.204

??,

AF5

：.AF=25,

：.AE=AF-EF=25-15=10,

連接D4,

'：ZDAE=ZBCE,/AED=NCEB,

：.△AEDs/\CEB,

.AEDE

??EC~EB'

■ioDE

**V62+122-6'

:?DE=2g

13?【解答】(1)證明：連接OB

??,尸3是。。的切線，

：.ZPBO=90°,

，：OA=OB,5A_LP0于。，

：.AD=BD,NPOA=NPOB,

在△B4O和△尸50中，

0A=0B

Z-POA=乙POB,

OP=OP

名APBO(SAS),

CB

：.ZPAO=ZPBO=90°,

：.OALPA,

???直線以為的切線；

9

(2)解：\OA=OC9AD=DB,

：.0D=^BC=3,OD//BC,

設(shè)A￡)=x,

..1

?tern乙F=

：.FD^2x,貝i|OA=O尸=2x-3,

在Rt^AO。中，由勾股定理得：。42=。。2+&。2,

(2x-3)2=3W,

解得，尤=4,

則A￡>=4,AB=8,

VAC是直徑，

ZABC=90°,

在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=10,

cosZ-ACB=舞=TO=^'

,JOD//BC,

：.ZAOD^ZACB,

cosZ-AOD=cosZ-ACB—方，

9：ZOAP=90°,OA=^AC=5,

(IA

在RtAAOP中，cos乙AOD=#=

.53

"OP—5，

解得：。尸=學(xué)，

??,0E=O4=5,

2s10

：.PE=OP-OE=^--5=^-.

14?【解答】(1)證明：如圖1中，

VAC//EG,

：.ZG=ZACG.

VAB±CZ),

：.AD=AC,

：.ZCEF=ZACD,

:.NG=NCEF,

?:NECF=NECG,

:.AECFsAGCE.

(2)證明：如圖2中，連接OE,

?；GF=GE,

：.ZGFE=ZGEF=ZAFH,

?：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

VZAF//+ZMH=90°,

：.ZGEF+ZAEO=90°,

：.ZGEO=90°,

C.GELOE,

???EG是。。的切線.

(3)解：如圖3中，連接0C.設(shè)。。的半徑為八

AJJ

在RtAAHC中，tanNAC〃=tanNG=品，

VAH=3,

：.HC=4.

在中，VOC=r,OH=「3,〃C=4,

???(r-3)W=r2,

\9GM//AC,

：.ZCAH=ZM,

VZOEM=ZAHC,

：.AAHC^AMEO,圖3

.AHHC

?'EM~OE

.34

??-25，

EM—

6

25

?'EM=箸.

15.【解答】(1)解：如圖1,連接80,

VBC=BC,

：.ZB0C=2ZBAC,

°：OB=OC,

；.NOBC=NOCB,

V2ZBCO+2ZBAC=180°,

：.ZBCO+ZBAC=9Q°,

故答案為：90°；

(2)①證明：???OC〃AZ),

ZACO=ZCAD.

：.ZACO+ZABC=90°,

VAC±BZ),

：.ZCBD+ZACB=9Q°,

■:NCBD=NCAD,

：.ZCAD+ZACB=9Q°,

???ZABC=ZACB,

.9.AB=AC；

②解：如圖2,連接0。，連接A0延長交3C于點(diǎn)M,

：.AM±BC,

9：ZBCO+ZBAC=90°,ZDBA+ZBAC=90°,

ZBCO=ZDBA=ZDCA,

：.ZACO+ZDCA=ZACO-^-ZBCO,

：.ZBCA=ZOCD,

'：AB=AC,OC=OD,

：.ZABC=NACB=NOCD=ZODC,

：.AABC^AOCD,

BC—OC：CD,

VOC：CD=5：6,

.\AB：BC=5：6,

設(shè)AB=5左,則BC=6LBM=3k,

在RtAAMB中，AM=y/AB2-BM2=4k,

,：IS^ABC^BC-AM^AC'BE,

在RtAABE中,AE=y/AB2-BE2=g,

AP7

tanZAC￡)=tanZABD=第=如

(3)解：如圖3,過點(diǎn)。作0/J_5C交于/點(diǎn)，

VAC±BZ),

：.ZEAD+ZEDA=90°,ZEDF+ZEFD=90