2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：對(duì)角互補(bǔ)模型

對(duì)角互補(bǔ)模型

1如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD,使NADB=120。，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋

轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分/BDA;③/E=/BAC;④DC=DB+DA.其中正確的

有()

C

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2如圖,正方形ABCD,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP,過(guò)P作PQ^BP,PQ交CD于Q,連接BQ交AC

于G,若2P=V2,Q為CD中點(diǎn)，則下列結(jié)論：

?ZPBC=ZPQD;②BP=PQ;③/BPC=NBQC;④正方形ABCD的面積是16;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

3已知△ABC中，AC=BC,ZC=120°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，ZEDF=60°,DE、DF分另［］交AC、BC于E、F

點(diǎn).

(1)如圖1,若EF〃AB.求證：DE=DF.

(2)如圖2,若EF與AB不平行.則問(wèn)題⑴的結(jié)論是否成立?說(shuō)明理由.

4定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

理解：⑴如圖1,點(diǎn)A,B,C在。。上，乙48c的平分線交。。于點(diǎn)D,連接AD,CD.求證：四邊形ABCD是

等補(bǔ)四邊形;

探究：(2)如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中AB=AD,,連接AC,AC是否平分N8CD?請(qǐng)說(shuō)明理由.

運(yùn)用：(3攻口圖3,在等補(bǔ)四邊形ABCD中AB=4。其外角.4EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,(CD

=10,AF=5,求DF的長(zhǎng).

5如圖，點(diǎn)P(3zn_1，_2m+4)在第一象限的角平分線OC上,4P團(tuán)BP,點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸

正半軸上.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑵當(dāng)乙4PB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，

@0A+OB的值是否發(fā)生變化?若變化，求出其變化范圍；若不變,求出這個(gè)定值.

②請(qǐng)求出(。爐+。爐的最小值.

6(1)如圖①，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,則該等邊三角形的外接圓半徑長(zhǎng)為.

⑵如圖②，在△ABC中,ABAC=120°,AB=AC=8,點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB和AC上，乙EDF=60",,

若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，AE=求AF的長(zhǎng)度.

o

(3)如圖③，在△ABC中，.NB4C=12(r,BC=10百，等邊△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊BC、AB、AC上該等

邊三角形的面積是否存在最大值，如果存在,求出面積最大值，如果不存在，說(shuō)明理由.

7定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形.

(1)概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于奇異四邊形的有

⑵性質(zhì)探究：

①如圖1,四邊形ABCD是奇異四邊形，AB=AD,求證：CA平分/BCD;

②如圖2,四邊形ABCD是奇異四邊形，AB=AD,ZBCD=2a,試說(shuō)明:

BC+CD

cosa=----------

2AC

(3)性質(zhì)應(yīng)用：

如圖3,四邊形ABCD是奇異四邊形，四條邊中僅有BC=CD,且四邊形ABCD的周長(zhǎng)為6+2V10,ZBXC=4

5°MC=3魚(yú),求奇異四邊形ABCD的面積.

區(qū)定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形.

(1)概念理解：

①在互補(bǔ)四邊形ABCD中，ZA與/C是一組對(duì)角，若/.B-.ZC:ZD=2:3:4,則乙4=_。;

②如圖1,在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，且BE?BC=AB?BD,求證:四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形.

(2)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2,在等腰△ABE中，AE=BE,點(diǎn)C,D分別在邊BE,AE±,AD=BC,四邊形CEDH是互補(bǔ)

9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4,BC=6.若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩

形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng).

(1)當(dāng)/OAD=30。時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

⑵設(shè)AD的中點(diǎn)為M,連接OM、MC,當(dāng)四邊形OMCD的面積為爭(zhēng)寸，求0A的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫出最大值.并求此時(shí)cos/OAD的值.

1.解：如圖，①設(shè)Nl=x度，則/2=(60-x)o,/DBC=(x+60)°,故/4=(x+60)°,

Z2+Z3+Z4=60-x+60+x+60=180°,

，D、A、E三點(diǎn)共線；故①正確；

C

②??,△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到AACE,；.CD=CE,ZDCE=60°,，Z\CDE為等邊三角形，

ZE=60°,AZBDC=ZE=60°,

ZCDA=120°-60°=60°,

；.DC平分/BDA;故②正確；

@VZBAC=60°,ZE=60°，，/E=/BAC.故③正確；

④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD,又；/DAE=180。，

DE=AE+AD.:ACDE為等邊三角形，

.,.DC=DB+BA.故④正確；故選：A.

2解：；四邊形ABCD是正方形，.../BCQ=90o,：PQ_LPB,；./BPQ=90o,；./BPQ+/BCQ=180。，；.B、C、Q、

P四點(diǎn)共圓，?..NPBC=NPQD,/BPC=/BQC,.?.①正確；③正確；

???四邊形ABCD是正方形，ZBCP=ZPCQ=45°,

/.BP=PQ,.?.②正確；

過(guò)P作PELAB于E,PF_LDC于F,則E、P、F三點(diǎn)共線，二?四邊形ABCD是正方形，/PAE=45。，4PA

E是等腰直角三角形，；.PE=￡=掾=1

在ABEP和APFQ中.易證ABEPg/\PFQ(ASA),；.PE=FQ=1,；.DQ=1+1=2,；Q為CD中點(diǎn),；.DC=2DQ=4,

正方形ABCD的面積是4x4=16,.?.④正確；故選A.

3解：(1)VEF/7AB..,.ZFEC=ZA=30°,ZEFC=ZB=30°；.EC=CF.又；AC=BC,/.AE=BF,又是AB

中點(diǎn)..?.DB=AD；.Z\ADEdBDF.；.DE=DF

⑵如圖，連接CD,VAABC是等腰三角形，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，，ZACD=ZBCD,

在線段AC上取點(diǎn)F,使(CF'=CF,連接F'D,

CD=CD

在仆CDF-^ACDF'中，｛/FCD=AF'CD

CF=CF'

」.△CDF經(jīng)△CDF'(SAS),/.ZCFD=ZCF'D,在四邊形CEDF中,ZACB=120°,ZEDF=60°,

.,.ZCED+ZCFD=180°,.".ZCED+ZCFD=180°,

VZCED+ZF'ED=180°,Z.ZEF'D=ZF'ED,

；.DE=DF,VDF=DF,?,.DE=DF.

方法2(初三)：?.?/ACB=120。，ZEDF=60°

.*.AEDF四點(diǎn)共圓，：/EAD=/FAD(三線合一)

，DE=DF

4解：(1)證明：；四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,，/A+/C=180。，ZABC+ZADC=180°,

；BD平分/ABC,；.NABD=/CBD,；.AD=CD,

四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；

(2)AC平分/BCD,理由如下：

如圖2,過(guò)點(diǎn)A分別作AEJ_BC于點(diǎn)E,AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,貝叱AEB=/AFD=90。，

??,四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，.?./B+NADC=180。,又/ADC+/ADF=180。，；.NB=/ADF,；AB=AD,

AABE^AADF(AAS),;.AE=AF,

...AC是/BCF的平分線，即AC平分/BCD;

(3)如圖3,連接AC,?.?四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，

.?.ZBAD+ZBCD=180°,又/BAD+/EAD=180°,

NEAD=/BCD,VAF平分/EAD,

^FAD=^EAD,由(2)知，AC平分/BCD,

ZFCA=|ZBCD,.\ZFCA=ZFAD,XZAFC=ZDFA,/.AACF^ADAF,=^1,gp京=竺詈DF

=5\/2—5.

5.解：⑴?.?點(diǎn)P(3m-1,-2m+4)在第一象限的角平分線OC上，；.3m-l=-2m+4,

；.P(2,2);

(2)①不變.過(guò)點(diǎn)P作PM_Ly軸于M,PN_LOA于N.

,/ZPMO=ZPNO=ZMON=90°,PM=PN=2,

四邊形QMPN是正方形，，ZMPN=90°=ZAPB,

-?.ZMPB=ZNPA.

乙MPB=乙NPA

在^PMB和小PNA中，[PM=PN,

乙PMB=乙PNA

.'.△PMB^APNA(ASA),；.BM=AN,

OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4,

②連接AB,?.?/AOB=90°,；.OA2+OB2=AB2,

???ABPA=90",AB2=PA2+PB2=2PA2,

OA2+OB2=2PA2,當(dāng)PA最小時(shí)，。弟+。爐也最小根據(jù)垂線段最短原理，PA最小值為2,

OA2+。爐的最小值為8.

303.解：（1）如圖1,作BC、AC的垂直平分線，交△ABC的內(nèi)部于一點(diǎn)O，。即為等邊三角形的外接圓的圓

心，貝U乙OBD=30°,DB=DC=|sc=3,

在RtAOBD中，。。=,=親=WOB=2OD=2但.?.等邊三角形的外接圓半徑長(zhǎng)為2痘.

BDC

圖2

⑵如圖2,連接AD,過(guò)點(diǎn)D作DM_LBA于點(diǎn)M,DN_LAC于點(diǎn)N,則NDMA=NDNA=NDNF=90。,：AB=A

C,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

ADMA=乙DNA

AD^BC,/.DAM=乙DAN=-x120°=60°,ADM和AADN中，｛N￡MM=乙DAN,

AD=AD

.二△ADM也△ADN(AAS),；.AM=AN,DM=DN,在四邊形AMDN中，ZMDN=360°-120°-90°-90°=60°,V

ZEDF=60°,ANMDN=NEDF,即NEDN+/NDF=NEDN+NMDE,ZNDF=ZMDE,

一4DME=4DNF

在△MDE和小NDF中，｛MD=ND,

乙MDE=乙NDF

：.AMDE^ANDF(ASA),.\ME=ZNF,

AE+AF=AM-ME+AN+NF=2AM,

VZBAC=120°,AB=AC=8,/.ZB=ZC=30°,

在R3ABD中，AD=^AB,

在RtAAMD中，AM=^AD,

11

.?.AM=-x-AB=2=AN,

22

I

???ME=AM-^AB=1=NF,，AF=2+1=3.

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DGJ_AB于點(diǎn)G,GH_LAC于點(diǎn)H,由(2)可得：△DEG會(huì)△DFH,△ADG之ADH,??.D

G=DH,ZDAG=ZDAH=60°,

??SMEF=手。尸2,且由幾何關(guān)系可得DF<AD,

AAD取得最大值時(shí),SADEF取得最大值，作△ABC的外接圓。O,連接OB、OC,貝此BOC=120。，

VBC=10V3,.\OB=OC=10,

過(guò)點(diǎn)O作OQLBC交。。于M、N,垂足為Q,則OQ=5,MN平分BC弧，BNM=CN弧,連接DN,A、D、N

共線,

由幾何關(guān)系可得：DN+AD<MN,

.\AD<MN-DN,

,/ND>QN,當(dāng)DN最小時(shí)，AD存在最大值，

???當(dāng)AN為直徑時(shí),AD存在最大值,AD最大=5,

ASADEF最大=—X52=—.

44

6解：（1）根據(jù)奇異四邊形的定義可知：正方形是奇異四邊形，故答案為正方形.

⑵①如圖1過(guò)點(diǎn)A作AM_LCB于M,AN±CD于N.,VZABC+ZD=180°,ZABM+ZABC=180°,

.?.ZABM=ZD,VZAMB=ZAND=90°,AB=AD,

AAAMB^AAND,AAM=AN,

：AM_LCB于M,AN_LCD于N,，CA平分/BCD.

4D

m圖3

②由①可知：=三乙

^ACDBCD=a,"CN=CD-DN=CD-BM=CD(CM-BC)=CD-(CN-BC),ACN=

CD+BC

2，

CAz-nuTi1iCNBC+CD

在RSACN中，cosa=女=24c.

(3)如圖3中，由(2)可知：cos45。=歿券，，AD+AB=2ACx^-=6,??.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為6+2同,???

BC=CD=V10,7ABAC=^DAC=45",

，NDAB=90。，：四邊形是奇異四邊形，

.\ZBCD=90°,VAD+AB=6,

???(AD+AB)2=AD2+2AD-AB+AB2=36,

AD2+AB2=BD2=BC2+CD2=20,AD-AB=8,

一11

y/=SAADB+SXBDC=~~'A。?ABH—,CD,BC=9.

四777邊形7rABCDRADB22

7.(1)①解：???四邊形ABCD是互補(bǔ)四邊形,NA與NC是一組對(duì)角，???乙C=180。—乙4

VZB:ZC:ND=2:3:4,

79

zB=jzC=-(180°-z4),

44

zD=-zC=-(180°-z/1),

,/ZA+ZB+ZC+ZD=360°,

.-.ZX+|(180°-ZX)+(180°-ZX)+|(180"—NA)=360°,；.ZA=90°.故答案為：90;

②證明：BE?BC=AB?BD,；.—=吧，又：ZB=ZB,；.ABDE^ABCA,；.ZBED=ZA,

ABBC

：.ZA+ZCED=ZBED+ZCED=180°,

???四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形；

AE=BE

(2)證明：TAE=BE,AD=BC,AED=EC,^AEAC和^EBD中，｛4E=乙E,

EC=ED

：.AEAC^AEBD(SAS),???NEBD=NEAC,

VAE=BE,AZEAB=ZEBA,AZABD=ZBAC,

四邊形CEDH是互補(bǔ)四