2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)特殊角存在性問(wèn)題

二次函數(shù)特殊角存在性問(wèn)題

1如圖，拋物線(xiàn)y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,已知B(3,0).

(1)求111的值和直線(xiàn)BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若S4PBC=SAABC，請(qǐng)直接與出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)Q為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若乙ACQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=-打+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=|x2+bx+c

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

⑴求拋物線(xiàn)的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EA,當(dāng)小EAB的面積等于爭(zhēng)寸，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將直線(xiàn)AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)y=mx+n,且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取點(diǎn)D(2,0),連接DM,

求證：^ADM-^ACM=45°.

3如圖，拋物線(xiàn)y=J/_%_3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.直線(xiàn)1與拋物線(xiàn)

交于A,D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為((4,-3).

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)1的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為＞0)過(guò)點(diǎn)P作PM回x軸,垂足為M.PM與直線(xiàn)1交于點(diǎn)

N,當(dāng)點(diǎn)N是線(xiàn)段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且AADQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

4如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),交y軸于點(diǎn)C;

(1)求拋物線(xiàn)的解析式(用一般式表示)；

(2)點(diǎn)D為y軸右側(cè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D使SAABC=|SA4BD?若存在請(qǐng)直接給出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶將直線(xiàn)BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,，與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)E,求BE的長(zhǎng).

1如圖，拋物線(xiàn)y=-步+法+c過(guò)點(diǎn)A(3,2),且與直線(xiàn)y=-x+(交于B、C兩點(diǎn)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,

m).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

⑵點(diǎn)D為拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE既軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+P4的最小值；

(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使乙4QM=45。?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

6如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C.直線(xiàn)1與拋物線(xiàn)交于A、

D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).

⑴求拋物線(xiàn)的解析式與直線(xiàn)1的解析式；

(2)若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)且在直線(xiàn)1上方，連接PA、PD,求當(dāng)△PAD面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最

大值；

(3)若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且乙4DQ=45。,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

1解:⑴將B(3,0)代入y=mx2+(m2+3)x-(6m+9),化簡(jiǎn)得，病+zn=0,則m=0(舍)或m=-l,二y

=—x2+4x—3.C(0--3),

=3fe

設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,將B(3,0),C(0,-3)代入表達(dá)式,可得，(°Qt°解得｛，=，，直線(xiàn)

—3=bb=-3

BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

⑵如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AP.WBC,,設(shè)直線(xiàn)APi交y軸于點(diǎn)G,將直線(xiàn)BC向下平移GC個(gè)單位，得到直線(xiàn)P2P

3-

由⑴得直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y=x-3,A(1,0),

.??直線(xiàn)AG的表達(dá)式為y=x-l,聯(lián)立得：｛，=2工17

解得｛X=ly=0,或｛X=2y=1,；.2式2,1)或(1,0),由直線(xiàn)AG的表達(dá)式可得G(0,-1),

；.GC=2,CH=2,

???直線(xiàn)P2P3的表達(dá)式為：y=x-5,聯(lián)立得：

3-V17

y=-%2+4%-3'用牛行I-7-V17

/v=--------

)2

3+V17

X=---

[2

i-7+V17"

...p2d，三巧,p3d，三巨);綜上可得，符合題意的點(diǎn)p的坐標(biāo)為：(2,1),(1,

⑶如圖2,取點(diǎn)Q使/ACQ=45。，作直線(xiàn)CQ,過(guò)點(diǎn)A作ADLCQ于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DFLx軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C

作CELDF于點(diǎn)E,則4ACD是等腰直角三角形，；.AD=CD,.?.△CDE絲4DAF(AAS),

；.AF=DE,CE=DF.

設(shè)DE=AF=a,貝!]CE=DF=a+l,由OC=3,貝!]DF=EF-DE=3-a,.,.a+l=3-a魂星得a=l..^.D(2,-2),又C(0,-3),

直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=|x-3,設(shè)Q-3),代人y=一/+4%-3,；.|n-3=-n2+4n-3,整理

得n2-1n=0.又n#),則n=：Q-

ZZ\Z4/

2.解：(1)對(duì)于y=-^x+3,令y=-jx+3=0,解得x=6,令x=0,則y=3,

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,3)」.?拋物線(xiàn)y=lx2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故c=0,將點(diǎn)A的坐

標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得：0=]x36+6瓦解得b=-2,故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=|x2-2x;

則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,當(dāng)x=3時(shí)，

y=^x2-2x=—3廁點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-3);

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EH_Lx軸交AB于點(diǎn)H,或

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為-2%),則點(diǎn)H(x'-^x+3)狽必EAB的面積=|xFHxOX=x6x+3-

|x2+2x)=解得x=l或|

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(L—§或g-H)；

(3).??直線(xiàn)AB向下平移后過(guò)點(diǎn)M(3,-3),故直線(xiàn)CM的表達(dá)式為y=-jx-|,

令y=-1-|=0解得x=-3,故點(diǎn)C(-3,0);過(guò)點(diǎn)D作DHXCM于點(diǎn)H,

???直線(xiàn)CM的表達(dá)式為y=-1x-1,故tanzMCD=，則sinzMCD=煮則DH=CD.sin/MCD=(2+3)X

親=強(qiáng)由點(diǎn)D、M的坐標(biāo)得，DM=舊,則sin4HMD=*焉=與，

故NHMD=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°,.\ZADM-ZACM=45°.

3.解：⑴令y=0,得y=92_*_3=0,解得.x=-2,或x=6,，A(-2,0),B(6,0)，設(shè)直線(xiàn)1的解析式為y=

4

kx+b(k/)),則「此yU解得，｛"=一＞.直線(xiàn)1的解析式為：y=-ix-l;

4K十。=—3b=—1N

(2)如圖1,根據(jù)題意可知，點(diǎn)P與點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為P(加)2一加一3),N(加-)一1)

???PM=~~m2+m+3,MN=-m+1,NP=—~m2+-m+2,現(xiàn)在分兩種情況討論：

4242

①當(dāng)PM=3MN時(shí)，得一：—+m+3=3(|m+1),解得，m=0,或m=-2(舍)，.2(0,-3);

②當(dāng)PM=3NP時(shí)，得：

--m2+m+3=3f—-m2+-m+2),

4\427

解得，m=3,或m=-2(舍)，P(3，—引；

，當(dāng)點(diǎn)N是線(xiàn)段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-1)或(0,-3);

4

(3)...直線(xiàn)1:y=一號(hào)久一1與y軸交于點(diǎn)E,

；?點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1)，如圖2,分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上時(shí)，記為點(diǎn)Qi,過(guò)Qi作QiHLAD于點(diǎn)H,則/Q】HE=ZAOE=90°,

?；/QiEH=NAEO,.,.△QiEHsaEO,

.Q'H_EH.Q1H_EH

??——,??——??(/In—,

AOEO21

VZQiDH=45°,NQ1HD=90。，???Q1H=DH,

，DH=2EH,；.HE=ED,

連接CD,?.(((),-3),D(4,-3),.-.CDXy5fi,

???ED=VCE2+CD2=V22+42=275,

HE=ED=2V5,QiH=2HE=2x2A/5=4A/5,

QiE=dQW+EH2=10,

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1)，,Qi(0,9);

②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的負(fù)半軸上時(shí),記為點(diǎn)Q2,過(guò)Qz作Q2G±AD于G,則/QzGE=ZAOE=90°,

VZQ2EG=ZAEO,.,.△Q2GE^AAOE,

.”=電絲=電2EG,

AOOE21

???^Q2DG=45°f/.Q2GD=90°,

乙DQ2G=Z.Q2DG=45°,??.DG=Q2G=2EG,

；.ED=EG+DG=3EG,由①可知，ED=2年

3EG=2V5,.-.EG=^,.-.Q2G=竽，

???EQ2=JEG2+Q2G2=?

(金，綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為或(一

?--OQ2=OE+EQ2=^,.-.Q20,—Q(0,9)0,f).

_1

22

4.解：⑴：拋物線(xiàn)y=ax+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,0),B(4,0)，.二(［二嗔g°八,解得｛"3,

16a+4b+N=Ub=-

2

???拋物線(xiàn)解析式為y=-1x2+|%+2；

(2)由題意可知C(0,2),A(-l,0),B(4,0),AB=5,OC=2,SAABC=^AB-OC=|x5x2=5,

2315

S^ABC=S^ABD=5X5=萬(wàn),

設(shè).D(x,y),.-.|ylB|y|=ix5|y|=抵解得|y|=3,當(dāng)y=3時(shí),由-*+|x+2=3,解得x=l或x=2,此時(shí)D

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)或(2,3);

當(dāng)y=-3時(shí).由—緊2+|乂+2=-3,解得x=-2(舍去)或x=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-3);

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D,其坐標(biāo)為(1,3)或(2,3)或(5,-3);

(3)VAO=1,OC=2,OB=4,AB=5,

AC=7A02+0c2=底

BC=y/OC2+OB2=2V5,

-AC2+BC2=AB2,/.AABC為直角三角形，即BCXAC,

如圖,設(shè)直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BE交于點(diǎn)F,過(guò)F作FMLx軸于點(diǎn)M,由題意可知NFBC=45。，；.NCFB=45。,

CF=BC=2V5,AF=AC+CF=3>/5

,.AOAC

,：FM±x軸CO\\FM器=言，

???/=篇解得OM=2,需=寫(xiě)，即高=祟，解得FM=6,

OM2V5FMAFFM3V5

???F(2,6),且B(4,0),

設(shè)直線(xiàn)BE解析式為y=kx+m,則把F(2,6),B(4,0)代入，可得｛公［爪=?,解得：產(chǎn)=二;，

4k+m=6m=12

y=-3x+12y.一

直線(xiàn)BE解析式為y=-3x+12,聯(lián)立直線(xiàn)BE和拋物線(xiàn)解析式可得｛、，1分工3-解得「二

y=—x-\—x十zy—

z22J

5o,.??E(5,-3)，，由兩點(diǎn)距離公式可得：BE=V10.

y——J

5.解：⑴將點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,m)代入入y=-x+1,m=-4+|=AB的坐標(biāo)為(4,—1將A(3,2),B

.--X32+3b+c=2

(4，-3代入y=--x2+bx+c,{J］解得b=l，c=±

2--x42+4b+c=--

22

???拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=-ix2+x+|;

(2)設(shè)D(m>—^m2+m+g),貝UE(m>—m+g)DE=(一|m2+m+0—(-m+1

=—|m2+2m——|(m-2)2+2,

當(dāng)m=2時(shí)，DE有最大值為2,此時(shí),D(2,1),C(0<0.-.C和D關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，如圖1,連接AC,

于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P,止匕時(shí)AC即為PD+PA所求的最小值；A(3,2),C(0,今，AC=喙即PD+PA的最小

值為斗;

(3)如圖2,作AHJ_對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H,

???拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=-|x2+x+|,/.M(l,4),

VA(3,2),AH(1,2),；.AH=2,MH=2,

???AAHM是等腰直角三角形，以點(diǎn)H為圓心，AH為半徑畫(huà)圓，與y軸的交點(diǎn)Q1與Q2.滿(mǎn)足/AQM=45。.

；.QH=HA=HM=2,設(shè)Q(0,t),

HQ=V(0-l)2+(t-2)2,

■-?“0-1-+(t-2,=2,

解得：t=2+解或2-嘏.?.符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：Qi(O,2-解)或Q2(0-2+解).

6.解：⑴：拋物線(xiàn)丫=以2+陵+**軸交于人(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn),

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+2)(x-6),

VD(4,3)在拋物線(xiàn)上,

.?.3=a(4+2)x(4-6),解得a=

，拋物線(xiàn)的解析式為y=-+2)(%-6)

12IIo