2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：十字架模型（弦圖模型）

十字架模型（弦圖模型）

1如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC±,且BF=CE,連接BE、AF相交于點G,則下列結(jié)論

不正確的是（）

C.ZAFB+ZBEC=90°D,AGXBE

2如圖，已知正方形ABCD的邊長為5,點E、F分別在AD、DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點G,點H為B

F的中點，連接GH,則GH的長為,

3如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點G在邊BC上，連接AG,作DELAG于點E,BFLAG于點F,連接BE、

DF,設(shè)乙EDF=a/EBF=￡芝=k.

（1）求證：AE=BF;

(2)求證：tana=ktan[3;

（3）若點G從點B沿BC邊運動至點C停止，求點E,F所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積.

4如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊DC,BC上，且BF=CE.AE平分NC4D,連接DF,分

別交AE,AC于點G,M.P是線段AG上的一個動點，過點P作PN團AC,垂足為N,連接PM.有下列四個結(jié)論:

①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值為3V2;③CI^=GEAE;@SAADM=6V2其中正確的是（）

C.①③④D.①③

5如圖,正方形ABCD中,G為BC邊上一點BELAG于E,DFLAG于F,連接DE.

(1)求證：AABE^ADAF;

⑵若AF=1,四邊形ABED的面積為6,求EF的長.

6已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BEXAP,DF±AP,垂足分別是點E、F.

(1)求證：EF=AE-BE;

(2)連接BF,如果妥=器.求證:EF=EP.

7如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點K在AD上，連接BK,過點A,C作BK的維線筆量足分別為M,

N,點0是正方形ABCD的中心，連接0M,ON.

(1)求證：AM=BN.

(2)請判定△OMN的形狀，并說明理由.

(3)若點K在線段AD上運動(不包括端點)，設(shè)4K=x,AOMN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(寫出x

的范圍)；若點K在射線AD上運動，且△OMN的面積為*請直接寫出AK長

8在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連接BE.

【感知】如圖①，過點A作AFLBE交BC于點F.易證△ABF0^BCE.（不需要證明）

【探究】如圖②，取BE的中點M,過點M作FGXBE交BC于點F,交AD于點G.

(1)求證：BE=FG.

⑵連接CM,若CM=1,則FG的長為.

【應(yīng)用】如圖③，取BE的中點M,連接CM.過點C作CGLBE交AD于點G,連接EG、MG.若CM=3,則

四邊形GMCE的面積為.

9如圖1,在正方形ABCD中，點E是AB邊上的一個動點（點E與點A,B不重合）,學(xué)習(xí)筆記：連接CE.

過點B作BFLCE于點G,交AD于點F.

(1)求證：AABF^ABCE;

⑵如圖2,當(dāng)點E運動到AB中點時，連接DG,求證：DC=DG;

⑶如圖3,在（2）的條件下，過點C作CMLDG于點H,分別交AD,BF于點M,N,求整的值.

NH

圖I圖2圖3

10(1)證明推斷：如圖⑴，在正方形ABCD中，點E,Q分別在邊BC,AB上,DQJ_AE于點O,點G,F分別在

邊CD,AB±,GF±AE.

①求證：DQ=AE;

②推斷：黑的值為_______；

AE

(2)類比探究：如圖(2),在矩形ABCD中，*=k(k為常數(shù)).將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上

的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連接AE交GF于點O.試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

⑶拓展應(yīng)用：在⑵的條件下，連接CP,當(dāng)k=|時，若tanzCGP=*GF=2V10,求CP的長.

1.VABCD是正方形：.NABF=NC=90。,AB=BC；BF=CE.MABF會△BCE；.AF=BE（第一個正確）/BAF=

ZCBE,ZBFA=ZBEC（第三個錯誤）

,/ZBAF+ZDAF=90°,ZBAF+ZBFA=90°

ZDAF=ZBEC（第二個正確）

ZBAF=ZCBE,ZBAF+ZAFB=90°

/.ZCBE+ZAFB=90°.\AG±BE（第四個正確）

所以不正確的是C,故選C.

AB=AD

2.解：：四邊形ABCD為正方形，.,.NBAE=ND=90。，AB=AD,在△ABE和△DAF中，（ABAE=ZD,

AE=DF

AABE^ADAF（SAS）,ZABE=ZDAF,

VZABE+ZBEA=90°,AZDAF+ZBEA=90°,

ZAGE=ZBGF=90°,:點H為BF的中點,

/.GH=|BF,VBC=5SCF=CD-DF=5-2=3,

BF=y/BC2+CF2=V34,

.-.GH=1BF=^,故答案為：

3.解：(1)證明：ABCD^,AB=BC=AD,ZBAD=ZABC=90O,VDEXAG,BF±AG,

AZAED=ZBFA=90°,AZADE+ZDAE=90°,

VZBAF+ZDAE=90°,ZADE=ZBAF,

AAABF^ADAE(AAS),AAE=BF;

、cll工

(/c2)在-i-rTR-?tADEF和nnRtAlElFcB中r-4-.，tana=E—F_,tann/?=E—F,：t?a——na-=EF—xBF—=BF—.

V711?'DE'yBF'tan/?DEEFDE

由①可知NADE=NBAG,ZAED=ZGBA=90°,

AFDP

,-,AXEDAGFA

DEBFGBBG74c“BFBG

由①可知，AE=BF,族”?蔬=嬴，.保=k，AB=BC,：.布嬴=區(qū)■--^=fe----tana=ktan^

AB

(3)VDEXAG,BFLAG,.^.NAED=/BFA=90。,.?.當(dāng)點G從點B沿BC邊運動至點C停止時，點E經(jīng)過的

路徑是以AD為直徑，圓心角為90。的圓弧，同理可得點F經(jīng)過的路徑，兩弧交于正方形的中心點O,如圖.

???AB=AD=4,.?.所圍成的圖形的面積為：

S=SAAOB=[4X4X4=4.

4.解：①???四邊形ABCD是正方形,???AD=DC=BC,ZADC=ZDCB=90°,*.*BF=CE,BC-BF=DC-CE,即CF

AD=DC

=DE,^AADE和^DCF中，｛^ADE=乙DCF,

DE=CF

AAADE^ADCF(SAS),AZDAE=ZCDF,

ZCDF+ZADG=90°,AZDAE+ZADG=90°,

：.ZAGD=90°,：.ZAGM=90°,

：.ZAGM=ZAGD,

VAE平分NCAD,???NMAG=NDAG,又AG為公共邊,

/.△AGM^AAGD(ASA),；.GM=GD,又：NAGM=/AGD=90°,

；.AE垂直平分DM,故①正確；

②如圖，連接BD與AC交于點0,連接PD,

,四邊形ABCD是正方形，；.AC_LBD,BPD0±AM,

VAE垂直平分DM,；.PM=PD,

；.PM+PN=PD+PN

當(dāng)點D、P、N三點共線且垂直AC時,PM+PN的值最小，此時PM+PN的最小值即為DO的長，

??.正方形ABCD的邊長為4，,AC=BD=4VxDO=^BD=2a,即PM+PN的最小值為2vx故②錯誤；

③：AE垂直平分DM,.?./DGE=9(T,：NADC=90。，；./DGE=/ADC,又：NDEG=/AED,.*.△DGES/\A

DE,—=組即DE2=GE-AE,

AEDE

由①知(CF=DE,：.CF2=GE■力E,故③正確；

@VAE垂直平分DM,；.AM=AD=4,又：DO=242,

SA3=|XM-DO=|x4x2V2=4a,故④錯誤；綜上，正確的是：①③，故選：D.

5證明：(1)：四邊形ABCD是正方形，.\AB=AD,VDF±AG,BEXAG,AZBAE+ZDAF=90°,ZDAF+ZA

DF=90°,.\ZBAE=ZADF,i￡AABE和4DAF中，

(2)設(shè)EF=x,貝!|AE=DF=x+l,

VS四邊形ABED=2S^ABE+S^DEF=6

2x1(x+1)x1+|x(x+1)=6,整理得：

x2+3x-10=0,解得x=2或-5(舍)，；.EF=2.

6證明：(1),四邊形ABCD為正方形，；.AB=AD,ZBAD=90°,VBE±AP,DF±AP,AZBEA=ZAFD=90°,

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

Z-BEA=Z-AFD

.\Z1=Z3,在^ABE和^DAF中,zl=z3

AB=DA

???AABE^ADAF,ABE=AF,

.*.EF=AE-AF=AE-BE;

/c'+icRTi/FDF.j-,clBEDF1_X2-2X+1

(2)W,AF=BE,：.-

ADf10~4X2+4'

&BEDF

C0SZ4=—.C0SZ3=—,

BFAD

/.cosZ4=cosZ3,???N4=N3,

VZ1=Z3,.,.Z4=Z1,VZ5=Z1,/4=/5,即BE平分/FBP,而BE_LEP,，EF=EP.

7證明：(1)：四邊形ABCD是正方形.，AB=BC,ZABC=90°,ZABM+ZCBM=90°,VAM±BM,CN±B

N,AZAMB=ZBNC=90°,

ZMAB+ZMBA=90°,ZMAB=ZCBM,

.,.△ABM^ABCN(AAS)，,AM=BN;

(2)AOMN是等腰直角三角形,理由如下：如圖，連接OB,：點O是正方形ABCD的中心，

.\OA=OB,ZOBA=ZOAB=45°=ZOBC,AO±BO,

,/ZMAB=ZCBM,

ZMAB-ZOAB=ZCBM-ZOBC,

ZMAO=ZNBO,又：AM=BN,OA=OB,

/.AAOM^ABON(SAS),

.\MO=NO,ZAOM=ZBON,

,/ZAON+ZBON=90°,/.ZAON+ZAOM=90°,

.\ZMON=90°,AAMON是等腰直角三角形；

B

222

(3)在RtAABK中，BK=y/AK+AB=Vx+1,vS^ABK=AKxAB=BKxAM,

.--AKABXcnr..-X

???AM=------=「—,???BN=AM=「—,

BKy/x^+iVx^+l

.?.MN=BM-BN=~^=

3+1

?-'S?N=[MW=霽,y=（0＜久＜1）；當(dāng)點K在線段AD上時，則親=宴等

解得X1=3（不合題意舍去）,x=|,當(dāng)點K在線段AD的延長線時同理可求y=言（X〉1）,解得：/=3

234X+4

,%2=:（舍去），綜上所述：AK的值為3或1時，△OMN的面積為表.

9.解：感知：：四邊形ABCD是正方形，.,.AB=BC,/BCE=NABC=90。，...NABE+NCBE=90c＞,：AF_LBE,

^BAF=/.CBE

NABE+/BAF=90。，；./BAF=/CBE,在△ABF和△BCE中.{AB=BC,

乙ABC=乙BCE

探究：（1）如圖②，過點G作GPLBC于P,；四邊形ABCD是正方形，；.AB=BC,/A=/ABC=90。,.?.四邊形

ABPG是矩形，；.PG=AB,；.PG=BC,同感知的方法得，ZPGF=ZCBE,

乙PGF=乙CBE

在△PGF和△CBE中，{PG=BC,ZXPGF之△CBE(ASA),BE=FG,

乙FPG=/-ECB

A

B

圖2

(2)由(1)知，F(xiàn)G=BE,連接CM,

VZBCE=90°，點M是BE的中點，；.BE=2CM=2,FG=2,故答案為：2.

應(yīng)用：同探究⑵得，BE=2ME=2CM=6,；.ME=3,同探究⑴得,CG=BE=6,VBEXCG,

=；CGxME=1x6x3=9,故答案為9.296.(1)證明：:BFLCE,；.ZCGB=90°,

四形CEGM22

???NGCB+NCBG=90,???四邊形ABCD是正方形，

AZCBE=90°二NA,BC=AB,

AZFBA+ZCBG=90,AZGCB=ZFBA,

???ZXABF名△BCE(ASA);

⑵證明：如圖2,過點D作DQLCE于Q,

設(shè)AB=CD=BC=2a,；點E是AB的中點，

EA=EB=~AB=a,CE=V5a,

在RtACEB中，根據(jù)面積相等，得BGCE=CB.EB,

BG=子a,CG=7cB2—BG2=?a,

ZDCE+ZBCE=90°,ZCBF+ZBCE=90°,

/.ZDCE=ZCBF,VCD=BC,ZCQD=ZCGB=90°,

*'?ACQD=ABGC(AAS'),***CQ=BG=§a,

：.GQ=CG-CQ=^a=CQj；DQ=DQ,zCQD=ZGQD=90°,AADGQ^ADCQ(SAS),.\CD=GD;

圖2圖3

⑶解：如圖3,過點D作DQLCE于Q,SKCDG=*DQ<G=%H-DG,

CH==|a,在RtACQD中，CD=2a,

DH=y]CD2-CH2=ZMDH+ZHDC=90°,ZHCD+ZHDC=90°,AZMDH=ZHCD,

—rrnAnDrHrnM,,.DHMH3

“M=》,在RSCHG中，CG

GH=\ICG2-CH2=|a,vAMGH+ACGH=90-ZHCG+ZCGH=90°,ZCGH=ZCNG,

HG“ATHG22

?-?AGHNACHG,.-.—???HN=——gQ,

CHCH

.MN_2a_5

:.MN=HM-HN=-a>?--------------------

2AW24

-a

10(1)①證明：???四邊形ABCD是正方形,???AB=DA,ZABE=90°=ZDAQ.

?.?“AO+Z.OAD=90°.vAE1DQ,

：.ZADO+ZOAD=90°.AZQAO=ZADO.

AAABE^ADAQ(ASA),JAE=DQ.

②解：結(jié)論：啜=1.理由：???DQ，AE,尸6，人旦???口(2〃尸3,方(2〃口6,???四邊形口(^6是平行四邊形,?』6=

DQ,：AE=DQ,，F(xiàn)G=AE,；.GFAE=1.故答案為1.