2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：隱形圓最值模型

隱形圓最值模型

1如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=夜動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿B—CTD-A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B

重合時(shí)，將仆ABP沿AP對(duì)折，得到△力夕P,連接則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CB，的最小值為.

2如圖，在正方形ABCD中.點(diǎn)E、F分別是DC、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE1BF,垂足為P,連接CP.若正方形

的邊長(zhǎng)為1,則線段CP的最小值為（）

3如圖.在矩形ABCD中，AD=5,AB=3百，點(diǎn)E在AB上，柒述矩形內(nèi)找一點(diǎn)P,使得/BPE=6。。，則線

段PD的最小值為（）

X.2V7-2B.2V13-4C.4D.2V3

4設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線y=/上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，目OALOB.連接點(diǎn)A、B,過0作OC±AB于點(diǎn)

C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

A.-B.—C.-D.1

222

5如圖,在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B,C重合）,連接AP,作點(diǎn)B關(guān)于

直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）

A.2B.|C.3D.V10

6如圖,正方形OABC中，A(8,0),B(8,8),點(diǎn)D坐標(biāo)為(-6,0),連接CD,點(diǎn)P為邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,

過點(diǎn)D作DE±CP于點(diǎn)E,連接AE,當(dāng)AE取最小值時(shí)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為()

A3-季甌艮4-震母4

7已知：如圖，在RtAABC中，BC=AC=2,點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BM,以CM為直徑的。O交BM于

N,則線段AN的最小值為.

8如圖，在4ABC中，BC=2,點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中始終有Z.BAC=45。狽必ABC面積的最大

值為.

9如圖,四邊形ABCD中,AB\\CD,AABC=60°,AD=BC=CD=4,,點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

滿足^AMD=90°,,則點(diǎn)M至I」直線BC的距離的最小值為.

10如圖，在等邊△4BC中，AB=6,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且BD=CE,,連接AD,BE交于點(diǎn)F,

連接CF,則CF的最小值是.

11如圖，在RSABC中，/-ACB=90。,48=4,,點(diǎn)D,E分另在邊AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,連接B

E,CD,相交于點(diǎn)O,則4ABO面積最大值為.

12如圖，在RtAAOB中,（OB=28,乙4=30°?00的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。O的一

條切線PQ（其中點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為.

Q

B

13如圖,四邊形ABCD中，AB^AC=ADBO/DBC=15。,貝!］乙BDC=

14如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把△PBE沿PE折疊，得到△PFE,連

接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為.

15如圖.在矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP,線段BA與線段BQ關(guān)于BP所

在的直線對(duì)稱，連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為.

B

16在△ABC中，ZXBC=90°,AB=2,BC=3.點(diǎn)D為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，乙ADB=45。,則線段CD長(zhǎng)度的最

小值為.

11如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接CF,DF,且AADF=乙DCF,點(diǎn)E是A

D邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EF廁EB+EF長(zhǎng)度的最小值為.

18如圖，在四邊形ABCD中，.AABC=^BAD=90。,AB=5,4。=4,AD<BC,點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F

在線段AE上,^ADF=乙BAE,,則線段BF的最小值為.

19如圖，等邊△ABC中，AB=3,點(diǎn)D,點(diǎn)E分別是邊BC,CA上的動(dòng)點(diǎn)且BD=CE,連接AD、BE交于點(diǎn)F,

當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為.

20如圖,在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,點(diǎn)E在BC上，且(CE=48與點(diǎn)M為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，使得乙CME

=45。,連接AM,則線段AM的最小值為.

21⑴【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題

變得非常容易.

如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC夕L點(diǎn)，且；4。=AC,求/BDC的度數(shù).若以點(diǎn)A為

圓心，AB為半徑作輔助。A,則點(diǎn)C、D必在。A上,ZBAC是。A的圓心角，而/BDC是圓周角，從而可得到.

乙BDC=

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的數(shù).

(3)【問題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF.連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交A

G于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.

1.解：在矩形ABCD中,AB=2,AD=夕

BC=AD=近，連接AC,

貝！1AC=>JBC2+AB2=J(⑺之+22=Vil,

如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，

；AB，=AB=2,"在A為圓心,2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A,B',C三點(diǎn)共線時(shí)，CB最短,

止匕時(shí)CB'=AC-AB'=Vil-2,

當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí),如圖2所示，此時(shí)CBr>Vn-2,

當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖3所示，此時(shí)CB'>V11-2,

B'

綜上所述，CB，的最小值為V11-2,

故答案為：V11—2.

2.解：：AE，BF交于點(diǎn)P,且/APB=90。，則點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的；圓上，連接AC、BD,交于點(diǎn)連

接CP,此時(shí)CP即為所求的最小值，

VBC=AB=1,?.AC=VX：AP=PC,；.CP的最小值=內(nèi),故選：B.

3.解：如圖，在BE的上方，作AOEB,使得OE=OB,/EOB=120。，因?yàn)?BPE=60。,所以P在以0為圓心,0B為

半徑的圓上運(yùn)動(dòng)。連接DO,與圓的交點(diǎn)，即為DP最小值時(shí)的P點(diǎn)

VAB=3V3,AE:EB=1:2,；.BE=2A/3

VOE=OB,ZEOB=120°.\EF=BF=V3ZEOQ=ZBOQ=60°,.*.OF=1,OE=2,作OG_LAD于點(diǎn)G,作OF_LAB

于點(diǎn)F,

四邊形AFOG是矩形

AG=OG=1,GO=AG=2V3

：AD=5,DG=AD-AG=4,

.?.在RtADOG中，OD=VDG2+GO2=2小,

.,.PD的最小值=0D-OP=247-2,故選：A.

4.解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點(diǎn)E、F,設(shè)OE=a,OF=b,由拋物線解析式為y=/廁AE=a2,BF

=b2,連接AB交y軸于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)D(0,m)/AOB=90。，；./AOE+/BOF=90。,又/AOE+/EAO=90。，/B

OF=/EAO,又/AEO=/BFO=90°,AAEO^AOFB.

祭=第即y=*化簡(jiǎn)得ab=1.b=：設(shè)AB的解析式為y=nx+m,把"(-a，a2).B代入得：m

=1,說明直線AB過定點(diǎn)D,D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

,/ZDCO=90°,DO=1,.?.點(diǎn)C是在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離為抄。=|時(shí)，點(diǎn)C到y(tǒng)

軸的距離最大.故選：A.

5.解：連接AM,：點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，

；.AB=AM=3,；.M在以A圓心，3為半徑的圓上,...當(dāng)A,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短,

在RtAABC中，由勾股定理可得：

AC=5,AM=AB=3,；.CM=5-3=2,故選：A.

6.解：：DE±CP,.,.ZDEC=90°,

C(o,8),D(-6,0)，，由勾股定理得CD=10取CD的中點(diǎn)F(-3,4),則點(diǎn)E在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)E=FD=FC=

5為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

連接AF,交OF與點(diǎn)E,此時(shí)為AE的值最小.

過點(diǎn)F做FMXxffl,過點(diǎn)E作EN”軸于點(diǎn)N,則FM為△COD的中位線，

FM=^C0=4,AM^OA+OM=11,在RtAAFM中，AF=VFM2+AM2=V42+ll2=V137.

AEAF-FEV137-5

ZFMA=ZENA=90°,

4EENV137-5EN

???FM\\EN,???—=—,???一?=—

11AFFMV1374

EN=4--V137

137

；?點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4-^-V137,故選B.

7.解：如圖，連接CN,：CM是。。的直徑，

.?./CNM=90。，...NCNB=90。，.?.點(diǎn)N在以BC為直徑的。O上，；。01的半徑為1,.?.當(dāng)點(diǎn)0,、N、A共線

時(shí)，AN最小，在RtAAO'C中，

VO'C=l,AC=2,：,O'A=V5

???AN=AO'-O'N=V5-1,

即線段AN長(zhǎng)度的最小值為V5-1.故答案為V5-1.

8.解：如圖，△ABC的外接圓。0,連接OB、OC,VZBAC=45°,AZBOC=2ZBAC=2x45°=90°,

過點(diǎn)O作OD_LBC,垂足為D,；OB=OC,；.BD=CD=|fiC=l.vZ.BOC=90°,OD1BC,：-OD=^BC=1,

OB=y/OD2+BD2=V2,vBC=保持不變，；.BC邊上的高越大，則4ABC的面積越大，當(dāng)高過圓心時(shí)，最大，此

時(shí)BC邊上的高為：V2+1,

AABC的最大面積是：|x2x(V2+l)=V2+1.故答案為：V2+1.

9.解：取AD的中點(diǎn)O,連接0M,過點(diǎn)M作MELBC交BC的延長(zhǎng)線于E,過點(diǎn)0作OFLBC于F,交C

D于G,則0M+ME>0F.

1

,/ZAMD=90°,AD=4,OA=OD,OM=-AD=2,

VAB//CD,.\ZGCF=ZB=60°,

AZDGO=ZCGF=30°,

VAD=BC,AZDAB=ZB=60°,

.*.ZADC=ZBCD=120°,.\ZDOG=30°=ZDGO,

???DG=DO=2,,.?CD=4,

CG=2".OG=20D?cos30°=GF=V3/OF=3V3,ME>OF-OM=3V3-2,???當(dāng)O,M,E共線時(shí),ME

的值最小，最小值為3V3-2.

解法二：M在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)0作OFLBC于點(diǎn)F,則可以求出最小值.

10.解：如圖，:△ABC是等邊三角彩

；.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

VBD=CE,AABD^ABCE（SAS）NBAD=/CBE,又：ZAFE=ZBAD+ZABE,

/.ZAFE=ZCBE+ZABE=ZABC,ZAFE=60°,

ZAFB=120°,/.點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是O為圓心，

OA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)（（NAOB=120。，OA=2舊）,連接OC交。。于P,當(dāng)點(diǎn)F與P重合時(shí)，CF的值最小，

最小值：=0C—OP-4V3—2V5=2V3.

故答案為2V3.

11.解：如圖，過點(diǎn)D作DF〃AE廁E=署=|

AEBA3

"1?

-^-,.：DF=2EC,.：DO=2OC,.：DO^-DC,

22

，^LADO=^LADC>^LBDO=^LBDC>

S-BO=|SMBC，??,N2CB=90°,AC在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G,當(dāng)CGXAB時(shí)，△ABC的面積

最大為：|x4x2=4,

止匕時(shí)△ABO的面積最大為：|x4=|.故答案為：|92.解：連接OP、OQ,：PQ是。。的切線，.?.OQUQ,PQ

="p2-OQ2=70P2—1,當(dāng)OP最小時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最小，當(dāng)OPLAB時(shí)，OP最小,

作OP，AB于P1,OP'即為OP的最小值，

在RtAAOB中，Z-A=30°,OA=用OB=6,

在RtAAOP'中，N4=30。,；.OP'=\OA=3,

線段PQ長(zhǎng)度的最小值=V32-1=2V2,

故答案為：2叵

13.解：；AB=AC=AD=BO,.?.點(diǎn)B、C、D在以A點(diǎn)為

圓心，AB為半徑的圓上，；.NBAC=2NBDC,

ZCAD=2ZDBC=2xl5°=30°,

設(shè)/BDC=x,貝!]NBAC=2x,：BO=BA,

/.ZBOA=2x,,/ZBOA=ZOAD+ZADO,

AZADO=2x-30°,VAC=AD,

AADC=AACD=I(180°-30°)=75°,即2x-30°+x=75°,解得x=35°,即NBDC=35°.故答案為35°.

14.解：如圖所示，點(diǎn)F在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)CF的值最小，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AEBP^AEFP,.*.EF±PF,EB=EF,

是AB邊的中點(diǎn)，AB=10,.\AE=EF=5,

：AD=BC=12,；.CE==13,

.,.CF=CE-EF=13-5=8.故答案為：8.

15.解：?.?當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，PQ=PA,.?.點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，如圖，陰影部分的面積即為線段

PQ在平面內(nèi)掃過的面積，

:矢巨形ABCD中,AB=1,AD=V3,.\ZABC=ZBAC=ZC=ZQ=90°./.ZADB=ZDBC=ZODB=ZOBQ=30°,

.?.ZABQ=120°,

由矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱性可知，△BOQ^ADOC,SAABD=SABQD,；.S陰影部分=S四邊形ABQD-S扇

形ABQ=2SAABD-S扇形ABQ,=S矩形ABCD-S扇形ABQ=1X百—？故答案為：W—

36U3

71

31

16.解：如圖.：NADB=45。，AB=2,作△ABD的外接圓0（因求CD最小值，故圓心。在AB的右側(cè)），連接O

C,當(dāng)0、D、C三點(diǎn)共線時(shí),CD的值最小.

ZADB=45°,ZAOB=90°,AAOB為等腰直角三角形，AO=BO=—xAB=V2.

,/ZOBA=45°,ZABC=90°,NOBE=45。，作OE_LBC于點(diǎn)E,.,.△OBE為等腰直角三角形.

OE=BE=OB*=1,：.CE=BC-BE=3-1=2,在RtAOEC中，OC=VOE2+CE2=逐.當(dāng)O、D、

C三點(diǎn)共線時(shí),CD最小為CD=OC-OD=V5-V2故答案為：V5-V2.

17.解：：四邊形ABCD是正方形，；./ADC=90。,

ZADF+ZFDC=90°,VZADF=ZFCD,

/.ZFDC+ZFCD=90°,/.ZDFC=90°,

點(diǎn)F在以DC為直徑的半圓上移動(dòng)，

GV

如圖，設(shè)DC的中點(diǎn)為0，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對(duì)稱的正方形AB'C'D,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是G,連接

GE,AF,GO.\GE=BE,/.BE+EF+AF>GO

；.BE+EFNGO-AF,即當(dāng)G、E、F、O四點(diǎn)共線時(shí)，BE+EF有最小值。過點(diǎn)。作OH^AB于點(diǎn)H,在RtAGO

H中，G。=s/GH2+HO2=3g,，EB+FE的長(zhǎng)度最小值為3舊-3,故答案為：3辰-3.

18.解：VZBAD=90°,AZBAE+ZDAE=90°,

,/ZADF=ZBAE,/.ZADF+ZDAE=90°,

/.ZDFA=90°,

.?.點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到OB與。O是交點(diǎn)F時(shí)，線段BF即為所求最小值，

1

???AD=4,.-.AO=OF'=^AD=2,

???BO=yjAB2+AO2=V52+22=V29,

；?線段BF的最小值為BF'=BO-OF'=42^-2,故答案為：回-2.

19.解：:△ABC是等邊三角形，

；.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

.?.在△ABD和4BCE中，易證△ABD名△BCE(SAS),

ZBAD=ZCBE,VZAFE=ZBAD+ZFBA=ZCBE+ZFBA=ZABC=60°,.,.ZAFB=120°,