2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：整式與因式分解（試卷+答案解析）

專題02整式與因式分解

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

考向一單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1.會(huì)把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算。

2了解整數(shù)指數(shù)嘉的意義和基本性質(zhì)。考向二同類(lèi)項(xiàng)

整式

3.理解整式的概念，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法則。

考向三整式的加減

4,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)

算?？枷蛩恼降某顺?/p>

222

5.理解乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2,（a±b）=a±2ab+b,了解公考向五整式的混合運(yùn)算

式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

,真題透視,

考點(diǎn)一整式

A考向一單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1.（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）單項(xiàng)式-的次數(shù)是.

2.（2024?江西?中考真題）觀察a,a\/，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為.

3.（2024?重慶?中考真題）已知整式"：。/"+見(jiàn)_/7+—+%^+4,其中…,小為自然數(shù)，。,為正整

數(shù)，且〃---卜4+%=5.下列說(shuō)法:

①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；

②不存在任何一個(gè)〃，使得滿足條件的整式/有且只有3個(gè)；

③滿足條件的整式〃共有16個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

A考向二同類(lèi)項(xiàng)

易錯(cuò)易混提醒

1.判斷同類(lèi)項(xiàng)

標(biāo)準(zhǔn)：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也分別相等。

注意事項(xiàng)：同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)的大小無(wú)關(guān)，與它們所含的字母順序無(wú)關(guān)，所有常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)。

2.合并同類(lèi)項(xiàng)

要點(diǎn)：字母和字母的指數(shù)不變，只把系數(shù)相加減。

考查角度1同類(lèi)項(xiàng)的定義

4.（2024?河南?中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出的一個(gè)同類(lèi)項(xiàng)：.

考查角度2合并同類(lèi)項(xiàng)

5.（2024?西藏?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.x—2x=xB.x（x+3）=M+3

C.（-2/）3=_&/D.3戶4元2=12尤2

A考向三整式的加減

6.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上V+3盯-4,結(jié)果是3孫+2;/-5,則這個(gè)多項(xiàng)式為.

7.（2024?重慶?中考真題）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)麗，若滿足o+d=6+c=9,則稱這

個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)".例如：四位數(shù)1278,01+8=2+7=9,回1278是“友誼數(shù)".若嬴力是一個(gè)"友誼數(shù)"，

且a=c-6=l,則這個(gè)數(shù)為；若加=時(shí)是一個(gè)"友誼數(shù)"，設(shè)網(wǎng)加）==，且尸（"）+而+"是

整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

A考向四整式的乘除

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘法則：將系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，相同字母的倦相乘，單獨(dú)在一個(gè)單項(xiàng)式里的字母

連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

4.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。

5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

考查角度1幕的運(yùn)算

8.（2024?廣東?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.a2-a5=a10B.a-"C.-2a+5a=7aD.（a2）5=aw

9.（2024?河北?中考真題）若a,b是正整數(shù)，且滿足=?'義2,：…義21則〃與方的關(guān)系正

8個(gè)2。相加8個(gè)2”相乘

確的是（）

A.a+3=8Z?B.3a=8bC.a+3=bsD.3a=8+〃

10.（2024?天津?中考真題）計(jì)算f+f的結(jié)果為

考查角度2單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

11,（2024?湖北?中考真題）2叱3/的值是（）

A.5x2B.5x3C.6x2D.6x3

考查角度3單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

12.（2024?甘肅蘭州?中考真題）計(jì)算：2°（"1）-2/=（）

A.aB..aC.2aD.—2a

考查角度4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

13.（2024?山東威海?中考真題）因式分解：（x+2）（x+4）+l=

考查角度5平方差公式

14.（2024?上海?中考真題）計(jì)算（a+》）S-a）=.

考查角度5完全平方公式

（?黑龍江大慶?中考真題）已知+工=V5,貝IJ/+二的值是

15.2024a

aa

A考向五整式的混合運(yùn)算

16.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：2機(jī)一機(jī)。九一2）+（租+3）（〃?-3）,其中機(jī).

考點(diǎn)二因式分解

A考向一提公因式法因式分解

17.（2024?浙江?中考真題）因式分解：/-7a=

18.（2024?江蘇徐州?中考真題）若〃第=2,優(yōu)-〃=1,則代數(shù)式根2〃_2的值是

A考向二公式法因式分解

19,（2024?西藏?中考真題）分解因式：尤2一4X+4=.

20.（2024?四川涼山?中考真題）已知且a—Z?=—2,貝lja+b=.

21.（2024?陜西?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y『+x（x-2y）,其中尤=1,尸-2.

_be

22.（2024?福建?中考真題）已知實(shí)數(shù)。，4G也"滿足3根+〃=一,加〃=—.

aa

（1）求證：匕2一12團(tuán)為非負(fù)數(shù)；

⑵若a,b,c均為奇數(shù)，機(jī)，〃是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由.

23.（2024?安徽?中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展探究活動(dòng)，研究了"正整數(shù)N能否表示為x?-y2（的y均為

自然數(shù)）”的問(wèn)題.

（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（〃為正整數(shù)）：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22-I28=32-12

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般結(jié)論2n-l=n2-(n-1)24n=

按上表規(guī)（3,完成下列問(wèn)題：

⑴24=（）2_（）2；

（ii）4"=；

⑵興趣小組還猜測(cè)：像2,6,10,14,…這些形如4”-2（“為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為/一V（的,均

為自然數(shù)）.師生一起研討，分析過(guò)程如下：

假設(shè)4〃-2=--/,其中x,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若x,y均為偶數(shù)，設(shè)x=2左，y=2m,其中左，機(jī)均為自然數(shù)，

則x2-y2=（2k）2-（2m）2=4（，—叫為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故X，）不可能均為偶數(shù).

②若x,y均為奇數(shù)，設(shè)x=2%+l,y=2m+l,其中無(wú)機(jī)均為自然數(shù)，

則d_丁=但左+1『_（2加+以=為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故X，）不可能均為奇數(shù).

③若x,y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則為奇數(shù)

而4a-2是偶數(shù)，矛盾.故X，y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫(xiě)所缺內(nèi)容.

新即特訓(xùn),

一、選擇題

1.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）若），則括號(hào)中應(yīng)填入（）

A.b—cB.—b+cC.b+cD.—b—c

2.（2024?河南關(guān)B州?模擬預(yù)測(cè)）給出下列判斷：①在數(shù)軸上，原點(diǎn)兩旁的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)都互為相反數(shù)；

②多項(xiàng)式3x）A4x3y+12是三次三項(xiàng)式；③任何正數(shù)都大于它的倒數(shù)；④卡=||+1變?yōu)?0x=100x+15利

用了等式的基本性質(zhì),其中正確的說(shuō)法有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.（2024?河南?一模）在學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域知識(shí)時(shí)，小明對(duì)代數(shù)式做如圖所示的分類(lèi)，下列選項(xiàng)符合▲的

是（）

「單項(xiàng)式——例如：2a

一整式T

有理式一、多項(xiàng)式----例如：▲

I分式一例如：!

代數(shù)式《

'無(wú)理式一例如:而F

3a+bI----.

A.----B.----C.yja+bD.lab

a+b3

4.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）觀察下列按一定規(guī)律排列的〃個(gè)數(shù)：無(wú)，3/，5?,7/.....按照上述規(guī)律,

第9個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.9?B.17x9C.17x10D,19尤9

5.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）下列命題正確的是（）

A.對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

B."水漲船高"是隨機(jī)事件

C.單項(xiàng)式2孫②的次數(shù)是2

D.一元二次方程/+尤+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

6.（2024?河北唐山?三模）與3952+2x395x5+5?相等的是（）

A.（395-5）2B.（395+5）（395-5）

C.（395+5）2D.（395+10）2

7.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算中，與2〃%?（-26）2運(yùn)算結(jié)果相同的是（）

A.2b-（2ab^B.-8a2+fe3C.（-2a）2-Z?3D.~（2a2b^

8.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）小江去超市購(gòu)物，打算購(gòu)買(mǎi)一件商品，在結(jié)賬時(shí)遇到了問(wèn)題（如圖），你選擇

的辦法是（）

‘e小江：這件商品正在

口舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，可以

“打八折，我手里還有

一.張20元的優(yōu)惠券，

你能通過(guò)計(jì)算，告訴

I我最省錢(qián)的辦法嗎？/

A.先打折，再用券B.先用券，再打折

C.都一樣D.無(wú)法確定，取決于商品價(jià)格高低

9.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)定義一種新運(yùn)算"的對(duì)任意有理數(shù)"？、〃都有心※〃=7加（〃-〃），

則（。+6必（4-6）=（）

A.lab*1-112b2B.2a2b-2b3C.2ab2+2b2D.2ab-2ab2

10.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）有w個(gè)依次排列的算式：第1項(xiàng)是二,第2項(xiàng)是/+20+1,用第2項(xiàng)減去第1

項(xiàng)，所得之差記為4,將4加2記為外,將第2項(xiàng)與外相加作為第3項(xiàng)，將外加2記為期，將第3項(xiàng)與4相

加作為第4項(xiàng).....以此類(lèi)推.某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此展開(kāi)研究，得至U3個(gè)結(jié)論①々=2。+9；②若第6項(xiàng)

與第5項(xiàng)之差為4057,則a=2024；③當(dāng)“=Z時(shí)，々+4+&+&+…+々=2成+，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

11.（2024湖南?模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a6-i-a1=a3B.（a-2?=/—4

c.（-2加2）3=_&"6D.2"+3/6=5/62

12.（2024?重慶?一模）在多項(xiàng)式-a-（6+c）-d（其中a>b>c>d）中，對(duì)每個(gè)字母及其左邊的符號(hào)（不包

括括號(hào)外的符號(hào)）稱為一個(gè)數(shù)，即：為"數(shù)1",b為"數(shù)2",+。為"數(shù)3",-d為"數(shù)4”,若將任意兩個(gè)數(shù)

交換位置，后得到一個(gè)新多項(xiàng)式，再寫(xiě)出新多項(xiàng)式的絕對(duì)值，這樣的操作稱為對(duì)多項(xiàng)式-a-S+c）-〃的"絕

對(duì)換位變換"，例如：對(duì)上述多項(xiàng)式的"數(shù)3"和"數(shù)4"進(jìn)行"絕對(duì)換位變換"，得到卜a-S-d）+d，將其化簡(jiǎn)后

結(jié)果為….下列說(shuō)法：

①對(duì)多項(xiàng)式的"數(shù)1"和"數(shù)2"進(jìn)行"絕對(duì)換位變換”后的運(yùn)算結(jié)果一定等于對(duì)"數(shù)3"和"數(shù)4"進(jìn)行"絕對(duì)換位變

換”后的運(yùn)算結(jié)果；

②不存在"絕對(duì)換位變換"，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

③所有的"絕對(duì)換位變換"共有5種不同運(yùn)算結(jié)果.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

13.（2024?甘肅?三模）如果-與3/y是同類(lèi)項(xiàng)，那么.

14.（2024?福建廈門(mén)?二模）已知無(wú)一嚏=一1,貝M2x+l）2-3x（x+l）的值為.

15.（2024?湖北?一模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫(xiě)下的《詳解九章算法》，書(shū)中記載的圖表給

出了（。+到’展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律.

1.......（a+b）°=l

11.......（a+b）i=a+6

I21.......（a+b）2=a2+2ab+b2

133I.......（a+bV=a3+3a2b+3ab2+b3

當(dāng)代數(shù)式V-9f+27尤-27的值為8時(shí)，則x的值為.

16.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）某班開(kāi)展圖書(shū)交換閱讀活動(dòng).甲、乙、丙三名同學(xué)有相同數(shù)量的圖書(shū)、甲同學(xué)

借給乙同學(xué)4本，丙同學(xué)借給乙同學(xué)2本，一段時(shí)間后，他們約定：乙同學(xué)須將手中甲、丙兩名同學(xué)現(xiàn)有

圖書(shū)數(shù)量總和的一半，借給甲同學(xué)，而后乙同學(xué)手上剩余圖書(shū)的數(shù)量為本.

三、解答題

17.（2024河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為m,寬為n的矩形（加>”）.用7張圖1中的小矩形紙片,

3

按圖2的方式無(wú)空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長(zhǎng)是寬的5

m

圖1圖2

⑴求m與n的關(guān)系；

⑵若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

18.（2024?吉林?三模）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x—3）+（x+l）（x-l）+x（12—x）,其中尸-1

19.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)正整數(shù)p能寫(xiě)成p=（m+M（m-〃）（m、w均為正整數(shù)，且〃件〃）,則稱

P為"平方差數(shù)"，小"為P的一個(gè)平方差變形，在P的所有平方差變形中，若療+儲(chǔ)最大，則稱相、“為P

的最佳平方差變形，此時(shí)尸（p）=〃，+〃2例如：24=（7+5）（7-5）=（5+1）（5-1）,因?yàn)??+5?>5?+F,所

以7和5是24的最佳平方差變形，所以*24）=74.

（1）F（32）=_;

（2）若一個(gè)兩位數(shù)q的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別為x,y（l<x<j<7）,q為“平方差數(shù)"且x+J能被7整除，

求歹（4）的最小值.

20.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）⑴先化簡(jiǎn)，再求值：（X+1）2-2（X+1）,其中X=&.

'4X-8<0

（2）解不等式組1+x,,把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，并寫(xiě)出整數(shù)解.

-----<x+l

I3

-2-1012

—?_??JA

-2-1012

專題02整式與因式分解

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

考向一單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1.會(huì)把具體數(shù)代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算。

2了解整數(shù)指數(shù)嘉的意義和基本性質(zhì)?？枷蚨?lèi)項(xiàng)

整式

5.理解整式的概念，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法則。

考向三整式的加減

6,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)

算?？枷蛩恼降某顺?/p>

222

5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)=a±2ab+b,了解公考向五整式的混合運(yùn)算

式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

真題透視A

考點(diǎn)一整式

A考向一單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

1.(2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題)單項(xiàng)式-2a%的次數(shù)是.

【答案】3

【分析】此題考查單項(xiàng)式有關(guān)概念，根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義來(lái)求解，解題的關(guān)鍵是需靈活掌握單項(xiàng)式的系

數(shù)和次數(shù)的定義，單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

【詳解】單項(xiàng)式-2/6的次數(shù)是:2+1=3,

故答案為：3.

2.(2024?江西?中考真題)觀察a,a2,a3,/，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為.

【答案】?100

【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究.分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第〃個(gè)式子是多少即可.

【詳解】解：蜘，a2,a3,a4，…，

回第〃個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；

團(tuán)第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，

13第〃個(gè)式子是o'.

團(tuán)第100個(gè)式子是d。。.

故答案為：儲(chǔ)。。,

3.（2024?重慶?中考真題）已知整式“：見(jiàn)尤"+見(jiàn)_/7+—+.+4,其中…,小為自然數(shù)，。,為正整

數(shù),S.n+an+an_x-t-----FOj+a0=5.下列說(shuō)法：

①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；

②不存在任何一個(gè)〃，使得滿足條件的整式/有且只有3個(gè)；

③滿足條件的整式〃共有16個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，由條件可得0V〃V4,再分類(lèi)討論得到答案

即可.

【詳解】解：回〃，氏一|，…，為為自然數(shù)，。“為正整數(shù)，S.n+an+a?_1+---+al+a0=5,

EI0<n<4,

當(dāng)〃=4時(shí)，貝1]4+。4+/+。2+4+4=5,

回。4=1,a3=a2=a{=aQ=0}

滿足條件的整式有，，

當(dāng)〃=3時(shí)，則3+°3+%+%+%=5,

%%,旬）=（2,0,0,0）,（1,1,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

滿足條件的整式有：2x\xi+x2,x3+x,尤%I,

當(dāng)"=2時(shí)，貝1]2+/+4+/=5,

回3，%,4）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

滿足條件的整式有：3/，2X2+X,2X2+1,X2+2X,X2+2,X2+X+1；

當(dāng)〃=1時(shí)，則1+%+%=5,

團(tuán)（4仆）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

滿足條件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x+2;

當(dāng)”=0時(shí)，。+4=5,

滿足條件的整式有：5；

回滿足條件的單項(xiàng)式有：/,2d,3r，4x,5,故①符合題意；

不存在任何一個(gè)"，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；故②符合題意；

滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1=16個(gè).故③符合題意；

故選D

A考向二同類(lèi)項(xiàng)

易錯(cuò)易混提醒

1.判斷同類(lèi)項(xiàng)

標(biāo)準(zhǔn)：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也分別相等。

注意事項(xiàng)：同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)的大小無(wú)關(guān)，與它們所含的字母順序無(wú)關(guān)，所有常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)。

2.合并同類(lèi)項(xiàng)

要點(diǎn)：字母和字母的指數(shù)不變，只把系數(shù)相加減。

考查角度1同類(lèi)項(xiàng)的定義

4.（2024?河南?中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出2加的一個(gè)同類(lèi)項(xiàng)：.

【答案】機(jī)（答案不唯一）

【分析】本題考查的是同類(lèi)項(xiàng)的含義，根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義直接可得答案.

【詳解】解：2加的一個(gè)同類(lèi)項(xiàng)為加，

故答案為：m

考查角度2合并同類(lèi)項(xiàng)

5.（2024?西藏?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.x-2x=xB.x（x+3）=x2+3

C.（-2/）3=_&/D.3尸4無(wú)2=12尤2

【答案】C

【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、騫的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)

判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、x-2x=-x,故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、x（x+3）=f+3x,故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（-2X2）3=-8X6,故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

D、3元2.4元2=12元*故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、騫的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌

握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵.

A考向三整式的加減

6.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上y+3砂-4,結(jié)果是3xy+2y2-5,則這個(gè)多項(xiàng)式為.

【答案】/-I

【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意"一個(gè)多項(xiàng)式加上/+3孫-4,結(jié)果是3沖+2/一5",進(jìn)行列

出式子：（3孫+2/一5）-（/+3冷-4）,再去括號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng)即可.

【詳解】解：依題意這個(gè)多項(xiàng)式為

(3xy+2y2-5)-(y2+3xy-4)

=3Ay+2y2_5-y2-3孫+4

故答案為:y2-l

7.（2024?重慶?中考真題）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)/=麗，若滿足a+d=6+c=9,則稱這

個(gè)四位數(shù)為"友誼數(shù)".例如：四位數(shù)1278,01+8=2+7=9,回1278是"友誼數(shù)".若麗是一個(gè)"友誼數(shù)"，

且6-a=c-6=1,則這個(gè)數(shù)為；若/=麗是一個(gè)"友誼數(shù)"，設(shè)尸（/）=#,且尸必亡改土絲是

整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得至〔Ja+d=b+c=9,再由人一〃=。一〃=1可求出〃、b、c、d

的值，進(jìn)而可得答案；先求出M=9994+906+99,進(jìn)而得到%〃）+仍+，=9a+8+3“+"6,根據(jù)

1313

/（為）+“"+空是整數(shù),得到9a+8+”等是整數(shù)，即3°：7+6是整數(shù),貝1]3。+6+6是13的倍數(shù)，求

131313

出aV8,再按照。從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：回麗是一個(gè)"友誼數(shù)"，

小方格中的數(shù)據(jù)是由其□□口

所對(duì)的兩個(gè)數(shù)相乘得到

,如：2=卜2

4+9=13

團(tuán)a+d=Z?+c=9,滿十進(jìn)一?

02—9736

036

圖1

又團(tuán)b-a=c-b=l,

團(tuán)Z?=4,c=5,

團(tuán)a=3,d=6、

回這個(gè)數(shù)為3456；

0M=麗是一個(gè)"友誼數(shù)",

團(tuán)M=1000a+1OOZ?+1Oc+d

二1000〃+1006+10（9-b）+9-〃

=999a+90〃+99,

0F（M）=y=111（7+10/2+11,

F{<M^+ab+cd

0

13

111。+10Z?+11+10。+b+10c+d

~13

llla+10b+ll+10a+b+10（9-b^+9-a

一13

_120^+^+110

一13

117（2+3〃+Z?+104+6

一13

八c3。+Z?+6

=9〃+8+------------

13

回/（M）+〃Z2+cd是整數(shù)

13

3〃+Z?+63a+Z?+6

團(tuán)9〃+8+是整數(shù),即是整數(shù)

1313

回3。+6+6是13的倍數(shù),

團(tuán)口、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且a+d=6+c=9,

13<7<8,

團(tuán)當(dāng)a=8時(shí)，31<3a+Z?+6<38,此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)4=7時(shí)，2843a+6+6435,此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)4=6時(shí)，25<3a+6+6V32,此時(shí)可以滿足3a+6+6是13的倍數(shù)，即此時(shí)6=2,則此時(shí)d=3,c=7,

團(tuán)要使M最大，則一定要滿足。最大，

回滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273.

A考向四整式的乘除

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘法則：將系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，相同字母的嘉相乘，單獨(dú)在一個(gè)單項(xiàng)式里的字母

連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

4.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。

5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

考查角度1塞的運(yùn)算

8.（2024?廣東?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.a2-a5=a10B.a-"C.-2a+5a=7aD.（a2）5=aw

【答案】D

【分析】本題主要考查了同底數(shù)褰乘除法計(jì)算，騫的乘方計(jì)算，合并同類(lèi)項(xiàng)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：A、a2-a5=a7,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B^as4-a2=a6,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、-2a+5a=3a,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、（"）5="。，原式計(jì)算正確，符合題意；

故選：D.

9.（2024?河北?中考真題）若a,6是正整數(shù)，且滿足扛曰二必二且二S二，則a與b的關(guān)系正

8個(gè)2。相加8個(gè)2”相乘

確的是（）

A.a+3=8>B.3a=8bC.a+3=bsD.3a=8+b

【答案】A

【分析】本題考查了同底數(shù)鬲的乘法，鬲的乘方的運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由題意得：8、2。=（2〃丫，利用同底數(shù)塞的乘法，器的乘方化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：由題意得：8x2fl=（2fc）8,

023x2a=28\

回3+a=86,

故選：A.

10.（2024?天津?中考真題）計(jì)算f+尤6的結(jié)果為

【答案】X2

【分析】本題考查同底數(shù)鬲的除法，掌握同底數(shù)鬲的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：彳8+/=/,

故答案為:X2.

考查角度2單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式

11,（2024?湖北?中考真題）2x-3/的值是（）

A.5x2B.5x3C.6x2D.6x3

【答案】D

【分析】本題主要考查單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法.運(yùn)用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出結(jié)果即可判斷.

【詳解】解:2X-3X2=6X3,

故選：D.

考查角度3單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

12.（2024?甘肅蘭州?中考真題）計(jì)算：2”（a-1）-2/=（）

A.aB.C.2aD.—2a

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可.

【詳解】解?2a（a—l）—2a2

=2a2—2a—2a~

=-2a

故選：D.

考查角度4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

13.（2024?山東威海?中考真題）因式分解：（x+2）（x+4）+l=.

【答案】（*+3）2

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

【詳解】解：（x+2）（x+4）+l

=x?+4x+2x+8+1

=x2+6x+9

=（X+3）2

故答案為：（x+3y.

考查角度5平方差公式

14.（2024?上海?中考真題）計(jì)算（。+方）（0-。）=.

【答案】b2-a2

【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解:（a+b）（.b-a）

=(b+a)(b—a)

=b2—a2,

故答案為:b2-a2.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握.

考查角度5完全平方公式

15.(2024?黑龍江大慶?中考真題)已知a+1=唐，貝”/+二的值是.

aa

【答案】3

【分析】根據(jù)a+-=V5,通過(guò)平方變形可以求得所求式子的值.

a

【詳解】解：回a+工=而，

a

D=5，

1

團(tuán)CL9H—z-+2=5,

a

1

回a9H———3,

a

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式.

A考向五整式的混合運(yùn)算

16.(2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中加=g.

【答案】4m-9；1

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算及其求值，先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再代值求解即可.

【詳解】解：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)

=2m—加2+2m+m2—9

=4m—9.

當(dāng)m=*時(shí)，原式=4x9-9=10-9=1.

22

考點(diǎn)二因式分解

A考向一提公因式法因式分解

17.(2024?浙江?中考真題)因式分解：a2-la=

【答案】a(?-7)

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，先提公因式”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：一7).

故答案為：?(a-7).

18.(2024?江蘇徐州?中考真題)若力訓(xùn)=2,m-n=l,則代數(shù)式1〃-加/的值是.

【答案】2

【分析】本題考查代數(shù)式求值.先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：回wz=2,m-n=l,

n^n—mn2=nm^m—n)=2x1=2,

故答案為：2.

A考向二公式法因式分解

19.(2024?西藏?中考真題)分解因式：尤2-4尤+4=.

【答案】(X-2)2/(2-X)2

【分析】本題考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：x2-4x+4=(x-2)2,

故答案為：(x-2)2.

20.(2024?四川涼山?中考真題)已知且a—》=—2,則a+Z>=.

【答案】一6

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先把/-加=12的左邊分解因式，再把。-6=-2代入即可求出的

值.

【詳解】解:回/一4=12,

0(a+Z?)(a-Z?)=12,

^\a-b=-2,

團(tuán)a+b=-6.

故答案為：-6.

21.(2024?陜西?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(x+〉y+x(x-2y),其中尤=1,y=-2.

【答案】2x?+廣6

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算以及求值.根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再

合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入即可求解.

【詳解】解：(尤+?+尤(x-2y)

=x2+2xy+y2+x2-2xy

=2x2+y2；

當(dāng)x=l,y=-2時(shí)，

原式=2xF+(_2)2=2+4=6.

_.、bQ

22.(2024?福建?中考真題)已知實(shí)數(shù)a,瓦。,機(jī),幾滿足3根+〃=—，如:=—.

aa

(1)求證：/-⑵。為非負(fù)數(shù)；

⑵若a,b,c均為奇數(shù)，〃〃是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

⑵私”不可能都為整數(shù)，理由見(jiàn)解析.

【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.

(1)根據(jù)題意得出人=。(3m+")"=劭加，進(jìn)而計(jì)算廿一12砒，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)分情況討論，①機(jī),〃都為奇數(shù)；②m，“為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

已知條件分析即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)?m+77=—,〃?〃=—,

aa

所以Z?=a(3m+M，c=〃OT：.

則〃2-12ac=[a(3m-\-n^f-12a2rm

=a2(9m2+6mn+*)—12a2mn

=a2(9m2—6mn+/)

=a2(3m-n)2.

因?yàn)閍,%〃是實(shí)數(shù)，所以〃2。加—〃)2>o,

所以后—12初為非負(fù)數(shù).

(2)加，〃不可能都為整數(shù).

理由如下：若根，〃都為整數(shù)，其可能情況有：①相/都為奇數(shù)；②也〃為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù).

①當(dāng)W都為奇數(shù)時(shí)，貝(]3m+〃必為偶數(shù).

b

又3m+”=-，所以6=。(3m+“).

因?yàn)椤槠鏀?shù)，所以43機(jī)+〃)必為偶數(shù)，這與6為奇數(shù)矛盾.

②當(dāng)私〃為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則〃譏必為偶數(shù).

又因?yàn)?7〃=-,所以C=WM.

a

因?yàn)?。為奇?shù)，所以卬曲必為偶數(shù)，這與。為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，，"，〃不可能都為整數(shù).

23.（2024?安徽?中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展探究活動(dòng)，研究了"正整數(shù)N能否表示為，均為

自然數(shù)）”的問(wèn)題.

⑴指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（〃為正整數(shù)）：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般結(jié)論2n-l=n2-(H-1)24〃=

按上表規(guī)乍再，完成下列問(wèn)題：

（i）24=（）2_（）2；

（ii）4n=；

⑵興趣小組還猜測(cè)：像2,6,10,14,…這些形如4"-2（"為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為/-V（劉y均

為自然數(shù)）.師生一起研討，分析過(guò)程如下：

假設(shè)4〃-2=Y-y2,其中方）均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若X,y均為偶數(shù)，設(shè)x=2Z,y=2m,其中后加均為自然數(shù)，

則x2-y2=（2k）2-（2m）2=4（，一一）為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故X，）不可能均為偶數(shù).

②若無(wú)丁均為奇數(shù)，設(shè)x=2Z+l,y=2m+l,其中后根均為自然數(shù)，

貝IJd—丁=(24+1)2—(2m+1)2=為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故%，，不可能均為奇數(shù).

③若入，)一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則/-產(chǎn)為奇數(shù)

而4〃-2是偶數(shù)，矛盾.故%，，不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫(xiě)所缺內(nèi)容.

【答案】(1)(i)7,5；(ii)(?+1)2-(?-1)2；

(2)4(左2—nt+k—m\

【分析】(1)(i)根據(jù)規(guī)律即可求解；(近)根據(jù)規(guī)律即可求解；

(2)利用完全平方公式展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴(i)由規(guī)律可得，24=72-5,

故答案為：7,5；

(ii)由規(guī)律可得，4n=(n+l)2-(n-l)2,

22

故答案為：(?+1)-(?-1);

(2)解：假設(shè)4w-2=/_/其中％,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若X，＞均為偶數(shù)，設(shè)x=2%,y=2m,其中后加均為自然數(shù)，

則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(/-川)為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故左，，不可能均為偶數(shù).

②若劉y均為奇數(shù)，設(shè)x=2%+l,y=2/77+1,其中％，機(jī)均為自然數(shù)，

貝IJf_/=但左+ip一(2m+=4化2-〃，+左一時(shí)為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故工，，不可能均為奇數(shù).

③若入，)一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則/-產(chǎn)為奇數(shù)

而4"-2是偶數(shù)，矛盾.故X，＞不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

故答案為:4(^k2-m2+k-mj.

7新題特訓(xùn)/

一、選擇題

1.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）若a4-c=a-（）,則括號(hào)中應(yīng)填入（）

A.b-cB.—b+cC.b+cD.—b—c

【答案】c

【分析】本題主要考查了添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；若

括號(hào)前是添括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：匕-C=a-（6+c）,

故選：C.

2.（2024?河南關(guān)R州?模擬預(yù)測(cè)）給出下列判斷：①在數(shù)軸上，原點(diǎn)兩旁的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)都互為相反數(shù)；

②多項(xiàng)式3孫2-4尤3>+12是三次三項(xiàng)式；③任何正數(shù)都大于它的倒數(shù)；④言=言+1變?yōu)?0x=100x+15利

用了等式的基本性質(zhì).其中正確的說(shuō)法有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查相反數(shù)的概念、數(shù)軸的基本概念、等式的基本性質(zhì)、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的基本概念以

及倒數(shù)的概念。

根據(jù)相反數(shù)，可判斷①，根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)，可判斷②，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可判斷③，根據(jù)

等式的性質(zhì)，可判斷④.

【詳解】解；①只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，故①錯(cuò)誤；

②多項(xiàng)式3孫2-4-〉+12是四次三項(xiàng)式，故②錯(cuò)誤；

③小于1的正數(shù)小于它的倒數(shù)，故③錯(cuò)誤；

④福=急+1變?yōu)?0x=100x+15利用了等式的基本性質(zhì)，故④正確；

故選：B.

3.（2024?河南?一模）在學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域知識(shí)時(shí)，小明對(duì)代數(shù)式做如圖所示的分類(lèi)，下列選項(xiàng)符合▲的

是（）

r單項(xiàng)式——例如：2。

一整式J

有理式J一1多項(xiàng)式——例如：▲

I分