2025年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：相交線與平行線、全等三角形、圓、無刻度作圖大題綜合（解析版）

猜押06相交線與平行線、全等三角形、

圓、無刻度作圖大題綜合

押題依據(jù)

猜押考點(diǎn)3年武漢真題考情分析押題依據(jù)難度

2023年第18題（平行以解答題形式考查平行線相交線與平行線是幾何基

相交線與線性質(zhì)與等邊三角形判性質(zhì)、角平分線應(yīng)用及三礎(chǔ)，常與三角形綜合考查，

中

平行線定）2022年第18題（平角形形狀判定，需結(jié)合邏2025年可能會(huì)作為基礎(chǔ)題型

行線角度計(jì)算與證明）輯推理與幾何證明考查

綜合考查全等三角形的判全等三角形是幾何證明核心

全等三角2024年第18題（三角

定定理，平行四邊形的判工具，常與其他圖形綜合，中

形形全等的判定）

定2025年持續(xù)考查

2024年第20題（圓的

切線證明與三角函數(shù)應(yīng)

綜合考查切線性質(zhì)、圓周圓是幾何重難點(diǎn)，常與三角

用）2023年第20題（圓

圓角定理、勾股定理等，需形、四邊形結(jié)合，2025年仍中

周角定理與勾股定理）

通過輔助線構(gòu)建幾何關(guān)系為重點(diǎn)題型

2022年第20題（圓與

等腰直角三角形綜合）

2024年第21題（旋轉(zhuǎn)、

對(duì)稱與作圖）2023年第以網(wǎng)格為背景，考查旋轉(zhuǎn)、

無刻度作圖體現(xiàn)幾何直觀與

無刻度作21題（旋轉(zhuǎn)與相似三角對(duì)稱、平行四邊形等幾何中偏

動(dòng)手能力，武漢中考高頻考

圖形構(gòu)造）2022年第21變換的作圖能力，需結(jié)合難

點(diǎn)，2025年延續(xù)命題

題（對(duì)稱與全等三角形幾何性質(zhì)分析

應(yīng)用）

押題陵測(cè)

題型一相交線與平行線

1.（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?期末）如圖，在△4BC中，ZCAB=70°,在同一平面內(nèi)，將△NBC繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)到△/8'C',使得CC'〃/3,求/C4C'的度數(shù).

【答案】40°

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/C=/C',再結(jié)合

CC//AB,可推出結(jié)果.

【詳解】解：?.?將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△，夕C,

AC=AC,

：.ZACC=ZACC,

又：CC//AB,

：.AACC=ACAB=70°,

NAC'C=70°,

.?.ZC4C=180°-2x70°=40°.

2.(24-25九年級(jí)上?湖北武漢?期末)如圖，將△4BC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80。得到連接2”

⑴判斷的形狀為;

Q)若AE〃:BD,求/C4。的度數(shù).

【答案】(1)等腰三角形

(2)30°

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可推出結(jié)論；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/E/C=/D48=80。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/E4D==50。，從而得出結(jié)

果；

解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

【詳解】(1)解：???將A/BC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80。得到

AB=AD,

??.△4BD的形狀為等腰三角形，

故答案為：等腰三角形；

(2)???將△4BC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°得到LADE,

??.AB=AD,/BAD=ZCAE=80°，

AABD=ZADB=1(180°-Z5y4D)=1x(180o-80°)=50°,

AE//BD,

ZEAD=ZADB=50°..

ZCAD=ZCAE-ZEAD=80°-50°=30°,

.?.NC4D的度數(shù)為30。.

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))如圖，BE是△/BC的角平分線，點(diǎn)。在N8上，且DE〃BC.

(2)在8C上取一點(diǎn)尸，連接砂，添加一個(gè)條件，使四邊形3DE尸為菱形，直接寫出這個(gè)條件.

【答案】(1)見解析

⑵在BC上取一點(diǎn)F,使得BF=DE,

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的判定方法成

為解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到ZDBE=/D班，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)菱形的判定定理即可解答.

【詳解】(1)解：:BE是//8C的角平分線，

:.ZDBE=ZCBE,

■：DE//BC,

：.ZDEB=ZCBE,

???ZDBE=ZDEB,

?*.DB—DE.

(2)解：如圖：在BC上取一點(diǎn)尸，使得毋'=DE,連接E尸，則四邊形5。斯為菱形，理由如下：

-：DE//BC,BF=DE,

???四邊形BDEF為平行四邊形,

DB=DE,

四邊形2Z）所為菱形.

4.（新考向）如圖，直線?！?,直線?！╠,Nl=108。，求N2,/3的度數(shù).

【答案】Z2=108°,Z3=72°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)?！?可求出/2的度數(shù)，根據(jù)?！╠可求出/3的度數(shù).

【詳解】解：?"IS,4=108。,

Z2=Z1=1O8°.

'：c//d,

Zl+Z3=Z180°,

Z3=180o-Zl=180°-108°=72°.

5.（新考向）如圖，AB//CD,AEFG的頂點(diǎn)尸，G分別落在直線。上，GE交AB于點(diǎn)H,GE平

分NFGD,若NEFG=NEGF=1Q°,求NEPS的度數(shù).

【答案】30。

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì).由角平分線的定義求出

ZEGD=70°,由三角形內(nèi)角和定理求出ZE,再由平行線的性質(zhì)求出"HG=/EG。=70。，利用平角的定

義求出ZFHE,最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出NEFB.

【詳解】解：；GE平分ZFGD,

.-.ZEGF=ZEGD,

???ZEFG=ZEGF=70°,

：.ZEGD=70°,NE=180°-ZEFG-NEGF=40°,

???AB//CD,

ZFHG=NEGD=70°,

NFHE=1SO°-ZFHG=110°,

ZEFB=180°-ZE-ZFHE=30°.

題型二全等三角形

1.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊8c中過頂點(diǎn)A作E為上任意一點(diǎn)，連BE,

將/E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸.

⑴求證：“BE%ACF；

⑵連接EC,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形/EC尸為菱形.（不需要說明理由）

【答案】（1）證明過程見詳解

（2）添加條件：AE=EC（答案不唯一）

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到==運(yùn)用邊角邊即可求證;

（2）添加條件：/￡=EC,根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：???△28C是等邊三角形，

AB=AC,ZBAC=60°,

???將AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

；.NEAF=60°,

ABAC-ADAC=NEAF-ADAC,即ABAE=ZCAF,

在和"CF中，

AB=AC

<NBAE=ZCAF,

AE=AF

.?.AABEQAACF（SAS）；

（2）解：如圖所示，

添加條件：AE=EC,

由(1)的證明可得，AE=AF,ZBAE=ZCAF,

是等邊三角形，AD1BC,

ABAD=ACAD,

；.NEAC=ZFAC,

???AE=EC,

ZEAC=ZECA,

ZFAC=ZECA,

.-.AF\\EC,^.AF=AE=EC,

四邊形/EC尸是平行四邊形，

二平行四邊形/ECF是菱形，

二添加條件：4E=EC(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，

掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等的三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.(2025?湖北武漢?一模)如圖，在口43CD中，點(diǎn)、E,P分別在48和DC上，且跖經(jīng)過對(duì)角線NC的中

點(diǎn)。.

(1)求證：“AEO知CFO；

(2)連接/月和CE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形NECF是菱形.(不需要說明理由)

【答案】(1)見解析

(2)￡7_1/?；?￡=￡。或/。平分/￡/斤(答案不唯一)

【分析】此題考查全等三角形的判定，平行四邊和菱形的判定，解題的關(guān)鍵熟練掌握平行四邊和菱形的判

定定理；

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出乙4￡。=/。尸。，ZEAO=ZFCO.進(jìn)而利用AAS證明三角形全等即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的判定解答.

【詳解】(1)證明：???四邊形/2CD是平行四邊形，

AB//DC,

：.ZAEO=ZCFO,ZEAO=NFCO.

???。是/C的中點(diǎn)，

OA=OC.

??.AAEO=ACFO.

(2)添加砂，/C,

理由：四△CFO,

/.OE=OF,

-：OA=OC,

???四邊形AECF是平行四邊形，

-EFLAC,

???四邊形4EC尸是菱形；

添加AE=EC,

理由：???△//。^△。尸。，

AE=CF,

在口48cZ）中

AE//FC,

???四邊形AECF是平行四邊形,

AF=CE,

???AE=EC,

AE=CF=AF=CE,

???四邊形4EC尸是菱形；

添加/C平分/切尸，理由如下:

???四邊形45CD是平行四邊形，

ABIIDC,

ZOAE=ZOCF.

???0是4。的中點(diǎn)，

：,OA=OC,.

在4AEO和△CR9中

ZOAE=ZOCF

<OA=OC

ZAOE=ZCOF

：.AAEO%CFO,

??.OE=OF,

-OA=OC,

.?.四邊形AECF是平行四邊形，

?:AC平分NEAF,

；.NEAC=ZFAC,

AB//DC,

ZEAC=ZFCA,

ZFAC=ZFCA,

???AF=CF,

.??四邊形NEC廠是菱形；

綜上所述：添加或=或/C平分/E4F（答案不唯一）.

3.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在口/BCD中，點(diǎn)G,，分別是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸在對(duì)角線NC

上，且/E=CF.

⑴求證：AAGE烏八CHF；

（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形GFHE是菱形（不要求證明）.

【答案】（1）見解析

Q）GE=GF（答案不唯一）

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得/A4C=//C。，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得/￡=C〃，根據(jù)全等三角

形的判定方法“邊角邊”即可求證；

（2）由（1）可知△NGE經(jīng)△SR（SAS）,可得GE=HF,NAEG=NCFH,運(yùn)用平角的計(jì)算可得

ZGEF=AHFE,可得四邊形GFHE是平行四邊形，再進(jìn)一步即可求證.

【詳解】（1）證明：???四邊形是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

■■.ABAC=NACD,

?.?點(diǎn)G,X分別是48,。的中點(diǎn)，

AG=BG=-AB,CH=DH=-CD,

22

；.AG=CH,

在AAGE與ACHF中，

AG=CH

<ZGAE=AHCF,

AE=CF

△/GE空△CHF(SAS).

(2)證明：添加：GE=GF,理由如下：

由(1)可知，AAGE咨ACHF(SAS),

：.GE=HF,NAEG=NCFH,

■：NAEG+ZGEF=180°,ZCFH+NHFE=180°,

ZGEF=AHFE,

GE//HF,

???四邊形￡G/W是平行四邊形.

-,?GE=GF,

???四邊形是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)

的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

4.(新考向)如圖，在口48CD中，對(duì)角線NC與2。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作一條直線分別交ND,BC于點(diǎn)、

⑴求證：OE=OF；

(2)已知。4=連結(jié)/尸，CE.求證：四邊形4FCE為矩形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)證明AO/E%OC/(ASA),即可得出結(jié)論；

(2)先證明四邊形/FCE是平行四邊形，再證明/C=EF,然后由矩形的判定即可得出結(jié)論.

本題考查了矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的

判定和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：???四邊形是平行四邊形，

,-,AD//BC,OA=OC.

ZOAE=ZOCF.

在ACME和△OC/中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC,

AAOE=NCOF

.?.AOAE^AOCF(ASA),

OE=OF.

(2)證明：-.OA=OC,OE=OF,

???四邊形AFCE是平行四邊形.

又「OA=OE,

；.AC=EF,

???四邊形NFCE為矩形.

5.(新考向)如圖，△4BC中，AD1BC,垂足為。，BEVAC,垂足為E,與BE相交于點(diǎn)尸,

BF=AC.

⑴求證："DC"ABDF；

Q)若DF=2,//=3,求8C的長

【答案】(1)見解析

⑵7

【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用AAS證明兩個(gè)三角形全等”是解本題的關(guān)

鍵.

(1)先證明NBDF=NADC,ACAD=ZFBD,然后根據(jù)AAS,再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；

(2)根據(jù)。尸=2,AF=3,得出4。=/尸+。尸=3+2=5,根據(jù)A4DC咨AAD廠得出8。=/。=5,

CD=DF=2,最后根據(jù)和差間的關(guān)系，得出答案即可.

【詳解】(1)證明：???AD1BC,

NBDF=ZADC=90°,

?；BE工AC,

ZBEC=90°,

ACAD+ZACD=ZACD+NDBF=90°,

ACAD=NDBF,

?；BF=AC,

:.AADCABDF'S；

(2)解：DF=2,AF=3,

..AD=AF+DF^3+2=5,

???AADCaBDF,

...BD=AD=5,CD=DF=2,

：.BC=BD+DC=5+2=7.

6.（新考向）如圖，在△/8C中，點(diǎn)￡在48邊上，且點(diǎn)K不與點(diǎn)A,3重合，點(diǎn)。在NC的延長線上，ED

交BC于點(diǎn)、F,過點(diǎn)G作EG///C交5c于點(diǎn)G.

⑴若點(diǎn)尸是ED的中點(diǎn)，求證：AEGF冬ADCF；

⑵在（1）的條件下，若BE=DC=CF,ND=20。,求//的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

⑵乙1=100。.

【分析】（1）由EG//ZC,點(diǎn)/是瓦>的中點(diǎn)，則=ZFEG,EF=DF,然后根據(jù)“AAS”證明AEGFADCF

即可；

（2）由3E=DC=CF,AEGF%DCF,則DC=EG=BE=CF=GF,再根據(jù)等邊對(duì)等角，對(duì)頂角相等,

三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】（1）證明：???EG///C,點(diǎn)尸是血的中點(diǎn)，

ZD=2FEG,EF=DF,

在AEGF與ADCF中，

ZD=ZFEG

<ZEFG=ZCFD,

EF=DF

：.AEGFADCF{A2,

⑵解：“EGF均DCF,

：.DC=EG,CF=GF,

BE=DC=CF,

DC=EG=BE=CF=GF,

:"D=NCFD,ZB=ZEGB,NFEG=NEFG,

?；ND=20°,

:.ND=ZCFD=NEFG=20°,NEFG=ZFEG=20°,

.-.ZB=NEGB=40°,ZACF=40°,

■.ZA=180°-ZB-ZACF=100°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角，對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和

定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

題型三圓

1.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中半徑。4,03,連接48,C為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接/C、BC,

ZOAC=30°,ZOCA=30°,連接CO并延長交48于點(diǎn)D

⑴求證：0c為。。的半徑；

⑵若03=1+6，CD=3+C,求。8的長度.

【答案】（1）見解析

⑵行

【分析】（1）根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論；

（2）過點(diǎn)。作D￡J_08于點(diǎn)E,則NOEO=N8ED=90。證明48。。=30。，求出OD=CD-OC=2,則

DE=goD=l,得到OE=百，求出的=O8-OE=1,勾股定理即可求出。3即可.

【詳解】（1）證明：???NCMC=30。，ZOCA=30°,

ZOAC=ZOCA,

：.AO=CO,

???。/是。。的半徑，

??.OC為。。的半徑；

（2）解：過點(diǎn)。作。E_L08于點(diǎn)E,則/。瓦＞=/8￡。=90。，

?.?在00中半徑CM1.02,0A=0B,

.-.ZBOA=90°,

N4CB=LZAOB=45°,ZOAB=NOBA=45°

2

ZOCB=ZACB-AACO=15°

■：OC=OB=AO,

20cB=NOBC=15°,

ZBOD=ZOCB+NOBC=30°,

■：CO=OB=\+y[?>,CD=3+V3,

.-.OD=CD-OC=1,

,-.DE=-OD=\,

2

OE=yJOD2-DE2=V3，

.-.BE=OB-OE=1,

DB=4DE2+BE2=Vl2+12=41

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、含30。角直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?湖北武漢?一模）如圖，P/是。。的切線，A為切點(diǎn)，N3是直徑，8c是弦，連接OP,PC,

BC//OP.

⑴求證：PC是。。的切線；

（2）連接NC,交0P于。點(diǎn)，連接AD,若BD〃CP,PD=2.

①求的長；

②直接寫出的長.

【答案】（1）證明見解析

⑵①1②血

【分析】（1）連接OC,由切線的性質(zhì)定理可得/尸/。=90。，由兩直線平行同位角相等可得

ZAOP=ZOBC,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得/COP=/0C8,由等邊對(duì)等角可得/02C=/OCB,進(jìn)而

可得乙4OP=NCOP,再結(jié)合Q4=OC,OP=OP,利用SAS可證得△CM尸也△OCP,于是可得

ZPCO=ZPAO=90°,即OCL尸C,然后由切線的判定定理即可得出結(jié)論；

（2）①由BC〃。尸，BD〃CP可得四邊形ADPC是平行四邊形，于是可得8C=DP=2,由切線長定理可

得尸/=PC,再結(jié)合。4=OC,可得OP垂直平分NC,則=再結(jié)合0/=。8,可知是△NBC

的中位線，由三角形的中位線定理可得OO=gBC,由此即可求出的長；②由OP垂直平分NC可得

NPDA=NADO=9Q°,由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/PND+/4PD=90。，由（1）得NP/O=90。,

則進(jìn)而可得=由此可證得于是可得一二一,即

ADOD

AD2=ODPD,進(jìn)而可得＞。=JOD.PD,由此即可求出4D的長.

BC//OP,

ZAOP=ZOBC,ZCOP=ZOCB,

■：OB=OC,

ZOBC=ZOCB,

ZAOP=乙COP,

又?.Q=OC,OP=OP,

:.^OAP^OCP(SAS),

ZPCO=Z.PAO=90°,

OC1PC,

???oc是。。的半徑，

PC是。。的切線；

(2)解：BC//DP,BD//CP,

???四邊形8DPC是平行四邊形，

BC=DP=2,

■.■PA,尸C是。O的切線，

PA=PC,

又：O4=OC,

。戶垂直平分NC,

DA=DC,

又，：OA=OB,

是A/BC的中位線，

:.OD=~BC=-x2=\.

22

②「OP垂直平分NC,

/PDA=ZADO=90°,

，/PAD+ZAPD=90°,

由(1)得："40=90。,

ZPAD+ZOAD=90°,

/APD=ZOAD,

:AAPDs小OAD,

,PDAD

\4D~~OD，

AD2=ODPD,

AD=yJODPD=Vb^2=41-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì),

切線長定理，三角形的中位線定理，切線的判定定理，切線的性質(zhì)定理，等邊對(duì)等角，線段垂直平分線的

判定，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

3.(24-25九年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí))如圖，是△/BC的外接圓，48是。。的直徑，點(diǎn)。為延

長線上的一點(diǎn)，連接CD,若NBCD=NA,

(1)求證：直線CD是。。的切線；

(2)若/C=28C,/￡>=6,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

璉

【分析】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),

熟練掌握?qǐng)A的切線的判定是解題關(guān)鍵.

(1)連接OC,先根據(jù)圓周角定理可得N/C8=90。，從而可得乙4。0+/2。0=90。，再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)可得44co=乙4,則N"D+Z8CO=90。，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；

3

(2)先證出△8CDSAC4D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CD=3,8。=己，再根據(jù)線段的和差可得的

長，由此即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

A

O

\\\\JB

\\I

\\I

CD

???45是OO的直徑，

??.NACB=90°,

.-.ZACO+ZBCO=90°,

-OA=OC,

??.NACO=NA,

.?.N4+/BCO=9。。,

???/BCD=/A,

："BCD+/BCO=9G。,

.??NOC0=9O。，即OC_LCZ),

又???OC是oo的半徑，

???直線CD是。。的切線.

(2)解：在△BCD和△C4。中，

)/BCD=ZA

[ZD=ZD'

???/\BCDs/\CAD,

BCBDCD

??就一五一茄‘

-AC=2BC,AD=6,

BDCD

^~CD~~6~~2,

13

：.CD=3,BD=—CD=—,

22

39

AB=AD-BD=6——=—,

22

1Q

??.。。的半徑為7/5=二.

24

4.(24-25九年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí))如圖，45是OO的直徑，點(diǎn)C、。在O。上，AD、BC交于點(diǎn)E,

且OD1BC,。過點(diǎn)E作斯_L/5于點(diǎn)?

【答案】（1）見解析

（2）2^Z1

2

【分析】（1）連接/C,根據(jù)垂徑定理可得而=6,利用圓周角定理得到/C/E=/E4E,再由是的

直徑，可得到N/CB=90。，最后由角平分線的性質(zhì)可得出結(jié)論；

（2）連接CO,設(shè)BCQD交于點(diǎn)、G,可設(shè)EF=a,BF=2a,則BE=dEF?+BF2=^a，可得8C=a+其,

則CG=32C=g（a+氐），再求得

GE=?1a.再證明AN￡CSA￡）￡G,最后由相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

2

BD=CD>

ZCAE=NFAE,

是的直徑，

ZAC，

■：EFVAB,

CE=EF

(2)解:如圖，連接CO,設(shè)BCQD交于點(diǎn)G,

根據(jù)3尸=2￡F,可設(shè)石尸=Q,B尸=2a,

貝（JBE=^EF2+BF2=屈.

結(jié)合（1）知CE=EF=a,

BC=a+y/5a,

則CG=g8C=：（a+V^z）,

:NACB=9Q°=NCGD,

:.AC//OD,

:.AAECSADEG,

,DEGEV5-1

"14E~~CE~2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，角平分線的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟

知圓周角定理，垂徑定理，角平分線的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(24-25九年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí))如圖△ABC中，XABC=90°,C。平分//C8交于點(diǎn)。，以

點(diǎn)。為圓心，08為半徑作。O.

(1)求證：與/C相切；

(2)若2c=6,/C=10,求。。的半徑.

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)3

【分析】本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，圓的切線的定義，過圓心作直線

的垂線是解決此類問題常添加的輔助線.

(1)過點(diǎn)。作。尸，。于點(diǎn)/，，利用圓的切線的性質(zhì)定理和角平分線的性質(zhì)得到。尸=02,再利用圓的

切線的定義解答即可；

（2）利用切線長定理和勾股定理解答即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：過點(diǎn)。作。b_LC4于點(diǎn)尸，如圖,

ZABC=90°，OB為半徑作。。.

8。是的切線，

?.?CO平分/NC8,OB1.CB,OF1CA,

OF=OB,

?「OB是。。的半徑，

尸為。。的半徑，

圓心到直線/C的距離等于。。的半徑，

:/C是。。的切線；

（2）解：；2C、NC是。。的切線，BC=6,

:.CB=CF=6,

■：AC=10,

AF=AC-CF=4,

■■■RaABC中，偵=^AC2-BC2=V102-62=8，

「RtANOF中，AO2=AF2+OF2,

即（8=0^+42,

:.OB=3,即。。的半徑為3.

6.（新考向）如圖，在△NBC中，AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，/4BC的平分線交/。于點(diǎn)E.點(diǎn)。在4D

的延長線上，以。為圓心，OE為半徑的。。經(jīng)過點(diǎn)B,C.

⑴若/3=26,BDM,求。。的半徑；

⑵設(shè)。。與的延長線交于點(diǎn)尸，M是CF的中點(diǎn)，MD的延長線與交于點(diǎn)N.求證：BN=BD.

【答案】(1)2

(2)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相

關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)因?yàn)?。是的中點(diǎn)，所以AD垂直平分8C.又AB=26,BD=^,所以/民4。=30。,

ZABD=60,由于BE是—4RD的平分線，所以N4BE=NDBE=3。。.從而48￡。=60。，又OB=OE,得

至ijNOBE=Z8ED=60°,得出NN8O=//BE+NO8E=30°+60°=90。.設(shè)。。的半徑為「，則。8=/，

OA=2r,所以(2出了+r=(2療，解得廠=2.故0O的半徑為2.

(2)在Rt^CD廠中，M是CF的中點(diǎn)，所以MO=MC=ZMDC=ZMCD,

ZMDF=ZMFD.由于/MFD=ZD5E,ZMDF=ZADN,所以NDBE=NADN,NADN+NBDN=90°,

NDBE+NBDN=9Q°,即2E_LND,又BE是—NAD的平分線，所以NBND=NBDN,故BN=BD.

【詳解】(1)解：如圖，連接。￡,

-：AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，

???40垂直平分8c.

???AB=2^3,BD=y/3,

.^_BD_也_1

sin/5D/AZT)=——六——,

AD2/2

ZBAD=3Q°,

A/ABD=90°-ABAD=60°,

??,BE是的平分線，

A/ABE=/DBE=30。.

A/BED=60°,

?「OB=OE,

/OBE=/BED=60°,

NABO=/ABE+/OBE=30°+60°=90°,

設(shè)OO的半徑為乙則05=，OA=2r,

AB2+OB2=AO2

.?.（2百『+產(chǎn)=（2r）2,

解得r=2.

故OO的半徑為2.

A

AF

（2）證明：在Rt^CDb中，〃是C尸的中點(diǎn),

:.MD=MC=MF.

ZMDC=ZMCD,ZMDF=ZMFD.

???ZMFD=ZDBE,ZMDF=ZADN,

AZDBE=ZADN,

?：ZADN+ZBDN=90°,

:"DBE+/BDN=90。,

/.BE1ND,

是/ZB。的平分線，

??.ZBND=ABDN,

BN=BD.

7.（新考向）如圖，△48。內(nèi)接于OO,連結(jié)4。交C5于點(diǎn)，交O。于點(diǎn)E,已知Nl+N2=90°.

⑴求證：tanZ1=—；

Ji.

（2）若CD=3,AC-4,求N8的長；

（3）若C/=C8,設(shè)。。的半徑為心求△4BC的面積（用含r的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）見解析

⑵回不7

⑶（行+M

2

【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得乙4c￡=90。，再由同角的余角可得/4EC=/2,則CD=CE,最后由

三角函數(shù)定義即可得結(jié)論；

12

（2）如圖2,過點(diǎn)。作3，/￡于"，根據(jù)勾股定理可得ZE=5,由面積法得。0=不，由勾股定理得

915

EM=~,由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：DE=2EM=r,最后由圓周角定理，對(duì)頂角相等，等角對(duì)

58

等邊即可解答；

(3)如圖3,連接C。并延長交48于尸，連接02,先根據(jù)垂徑定理得：ZAFO=ZBF0=90°,AF=BF,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：NDCE=NACB,則藍(lán)=前，A/OB是等腰直角三角形，設(shè)/尸=。，貝U

OF=a,由勾股定理和三角形的面積即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖1,

圖1

???4E?是。。的直徑，

；./ACE=90°,

：.Z1+ZAEC=9Q°,

Zl+Z2=90°,

NAEC=Z2,

CD=CE,

八CE

tanZ1=-----,

AC

「CD

.?.tanz_l=-----；

AC

(2)解：如圖2,過點(diǎn)。作。眩，4￡于",

A

B

圖2

?；CD=CE=3,AC=4,ZACE=90°,

??AE=^32+42=5,

??.S/M=LX3X4='X5CM,

△ABH22

9

由勾股定理得：EM=

5

?：CD=CE,CMIDE,

/.DE=2EM=—

8

VZADB=Z2,/B=/E,Z2=Z￡,

ZADB=ZB,

7

/.AB=AD=-；

(3)解：如圖3,連接CO并延長交45于R連接08,

B

圖3

,；CA=CB,

-?CA=CB/CAB=ACBA,

：.CFLAB,

.-.ZAFO=ZBFO=90°fAF=BF,

由（2）知：N2=/E=NADB=/CBA,

；"DCE=/ACB,

工彘二讀,

???N4OB=NEOB=90。,

OA=OB,

???△405是等腰直角三角形，

NOAB=NOBA=45。,

在RM/QB中，AF=BF,

：.OF=-AB=AF=BF,

設(shè)AF=a,貝|OF—a，

'-'OA1=AF2+OF2,

???r=41a，

S△ABC=~2ABCF,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形

的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8.(新考向)如圖，尸為圓。外一點(diǎn)，PA、心分別切圓。于A、B.連接尸。，交圓。于點(diǎn)。，延長尸

交圓。于點(diǎn)C.連接NC,BC.連接40并延長，交BC于點(diǎn)、E.

(1)證明：點(diǎn)。是荔的中點(diǎn).

(2)若點(diǎn)￡是8C的中點(diǎn)，求NAPC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)30度

【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)，垂徑定理以及相關(guān)角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓的切線性質(zhì)和

垂徑定理等知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算.

(1)利用切線長定理證明△/PC也△BPC,從而得出Z4cp=N3CP,得到7萬=而5即可得結(jié)果；

(2)通過點(diǎn)E是8C中點(diǎn)推出/E_LBC,AB=AC,由(1)得經(jīng)ZiBPC,AC=BC,△4BC是等邊

三角形，得到乙4c8=60。，再結(jié)合圓的性質(zhì)和平行線性質(zhì)，求出//PC的度數(shù).

【詳解】(1)證明：；尸/、PB分別切圓。于A、B,

PA=PB,NAPC=NBPC.

又；PC=PC,

AAPC/BPC,

ZACP=ZBCP

■-AD=Bb'即點(diǎn)。是荔的中點(diǎn).

(2)???點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)

AELBC,

垂直平分8C,連接4B,則=

:.AC=BC

ZUBC是等邊三角形，

/ACB=60。

，NBCP=NACP=工NACB=30。

2

丁PA是圓。的切線，

，PALAE,

PA//BC

A/APC=NBCP=30°

9.（新考向）如圖，點(diǎn)8在以AC為直徑的O。上，點(diǎn)。在4c的延長線上，連接45、BC、BD,

ZCBD=/BAD.

FF4

（2）點(diǎn)廠是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作也，/。于點(diǎn)若寧=彳，CD=2,求OO的半徑.

DF5

【答案】（1）見解析

⑵8

【分析】（1）通過圓周角定理的推論得443。=90。，推得/8/。+/。3。=90。，結(jié)合題意即可求證；

ORFF4

（2）證得ADOBs^DFE,可得上===彳，設(shè)OO的半徑為人代入，解一元一次方程即可求解.

ODFD5

FBD

:.ZABC=90°,ZBAD+ZOCB=90°,

：OC=OB,

/OBC=/OCB,

ZBAD+ZOBC=90°.

/CBD=/BAD,

:"CBD+/OBC=9G。,即NOB。=90。，

.?.05是o。的切線.

（2）解：?/EFVAD,

:"DEF=90。.

???由（1）得NOBD=NDEF=90。,ZD=ZD

ADOBsADFE,

.OB_OP

??而—而‘

.OB_FE_4

一歷一訪一

5OB=4OD.

設(shè)O。的半徑為「，

OB=OC=r,OD=OC+CD=r+2,

5r=4（r+2）,

解得r=8,

/.O。的半徑為8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì),

熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

題型四無刻度作圖

1.（24-25九年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的（7x7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格

點(diǎn).48,C三點(diǎn)是格點(diǎn)，點(diǎn)P在8c上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.（每個(gè)任務(wù)畫線不超過3

條）

(1)在圖1中，fflnABCD,再在上畫點(diǎn)E,使得DE=8P；

(2)在圖2中，在線段42上畫點(diǎn)尸，使COS/3CF=^5;在線段/C上畫點(diǎn)G,^AB1=AG-AC.

【答案】(1)圖見詳解；

(2)圖見詳解

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，取格點(diǎn)。，使得CD=4B,連接C。，再連接然后連接AD,

交NC于一點(diǎn)O,連接P。并延長交4D于點(diǎn)E,nABCD,點(diǎn)E即為所求；

(2)取格點(diǎn)后2、月，連接^當(dāng)、AF2,交于點(diǎn)3,作射線C02交N3于點(diǎn)廠.點(diǎn)尸即為所求；取格點(diǎn)4、

K2,連接4K2,交NC于點(diǎn)G,點(diǎn)G即為所求作的.

【詳解】(1)解：取格點(diǎn)。，使得CD=4B，連接CD,再連接4D,然后連接3。，交/C于一點(diǎn)。，連

接尸。并延長交/。于點(diǎn)E,得口4BCD,點(diǎn)K即為所求；

圖1

理由：,:AB〃CD,AB=CD,

四邊形/BCD是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,BO=DO,

ZEDO=ZPBO,

ZEOD=ZPOB,

.??A￡OD也APOB(ASA),

ED=PB-,

(2)解：如圖，取格點(diǎn)與、F2,連接8旦、AF2,交于點(diǎn)2,作射線C&交42于點(diǎn)尸.點(diǎn)尸即為所求;

取格點(diǎn)A、K”連接4長2,交/C于點(diǎn)G,點(diǎn)G即為所求作的.

理由：在△Bcq和△馬附中,

BG2=E?F?

<Z,BF2E2=/CG?B,

BF2=CG2

「.△5CG2四△七2和(SAS),

ZCBG2=ZBE2F2,

?.?ZBE2F2+ZE2BF,

ZCBG2+ZE2BF2=ZE2BC=90°,

由網(wǎng)格特點(diǎn)可知，四邊形45月當(dāng)是矩形,

是對(duì)角線的中點(diǎn)，^BD2=^BE2,

22

BE2=+52=y/26,BC-A/1+5=>/26，

吟字

:.CD?=^BD^+BC2=

./…BC后2辨

CD25

2

?二點(diǎn)尸即為求作的點(diǎn);

由作法及圖可知:

22

在中，〃/=6,H2K廣5,l2K2=^5+6-

5

sin4H212KL矗=--,tanZH2I2K2=|,

22

在Rt△/上2。中，AL?=6，CL2=5,AC=\J5+6=V^T，

sin/8/C=-1==更?,tanZBAC=-f

V6?616

/H212K2=ABAC,

?.?ZBAC+ZCAI2=90°f

/H212K2+ACAI2=90°,

???△4G/2是直角三角形，

.-.Z^GZ2=90°,

??/口iKAG5病

..sm=-----=--------,

222Al,61

,”一25府

..A.\J-----------,

61

.,./GZC=25府〉府=25,

61

???AB-=5?=25,

AB2=AG-AC,

.??點(diǎn)G即為求作的點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解直角三角形及勾股定理的應(yīng)用、全

等三角形的性質(zhì)和判定.熟知相關(guān)性質(zhì)定理是正確解答此題的關(guān)鍵.

2.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△N2C的頂點(diǎn)4,C均落在格

點(diǎn)上，點(diǎn)3在網(wǎng)格線上.

(1)線段/C的長等于；

(2)半圓。以為直徑，僅用無刻度直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中完成畫圖:

①畫/A4c的角平分線/￡；

②在線段N2上畫點(diǎn)尸，使4P=/C.

【答案】⑴6

(2)見解析

【分析】本題考查勾股定理，無刻度直尺作圖，中位線

(1)利用勾股定理求解；

(2)取2C中點(diǎn)。，連接0D與圓相交即為E,此時(shí)由中位線可得〃/C,再結(jié)合。￡=。4即可得到

NE=NEAO=NEAC,即/A4c的角平分線ZE；

(3)取3c與網(wǎng)格線的交點(diǎn)。，連接OD延長交。。于點(diǎn)￡,連接/￡交3C于點(diǎn)G,連接8E,延長NC

交BE的延長線于尸，連接尸G延長尸G交于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求.

【詳解】(1)AC=yJl2+22=45-

故答案為：V5;

(2)①如圖，4E即為所求：

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))如圖是由小正方形組成的6x5網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).口ABCD

的4個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，￡是邊與網(wǎng)格線的交點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程

用虛線表示.

圖1圖2

(1)在圖1中，先畫4F〃CE交3。于點(diǎn)G,交邊CD于點(diǎn)尸，再在CD上畫點(diǎn)“，使得G2平分Z4GH；

(2)在圖2中，先畫的高/尸，再分別在邊48和3c上畫點(diǎn)M、N,使得MN〃4C,^,MN=AP.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)取邊與網(wǎng)格線的交點(diǎn)尸，連接力尸，即N尸〃CE,取格點(diǎn)尸，連接。尸、GP,易證

^ABD=￡>.PBD（SSS^,進(jìn)而證明A/BGGA尸8G（SAS）,則N4GB=NPG8,即GP與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)7/；

（2）取格點(diǎn)J、K,連接血交/。于點(diǎn)。，則點(diǎn)。是中點(diǎn)，連接CO交DK于點(diǎn)廠，由網(wǎng)格可知

AC=CD=5,進(jìn)而得到COLN。，由因?yàn)镺KL/C,則點(diǎn)尸是A/CD高線的交點(diǎn)，連接/尸并延長交CD

于點(diǎn)P,線段4P即為A/C。的高；由A/CD的面積公式，可得/P=DK=3,取格點(diǎn)。、R、W、T,連接。尺

交于M,連接叮交8C于點(diǎn)N,連接MN即可.（由相似三角形可知，^=^|=|,篇=:，則

黑二R,可得ACV〃/C,且塔="進(jìn)而得出跖V=3=/尸）

BMBN4c5

【詳解】（1）解：如圖1,即為所求作；

A

C

圖1

（2）解：如