2025中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案：反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何結(jié)合（含答案）

微專題12反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何結(jié)合

高頻考點(diǎn)突破

考點(diǎn)1反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合（6年3考）

方法解讀

求幾何圖形面積：通常將坐標(biāo)軸上的邊或與坐標(biāo)軸平行的邊作為底邊，再利用點(diǎn)

的坐標(biāo)求得底邊上的高，最后利用面積公式求解.

常見求三角形面積的示例如下：

①S△AOB=^OB-AD；

②S△ADB=S^ACD~\~S^BDC；

例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁=左建十%（歷#））的圖象與反比例

函數(shù)尸,心和）的圖象分別交于點(diǎn)A（—1,-2）,5（|,n）.

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)如圖①，點(diǎn)。是反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的垂線，交y軸于

點(diǎn)D,交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)石，當(dāng)點(diǎn)。恰好是QE的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

例1題圖①

(3)核心設(shè)問如圖②，連接。4,0B,求AA05的面積；［2019廣東23(2)題考查］

ay

------沙￡

例1題圖②

(4)核心設(shè)問如圖③，點(diǎn)M是一次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)V

的坐標(biāo).［2021廣東21⑵題考查］

---~~5

例1題圖③

考點(diǎn)2反比例函數(shù)與幾何結(jié)合(6年2考)

方法解讀

一、坐標(biāo)法

由得到D=左，如：點(diǎn)A(%A,以)，5(加，/)在反比例函數(shù)的圖象上，

則必?班=沖沙=點(diǎn))，即反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)積相等，都等于公

①式變形為瑟蘭②，即反比例函數(shù)圖象上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值與縱坐標(biāo)的比值互

為倒數(shù).

二、面積法

面積法的本質(zhì)即利用“肥的幾何意義，由個(gè)=人可以得到；反比例函數(shù)圖象上

的點(diǎn)向X,y軸作垂線，得到的矩形面積都相等，均為I左I；進(jìn)而得到下圖中：

S二AOB=S2C0D=3II.

例2（北師九上習(xí)題改編）如圖，已知雙曲線y=*>0）經(jīng)過RtAOAB斜邊0B

的中點(diǎn)。，與直角邊A5相交于點(diǎn)C,OELOA于點(diǎn)E,連接0C若△05。的面

積為3,則左等于.

例2題圖

例3（2024東莞一模改編）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=%%>0）的圖象上任意一

點(diǎn)，A5〃％軸并交反比例函數(shù)>=—：（%<（））的圖象于點(diǎn)5以為邊作菱形

ABCD,其中C,。在入軸上，則菱形A5CD的面積為.

例3題圖

例4(人教九上習(xí)題改編)如圖，△A5C的邊A5在入軸上，邊AC交y軸于點(diǎn)E,

AE：EC=1：2,反比例函數(shù)>=3%>())的圖象過點(diǎn)C,且交線段于點(diǎn)。，

BD：：連接。，若則上的值為

DC=13,A4---------------------

例4題圖

真題及變式

命題點(diǎn)1反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合(6年3考)

1.(2021廣東21題8分)在平面直角坐標(biāo)系％2y中，一次函數(shù)y=H+8(Q0)的圖

象與％軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=:圖象的一個(gè)交點(diǎn)為P(l,

m).

⑴求m的值；

(2)若PA=245,求上的值.

2.(2019廣東23題9分)如圖，一次函數(shù)y=kxx+b的圖象與反比例函數(shù)尸，的

圖象相交于4,5兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一1,4),點(diǎn)5的坐標(biāo)為(4,?).

(1)根據(jù)圖象，直接寫出滿足上述+8>0的x的取值范圍；

(2)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(3)點(diǎn)尸在線段A5上，且&AOP：旌BOP=1：2,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

第2題圖

命題點(diǎn)2反比例函數(shù)與幾何結(jié)合(6年2考)

3.(2020廣東24題10分)如圖，點(diǎn)5是反比例函數(shù)y=：(%>0)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)

5分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為A,C反比例函數(shù)y=%x>0)的圖象經(jīng)過05

的中點(diǎn)V,與A5,5。分別相交于點(diǎn)。，E.連接OE并延長(zhǎng)交工軸于點(diǎn)尸，點(diǎn)G

與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，連接BG.

(1)填空：k=；

(2)求△尸的面積；

(3)求證：四邊形尸G為平行四邊形.

〃7

第3題圖

高頻考點(diǎn)

例1解：⑴將點(diǎn)4—1,—2)代入尸”出網(wǎng))中,得號(hào)一2,

X1

解得左2=2,

???反比例函數(shù)的解析式為尸3,

JX

將點(diǎn)5(|,")代入中，得〃=1,

???點(diǎn)相，》，

將點(diǎn)4(—1,-2),5(|,§分別代入〉=肥%+加內(nèi)加)中,

-Ze】+Z)i=-2

得

、|七+瓦=]

\k=-

解得13

2?

Pi=-3

???一次函數(shù)的解析式為尸］一|;

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(工,|),

二點(diǎn)。是OE的中點(diǎn),

?二點(diǎn)石的坐標(biāo)為(2%,|),

將點(diǎn)石(2%,0代入》=/一&中，

整理得4%2—%—3=0,

解得％=1或%=一：，

4

當(dāng)％=1時(shí)，y=j=2,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2),

當(dāng)％=一:時(shí),y=W=一?，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一：,—|).

4——343

4

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2)或(一：，-1)；

43

(3)由⑴可知點(diǎn)4(—1,—2),點(diǎn)蛇，

在一次函數(shù)丁=》一|中，令y=0,得%=5

S&AOB=|x|x(^+2)=|；

ZZDO

(4)設(shè)點(diǎn)"3，b),當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

\'AM=3BM,：.AB=^AM,

如解圖①，過點(diǎn)M作％軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)

5作5。，人尸于點(diǎn)0,則5。〃亂尸，

.'.AABQ^AAMP,

.AQ_BQ_AB_2

*9APMPAM3'

34

...5+1產(chǎn)2,

a+1b+23

解得Q=2,b=3,

J點(diǎn)"的坐標(biāo)為(?，3)；

4

當(dāng)點(diǎn)"在線段A5上時(shí)，

4

'：AM=3BM,：.AB=-AM,

3

如解圖②，過點(diǎn)M作％軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)

5作5Q_LAP交4尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則5?！āㄊ?，

.".AABQ^AAMP,

?AQ_BQ_AB

**APMPAM3'

?-2+1——-3+2——Z4

a+1b+23

解得Q=［，b=：,

oZ

???點(diǎn)”的坐標(biāo)為6

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?，3)或(：，：).

482

0:

—mr|!!

A次ZI「丁小

圖①

＞1I

K

/?、―-

闈衲

圖②

例1題解圖

例22【解析】'：DE±OA,BA±OA,：.DE//AB,\?。是05中點(diǎn)，：.0E

=-0A,DE=-AB,.-.^=—=2,又?.?點(diǎn)C,。都在上，.?.生=也=2,即

22xD0Exyc

113

DE=2AC.AAB=4AC,：.BC=3AC：.S^oBc=-BCOA=--3ACOA=-k=3,：.k

9222

—2.

一題多解法

?.?點(diǎn)C,。都在上，.?.%0DE=80CA=g由題意得△0DES2\05A,且相

=

彳以比第=3.\：L0DE=；,:?S40BA=4S40DE=2k,XOBAOBC+5AOCA=3+

AB2SA0BA4

：：

-2k,.2k=3+-2k,.k=2.

例39【解析】設(shè)點(diǎn)5的縱坐標(biāo)為乩.,.一3=b,解得％=—[,軸，

xb

???點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為與，:?b=g解得％=,：.AB=^—（—^）=p菱形ABCD=N

=9.

例44【解析】設(shè)1（一00）（。＞0）,..NE：EC=1：2,.,.點(diǎn)。（2，,白），

=1：3,.,?點(diǎn)0的縱坐標(biāo)為裊＜[=卷，?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（8a,韻，.?.5（10a,0）,

111k

：.AB=Ua,"：BD：DC=1:3,ABC=4SAABD=4X—=11,.』ABC=-X11QX一

422a

=11,解得k=4.

真題及變式

1.解：⑴二,尸(1,加)為反比例函數(shù)y=￡圖象上一點(diǎn)，

.,.當(dāng)％=1時(shí)，m=^=4；(2分)

(2)如解圖，過點(diǎn)尸分別作軸于點(diǎn)M,PNLy軸于點(diǎn)N,

由(1)得尸(1,4),

：.PM=4,PN=1.

①當(dāng)點(diǎn)5在y軸的正半軸時(shí)，

\'PA=2AB,

?41%一1

??,

PAr2

易證△

?0B\_A-yB^___1

**MPArP2，

.?.03=2,

.,.Bi(0,2),

將尸(1,4),3(0,2)分別代入〉=丘+》中，

得FIL，解得｛能3°分)

②當(dāng)點(diǎn)5在y軸的負(fù)半軸時(shí)，

\'PA=2AB,

?^2^2一1

??,

PB23

易證△B2AZOS^BZPN,

?0A2_^2^2一1

?.NPPB23'

1

:.OA

23

1

???A290),

將尸(1,4),A2(|,0)分別代入中,

行(限k++bb==4。'解H(bk==—62?

綜上所述，上的值為2或6.(8分)

第1題解圖

2.解:—1或0<XV4；(2分)

(2)二,點(diǎn)A(—1,4)在反比例函數(shù)》二會(huì)的圖象上,

???4=年，(3分)

解得左2=—4,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=一￡(4分)

丁點(diǎn)5(4,八)在反比例函數(shù)的圖象上，

-1,

.,.n=--4=

，5(4,-1).

?.?一次函數(shù)的圖象過A,5兩點(diǎn)，

—k+b=4

1（5分）

、4k1+/）=—1

解得『1=一1，

一次函數(shù)的表達(dá)式為y=—%+3；(6分)

(3)如解圖，連接OP,OA,OB,設(shè)一次函數(shù)y=—%+3與％軸交于點(diǎn)C,

41

第2題解圖

?.?當(dāng)y=0時(shí)，％=3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,0）.

S&AOB=S&AOc+底BOC，

■\-1iq

ASAAOB=-x3x4+^x3xl=y.（7分）

,*#5AAOP:5ABOP—1:2,

S&BOP=~S^AOB=[X萬=5?

???點(diǎn)P在線段AB上，

???設(shè)P的坐標(biāo)為（加，一加+3）,—1＜加＜4,

0**5APOB=S^POC+KSABOC，

■\i

.?.5ABOP=-X3X（-W+3）+^X