高中數(shù)學北師大版《兩角和與差的三角函數(shù)的應用》導學案

第4課時兩角和與差的三角函數(shù)的應用1.能夠熟練運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行化簡、求值、證明.2.強化學生在三角函數(shù)中的計算能力.3.培養(yǎng)學生整體換元的思想.前面我們共同學習了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,并能進行簡單的論證,兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,是對第一章三角函數(shù)的進一步鞏固,也是與第二章平面向量的交匯點,又是解三角形必備的重要知識點.這一講我們將進一步共同探究兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的綜合應用,思考并回答下面幾個問題.問題1:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cosα·cosβ+sinα·sinβ;

C(α+β):=cosα·cosβ-sinα·sinβ;

S(α-β):sin(α+β)=;

S(α+β):sin(α-β)=;

T(α-β):tan(α-β)=;

T(α+β):tan(α+β)=.

問題2:兩角和與差的正切公式的常用變形(1)tanα+tanβ=;tanα-tanβ=;

(2)tanαtanβ=1-=-1;

(3)tan(α+β)-(tanα+tanβ)=;

(4)tan(α-β)-(tanα-tanβ)=.

問題3:常用的角的變換形式α=-β=β-;

α=QUOTE[(α+β)+]=QUOTE[(α+β)-];

QUOTE(α+β)=(α-QUOTEβ)-(QUOTEα-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ為任意角.

問題4:輔助角公式asinα+bcosα=QUOTEsin(α+φ)=QUOTEcos(α-θ),其中角φ、θ稱為輔助角,由a,b的值唯一確定(tanφ=QUOTE,tanθ=QUOTE).1.sin45°cos15°+cos225°sin15°的值為().A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.若0<α<QUOTE,-QUOTE<β<0,cos(QUOTE+α)=QUOTE,cos(QUOTE-QUOTE)=QUOTE,則cos(α+QUOTE)=().A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE3.已知cos(α+QUOTE)=QUOTE,α∈(0,QUOTE),則cosα=.

4.若3sinx-QUOTEcosx=2QUOTEsin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用兩角和與差的三角公式化簡或求值(1)化簡:QUOTE;(2)求值:[2sin50°+sin10°(1+QUOTEtan10°)]·QUOTE.兩角和與差的三角公式在解三角形中的應用已知銳角△ABC中,sin(A+B)=QUOTE,sin(A-B)=QUOTE.(1)求證:tanA=2tanB;(2)設AB=3,求AB邊上的高.利用兩角和與差的公式求角已知α、β都是銳角,且sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE,求α+β.計算sin43°cos13°-sin13°cos43°的值等于().A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個根,則tanC等于().A.2 B.-2 C.4 D.-若sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,且A、B均為鈍角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-QUOTE·cos(θ+15°)的值等于().A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE2.已知cos(x-QUOTE)=-QUOTE,則cosx+cos(x-QUOTE)的值是().A.-QUOTE B.±QUOTE C.-1 D.±13.在△ABC中,角A、B、C滿足QUOTEsinBcosA=sinCcosA+cosCsinA,則cosA=.

4.已知0<β<QUOTE<α<QUOTE,cos(QUOTE-α)=QUOTE,sin(QUOTE+β)=QUOTE,求sin(α+β)的值.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,以Ox軸為始邊的兩個銳角為α,β,它們的終邊分別交單位圓于A,B兩點,已知A,B兩點的橫坐標分別是QUOTE和QUOTE.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考題變式(我來改編):

第4課時兩角和與差的三角函數(shù)的應用1.能夠熟練運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行化簡、求值、證明.2.強化學生在三角函數(shù)中的計算能力.3.培養(yǎng)學生整體換元的思想.前面我們共同學習了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,并能進行簡單的論證,兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,是對第一章三角函數(shù)的進一步鞏固,也是與第二章平面向量的交匯點,又是解三角形必備的重要知識點.這一講我們將進一步共同探究兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的綜合應用,思考并回答下面幾個問題.問題1:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cosα·cosβ+sinα·sinβ;

C(α+β):=cosα·cosβ-sinα·sinβ;

S(α-β):sin(α+β)=;

S(α+β):sin(α-β)=;

T(α-β):tan(α-β)=;

T(α+β):tan(α+β)=.

問題2:兩角和與差的正切公式的常用變形(1)tanα+tanβ=;tanα-tanβ=;

(2)tanαtanβ=1-=-1;

(3)tan(α+β)-(tanα+tanβ)=;

(4)tan(α-β)-(tanα-tanβ)=.

問題3:常用的角的變換形式α=-β=β-;

α=QUOTE[(α+β)+]=QUOTE[(α+β)-];

QUOTE(α+β)=(α-QUOTEβ)-(QUOTEα-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ為任意角.

問題4:輔助角公式asinα+bcosα=QUOTEsin(α+φ)=QUOTEcos(α-θ),其中角φ、θ稱為輔助角,由a,b的值唯一確定(tanφ=QUOTE,tanθ=QUOTE).1.sin45°cos15°+cos225°sin15°的值為().A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.若0<α<QUOTE,-QUOTE<β<0,cos(QUOTE+α)=QUOTE,cos(QUOTE-QUOTE)=QUOTE,則cos(α+QUOTE)=().A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE3.已知cos(α+QUOTE)=QUOTE,α∈(0,QUOTE),則cosα=.

4.若3sinx-QUOTEcosx=2QUOTEsin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用兩角和與差的三角公式化簡或求值(1)化簡:QUOTE;(2)求值:[2sin50°+sin10°(1+QUOTEtan10°)]·QUOTE.兩角和與差的三角公式在解三角形中的應用已知銳角△ABC中,sin(A+B)=QUOTE,sin(A-B)=QUOTE.(1)求證:tanA=2tanB;(2)設AB=3,求AB邊上的高.利用兩角和與差的公式求角已知α、β都是銳角,且sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE,求α+β.計算sin43°cos13°-sin13°cos43°的值等于().A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個根,則tanC等于().A.2 B.-2 C.4 D.-若sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,且A、B均為鈍角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-QUOTE·cos(θ+15°)的值等于().A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE2.已知cos(x-QUOTE)=-QUOTE,則cosx+cos(x-QUOTE)的值是().A.-QUOTE B.±QUOTE C.-1 D.±13.在△ABC中,角A、B、C滿足QUOTEsinBcosA=sinCcosA+cosCsinA,則cosA=.

4.已知0<β<QUOTE<α<QUOTE,cos(QUOTE-α)=QUOTE,sin(QUOTE+β)=QUOTE,求sin(α+β)的值.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,以Ox軸為始邊的兩個銳角為α,β,它們的終邊分別交單位圓于A,B兩點,已知A,B兩點的橫坐標分別是QUOTE和QUOTE.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考題變式(我來改編):

第4課時兩角和與差的三角函數(shù)的應用1.能夠熟練運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行化簡、求值、證明.2.強化學生在三角函數(shù)中的計算能力.3.培養(yǎng)學生整體換元的思想.前面我們共同學習了兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,并能進行簡單的論證,兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,是對第一章三角函數(shù)的進一步鞏固,也是與第二章平面向量的交匯點,又是解三角形必備的重要知識點.這一講我們將進一步共同探究兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的綜合應用,思考并回答下面幾個問題.問題1:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cosα·cosβ+sinα·sinβ;

C(α+β):=cosα·cosβ-sinα·sinβ;

S(α-β):sin(α+β)=;

S(α+β):sin(α-β)=;

T(α-β):tan(α-β)=;

T(α+β):tan(α+β)=.

問題2:兩角和與差的正切公式的常用變形(1)tanα+tanβ=;tanα-tanβ=;

(2)tanαtanβ=1-=-1;

(3)tan(α+β)-(tanα+tanβ)=;

(4)tan(α-β)-(tanα-tanβ)=.

問題3:常用的角的變換形式α=-β=β-;

α=QUOTE[(α+β)+]=QUOTE[(α+β)-];

QUOTE(α+β)=(α-QUOTEβ)-(QUOTEα-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ為任意角.

問題4:輔助角公式asinα+bcosα=QUOTEsin(α+φ)=QUOTEcos(α-θ),其中角φ、θ稱為輔助角,由a,b的值唯一確定(tanφ=QUOTE,tanθ=QUOTE).1.sin45°cos15°+cos225°sin15°的值為().A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.若0<α<QUOTE,-QUOTE<β<0,cos(QUOTE+α)=QUOTE,cos(QUOTE-QUOTE)=QUOTE,則cos(α+QUOTE)=().A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE3.已知cos(α+QUOTE)=QUOTE,α∈(0,QUOTE),則cosα=.

4.若3sinx-QUOTEcosx=2QUOTEsin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用兩角和與差的三角公式化簡或求值(1)化簡:QUOTE;(2)求值:[2sin50°+sin10°(1+QUOTEtan10°)]·QUOTE.兩角和與差的三角公式在解三角形中的應用已知銳角△ABC中,sin(A+B)=QUOTE,sin(A-B)=QUOTE.(1)求證:tanA=2tanB;(2)設AB=3,求AB邊上的高.利用兩角和與差的公式求角已知α、β都是銳角,且sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE,求α+β.計算sin43°cos13°-sin13°cos43°的值等于().A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個根,則tanC等于().A.2 B.-2 C.4 D.-若sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,且A、B均為鈍角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-QUOTE·cos(θ+15°)的值等于().A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE2.已知cos(x-QUOTE)=-QUOTE,則cosx+cos(x-QUOTE)的值是().A.-QUOTE B.±QUOTE C.-1 D.±13.在△ABC中,角A、B、C滿足QUOTEsinBcosA=sinCcosA+cosCsinA,則cosA=.

4.已知0<β<QUOTE<α<QUOTE,cos(QUOTE-α)=QUOTE,sin(QUOTE+β)=QUOTE,求sin(α+β)的值.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,以Ox軸為始邊的兩個銳角為α,β,它們的終邊分別交單位圓于A,B兩點,已知A,B兩點的橫坐標分別是QUOTE和QUOTE.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考題變式(我來改編):

答案第4課時兩角和與差的三角函數(shù)的應用知識體系梳理問題1:cos(α-β)cos(α+β)sinα·cosβ+cosα·sinβsinα·cosβ-cosα·sinβQUOTEQUOTE問題2:(1)tan(α+β)(1-tanαtanβ)tan(α-β)(1+tanαtanβ)(2)QUOTEQUOTE(3)tan(α+β)tanαtanβ(4)-tan(α-β)tanαtanβ問題3:(α+β)(β-α)(α-β)(β-α)(α-β)基礎學習交流1.C原式=sin45°cos15°-cos45°sin15°=sin(45°-15°)=QUOTE.2.Ccos(α+QUOTE)=cos[(QUOTE+α)-(QUOTE-QUOTE)]=cos(QUOTE+α)cos(QUOTE-QUOTE)+sin(QUOTE+α)sin(QUOTE-QUOTE),而QUOTE+α∈(QUOTE,QUOTE),QUOTE-QUOTE∈(QUOTE,QUOTE),∴sin(QUOTE+α)=QUOTE,sin(QUOTE-QUOTE)=QUOTE,∴cos(α+QUOTE)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.QUOTE∵α∈(0,QUOTE),∴α+QUOTE∈(QUOTE,QUOTE),∴sin(α+QUOTE)=QUOTE,∴cosα=cos[(α+QUOTE)-QUOTE]=cos(α+QUOTE)cosQUOTE+sin(α+QUOTE)sinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.解:3sinx-QUOTEcosx=2QUOTE(QUOTEsinx-QUOTEcosx)=2QUOTEsin(x-QUOTE),又∵φ∈(-π,π),∴φ=-QUOTE.重點難點探究探究一:【解析】(1)原式=QUOTE=QUOTE=tan15°=tan(60°-45°)=QUOTE=QUOTE=2-QUOTE.(2)原式=(2sin50°+sin10°×QUOTE)·QUOTEsin80°=(2sin50°+2sin10°×QUOTE)×QUOTEcos10°=2QUOTE[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=2QUOTEsin(50°+10°)=2QUOTE×QUOTE=QUOTE.【小結】對于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問題的基本思路有:①化為特殊角的三角函數(shù)值;②化為正、負相消的項,消去求值;③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值.探究二:【解析】(1)∵sin(A+B)=QUOTE,sin(A-B)=QUOTE,∴QUOTE?QUOTE?QUOTE=QUOTE=2,∴tanA=2tanB.(2)∵QUOTE<A+B<π,sin(A+B)=QUOTE,∴tan(A+B)=-QUOTE,即QUOTE=-QUOTE,將tanA=2tanB代入上式并整理,得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=QUOTE,舍去負值,得tanB=QUOTE,∴tanA=2tanB=2+QUOTE.設AB邊上的高為CD,則AB=AD+DB=QUOTE+QUOTE=QUOTE,由AB=3,得CD=2+QUOTE,∴AB邊上的高等于2+QUOTE.【小結】利用三角函數(shù)公式解三角形問題時,不僅要考慮使公式本身有意義的角度范圍,還要考慮三角形內角需滿足的要求.探究三:【錯解】∵0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,∴0<α+β<π,又∵cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,又∵0<α+β<π,∴α+β=QUOTE或QUOTE.[問題]α+β會等于QUOTE嗎?[結論]通過求三角函數(shù)值求角度時,最好求角度范圍內是單調函數(shù)的三角函數(shù)值,可避免進一步討論或出錯.α+β≠QUOTE,∵α、β都是銳角,sinα=QUOTE<QUOTE,sinβ=QUOTE<QUOTE,∴0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,0<α+β<QUOTE.于是,正確解答如下:∵0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,∴0<α+β<π,又∵cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.又∵在0~π之間,余弦值為QUOTE的角只有QUOTE,∴α+β=QUOTE.思維拓展應用應用一:A原式=sin(43°-13°)=sin30°=QUOTE,故選A.應用二:A根據(jù)韋達定理,有tanA+tanB=-QUOTE,tanAtanB=-QUOTE,則tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-QUOTE=2.應用三:∵A、B均為鈍角且sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,∴cosA=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,cosB=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-QUOTE×(-QUOTE)-QUOTE×QUOTE=QUOTE.①又∵QUOTE<A<π,QUOTE<B<π,∴π<A+B<2π.②由①②,知A+B=QUOTE.基礎智能檢測1.A原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-QUOTE·cos[(θ+4