2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與幾何綜合題 壓軸練習題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與幾何綜合題壓軸練習題

1.拋物線y=f-2x-3交x軸于A,3兩點(A在5的左邊)，C是第一象限拋物線上一點，直線AC交V

軸于點尸.

⑴直接寫出A,B兩點的坐標；

⑵如圖(1),當OP=Q4時，在拋物線上存在點。(異于點8),使8,。兩點到AC的距離相等，求出

所有滿足條件的點。的橫坐標；

(3)如圖(2),直線交拋物線于另一點E,連接CE交y軸于點點C的橫坐標為加.求券的值(用

含m的式子表示).

2.已知，二次函數(shù)_￥=內(nèi)2+2法->2+46+1和平面直角坐標系xoy中的點A(5,0)、點B(0,5)

⑴若二次函數(shù)圖象經(jīng)過42兩點,

第1頁共97頁

①求二次函數(shù)的解析式;

s

②如圖1,D在拋物線上，且在第一象限，。。與A3交于點E,求產(chǎn)的最大值；

3AOE

13

(2)當。=-1時，若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點C7%、且頂點在AAOB的內(nèi)部，試比較％、%的大小

3.拋物線y=f+萬元+c與x軸交于4(-1,0),B兩點，與y軸交于點C(0,2).

⑴求B點坐標；

(2)如圖1,點E在第一象限的拋物線上，連接BE,CD〃BE交OB于點、D,連接。E,ADBE的面積為

4.

①連接CE,直接寫出四邊形COBE的面積；

②求E點坐標.

⑶如圖2,將直線AC繞點P(小，")順時針旋轉90。后，得到的對應直線FG與拋物線有唯一公共點，求

相與”的數(shù)量關系.

4.如圖，平面直角坐標系中，拋物線、=-尤2+總+4過點A(-4,0),與y軸交于點N,與x軸正半軸交于

點、B.直線/過定點A.

一.二

:二

圖1圖2

圖3

(1)求拋物線解析式；

(2)連接AN,BN,直線/交拋物線于另一點M,當NM4N=N8NO時，求點M的坐標；

第2頁共97頁

⑶過點T（r,T）的任意直線EF（不與y軸平行）與拋物線交于點E、F,直線8E、8尸分別交y軸于點尸、

Q,是否存在f的值使得0P與。。的積為定值？若存在，求/的值，若不存在，請說明理由.

圖1圖2

（1）直接寫出點8的坐標（,）和直線BC的解析式______；

（2）點。是拋物線對稱軸上一點，點E為拋物線上一點，若以8、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊

形，求點E的橫坐標；

⑶如圖2,直線/〃BC,直線/交拋物線于點M、N,直線AM交y軸于點尸，直線AN交y軸于點。，點

p、。的縱坐標為力、yQ,求證：％+為的值為定值.

6.如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點A（4,0）的直線AB與y軸交于點3（0,4）.經(jīng)過原點。的拋物線

y=-f+bx+c交直線AB于點A,C,拋物線的頂點為D

第3頁共97頁

（1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達式；

⑵M是線段上一點，N是拋物線上一點，當"N〃，軸且MN=2時，求點M的坐標；

（3）P是拋物線上一動點，。是平面直角坐標系內(nèi)一點.是否存在以點A,C,P,。為頂點的四邊形是矩

形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖，拋物線，=如2+（病+3”_（6〃7+9）與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,已知8（3,0）.

（2*為拋物線上一點，若SjBC=S4ABC,請直接寫出點尸的坐標；

（3）。為拋物線上一點，若/ACQ=45。，求點。的坐標.

8.拋物線）=依2+樂+。（。H0）與天軸交于4、B兩點，與y軸交于點C,且點4的坐標為A（-2,0）,點C

的坐標為C（0,6）,對稱軸為直線x=l.點。是拋物線上一個動點，設點。的橫坐標為相，連接AC,

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵若/BCD=ZACO,求HI值.

⑶點尸坐標為（0,2）,連接AF,點P在直線A尸上，點。是平面上任意一點，當以A、C,尸、。四點為

頂點的四邊形為菱形時，直接寫出。坐標.

9.拋物線的頂點坐標為（m,n）.

第4頁共97頁

(1)若拋物線過原點，〃?=2,”=-4,求其解析式.

(2)如圖(1),在(1)的條件下，直線/：y=-x+4與拋物線交于A、8兩點(A在8的左側)，MN為

線段上的兩個點，MN=2在直線/下方的拋物線上是否存在點P,使得△PMN為等腰直角三角

形？若存在，求出M點橫坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖(2),拋物線與無軸負半軸交于點C,與y軸交于點G,尸點在點C左側拋物線

上，。點在y軸右側拋物線上，直線C。交y軸于點尸，直線尸C交y軸于點”，設直線P。解析式為丫=

h

kx+t,當SAHCQ=2S」GCQ,試證明不是否為一個定值.

圖1圖2

10.已知，如圖，拋物線y=-；/+fcv+c與x軸正半軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,直線y=x-2經(jīng)

過A、C兩點.

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)P為拋物線上一點，若點P關于直線AC的對稱點。落在y軸上，求尸點坐標；

(3)現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線＞=X-若平移后的拋物線與直線y=x-2交于M、N兩

點.①求證：的長度為定值；

②結合(2)的條件，直接寫出AQMN的周長的最小值

第5頁共97頁

備用圖

II.拋物線>=加-26x+6（"0）與V軸相交于點。（0,-3）,且拋物線的對稱軸為x=3,。為對稱軸與

x軸的交點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于￡、F兩點,若，/溺是等腰直角三角

形，求二DEF的面積；

（3）若尸（3J）是對稱軸上一定點，。是拋物線上的動點，求的最小值（用含f的代數(shù)式表示）.

12.如圖1,拋物線、=以2+法+。與無軸交于A,2（點A在點8左側），與y軸負半軸交于C,且滿足

OA=OB=OC=2.

第6頁共97頁

(1)求拋物線的解析式;

⑵如圖2,。為y軸負半軸上一點，過。作直線/垂直于直線BC,直線/交拋物線于E,F兩點(點E在

點廠右側)，若DF=3DE,求D點坐標;

(3)如圖3,點M為拋物線第二象限部分上一點，點N關于y軸對稱，連接MB,尸為線段MB上一點

(不與M、2重合)，過P點做直線(/為常數(shù))交無軸于S,交直線A?于Q,求QS—PS的值(用含

f的代數(shù)式表示).

13.如圖1,已知拋物線y=#+6x+3經(jīng)過點。(1,5),且交x軸于A,5兩點，交V軸于點C,已知點

A(-LO),是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，2。，8。于點。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當？。=百時，求加的值；

(3)是否存在點P,使VBPQ與3OC相似？若存在，請求出尸點的坐標；若不存在，請說明理由.

14.已知拋物線和：丫=皈2+公+。向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線

第7頁共97頁

⑴直接寫出拋物線G的解析式―；

⑵如圖1,已知拋物線C］與X軸交于A,8兩點，點A在點8的左側，點pg,。在拋物線C1上，

QBLPB交拋物線于點Q.求點。的坐標；

(3)已知點E,也在拋物線C?上，石“〃彳軸，點E在點M的左側，過點M的直線與拋物線C?只有一

個公共點(MD與丁軸不平行)，直線QE與拋物線交于另一點N.若線段NE=DE,設點N的橫坐標

分別為加，n,直接寫出加和〃的數(shù)量關系(用含機的式子表示")為—.

15.已知拋物線>=以2+桁-2與x軸交于點A(-1,0),B(4,0),與y軸交于C點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線％=根(0<m<4)交拋物線于"點，交BC于N點、,豆CM//ON,求機的值；

(3)如圖2,若點尸為拋物線工軸下方一點，直線AP交y軸于M點，直線3尸交y軸于N點，且OM?ON

25

=—求P點坐標.

4f

第8頁共97頁

16.二次函數(shù)產(chǎn)的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)兩點,與y軸交于點C,頂點為E.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出點E的坐標.

(2)如圖1,。是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過點C時，求點。的

坐標.

(3)如圖2,尸是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接尸C、PE、CE,當?shù)拿娣e為30時，求點尸

的坐標.

圖2

17.在平面直角坐標系中,拋物線y=o^+6x+c與X軸交于點A(-I,o)和點B,與V軸交于點C,頂點。

的坐標為(1,-4).

第9頁共97頁

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸在拋物線上且滿足NPCB=NCBD,求點尸的坐標；

(3)如圖2,M是直線上一個動點，過點M作MNLx軸交拋物線于點N,。是直線AC上一個動

點，當-QWN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應點。的坐標

18.如圖1,拋物線y=o?+2x+c(aw0)與無軸,V軸分別交于點A(TO),B點,C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。(m,3)在拋物線上，連接BC,BD.在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P,滿足

NPBC=NDBC?如果存在，請求出點尸點的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)點N在拋物線的對稱軸上，點/在拋物線上，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形

時，請直接寫出點用的坐標.

19.如圖1,拋物線、=：石+公-4交x軸于A,8兩點(A在8的左側)，與了軸交于點C,且

OC=2OB.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AC,2C,點P在拋物線上，且滿足/P3C=NACB,求點P的坐標；

(3)如圖2,直線/：y=x+K-4<f<0)交y軸于點E,過直線/上的一動點〃作加〃丫軸交拋物線于點

第10頁共97頁

N,直線CM交拋物線于另一點O,直線QN交y軸于點尸，試求OE+O尸的值.

20.拋物線C：y=-/+2]+3與x軸負半軸交于點A,與y軸交于點比

圖1圖2

(1)寫出的長；

(2)如圖1,已知C(0,2),點E是x軸正半軸上的點，OE的垂直平分線MN,交OE于點凡交CE于

點",交拋物線C于點N,若MN=2,求點E的坐標；

(3)如圖2.將拋物線C向左平移1個單位長度，再向上平移6(b>0)個單位長度得到拋物線C/,點。

是拋物線C/的頂點，點尸是拋物線C/在第一象限上的動點，尸軸，交拋物線。于點P,直線尸。交

拋物線C/于點°,直線QP交y軸于求證：HD=OD.

21.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+10與無軸，y軸相交于A,5兩點.點C的坐標是(8,4),

連接AC,BC.

(1)求過。，A,C二點的拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；

(2)拋物線上是否存在著一點尸，使的面積為25?若存在，求出尸的坐標，若不存在，請說明理

由；

(3)在拋物線上，是否存在著一點河，使一為以A8為斜邊的直角三角形？若存在，請直接寫出M

的坐標；若不存在，請說明理由.

第11頁共97頁

22.如圖，已知拋物線y=/+bx+c與x軸相交于A(TO),3(〃?,0)兩點，與V軸相交于點C(0,-3),拋

物線的頂點為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點E在x軸上，且在點B左側、NECB=NCBD,求點E的坐標.

(3)若P是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作叨，龍軸于點H,與BC交于點

①求線段尸河長度的最大值.

②在①的條件下，若歹為y軸上一動點，求尸4+即+正CF的最小值.

2

23.如圖，已知拋物線丁=加+。過點(-2,2),(4,5),過定點—0,2)的直線>=爪+。與拋物線交于A、B

兩點，點5在點A的右側，過點B作x軸的垂線，垂足為C.

(1)直接寫出拋物線的解析式.

(2)求證：BF=BC.

(3)若左=1,在直線>=乙+。下方拋物線上是否存在點。，使得一尸的面積最大？若存在，求出點。的

坐標及.沙廠的最大面積；若不存在，請說明理由.

第12頁共97頁

24.如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線>=依2+法+。(。>0)與苫軸交于人、B兩點(點A在點B左

側)，與y軸交于點C.

(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

①求拋物線的解析式；

②若點P為x軸上一點，點Q為拋物線上一點，ACPQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，求出點P的坐

標；

(2)如圖2,若直線、=云+/?>。)與拋物線交于點乂、點N(點M在對稱軸左側).直線AM交y軸于

點E,直線AN交y軸于點D.試說明點C是線段DE的中點.

25.拋物線>=加一2辦一3°(a<0)交x軸于點A、B,交y軸于點C,它的對稱軸交x軸于點瓦

(1)直接寫出點E的坐標為

(2)如圖，直線y=x與拋物線交于點M、N,求OMON的值.

第13頁共97頁

（3）如圖2,過點C作CZ）〃x軸交拋物線于點，連接并延長交y軸于點尸，交拋物線于點G.直線

AF交CD于點H,交拋物線于點K,連接〃￡、GK,求證：HE//GK.

26.如圖1,已知：拋物線,=奴2+法+。過點。,0）、（4,3）、（5,8）,交x軸于點C,點B（C在5左邊），交

y軸于點A.

（D求拋物線的解析式；

（2）。為拋物線上一動點，ZABD=ZCAB+ZABC,求點。的坐標；

（3）如圖2,/:y=丘-3左+7（左W0）交拋物線于M,N兩點（不與重合），直線MC,NC分別交y

軸于點/,點J,試求此時O/.Q7是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請說明理由.

27.如圖，拋物線過點A（0,1）和C,頂點為D,直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（行,

第14頁共97頁

0),平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E,與直線AC交于點E點F的橫坐標為空，四邊形BDEF

為平行四邊形.

(1)求點F的坐標及拋物線的解析式；

(2)若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當^PAB面積最大時，求點P的坐標及4PAB面積

的最大值；

(3)在拋物線的對稱軸上取一點Q,同時在拋物線上取一點R,使以AC為一邊且以A,C,Q,R為頂

點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標.

脩用圖)

28.如圖1,已知拋物線y=a(x—1)2與y軸交于點B(0,3)，點C為拋物線的頂點.

(1)直接寫出該拋物線的解析式.

(2)點A在拋物線上，且ACLBC,求點A的坐標.

(3)如圖2,在(2)的條件下，作線段AC的垂直平分線交拋物線于點D,交AC于點M,點F在直線

DM上，求AFBC的最小周長，直接寫出當△FBC周長最小時點F的坐標.

3).已知對稱軸為x=l.

(1)求拋物線的解析式.

第15頁共97頁

(2)P為拋物線上的點，P點到直線BC的距離為0,求點P的坐標.

(3)將拋物線向左平移至對稱軸為y軸(如圖2).交x軸于M,N.D為頂點，E是線段ON上一動點,

EF〃y軸交拋物線于F,DE交拋物線于Q,求直線QF與y軸的交點H的坐標.

圖1圖2

30.如圖1,已知拋物線>=加+a+。的頂點為尸(1,9),與無軸的交點為A(-2,0),B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M為x軸上方拋物線上的一點，MB與拋物線的對稱軸交于點C,若/COB=2NCBO,求點M的坐

標；

(3)如圖2,將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為丫=辦2+云+6E,尸新拋物線在第一象限內(nèi)互不

重合的兩點，EGLx軸，F(xiàn)HXxft,垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點E,F,滿足

&GEO咨AHOF,求的取值范圍.

圖1

第16頁共97頁

31.如圖1,已知拋物線丁=0?+桁+0的頂點為尸。,9),與x軸的交點為A(-2,0),B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M為x軸上方拋物線上的一點，MB與拋物線的對稱軸交于點C,若/COB=2/CBO,求點〃的坐

標；

(3)如圖2,將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為>=辦2+%+/?,E,尸是新拋物線在第一象限

內(nèi)互不重合的兩點，EGJ_x軸，可，無軸，垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點E,F,滿足

一GEg.HOF,求〃的取值范圍.

32.已知拋物線乙：y=x2-2mx+^m2-2(m>0)的頂點為M,交y軸于點G.

3

(1)如圖，若點G坐標為(0,-])

①直接寫出拋物線。解析式；

②點Q在y軸上，將線段QM繞點Q逆時針旋轉90。得線段QN,若點N恰好落在拋物線。上，求點Q

的坐標.

第17頁共97頁

(2)探究：將拋物線4沿唯一的定直線x=a對稱得拋物線七，記拋物線七交y軸于點P(0,—2m),

求a的值.

33.拋物線＞=-/+0-1)苫+加交x軸于A,B兩點(點A在點B的左邊)，交》軸正半軸于點C.

(1)如圖1,當根=3時.

圖1圖2

①直接寫出點A,B,C的坐標；

②若拋物線上有一點P,使NACP=NB4C,求點P的坐標.

(2)如圖2,平移直線CB交拋物線于M,N兩點，直線MC與直線N3交于點G,若點G在定直線x=l

上運動，求加的值.

34.已知拋物線y=a(尤-1了過點(3,1),。為拋物線的頂點.直線/：y=履+4-4經(jīng)過定點A.

第18頁共97頁

(1)直接寫出拋物線的解析式和點A的坐標；

(2)如圖，直線/與拋物線交于P,。兩點.

①求證：/尸。。=90。；

②求AP。。面積的最小值.

35.如圖，已知直線y=-x+4分另ij交x軸、y軸于點A、B,拋物線過y=ax?+bx+c經(jīng)過A,B兩點，點

P是線段AB上一動點，過點P作PC^x軸于點C,交拋物線于點D.

(1)若拋物線的解析式為y=-；x2+x+4,設其頂點為M,其對稱軸交AB于點N.

①求點M、N的坐標；

②是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

(2)當點P的橫坐標為2時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形是直角三角形？

若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

第19頁共97頁

參考答案：

1.（1）A（-1,O）,B（3,0）；

（2）0.三匣或1±叵；

22

⑶

（1）解：令/_2尤_3=0,解得：％=T,方=3,

A（-l,0）,3（3,0）.

⑵解：?；OP=OA=1,

：.P（0,l）,

直線AC的解析式為y=x+L

①若點。在AC下方時，

過點8作AC的平行線與拋物線的交點即為Q.

；3（3,0）,BD,//AC,

；?BA的解析式為y=x-3.

聯(lián)立二一3’

解得，占=0,X2=3（舍）.

第1頁共97頁

???點2的橫坐標為o.

②若點。在AC上方時，點D,(O,-3)關于點P的對稱點為G(o,5).

過點G作AC的平行線/,則/與拋物線的交點即為符合條件的點D.

直線/的解析式為y=x+5.

y=x+5

聯(lián)立得12—3%—8=0,

y=xz—2x—3

解得，%=三普，%=言畫.

.?.點2的橫坐標分別為匕曳，也畫.

22

???符合條件的點。的橫坐標為：0,士且或1±巫.

22

(3)

解：設點E的橫坐標為〃.過點P的直線解析式為丁=丘+以

y=kx+b

聯(lián)立得兀2—（2+左）%—3—/?=0.

y=x2-2x-3

設巧，4是方程％2—(2+%)工一3—人=0兩根，貝!Jx/2=—3—6.(*)

/.xAxc=xBxE=-3-b,

??F=T，

xc=3+b,

m=3+b.

xB=3,

■x__1_^

3

,[b

??〃=-1——.

3

設直線CE的解析式為y=PX+q,

同（*）得m幾=-3-q,

/.q=—mn—3.

2

<?=-（3+Z?）|-l-||-3=1/?+2&.

第2頁共97頁

1

:.OF=-b92+2b.

3

?：OP=b,

1

???FP=-b91+b.

3

,FP1.l-?1

??=—/7?+1=—(zm-3)+1=-m.

OP333

2.(1)y=-x2+4x+5

i114

(2)b=；時，%=%;0<Z?<-,%〉％;-<b<-,

’225

(1)解：①把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式得：

j0=25a+10Z?-Z?2+4&+l

[5=孑+46+1

[a=-1

解這個方程組得：7。，

I.所求二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+4x+5；

②過。作。軸于點尸，交A3于點尸，如圖所示：

設點P的橫坐標為P，則點。的坐標為(p,-p2+4p+5),

0=5m+n

設直線A3的解析式為，=如+〃，把點A、B的坐標代入此解析式得:

5=n

=-1

[n=5'

直線AB的解析式為：y=-x+5,

.??點下的坐標為Cp,-p+5),

第3頁共97頁

OB=5,DF=—p1+4/9+5-(-p+5)=—p2+5p,

2

..DE：DF-p+5p1(5?5

FOEOEOB5512)4,

V-1<0,

???有最大值，最大值為2.

4

(2)

*.*a=-l,

y=-x2+2bx-b2+4b+l=-Cx-b)2+4b+l,

?..頂點坐標為(b,4Z?+1),

；.x=b,y=4Z7+l,

???y與x之間的函數(shù)關系式為：y=4x+l,

4

設直線y=4x+l與y軸交于點與直線AB交于點N,則點〃的坐標為(0,1),點N的坐標為(彳,

:拋物線的開口向下，頂點在AAOB的內(nèi)部，

???頂點只能在線段MN上(不含M、N)

4

；.0<6<-；

5

①如圖1,當CD〃x軸時，拋物線的對稱軸垂直平分CD,%=%，

此時拋物線的對稱軸x=6=：,即：匕=1■時，%=%；

②如圖2,當點C離對稱軸較近時，。＜6＜；,此時必＞必；

第4頁共97頁

,止匕時

圖3

圖1圖2

3.（1）點B的坐標為（4,0）

⑵①8；②點E的坐標為（2,3)

(3)n=6-3m

(D解：把A(-L0),C(0,2)兩點的坐標分別代入到＞=-；/+云+。中，得：

2

_J_X(_1)—b+c=0b--13

,2IJ,解得2,???拋物線的解析式為y=-+2,令＞=0,即

、c=2[c=222

13

。二-尤+2,解得再=-1,x2=4f.??點3的坐標為(4,0)；

(2)①連接3C,CD//BE,SBDE=SBCE，VB(4,0),C(0,2),.,.O8=4,OC=2,/.SAOBD

=lx2x4=4S△皿=4,四邊形COBE的面積=S△。皿+S△皿=4+4=8則四邊形COBE的面積；8,

二

②連接OE,BC,如圖：'：CD//EB,S△DBE一冒4SACBE=89此=4,設點

E的坐標為加+，"+2,SB(4,0),C(0,2),.?.08=4,

OC=2,

SAOCE+S.BE-S&OBC=S△CBE，￡“2根+Jx4?(—J根？+9機+2)—Jx2x4=4,解得仍=乃=2,當m=2

第5頁共97頁

i3

時，y=--x22+-x2+2=3,?,?點￡的坐標為(2,3)；

(3)過尸作FPJ_A尸且"uAP,作MTV〃y軸，交x軸于N,過戶作尸于：.ZM=/PNA

ZM=ZPNA

=ZFPA=90°ZFPM=90°-APN=ZNAPA\ZFPM=ZNAPZ^ANP^/\PMF,：.AN=MP=m+lf

AP=PF

NP—FM—n,.??尸點坐標為(m-n,m+n+1):?設旋轉后得△尸GQ,則△ACO之△FGQ,???尸Q=AO=

(<m-njk+b=m+n+1

1,GQ=CO=2,???G點坐標為(m-〃+2,加+〃)設直線廠G解析式為>=履+)則解

^m-n+2^k+b=m+n

k=-Ly=——x+—m+—n+l

2222

得???直線/G解析式為丁=龍+9m+十九+1J由,得

731113c

b=—m+—n+1y=——x2+—x+2

2222

⑶存在，r=T

⑴解：(1)將點A(-4,0)代入丁=-爐+心+4,

得一16—4〃+4=0,解得”=一3,

第6頁共97頁

y=-12-3%+4；

(2)

令y=0,則一%2一3%+4=0,

解得x=—4或x=l,

：.B(1,0),

令x=0,貝力=4,

：.N(0,4),

：.ON=4,OB=1,

：.tmZBNO=-

4f

如圖1,當M點在AN上方時，過點N作N”,4V交于“點，過點”作胸，》軸交于K點,

VA(-4,0),N(0,4),

??OA—ON,A/V=4V2，

NANO=45。，

/HNA=90。,

NHNK=45。,

：.HK=KN,

ZHAN=ZONB,

.HN1

??菽―"

:?HN=4^,

第7頁共97頁

：.KN=HK=1,

：.H(-1,5),

設直線AM的解析式為y=kx+b,

k=-

-4k+b=03

,解得

-k+b=5

3

520

y——x-----

聯(lián)立方程組'33

y=-X2-3X+4

2

解得％=-§或x=—4(舍),

250、

如圖2,當M點在AN下方時，過點N作NG,4V交AM于點G,過點G作軸交于點W,

???NANO=45。，ZANG=90°,

AZWG=45°,

：.NW=WG,

八，…NG

?.?tan/NAM=1-=——NG

4AN4V2

NG=C，

：.WG=WN=1,

：.G(1,3),

第8頁共97頁

3I?

則直線AM的解析式為y=|x+y,

312

v=-x2

聯(lián)立方程組"55,解得x或》=—4(舍),

y=—X2—3無+4

綜上所述：點M的坐標為或［m］；

(3)

存在f的值使得OP與OQ的積為定值，理由如下:

設E(e,-e2-3e+4),F(/,-/2-3/+4),

設直線BE的解析式為(x-1),

將點E代入y=%(尤-1),得上=—e—4,

y=-(e+4)(x-l),

令x=0,則y=e+4,

：.P(0,e+4),

：.OP=e+4,

設直線BE的解析式為y=w(x—1),

點尸代入y=A(x-l),得加=-/-4,

y=-(/+4)(x-l),

令x=0,則y=/+4,

???2(0,/+4),

???OQ=-f-4,

：.OP-O2=(e+4)(-/-4)=-ef-4e-4f-16,

設直線EF的解析式為y=K(%-?)-1，

y=k^x—k^—1

聯(lián)立方程組

y=_%2_3%+4

+((+3)x—k,-5—0,

c+f———3,cf——kj—5,

第9頁共97頁

OP-OQ="+4kl+l=%(/+4)+l,

當f+4=0時，OP。。為定值，

???/=T,OPOQ=1.

5.(1)4,0,y=-x—2

(2)一|■或?■或I"；

⑶證明見解析

(D解：對拋物線與》=2爐—5%一2來說，

13

當y=0時，—%2——%—2=0,

解得玉=4,x2=-l

由圖像可知，點5的橫坐標大于0,

???點B的坐標是(4,0),點A的坐標是(-1,0)

當x=0時，得y=-2,即點C的坐標是(0,-2),

設直線3。的表達式是>=區(qū)+乩將5、。兩點坐標代入，得

(O=4k+b

1-2=b

k=l

解得,2

b=-2

；?直線BC的解析式為y=gx-2

故答案為：4,0；y=#2

(2)

解：由題意和(1)可知，拋物線的對稱軸為》=告1=1,設點。的坐標為(g，%)，

當四邊形CBE。是平行四邊形時，

CBDES.CB=DE,

則點C(0,-2)向右平移4個單位，向上平移2個單位到點B(4,0),

.??點D向右平移4個單位，向上平移2個單位到點E,

-311

???點E坐標是(—+4,%+2)即(—,>o+2)

第10頁共97頁

???點￡在拋物線上,

113911

；?點E坐標是（苛，蕓），即點E的橫坐標是9；

282

當四邊形是平行四邊形時，

CBEDS.CB=ED,

則點8（4,0）向左平移4個單位，向下平移2個單位到點C（0,-2）,

.?.點D向左平移4個單位，向下平移2個單位到點E,

35

，點E坐標是（,一4,%—2）即（--,y0—2）

:點E在拋物線上，

y0-2=；x』昌一2T

228

.55

.?%=石

...點￡坐標是（-g5,蕓39），即點E的橫坐標是5

2o2

當四邊形CEBD是平行四邊形時，BC是對角線時,

DBCES.DB=CE,

33

則點。%）向左平移5個單位到，向下平移（%+2）個單位，到點C（0,-2）,

3

...點3（4,0）向左平移萬個單位到，向下平移（Jo+2）個單位，到點￡（/，yE），

???點E的橫坐標是g

:點E在拋物線上，

.,_1,5、23.5.021

.?yE一一x（一）—x（一）—2=-----

22228

???點七的坐標是（彳5，-221）即點E的橫坐標是5；；

282

綜上所述，點E的橫坐標是或昔或g;

第11頁共97頁

解：由（1）知，直線BC的解析式為y=點A的坐標是（-1,0）

設直線/的表達式為>=“

1

y=—x+n

2

聯(lián)立得方程組1q得％2_4%-4_2〃=0

y=—x2—x-2

22

設點M的坐標是（X”，加），點N的坐標是（/，yN）

由一元二次方程根與系數(shù)關系得%+xN=4,xM?xN=-4-2n,

?.?點M、N在直線/上

.1,1,

??加=斗+〃，yN=-xN+n

設直線AM的解析式為y=k{x+bl,

fQ=_k+b

1

把點A、點“坐標坐標代入，并聯(lián)立得7\

1％="+瓦

解得々=勺=弋7

XM+1

即直線AM的表達式y(tǒng)=弋7尤

XM+1XM+1

令x=0,得尸”,即力=’21

%+1尤M+1

0——k，2+b?

同理，設直線期的解析式為y=+把點A、點N坐標坐標代入，并聯(lián)立得

yN=k2xN+b2

得瓦=h=上^

即直線即直線AN的表達式>=77工+七7

XN'1%N+1

第12頁共97頁

N

令x=0,得y="：],BPyQ="

+1uXN+1

故孫+

與+1XR+1

_%(0+1)+%(無“+1)

(%M+1)(XN+1)

+〃]國+1)+&XN+"]國+1)

xMxN+(xM+xN)+l

XMXN+\(X“+XN)+n(XM+XN)+2H

XMXN+(XM+%N)+1

?%M+%N=4,//，％N=4—2〃f

—

.?.%+I%,,4=—2HH—2x4+4〃+2〃=C2i+/4幾=。2/(1l。2力可、

-4-2n+4+1l-2nl-2n

即yP+yQ=-2

：?力+