2025中考數(shù)學重難點復習專練：幾何最值問題綜合訓練（含答案解析）

重難點06幾何最值問題綜合訓練

明考情?知方向

中考數(shù)學中《幾何最值問題》部分主要考向分為五類:

一、將軍飲馬類最值

二、動點輔助圓類最值

三、四點共圓類最值

四、瓜豆原理類最值

五、胡不歸類最值

幾何最值問題雖然在中考數(shù)學中經(jīng)常考察的是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)?？疾欤?/p>

是考到的時候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的

時候才能有捷徑應對。

重難點題型解讀

?將軍飲馬類最值

?動點輔助圓類最值

O幾何最值問題

?瓜豆原理類最值

0胡不歸類最值

考向一：將軍飲馬類最值

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八

1.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖，已知拋物線y=-產(chǎn)+「刀+q的對稱軸為％=一3,過其頂點M的一條直線

y=kx+b與該拋物線的另一個交點為N（-1,1）,要在坐標軸上找一點P,使得APMN的周長最小，則點

P的坐標為（）

A.（0,2）B.C.（0,2）或（一表0）D.（0彳）或（一2,0）

2.（2023?山東棗莊?模擬預測）如圖所示，正方形4BCD的面積為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形

ABCDfy,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.4V3B.2遮C.V6D.V3

3.（2021?青海?中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為8,M在DC上，且￡W=2,N是AC上一動點,則DN+MN

的最小值為

4.（2023,廣東廣州?一模）如圖，已知梯形4BCD,AD\\BC,AD=DC=4,BC=8,點N在BC上，CN=2,E

是AB中點，在AC上找一點M使EM+MN的值最小，此時其最小值等于

AD

BNC

5.（2022?四川眉山?一模）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,E為CD的中點，點尸、。為上兩個

動點（點。在點尸的右邊）.①若連結AP、PE,則PE+A尸的最小值為；②連結QE,若尸。=

3,當CQ=時，四邊形APQE的周長最小.

考向二：動點輔助圓類最值

動點運動軌跡為輔助圓的三種類型：

定義法一一若一動點到定點的距離恒等于固定長，則該點的運動軌跡為以定點為圓心，定長為半徑

的圓（或圓?。?/p>

二.定邊對直角

模型原理：直徑所對的圓周角是直角

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點運動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓

?。?/p>

三.定邊對定角

模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點運動軌跡是以該定角為圓

周角，該定邊為弦的圓（或圓?。?/p>

1.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，四邊形為矩形，AB=3,BC=4.點尸是線段BC上一動點，點

M為線段4P上一點.^ADM=/.BAP,貝IjBM的最小值為（）

A.5B.12C.V13-|D.V13-2

25

2.（2022?廣東梅州?一模）如圖，在R/AABC和RthADE^,^BAC=ADAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.連

接BD,CE,將斯。E繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中當NDBA最大時，MCE的面積為（）.

A.6B.6V2C.9D.9企

3.（2022?山東濟南?一模）正方形ABC。中，AB=4,點E、尸分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿足DE=CF,

DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角zW/G使得0AHG=9O。，連接則8H的最小

值為（）

A.2V5-2B.2V5+2C.V10-V2D.V10+V2

4.（2023?安徽?一模）如圖，在矩形48CD中，4B=8,4。=4,點E是矩形4BCD內(nèi)部一動點，且NBEC=90°,

點尸是邊上一動點，連接PO、PE,貝IJPD+PE的最小值為（）

/PB

\/1

/\/1

/X

A.8B.4V5C.10D.4V5-2

5.（2022?福建廈門?一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=：x一3分別與尤軸、y軸相交于點A、B,

4

點E、尸分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動點，且DE=/4F,過原點。作。H1EF,垂足為”,

連接”A、HB,則△從4B面積的最大值為（）

I1c

口13+5V2

A.6+5V2B.12C.6+3V2

*2

6.（2022?山東濟南?一模）如圖，在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,點、E、F分別是邊48、BC上的動點,

且EF=4,點G是EF的中點，AG.CG,則四邊形4GCD面積的最小值為

7.（2025?陜西?模擬預測）如圖，在菱形2BCD中，AB=6,zX=60°,點E,F分別在邊4B和4D上，且EF=4.當

△4EF的面積最大時，ACEF的面積為.

考向三：四點共圓類最值

對角互補的四邊形必有四點共圓，即輔助圓產(chǎn)生

模型原理：圓內(nèi)接四邊形對角互補

1.（2022?貴州遵義?中考真題）探究與實踐

"善思"小組開展"探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)

利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段4C同側有兩點B,D,連接4D,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么4B,C,D四點

在同一個圓上.

圖1

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點4C,。的。0,在劣弧4C上取一點E（不與4C重合），連接則乙4EC+ND=180°

（依據(jù)1）

D,

O

E

圖

2???乙B=乙D

/.AEC+NB=180°

.??點a,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.,點B,。在點4C,￡■所確定的。。上（依據(jù)2）

???點A,B,C,E四點在同一個圓上

⑴反思歸納：上述探究過程中的"依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：______________.

（2）圖3,在四邊形4BCD中，zl=Z2,43=45。，貝吐4的度數(shù)為

⑶拓展探究：如圖4,已知AABC是等腰三角形，4B=4C,點。在BC上（不與BC的中點重合），連接

4D.作點C關于4D的對稱點E,連接EB并延長交4D的延長線于F,連接4E,DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若4B=2夜，ADSF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

2.（2024?陜西寶雞?二模）【問題提出】

（1）如圖1,在RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=2,AC=3,點。是4B的中點，以點。為圓心，。4為

半徑向4B上方作半圓O,點尸為半圓。上一點，連接CP,則線段CP的最小值為；

【問題探究】

（2）如圖2,在等邊AABC中，AC=2,點尸為A48C內(nèi)一點，連接PA、PB、PC,/.PAB=/.PCA,

求線段BP長度的最小值；

【問題解決】

（3）如圖3,某小區(qū)有四棟樓，剛好圍成正方形ABCD,其邊長4B=1000米，現(xiàn)計劃在小區(qū)內(nèi)部（正

方形4BCD內(nèi)）修建一個游泳館E,滿足B棟樓到A棟樓之間的距離與B棟樓到游泳館E之間的距離相

等（即BE=B4）,過點￡作EG于點G,在RtA8EG的內(nèi)心廠處修建一個健身房，使得D棟樓的

居民到健身房尸的距離。F最小，請問。尸是否存在最小值？若存在，請求出DF的最小值；若不存在，

請說明理由.

考向四：瓜豆原理類最值

0O◎圖

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據(jù)某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的

軌跡相同.（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆."種"圓得圓，"種"線得線，謂之"瓜豆原理".）

?？寄Ｐ?/p>

模型一t運動軌跡為圓弧

如圖，尸是圓。上一個動點，4為定點，連接仍0為4尸中點.

考慮：當點尸在圓。上運動時，0點軌跡是一個圓

連接40,取4。中點必則〃點即為0點軌跡圓圓心，半徑幽是神一半，任意時刻，均有AAMQsAAOP,

QM-.P0=AQ:AI^\:2.

模型二：運動軌跡為線段

如圖，尸是直線■上一動點，連接仍取/尸中點Q,當點尸在初上運動時，0點軌跡是一條

直線。

方法：分別過40向初作垂線，垂足分別為旅N,在運動過程中，因為/田2力0,所以?V始

終為朋的一半，即。點到死的距離是定值，故0點軌跡是一條直線.

【模型總結】

必要條件：

①兩動一定；②動點與定點的連線夾角是定角；③動點到定點的距離比值是定值.

做題方法：第一步：找主動點的軌跡；第二步：找從動點與主動點的關系；

第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡，

第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值.

1.（2023?四川?中考模擬）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=16,BC=12,點P在以

A3為直徑的半圓上運動，由點3運動到點A,連接CP,點〃是CP的中點，則點M經(jīng)過的

路徑長為.

2.（2023.山東.中考模擬）如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點P是以。為圓心，2

個單位長為半徑的圓上的一個動點，連接AP,以AP為邊向AP右側作等邊三角形AP3.當

點P在O。上運動一周時，點3運動的路徑長是.

考向五：胡不歸類最值

0?；?/p>

胡不歸模型解決步驟：

模型具體化：如圖，已知兩定點A、B,在定直線BC上找一點P,使從B走道P,再從P走到A的總

時間最??；

解決步驟：?F.

由系數(shù)k?PB確定分割線為PB

PA在分割線一側，在分割線PB另一側依定點B構a角，使sina=k,a角另

一邊為BD

過點P作PQ1BD,轉化kPB=PQ

過定點A作AH±BD,轉化（PA+k?PB）min=AH,再依“勾股法”求AH的長即可。

1.（2023?安徽黃山?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=^%2一日》—舊的圖象與x軸交

于點A,C兩點，與y軸交于點3,對稱軸與x軸交于點。，若P為y軸上的一個動點,連接PD,貝!j|PB+PD

的最小值為（）

2.（22-23九年級上?四川樂山?期末）如圖，在△ABC中，^BAC=90°,ZB=60°,AB=4,若D是BC邊上的

動點，則2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

3.(2022?遼寧鞍山?二模)如圖，在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=-/+bx+3的圖像與x軸交于A、C

兩點，與無軸交于點C(3,0),若P是x軸上一動點,點。的坐標為連接尸。，則&PD+PC的

最小值是()

A.4B.2+2V21+1^

4.(2022?四川成都?模擬預測)拋物線y=a/+.+百分別交x軸于點4(1,0),B(—3,0),交y軸于點C,

拋物線的對稱軸與x軸相交于點D,點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且MN1AC.

⑴求拋物線的表達式;

(2)線段MN,NC在數(shù)量上有何關系，請寫出你的理由；

⑶在M,N移動的過程中，OM+//C是否有最小值，如果有，請寫出理由.

5.(2022?廣東惠州一模)如圖1,拋物線y=a/+必一4與％軸交于4g兩點，與y軸交于點c,其中點4的

坐標為(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=|.

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點P是直線BC下方的拋物線上一個動點，是否存在點P使四邊形4BPC的面積為16,若存在，求出

點P的坐標若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,過點B作交拋物線的對稱軸于點F,以點C為圓心，2為半徑作。C,點Q為OC上的

一個動點，求號BQ+FQ的最小值.

限時提升練

（建議用時：35分鐘）

1.（2022?四川南充?一模）如圖，矩形中，BC=12,點尸是邊AD上一動點（不與端點重合），點、E

與點A關于BP對稱，線段。E最小為8,則AB的長為.

2.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）如圖，在S42c中，AB=AC=4,13cA2=30。，ADSBC,垂足為DP

為線段A。上的一動點，連接尸8、PC.則B4+2P8的最小值為.

3.（2020?江蘇常州?一模）如圖，在0。中，點A、點B在。。上，^AOB=90°,OA=6,點C在OA上,

且。C=2AC,點。是。B的中點，點M是劣弧AB上的動點，貝北”+2DM的最小值為

4.（2022?湖南湘潭?模擬預測）如圖，菱形草地4BCD中，沿對角線修建60米和80米兩條道路04c<8。），

M、N分別是草地邊BC、CD的中點，在線段8。上有一個流動飲水點P,若要使PM+PN的距離最短,

則最短距離是一米.

C

5.（2022?山東棗莊?二模）如圖，點尸是乙4OB內(nèi)任意一點，OP=3cm,點M和點N分別是射線02和射線

0B上的動點，AA0B=30°,則APMN周長的最小值是.

6.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，等邊AABC中，=10,點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊

△BEF,連接DF,CF,貝此BCF=,FB+FD的最小值為.

7.（2022?廣東汕頭?一模）如圖，在0ABC中，0C=90°,AC=8,AB=10,D是AC上一點，且CO=3,E

是BC邊上一點，將BDCE沿DE折疊，使點C落在點尸處，連接BF,則B尸的最小值為.

A

8.（2021?廣東珠海,一模）如圖，在矩形4BCD中，AB=2,BC=3,E是矩形內(nèi)部的一個動點，且4E1BE,

則線段CE的最小值為.

9.（2023?廣西柳州?二模）已知拋物線y=ax2+bx+c（a*0）過點4（1,0）,B（3,0）兩點，與y軸交于點C,

⑴求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

（2）點P為拋物線上位于直線BC下方的一動點，當APBC面積最大時，求點P的坐標；

⑶若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+fCQ是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存

在，請說明理由.

重難點06幾何最值問題綜合訓練

明考情?知方向

中考數(shù)學中《幾何最值問題》部分主要考向分為五類:

一、將軍飲馬類最值

二、動點輔助圓類最值

三、四點共圓類最值

四、瓜豆原理類最值

五、胡不歸類最值

幾何最值問題雖然在中考數(shù)學中經(jīng)?？疾斓氖菍④婏嬹R類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)常考察，但

是考到的時候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的

時候才能有捷徑應對。

重難點題型解讀

?將軍飲馬類最值

?動點輔助圓類最值

O幾何最值問題

?瓜豆原理類最值

0胡不歸類最值

考向一：將軍飲馬類最值

普通PA?/>〃6■分■》

異側AB.舄4之用.&毆

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“兩定a/上算一2p便PA?

一動”PB■小

普通

停A

AA"?A'B.M

同側"A?&A'BAtM.????

“兩定aid上學一?r.?電?宜1的交感?力QP

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P.W?MN?PN?

的尸，片，,■

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「產(chǎn)?，■?■交rr.

兩aitib.。上分BIXW??s

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M.?APM.V的■我

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“兩e?闈.MN.W?

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定PQ-P'Q，.M?之

。Q'.與?

兩N.HMC

?的交Q■為SM.NN：n：)

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、0

的?低■小構造平行四邊形

BAMNA',轉化AM為

個■位AN,之后再對稱連接

同側W.ARaWk

?4r.AtATIttJ求A'N+NB的最小值

“兩定

的?a,r

兩動”HA2H,修

W..Va

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(MS￡).*4MN?為JAN,將口與■左軍

“AM?MN?SB?。個一位?力?M

U—_*?*?■?**"**1?>?...________

Ml.H莊AAH莊?也于一摯小何的用■?若河”VUt平行,9HI■一■與樽律

異側桃，橋域號9何地#.tttAWBXMmNMT

“兩定

“：

兩動”

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八

1.(2024?江蘇蘇州?一模)如圖，已知拋物線y=-產(chǎn)+「刀+q的對稱軸為％=一3,過其頂點M的一條直線

y=kx+b與該拋物線的另一個交點為N(-1,1),要在坐標軸上找一點P,使得APMN的周長最小，則點

P的坐標為()

A.(0,2)B.(-1,0)C.(0,2)或(—表0)D.(0,§或(一2,0)

【答案】A

【分析】首先利用待定系數(shù)法確定該拋物線解析式，進而確定拋物線頂點M的坐標；結合APMN的長度

=PN+PM+MN,且MN是定值，故PN+PM只需取最小值，即可使得△PMN的周長最小.過點M作

關于y軸和x軸對稱的點，分別計算兩種情況下的周長再取最小值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，拋物線y=-%2+px+q的對稱軸為尤=-3,且經(jīng)過點N(—1,1),

則有(中;j解得的:

回該拋物線的解析式為y=-X2-6X-4,

Uy=—X2—6x—4=—(X+3)2+5,

團該拋物線頂點M的坐標為(-3,5),

EI△PMN的長度=PN+PM+MN,且MN是定值，所以PN+PM只需取最小值，即可使得APMN的周

長最小，

如圖1,過點M作關于y軸對稱的點Ml連接MW,與y軸的交點即為所求的點P,

則W(3,5),PM=PM',

設直線的解析式為y=k1X+瓦(七豐0),

將點M，(3,5)和點N(—1,1)代入，

可得憶Hi解得由口，

故該直線的解析式為y=x+2,

當x=0時，y=2,即P(0,2),

回PM+PN+MN=PM'+PN+MN=M'N+MN,

且MW=7[3-(-1)]2+(5-l)2=4V2,

回此時△PMN的周長=4金+MN；

同理，如圖2,過點M作關于x軸對稱的點Ml連接M'N,與x軸的交點P即為所求的點,

則M'(—3,-5),

設直線M'N的解析式為y=k2x+歷(七豐0),

將點“'(一3,—5)和點N(—1,1)代入，

可得「ENA解得假二，

故該直線的解析式為y=3%+4,

當y=0時，x=-1,即P(—右0),

0PM+PN+MN=PM'+PN+MN=M'N+MN,

且M'N=J[—3—(—1)產(chǎn)+(—5—1)2=2V10,

回此時△PMN的周長=2V10+MN；

04V2<2V10,

04V2+MN<2V10+MN,

回點P在y軸上時，APMN的周長最小，此時點P的坐標是(0,2).

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關鍵是

分類討論，避免遺漏.

2.(2023?山東棗莊?模擬預測)如圖所示，正方形4BCD的面積為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形

4BCD內(nèi)，在對角線AC上有一點尸，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.4A/3B.2遮C.V6D.V3

【答案】B

【分析】

連接BQ,PB,根據(jù)點B與。關于4C對稱，得出PD=PB,從而得出PD+PE=PB+PE>BE,即PD+PE

最小值為值為BE的長，求出BE的長即可.

【詳解】

解：連接BD,PB,如圖所示：

回四邊形48CD為正方形，

團點8與。關于4c對稱，

0PD=PB,

SPD+PE=PB+PE>BE,

0PD+PE最小值為BE的長，

回正方形4BCD的面積為12,

EL4B=V12=2痘,

又回△ABE是等邊三角形，

SBE=AB=2V5,

I3P0+PE最小值為2舊，故B正確.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得

出BE的長為P。+PE的最小值.

3.（2021?青海?中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上一動點，則DN+MN

的最小值為

【答案】10

【分析】本題考查了軸對稱的應用，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

作出圖形得到DN+MN的最小值即為線段BM的長.連結BD,BN,BM,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得到BN=

DN,DN+MN的最小值即BN+MN的最小值，即為線段BM的長，再根據(jù)勾股定理，即可求得BM的

長，即得答案.

【詳解】連結BD,BN,BM,

,??正方形是軸對稱圖形，點B與點。是以直線2C為對稱軸的對稱點，

???直線4C即為80的垂直平分線，

BN=DN,

DN+MN=BN+MN,

當點N在與AC的交點尸處，DN+MN取得最小值，最小值為的長,

?.?正方形4BCD的邊長為8,且DM=2,

BC=CD=8,CM=8-2=6,4BCD=90°,

BM=y/BC2+CM2=V82+62=10,

DN+MN的最小值為10.

故答案為：10.

4.（2023?廣東廣州?一模）如圖，已知梯形ABC。，AD\\BC,AD=DC=4,BC=8,點N在BC上，CN=2,E

是AB中點，在4c上找一點M使EM+MN的值最小，此時其最小值等于

【答案】6

【分析】首先找N關于AC的對稱點NI然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行計算.

【詳解】解：SAD=DC,ADWBC,

^\Z-DCA=Z.DAC=Z-ACB,

回。4平分NBC。，

作N點關于AC的對稱點N，，CN'=2,如圖,

則W為CO中點,所以EMII4D,

連E"交AC于M點，

0FM+NM=EN',

SEN'=|(71D+BC)=|(4+8)=6.

故答案為6.

【點睛】本題考查軸對稱最短路線的問題，熟練找到對稱點是解題的關鍵.

5.（2022?四川眉山?一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E為CD的中點，點尸、。為BC上兩個

動點（點。在點P的右邊）.①若連結AP、PE,則尸E+AP的最小值為；②連結QE,若PQ=

3,當CQ=時，四邊形APQE的周長最小.

【答案】101/1|

【分析】①延長AB到使2M=AB=4,則A和/關于2c對稱，連接EM,交BC于點P,此時

4P+PE的值最小，過點M作MM3OC,交OC的延長線于點N,在RtSEMN中，根據(jù)勾股定理求出

的長即可解答；

②點A向右平移3個單位到點G,點E關于BC的對稱點為點R連接GR交BC于點Q,此時G。

+QE的值最小，根據(jù)題意可知AE,尸。的值是定值，要使四邊形APQE的周長最小，只要GQ+E。的

值最小即可，然后根據(jù)A字模型相似三角形證明arc。釀尸DG,利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】解：①延長到使BM=AB=4,則A和M關于BC對稱，

^\AP=PM,

連接EM,交BC于點P,此時AP+PE的值最小，

^AP+PE=PM+EP=EM,

過點M作MN3OC,交0c的延長線于點N,如圖：

團四邊形A3CD是矩形，

0A3=CO=4,她3C=團5c0=90°,

釀M5C=團3CN=90°,

甌MND=90°,

團四邊形8MNC是矩形，

姐M=CN=4,BC=MN=8,

團E為CD的中點，

1

回EC=-CD=2,

2

回硒=EC+CN=6,

團ME=y/MN2+EN2=V62+82=10,

SPE+AP的最小值為10,

故答案為：10；

②點A向右平移3個單位到點G,點E關于BC的對稱點為點F,

連接GF,交BC于點Q,

^\EQ=FQ,

^iGQ+EQ=GQ+FQ=FG,

此時GQ+QE的值最小，

回四邊形ABC。是矩形，

0BCEL4D,

^AG=PQ=3,

回四邊形APQG是平行四邊形，

^AP=GQ,

^\GQ+EQ=AP+EQ=FG,

0AE,P。的值是定值，

回要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+E。的值最小即可，

設CQ=x,

QBCSAD,

00BCF=[a￡）,^CQF=^\DGF,

0EFCQ30FDG,

脛=J

DGDF

一

甌=|,

團當CQ=|時，四邊形APQE的周長最小，

故答案為：

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握軸對稱之將軍飲馬模型想解題的關鍵.

考向二：動點輔助圓類最值

0M

動點運動軌跡為輔助圓的三種類型：

一.定義法一一若一動點到定點的距離恒等于固定長，則該點的運動軌跡為以定點為圓心，定長為半徑

的圓（或圓弧）

二.定邊對直角

模型原理：直徑所對的圓周角是直角

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點運動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓

弧）

三.定邊對定角

模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點運動軌跡是以該定角為圓

周角，該定邊為弦的圓（或圓?。?/p>

1.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，四邊形4BCD為矩形，AB=3,BC=4.點P是線段BC上一動點，點

M為線段4P上一點.^ADM=Z.BAP,貝的最小值為（）

A.—B.—C.A/13—D.V13—2

252

【答案】D

【分析】證明乙4MD=90°,得出點M在。點為圓心，以A。為半徑的圓上，從而計算出答案.

【詳解】設AO的中點為O,以。點為圓心，AO為半徑畫圓

A

B

回四邊形4BCD為矩形

回NBAP+NAL4D=90°

^Z-ADM=Z.BAP

^MAD+AADM=90°

0Z71M￡）=9OO

團點M在。點為圓心，以A。為半徑的圓上

連接交圓。與點N

回點B為圓O外一點

El當直線3M過圓心。時，3M最短

WO2=AB2+A02,A0=-AD=2

2

0BO2=9+4=13

0BO=V13

^\BN=BO-AO=V13-2

故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關知識.

2.（2022?廣東梅州?一模）如圖，在R公ABC和RdADE中，NB4C=^DAE=90°,XC=AD=3,AB=AE=5.連

接BD,CE,將回4DE繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中當ADB4最大時，0ACE的面積為（）.

A.6B.6V2C.9D.9夜

【答案】A

【分析】先分析出。的軌跡為以A為圓心/⑦的長為半徑的圓，當即與該圓相切時，SOBA最大，過C

作CE3AE于R由勾股定理及三角函數(shù)計算出2。、CF的長，代入面積公式求解即可.

【詳解】解：由題意知，。點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，

當8。與。點的軌跡圓相切時，SDBA取最大值，此時SBD4=90。，如圖所示，

過C作CflSAE于尸，

EBDAE=90°,回3AC=90°,

SSCAF^BAD,

在R/EABD中，由勾股定理得：BD—JS2-32=4,

回由sinl3cA聲sinEIBAO得：

CF_BD

AC~AB"

解得：b亭

國此時三角形ACE的面積=X音X5=6,

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點.此題綜合性較強，解題關鍵是利

用D的軌跡圓確定出aDBA取最大值時的位置.

3.（2022?山東濟南?一模）正方形ABC。中，AB=4,點E、/分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿足DE=CF,

DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角AA/ZG使得0A”G=9O。，連接則的最小

值為（）

A.2V5-2B.2V5+2C.V10-V2D.V10+V2

【答案】C

【分析】首先證明乙4GD=90。，從而OG=1AO=2,再根據(jù)〃MG=乙/MM,可求可知點

H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值.

【詳解】解：如圖，取AD中點0,連接OG,以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM,

則AM=￥40=VL

在△ADE和△OCF中，

AD=CD

乙ADE=^DCF,

DE=CF

回△ADE=LDCF(SAS),

回zJX4G=2CDF,

團〃DG+乙CDF=90°,

^ADG+/-DAG=90°,

^AGD=90°,

△ADG是直角三角形，

i

HOG=-AD=2,

2

0AAHG為等腰直角三角形，

0ZO4G+^GAM=4HAM+^GAM,

I3ZOXG=/.HAM,

鵬絡=0

AGOA2

0AAMHAOG,

OG2

0MH=V2,

團點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，

如圖，連接BM,交圓M于"，過點M作MP于點P,

^DAE+^BAH=45°,^OAG=^MAH,

^PAM